人教A版高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末必考題型歸納及過關(guān)測(cè)試專題09二次函數(shù)根的分布問題、含參數(shù)一元二次不等式(原卷版+解析)

專題09二次函數(shù)根的分布問題、含參數(shù)一元二次不等式【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個(gè)不等正根（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為2、一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)．設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示．根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根3、解含參數(shù)的一元二次不等式需要對(duì)字母的取值進(jìn)行分類討論，常用的分類方法有以下三種：（1）按二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)分類，即；（2）按判別式的符號(hào)分類，即；（3）按方程的根、的大小分類，即．【典型例題】例1．(2023·遼寧·營口市第二高級(jí)中學(xué)高一期末）已知關(guān)于的不等式.(1)若的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.例2．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)a＞0時(shí)，解關(guān)于x的不等式．例3．(2023·河南·高一階段練習(xí)）（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，且關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的負(fù)根，求的取值范圍.例4．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)當(dāng)a為何值時(shí)，方程的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1？(2)當(dāng)a為何值時(shí)，方程的一個(gè)根大于且小于1，另一個(gè)根大于2且小于3？(3)當(dāng)a為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根都大于0？例5．(2023·全國·高一單元測(cè)試）求實(shí)數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程(1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比大，一個(gè)比?。?2)有兩個(gè)實(shí)根，且滿足；(3)至少有一個(gè)正根.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·湖北·華中師大一附中高一開學(xué)考試）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或44．(2023·江蘇·高一）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，那么兩個(gè)根的倒數(shù)和最小值是（

）A．-2 B． C． D．15．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知方程的兩根都大于1，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．(2023·全國·高一期中）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．(2023·上海·高一專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為或，則關(guān)于的不等式，以下結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，解集為 B．當(dāng)時(shí)，解集為C．當(dāng)時(shí)，解集為或 D．以上都不正確8．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．或C． D．或二、多選題9．(2023·湖南·株洲二中高一開學(xué)考試）已知關(guān)于x的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則k的值可能為（

）A． B． C． D．510．(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．關(guān)于x的不等式的解集可以是B．關(guān)于x的不等式的解集可以是C．函數(shù)在上可以有兩個(gè)零點(diǎn)D．“關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“”11．(2023·湖南·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知關(guān)于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結(jié)論正確的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實(shí)數(shù)根的充要條件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實(shí)數(shù)根的充要條件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實(shí)數(shù)根的必要條件是m∈{m|m>1}12．(2023·湖南·新化縣教育科學(xué)研究所高一期末）已知，關(guān)于x的一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則a的值可以是（

