高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點探究與題型突破第38講數(shù)列的綜合應(yīng)用(原卷版+解析)

第38講數(shù)列的綜合應(yīng)用考點1數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實際應(yīng)用[名師點睛]數(shù)列應(yīng)用問題常見模型(1)等差模型：后一個量比前一個量增加(或減少)的是同一個固定值．(2)等比模型：后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數(shù)．(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，那么應(yīng)考慮an與an＋1(或者相鄰三項)之間的遞推關(guān)系，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項)之間的遞推關(guān)系．[典例]1．(2023·湖南·一模）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．562．(2023·山東青島·一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．問原來持金多少？”．記這個人原來持金為斤，設(shè)，則（

）A． B．7 C．13 D．26[舉一反三]1．(2023·遼寧·沈陽二中模擬預(yù)測）我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項為（

）A．99 B．131 C．139 D．1413．（多選）(2023·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2021年7月7日貸款到賬，則2021年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004，則下列說法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，計算結(jié)果取整數(shù)）A．選擇方式①，若第一個還款月應(yīng)還4900元，最后一個還款月應(yīng)還2510元，則小張該筆貸款的總利息為289200元B．選擇方式②，小張每月還款額為3800元C．選擇方式②，小張總利息為333840元D．從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①考點2等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運算[名師點睛]對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系．數(shù)列的求和主要是等差、等比數(shù)列的求和及裂項相消法求和與錯位相減法求和，本題中利用裂項相消法求數(shù)列的和，然后利用b1＝1，d>0證明不等式成立．另外本題在探求{an}與{cn}的通項公式時，考查累加、累乘兩種基本方法．[典例](2023·濱州模擬)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，求S100.[舉一反三]已知等差數(shù)列{an}的首項a1≠0，前n項和為Sn，且S4＋a2＝2S3；等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，b2＝a4.(1)求證：數(shù)列{bn}中的每一項都是數(shù)列{an}中的項；(2)若a1＝2，設(shè)cn＝eq\f(2,log2bnlog2bn＋1)，求數(shù)列{cn}的前n項的和Tn；(3)在(2)的條件下，若有f(n)＝log3Tn，求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值．考點3新情境下的數(shù)列問題[名師點睛]新情境下的數(shù)列問題的求解策略(1)深入新情境，建立數(shù)列模型，如本題要理解“優(yōu)值”的含義；(2)利用新定義，求解數(shù)列模型，將新定義和原有知識相聯(lián)系，和數(shù)列的通項、求和相結(jié)合．[典例]1．（多選）(2023·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)k，使得對任意，均有，則稱是間隔遞增數(shù)列，k是的間隔數(shù)，下列說法正確的是（

）A．公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列B．已知，則是間隔遞增數(shù)列C．已知，則是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2D．已知，若是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則2．(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足：對，都有（常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為d的“準等差數(shù)列”.(1)數(shù)列中，，對，都有.求證：數(shù)列為“準等差數(shù)列”，并求其通項公式；(2)數(shù)列滿足：.將（1）中數(shù)列中的項按原有的順序插入數(shù)列中，使與之間插入項，形成新數(shù)列.求數(shù)列前100項和.[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，則稱為“夢想數(shù)列”，已知正項數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且，則（

）A． B． C． D．2．（多選）(2023·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）在數(shù)列中，若（為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數(shù)列B．若正項等方差數(shù)列的首項，且是等比數(shù)列，則C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列考點4數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯[名師點睛]數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項或前n項和，再利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進行不等式的證明．[典例]1．(2023·江蘇·揚中市第二高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)證明：.2．(2023·江蘇江蘇·二模）已知數(shù)列，當時，，.記數(shù)列的前項和為.(1)求，；(2)求使得成立的正整數(shù)的最大值.[舉一反三]1．(2023·湖北·天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項是，前項和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．(2023·山東泰安·一模）已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．， B． C．， D．3．(2023·廣東·模擬預(yù)測）已知表示不小于x的最小整數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，如，，數(shù)列滿足，且對，有，若為遞增數(shù)列，則整數(shù)b的最小值為______．4．(2023·江蘇·南京市雨花臺中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，且滿足，若對于任意，都有成立，則實數(shù)的最小值是_________.5．(2023·遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，滿足：(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，令，數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．第38講數(shù)列的綜合應(yīng)用考點1數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實際應(yīng)用[名師點睛]數(shù)列應(yīng)用問題常見模型(1)等差模型：后一個量比前一個量增加(或減少)的是同一個固定值．(2)等比模型：后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數(shù)．(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，那么應(yīng)考慮an與an＋1(或者相鄰三項)之間的遞推關(guān)系，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項)之間的遞推關(guān)系．[典例]1．(2023·湖南·一模）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．56答案：B分析：根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：，∵，∴當感染人數(shù)增加到1000人時，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要天，故選：B2．(2023·山東青島·一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．問原來持金多少？”．記這個人原來持金為斤，設(shè)，則（

