高中數(shù)學(xué)選擇性必修三課件：7 3 1 第1課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值(人教A版)

第1課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值第七章7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值1.通過(guò)實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型

隨機(jī)變量的均值.2.掌握兩點(diǎn)分布的均值.3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)在射擊運(yùn)動(dòng)中，射擊選手的每次射擊成績(jī)是一個(gè)非常典型的隨機(jī)事件.(1)如何刻畫每個(gè)選手射擊的技術(shù)水平與特點(diǎn)？(2)如何比較兩個(gè)選手的射擊情況？(3)如何選擇優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員代表國(guó)家參加奧運(yùn)會(huì)才能使得獲勝的概率較大？這些問(wèn)題的解決需要離散型隨機(jī)變量的知識(shí).導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練內(nèi)容索引一、離散型隨機(jī)變量的均值二、兩點(diǎn)分布的均值三、均值的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、離散型隨機(jī)變量的均值問(wèn)題某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？則稱E(X)＝

＝

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱

.注意點(diǎn)：分布列只給了隨機(jī)變量取所有可能值的概率，而均值卻反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.知識(shí)梳理均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示.期望Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn例1從裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黑球的袋中逐一取球，已知每個(gè)球被取到的可能性相同.若取后不放回，設(shè)取完紅球所需的次數(shù)為X，求X的分布列及均值.解由題意知X的可能取值為2,3,4,5.當(dāng)X＝2時(shí)，表示前2次取的都是紅球，當(dāng)X＝3時(shí)，表示前2次中取得1個(gè)紅球，1個(gè)白球或黑球，第3次取紅球，當(dāng)X＝4時(shí)，表示前3次中取得1個(gè)紅球，2個(gè)不是紅球，第4次取得紅球，解由題意知X的可能取值為2,3,4,5.當(dāng)X＝2時(shí)，表示前2次取的都是紅球，當(dāng)X＝3時(shí)，表示前2次中取得1個(gè)紅球，1個(gè)白球或黑球，第3次取紅球，當(dāng)X＝4時(shí)，表示前3次中取得1個(gè)紅球，2個(gè)不是紅球，第4次取得紅球，當(dāng)X＝5時(shí)，表示前4次中取得1個(gè)紅球，3個(gè)不是紅球，第5次取得紅球，∴X的分布列為反思感悟求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X所有可能的取值.(2)求出X取每個(gè)值的概率P(X＝k).(3)寫出X的分布列.(4)利用均值的定義求E(X).跟蹤訓(xùn)練1袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，從袋中隨機(jī)取出4個(gè)球.設(shè)取出一個(gè)紅球得2分，取出一個(gè)白球得1分，試求得分X的均值.解X的所有可能取值為5,6,7,8.當(dāng)X＝5時(shí)，表示取出1個(gè)紅球，3個(gè)白球，當(dāng)X＝6時(shí)，表示取出2個(gè)紅球，2個(gè)白球，當(dāng)X＝7時(shí)，表示取出3個(gè)紅球，1個(gè)白球，當(dāng)X＝8時(shí)，表示取出4個(gè)紅球，則X的分布列為當(dāng)X＝8時(shí)，表示取出4個(gè)紅球，則X的分布列為二、兩點(diǎn)分布的均值知識(shí)梳理兩點(diǎn)分布的均值：一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝____________________.0×(1－p)＋1×p＝p例2一個(gè)袋中裝有除顏色外其他都相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球.所以X的分布列為(2)從中任意摸出兩個(gè)球，用X＝0表示“兩個(gè)球全是白球”，用X＝1表示“兩個(gè)球不全是白球”，求X的分布列及均值.所以X的分布列為反思感悟兩點(diǎn)分布的特點(diǎn)(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)結(jié)果，且兩個(gè)結(jié)果是對(duì)立的.(2)由對(duì)立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.則隨機(jī)變量X的分布列為三、均值的簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)梳理例3隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為X.(1)求X的分布列；解X的所有可能取值有6,2,1，－2，故X的分布列為X621－2P0.630.250.10.02(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即X的均值)；解E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬(wàn)元).(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.若此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？解設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依題意，知E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%.反思感悟解答應(yīng)用類問(wèn)題時(shí)，首先把問(wèn)題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應(yīng)概率.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；解記E＝“甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功”，F(xiàn)＝“乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功”.(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和均值.解設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬(wàn)元，則X的可能取值為0,100,120,220.故所求的分布列如表所示：1.知識(shí)清單：(1)離散型隨機(jī)變量的均值.(2)兩點(diǎn)分布的均值.(3)均值的簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.方法歸納：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū)：不會(huì)應(yīng)用均值對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出正確分析.課堂小結(jié)隨堂演練1234√1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為則X的均值E(X)等于12342.拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值為√A.0.2 B.0.1