）A．13 B．14 C．15 D．17三、填空題13．(2023·全國·高一單元測(cè)試）方程的兩根都大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．14．(2023·全國·高一專題練習(xí)）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，的取值范圍為__．15．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．16．(2023·安徽·涇縣中學(xué)高一開學(xué)考試）記關(guān)于x的不等式的解集為A，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.四、解答題17．(2023·四川成都·高一期末）設(shè)函數(shù)，.(1)解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.18．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.(2)求不等式的解集.19．(2023·江蘇省天一中學(xué)高一期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.(1)求，的值；(2)解關(guān)于的不等式：.20．(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的方程分別滿足：(1)無實(shí)數(shù)根？(2)有兩正實(shí)根？21．(2023·全國·高一單元測(cè)試）關(guān)于x的方程分別滿足下列條件：(1)當(dāng)時(shí)，兩根分別為、，求的值；(2)m為何值時(shí)，有一正根一負(fù)根；(3)m為何值時(shí)，有兩個(gè)不相等的正根．22．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，．（1）兩根一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1，求參數(shù)的取值范圍；（2），，求參數(shù)的取值范圍．專題09二次函數(shù)根的分布問題、含參數(shù)一元二次不等式【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個(gè)不等正根（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為2、一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)．設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示．根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根3、解含參數(shù)的一元二次不等式需要對(duì)字母的取值進(jìn)行分類討論，常用的分類方法有以下三種：（1）按二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)分類，即；（2）按判別式的符號(hào)分類，即；（3）按方程的根、的大小分類，即．【典型例題】例1．(2023·遼寧·營口市第二高級(jí)中學(xué)高一期末）已知關(guān)于的不等式.(1)若的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【解析】（1）因?yàn)榈慕饧癁椋苑匠痰膬蓚€(gè)根為，由根與系數(shù)關(guān)系得:，解得；（2），當(dāng)a=0，不等式為，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式化為，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根分別為：.當(dāng)時(shí)，兩根相等，故不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或，.綜上：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)a=0，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；例2．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)a＞0時(shí)，解關(guān)于x的不等式．【解析】（1）當(dāng)a＝2時(shí)，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化為：（2x+1）（x﹣1）＜0，∴不等式的解集為；（2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化為：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，當(dāng)a＞0時(shí)，，的根為：，①當(dāng)時(shí)，，∴不等式解集為，②當(dāng)時(shí)，，不等式解集為?，③當(dāng)時(shí)，1，∴不等式解集為{x|x＜1}，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)a時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為{x|x＜1}．．例3．(2023·河南·高一階段練習(xí)）（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，且關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的負(fù)根，求的取值范圍.【解析】（1）由題意可得和是方程的兩個(gè)實(shí)根，則解得.（2）因?yàn)椋?，由題可知，則或，由題意，方程有兩個(gè)負(fù)根，即解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例4．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)當(dāng)a為何值時(shí)，方程的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1？(2)當(dāng)a為何值時(shí)，方程的一個(gè)根大于且小于1，另一個(gè)根大于2且小于3？(3)當(dāng)a為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根都大于0？【解析】（1）二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，故方程的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1，則，解得，所以a的取值范圍是．（2）方程的一個(gè)根大于且小于1，另一個(gè)根大于2且小于3，作滿足題意的二次函數(shù)的大致圖象，由圖知，，解得．所以a的取值范圍是．（3）方程的兩個(gè)根都大于0，則，解得，所以a的取值范圍是．例5．(2023·全國·高一單元測(cè)試）求實(shí)數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程(1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比大，一個(gè)比小；(2)有兩個(gè)實(shí)根，且滿足；(3)至少有一個(gè)正根.答案：(1)(2)(3)分析：設(shè)，一元二次方程根的分布主要從對(duì)稱軸、判別式、端點(diǎn)值、開口方向這幾個(gè)方面來確定.（1）設(shè)．依題意有，即，得．（2）設(shè)．依題意有，解得．（3）設(shè)．方程至少有一個(gè)正根，則有三種可能：①有兩個(gè)正根，此時(shí)可得，即②有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)可得，得．③有一個(gè)正根，另一根為，此時(shí)可得綜上所述，得．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·湖北·華中師大一附中高一開學(xué)考試）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】當(dāng)時(shí)，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，故時(shí)，，即，解得，故，故選：D2．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：因?yàn)榉匠糖∮幸桓鶎儆?，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過點(diǎn)或者，另一個(gè)零點(diǎn)屬于，把點(diǎn)代入，解得：，此時(shí)方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點(diǎn)代入，解得：，此時(shí)方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)屬于，，解得，當(dāng)時(shí)，方程的根為，不合題意；若，方程的根為，符合題意綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為故選：D3．(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或4答案：A【解析】關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，解得：，關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，即，解得：或舍去故選：A.4．(2023·江蘇·高一）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，那么兩個(gè)根的倒數(shù)和最小值是（