）A． B．7 C．13 D．26答案：C分析：根據(jù)題意求得每次收的稅金，結(jié)合題意得到，求得的值，代入函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】由題意知：這個人原來持金為斤，第1關(guān)收稅金為：斤；第2關(guān)收稅金為斤；第3關(guān)收稅金為斤，以此類推可得的，第4關(guān)收稅金為斤，第5關(guān)收稅金為斤，所以，即，解得，又由，所以.故選：C.[舉一反三]1．(2023·遼寧·沈陽二中模擬預(yù)測）我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．答案：D分析：計算出每月應(yīng)還的本金數(shù)，再計算第n個月已還多少本金，由此可計算出個月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個月的還款金額為元，則，故選：D2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項為（

）A．99 B．131 C．139 D．141答案：D分析：根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項為，根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項減去前一項得到一個數(shù)列，即得到了一個等差數(shù)列，如圖：由圖可得，則.故選：D3．（多選）(2023·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2021年7月7日貸款到賬，則2021年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004，則下列說法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，計算結(jié)果取整數(shù)）A．選擇方式①，若第一個還款月應(yīng)還4900元，最后一個還款月應(yīng)還2510元，則小張該筆貸款的總利息為289200元B．選擇方式②，小張每月還款額為3800元C．選擇方式②，小張總利息為333840元D．從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①答案：ACD分析：等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列，記為，則，，等額本息還款方式中，設(shè)小張每月還款額為元，則，分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列模型研究，依次判斷即可【詳解】對于A，由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列，記為，表示數(shù)列的前項和，則，，則，故小張該筆貸款的總利息為（元），故A正確.對于B，設(shè)小張每月還款額為元，則，所以，即，故B錯誤.對于C，小張采取等額本息貸款方式的總利息為（元），故C正確.對于D，因為，所以從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①，故D正確.故選：ACD考點2等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運算[名師點睛]對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系．數(shù)列的求和主要是等差、等比數(shù)列的求和及裂項相消法求和與錯位相減法求和，本題中利用裂項相消法求數(shù)列的和，然后利用b1＝1，d>0證明不等式成立．另外本題在探求{an}與{cn}的通項公式時，考查累加、累乘兩種基本方法．[典例](2023·濱州模擬)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，求S100.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，所以d＝a2－a1＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，所以n＝log2bn，所以bn＝2n.(2)由(1)得bn＝2n＝2·2n－1＝a2n－1，即bn是數(shù)列{an}中的第2n－1項．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Pn，數(shù)列{bn}的前n項和為Qn，因為b7＝a26＝a64，b8＝a27＝a128，所以數(shù)列{cn}的前100項是由數(shù)列{an}的前107項去掉數(shù)列{bn}的前7項后構(gòu)成的，所以S100＝P107－Q7＝eq\f(107×2＋214,2)－eq\f(2－28,1－2)＝11302.[舉一反三]已知等差數(shù)列{an}的首項a1≠0，前n項和為Sn，且S4＋a2＝2S3；等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，b2＝a4.(1)求證：數(shù)列{bn}中的每一項都是數(shù)列{an}中的項；(2)若a1＝2，設(shè)cn＝eq\f(2,log2bnlog2bn＋1)，求數(shù)列{cn}的前n項的和Tn；(3)在(2)的條件下，若有f(n)＝log3Tn，求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值．(1)證明等差數(shù)列{an}的首項a1≠0，設(shè)公差為d，由S4＋a2＝2S3，可得4a1＋6d＋a1＋d＝2(3a1＋3d)，所以a1＝d，所以an＝a1＋(n－1)d＝nd，等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a2＝2d，b2＝a4＝4d，設(shè)公比為q，則公比q＝eq\f(b2,b1)＝2，可得bn＝2d·2n－1＝2nd，由d≠0，n∈N*，可得2n∈N*，所以數(shù)列{bn}中的每一項都是數(shù)列{an}中的項．(2)解若a1＝2，由(1)可得cn＝eq\f(2,log2bnlog2bn＋1)＝eq\f(2,log22n＋1·log22n＋2)＝eq\f(2,n＋1n＋2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))，則數(shù)列{cn}的前n項的和Tn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(n,n＋2).(3)解在(2)的條件下，若f(n)＝log3Tn＝log3eq\f(n,n＋2)，則f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝log3eq\f(1,3)＋log3eq\f(2,4)＋log3eq\f(3,5)＋log3eq\f(4,6)＋…＋log3eq\f(n,n＋2)＝log3eq\f(1×2×3×4×…×n,3×4×5×6×…×n＋2)＝log3eq\f(2,n＋1n＋2)，由log3eq\f(2,n＋1n＋2)在n∈N*時單調(diào)遞減，可得n＝1時，log3eq\f(2,n＋1n＋2)取得最大值log3eq\f(1,3)＝－1，故f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值為－1.考點3新情境下的數(shù)列問題[名師點睛]新情境下的數(shù)列問題的求解策略(1)深入新情境，建立數(shù)列模型，如本題要理解“優(yōu)值”的含義；(2)利用新定義，求解數(shù)列模型，將新定義和原有知識相聯(lián)系，和數(shù)列的通項、求和相結(jié)合．[典例]1．（多選）(2023·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)k，使得對任意，均有，則稱是間隔遞增數(shù)列，k是的間隔數(shù)，下列說法正確的是（