C.－0.2 D.－0.4X0123P0.1ab0.11234√3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如表，且E(X)＝1.6，則a－b等于1234解析易知a，b∈[0,0.8]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8. ①又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，

②由①②，解得a＝0.3，b＝0.5，則a－b＝－0.2.12344.袋中有10個(gè)大小相同的小球，其中記為0號(hào)的有4個(gè)，記為n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標(biāo)號(hào)，則E(X)等于√解析由題意，可知X的所有可能取值為0,1,2,3.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練A.4B.5C.6D.7Xa79Pb0.10.4基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√1.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E(X)＝6.3，則a的值為解析根據(jù)分布列的性質(zhì)，可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.A.1B.0.6C.2＋3mD.2.42.已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示，則其均值E(ξ)等于12345678910111213141516√ξ135P0.5m0.2解析由分布列的性質(zhì)，得0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3，∴E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.12345678910111213141516√3.若隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示，則E(ξ)的值為ξ012345

P2x3x7x2x3xx123456789101112131415164.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為√則X的均值E(X)等于12345678910111213141516√12345678910111213141516列出分布列，利用均值公式計(jì)算.記ξ的所有可能取值為0,1,2，123456789101112131415166.“四書”是《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義和參考價(jià)值.為弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃開(kāi)展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動(dòng).某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》這4本書中選取1本進(jìn)行準(zhǔn)備，且各自選取的書均不相同.比賽時(shí)，若這4位同學(xué)從這4本書中隨機(jī)抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準(zhǔn)備的書的人數(shù)的均值為√12345678910111213141516解析記抽到自己準(zhǔn)備的書的學(xué)生數(shù)為X，則X可能取值為0,1,2,4，123456789101112131415167.離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，則a＝______，b＝_____.解析易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3. ①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，

②0123456789101112131415168.某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為X1234P0.50.20.20.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為100元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為150元；分4期付款，其利潤(rùn)為200元.若Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)，則E(Y)＝______元.13012345678910111213141516解析由題意可知，Y可以取100,150,200，則Y的分布列為Y100150200P0.50.40.1∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元).123456789101112131415169.端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；解令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，由古典概型的概率計(jì)算公式得12345678910111213141516(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與均值.解X的可能取值為0,1,2，則則X的分布列為1234567891011121314151610.在有獎(jiǎng)摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元的，20個(gè)獎(jiǎng)品是25元的，5個(gè)獎(jiǎng)品是100元的.在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價(jià)格是多少元？12345678910111213141516解設(shè)一張彩票的中獎(jiǎng)?lì)~為隨機(jī)變量X，顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意，可得X的分布列為所以一張彩票的合理價(jià)格是0.2元.綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6，且此人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值.則E(ξ)等于A.1.48 B.0.76

C.0.24 D.1√12345678910111213141516解析隨機(jī)變量ξ的取值有1,3兩種情況，ξ＝3表示三個(gè)景點(diǎn)都游覽了或都沒(méi)有游覽，所以P(ξ＝3)＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24，P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76，所以隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ13P0.760.24E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.1234567891011121314151612.(多選)已知隨機(jī)變量ξ的分布列是√√√12345678910111213141516解析對(duì)于A，由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，對(duì)于B，sinα＋2cosα＝2，得5cos2

α－8cosα＋3＝0，123456789101112131415161234567891011121314151613.(多選)設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的分布列為則下列說(shuō)法正確的是√√123456789101112131415161234567891011121314151614.已知甲盒中僅有一個(gè)球且為紅球，乙盒中有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i＝1,2)個(gè)球放在甲盒中，放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)為ξi(i＝1,2)，則E(ξ1)＋E(ξ2)的值為_(kāi)_______.12345678910111213141516解析甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)ξ1的取值為1,2，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)ξ2的值為1,2,3，拓廣探究1234567891011121314151615.(多選)體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)某學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的均值E(X)>1.75，則p的取值可以為√√12345678910111213141516解析根據(jù)題意，X的所有的可能取值為1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，則E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依題意有E(X)>1.75，則p2－3p＋3>1.75，結(jié)合選項(xiàng)可知AB正確.1234567891011121314151616.某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米.12345678910111213141516(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；解所種作物總株數(shù)N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12.選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3＋3＋2＝8(種).12345678910111213141516(2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與均值.X1234Y5148454212345678910111213141516解先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列.因?yàn)镻(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可.記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k＝1,2,3,4)，則n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.12345678910111213141516故所求Y的分布列為因此所求年收獲量Y的均值為備用工具&資料12345678910111213141516解先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列.因?yàn)镻(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，