）A．-2 B． C． D．1答案：B【解析】由題意可得，解得或，設(shè)兩個(gè)為，，由兩根為正根可得，解得，綜上知，.故兩個(gè)根的倒數(shù)和為，，，，故，，故兩個(gè)根的倒數(shù)和的最小值是.故選：B5．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知方程的兩根都大于1，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】設(shè)方程的兩根為，依題意有：，因都大于1，則，且，顯然成立，由得，則有，解得，由解得：，于是得，所以的取值范圍是.故選：A6．(2023·全國·高一期中）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】不等式，即，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)只能是4，5，6，故；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)只能是0，1，2，故；故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：C7．(2023·上海·高一專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為或，則關(guān)于的不等式，以下結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，解集為 B．當(dāng)時(shí)，解集為C．當(dāng)時(shí)，解集為或 D．以上都不正確答案：C【解析】由題意，為方程的兩個(gè)根代入方程解得：，于是關(guān)于的不等式，即為令，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開口向上當(dāng)時(shí)，解集為或當(dāng)時(shí)，解集為當(dāng)時(shí)，解集為或故選：C8．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．或C． D．或答案：D【解析】由題意得，原不等式可轉(zhuǎn)化為.當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)解集中的整數(shù)為2，3，則；當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)解集中的整數(shù)為0，-1，則.當(dāng)時(shí)，不符合題意.故實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選D．二、多選題9．(2023·湖南·株洲二中高一開學(xué)考試）已知關(guān)于x的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則k的值可能為（

）A． B． C． D．5答案：ABD【解析】解不等式，得或解方程，得（1）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為：此時(shí)不等式組的解集為，依題意，則，即；（2）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為：，要使不等式組的解集中只有一個(gè)整數(shù)，則需滿足：，即；所以k的取值范圍為.故選：ABD.10．(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．關(guān)于x的不等式的解集可以是B．關(guān)于x的不等式的解集可以是C．函數(shù)在上可以有兩個(gè)零點(diǎn)D．“關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“”答案：BCD【解析】若不等式的解集是，則且，得，而當(dāng)，時(shí)，不等式，即，得，與矛盾，故A錯(cuò)誤；取，，此時(shí)不等式的解集為，故B正確；取，，則由，得或3，故C正確；若關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則得，若，則，故關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且，即關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根．因此“關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“”，故D正確．故選：BCD．11．(2023·湖南·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知關(guān)于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結(jié)論正確的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實(shí)數(shù)根的充要條件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實(shí)數(shù)根的充要條件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實(shí)數(shù)根的必要條件是m∈{m|m>1}答案：BCD【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實(shí)數(shù)根的充要條件是，解得，A錯(cuò)誤；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是，解得，B正確；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實(shí)數(shù)根的充要條件是，解得，C正確；方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實(shí)數(shù)根的充要條件是，解得，，故必要條件是m∈{m|m>1}，故D正確.故選：BCD.12．(2023·湖南·新化縣教育科學(xué)研究所高一期末）已知，關(guān)于x的一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則a的值可以是（

）A．13 B．14 C．15 D．17答案：ABC【解析】設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2-8x+a，開口向上，其對(duì)稱軸為x=4，因?yàn)橐辉尾坏仁絰2-8x+a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)∴3個(gè)整數(shù)解必然是3，4，5，∴根據(jù)對(duì)稱性，滿足f（2）>0且f（3）≤0，故，且，即12<a≤15，a=13，14，15.故選：ABC.三、填空題13．(2023·全國·高一單元測(cè)試）方程的兩根都大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．答案：【解析】由題意，方程的兩根都大于，令，可得，即，解得．故答案為：.14．(2023·全國·高一專題練習(xí)）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，的取值范圍為__．答案：【解析】令，圖象恒過點(diǎn)，方程0在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，，解得.故答案為：15．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．答案：.【解析】方程

方程兩根為，若要滿足題意，則，解得，故答案為：.16．(2023·安徽·涇縣中學(xué)高一開學(xué)考試）記關(guān)于x的不等式的解集為A，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.答案：【解析】原不等式可變形為，當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，所以，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，，所以，解得.綜上可得，即；故答案為：四、解答題17．(2023·四川成都·高一期末）設(shè)函數(shù)，.(1)解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.【解析】