）A．公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列B．已知，則是間隔遞增數(shù)列C．已知，則是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2D．已知，若是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則答案：BCD分析：根據(jù)間隔遞增數(shù)列的定義求解.【詳解】A.，因為，所以當時，，故錯誤；B.，令，t在單調(diào)遞增，則，解得，故正確；C.，當為奇數(shù)時，，存在成立，當為偶數(shù)時，，存在成立，綜上：是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2，故正確；D.若是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則，成立，則，對于成立，且，對于成立即，對于成立，且，對于成立所以，且解得，故正確.故選：BCD2．(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足：對，都有（常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為d的“準等差數(shù)列”.(1)數(shù)列中，，對，都有.求證：數(shù)列為“準等差數(shù)列”，并求其通項公式；(2)數(shù)列滿足：.將（1）中數(shù)列中的項按原有的順序插入數(shù)列中，使與之間插入項，形成新數(shù)列.求數(shù)列前100項和.【解】(1)∵，∴，兩式相減得，所以數(shù)列為“準等差數(shù)列”，∵，∴，∴的奇數(shù)項成以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，故，，的偶數(shù)項成以0為首項，2為公差的等差數(shù)列，故，，綜上可得；(2)由題意可知，在數(shù)列的前100項中，數(shù)列一共有94項，共中47項為奇數(shù)項，47項為偶數(shù)項，數(shù)列一共有6項，∴.[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，則稱為“夢想數(shù)列”，已知正項數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】利用等比數(shù)列的定義可推導(dǎo)出“夢想數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進而結(jié)合題意可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由此可得，即可得解.【詳解】由題意可知，若數(shù)列為“夢想數(shù)列”，則，可得，所以，“夢想數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，若正項數(shù)列為“夢想數(shù)列”，則，所以，，即正項數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因為，因此，.故選：D.2．（多選）(2023·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）在數(shù)列中，若（為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數(shù)列B．若正項等方差數(shù)列的首項，且是等比數(shù)列，則C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列答案：BC分析：根據(jù)等方差數(shù)列定義判斷A，由等方差數(shù)列定義及等比數(shù)列求判斷B，根據(jù)等方差數(shù)列定義及等比數(shù)列的通項公式判斷C，由等差數(shù)列及等方差數(shù)列定義，利用反證法判斷D.【詳解】設(shè)，則，不滿足為非零常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，故A錯誤；由題意，則，即，解得或（舍去），當時，滿足題意，故B正確；設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，不妨設(shè)，則，所以，若為常數(shù)，則，但此時，不滿足題意，故C正確；若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，不妨設(shè)，（為非零常數(shù)），，所以，即，所以，即，所以為常數(shù)列，這與，矛盾，故D錯誤.故選：BC考點4數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯[名師點睛]數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項或前n項和，再利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進行不等式的證明．[典例]1．(2023·江蘇·揚中市第二高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)證明：.【解】（1）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項為，公比為3，所以，解得.（2）由（1）知：，所以，因為當時，，所以，于是≤1+13+?+13n?1=，所以.2．(2023·江蘇江蘇·二模）已知數(shù)列，當時，，.記數(shù)列的前項和為.(1)求，；(2)求使得成立的正整數(shù)的最大值.【解】(1)因當時，，，而，則，又，則，所以，.(2)因當時，，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，而，又，則有時，，由得：，而，于是得，所以使得成立的正整數(shù)的最大值是51.[舉一反三]1．(2023·湖北·天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項是，前項和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則