2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 第24章 圓24.1 旋轉(zhuǎn)第1課時(shí) 旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)對稱圖形教案 （新版）滬科版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第24章圓24.1旋轉(zhuǎn)第1課時(shí)旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)對稱圖形教案（新版）滬科版科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第24章圓24.1旋轉(zhuǎn)第1課時(shí)旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)對稱圖形教案（新版）滬科版課程基本信息1.課程名稱：2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第24章《圓》24.1節(jié)《旋轉(zhuǎn)》

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：九年級(jí)一班

3.授課時(shí)間：2023年4月10日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

二、教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)的概念，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。

2.能夠識(shí)別和繪制旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

3.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

三、教學(xué)內(nèi)容

1.旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)。

2.旋轉(zhuǎn)對稱圖形的識(shí)別和繪制。

3.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí)解決實(shí)際問題。

四、教學(xué)過程

1.導(dǎo)入：通過展示一些旋轉(zhuǎn)對稱的圖形，引導(dǎo)學(xué)生思考旋轉(zhuǎn)的概念。

2.新課：講解旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)，讓學(xué)生通過實(shí)際操作來理解和掌握旋轉(zhuǎn)。

3.練習(xí)：讓學(xué)生通過繪制旋轉(zhuǎn)對稱圖形來鞏固所學(xué)知識(shí)。

4.應(yīng)用：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí)解決實(shí)際問題。

五、教學(xué)評價(jià)

1.課堂練習(xí)：檢查學(xué)生對旋轉(zhuǎn)概念和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的理解和掌握。

2.課后作業(yè)：布置有關(guān)旋轉(zhuǎn)的實(shí)際問題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決。

六、教學(xué)資源

1.教學(xué)PPT：展示旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)，提供直觀的視覺輔助。

2.練習(xí)紙：供學(xué)生繪制旋轉(zhuǎn)對稱圖形和解決實(shí)際問題。

七、教學(xué)注意事項(xiàng)

1.注重學(xué)生的參與，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考和動(dòng)手操作。

2.注意引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出旋轉(zhuǎn)的知識(shí)。

3.及時(shí)給予學(xué)生反饋，幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠從實(shí)際問題中抽象出旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和繪制旋轉(zhuǎn)對稱圖形，學(xué)生能夠培養(yǎng)邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)；同時(shí)，通過運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí)解決實(shí)際問題，學(xué)生能夠體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。學(xué)情分析九年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何的基本概念和性質(zhì)，對圖形的變換有一定的了解，但可能對旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)理解不深，對旋轉(zhuǎn)對稱圖形的識(shí)別和繪制可能存在困難。在學(xué)習(xí)過程中，部分學(xué)生可能對數(shù)學(xué)抽象的概念理解有困難，需要通過實(shí)際操作來加深理解；部分學(xué)生可能邏輯推理能力較弱，需要通過具體的例子來引導(dǎo)和培養(yǎng)；部分學(xué)生可能對數(shù)學(xué)建模的概念較模糊，需要通過實(shí)際問題來引導(dǎo)和培養(yǎng)。

在知識(shí)方面，大部分學(xué)生已經(jīng)掌握了平面幾何的基本概念和性質(zhì)，但對旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)的理解可能不夠深入，對旋轉(zhuǎn)對稱圖形的識(shí)別和繪制可能存在困難。在能力方面，學(xué)生的邏輯推理能力和直觀想象能力可能較弱，需要通過具體的例子和實(shí)際問題來培養(yǎng)。在素質(zhì)方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)可能有待提高，需要通過實(shí)際操作和問題解決來培養(yǎng)。

行為習(xí)慣方面，部分學(xué)生可能對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣，可能存在學(xué)習(xí)積極性不高、上課注意力不集中等問題，這將對課程學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。因此，在教學(xué)過程中，需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，通過實(shí)際操作和問題解決來吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

針對學(xué)生的學(xué)情分析，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)將注重學(xué)生的參與和實(shí)際操作，通過具體的例子和實(shí)際問題來引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。同時(shí)，將關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第24章《圓》24.1節(jié)《旋轉(zhuǎn)》的教材或?qū)W習(xí)資料，以便學(xué)生能夠跟隨教學(xué)進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，以便在課堂上進(jìn)行直觀展示和解釋。例如，準(zhǔn)備一些旋轉(zhuǎn)對稱的圖形的圖片，如風(fēng)車、時(shí)鐘等，以及一些實(shí)際的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的視頻，如旋轉(zhuǎn)門、汽車輪子的旋轉(zhuǎn)等。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果涉及實(shí)驗(yàn)，確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性。例如，準(zhǔn)備一些可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作的模型或玩具，如旋轉(zhuǎn)木馬、陀螺等，讓學(xué)生能夠親自動(dòng)手操作，觀察和體驗(yàn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)等。例如，將教室布置成小組討論區(qū)，每個(gè)小組配備一張桌子、幾把椅子和一些繪圖工具，以便學(xué)生能夠在小組內(nèi)進(jìn)行討論和繪制旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

5.教學(xué)PPT：制作詳細(xì)的教學(xué)PPT，包含旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)、實(shí)例和練習(xí)題目等內(nèi)容，以便在課堂上進(jìn)行講解和展示。

6.練習(xí)紙：準(zhǔn)備一些練習(xí)紙，上面印有各種旋轉(zhuǎn)對稱圖形的繪制題目，讓學(xué)生能夠在課堂上進(jìn)行實(shí)際操作和練習(xí)。

7.教學(xué)指導(dǎo)書：準(zhǔn)備教學(xué)指導(dǎo)書，其中包含對本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程和教學(xué)評價(jià)的詳細(xì)指導(dǎo)，以便教師能夠按照教學(xué)計(jì)劃進(jìn)行教學(xué)。教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對“旋轉(zhuǎn)”的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道什么是旋轉(zhuǎn)嗎？它與我們的生活有什么關(guān)系？”

展示一些關(guān)于旋轉(zhuǎn)的圖片或視頻片段，如風(fēng)車、時(shí)鐘等，讓學(xué)生初步感受旋轉(zhuǎn)的魅力或特點(diǎn)。

簡短介紹旋轉(zhuǎn)的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解旋轉(zhuǎn)的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解旋轉(zhuǎn)的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)。

詳細(xì)介紹旋轉(zhuǎn)的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.旋轉(zhuǎn)案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解旋轉(zhuǎn)的特性和重要性。

過程：

選擇幾個(gè)典型的旋轉(zhuǎn)案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解旋轉(zhuǎn)的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用旋轉(zhuǎn)解決實(shí)際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí)和理解。

過程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)旋轉(zhuǎn)的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括旋轉(zhuǎn)的基本概念、組成部分、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用旋轉(zhuǎn)。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于旋轉(zhuǎn)的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。知識(shí)點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要知識(shí)點(diǎn)包括旋轉(zhuǎn)的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)對稱圖形以及旋轉(zhuǎn)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。下面將詳細(xì)梳理這些知識(shí)點(diǎn)。

1.旋轉(zhuǎn)的定義

-旋轉(zhuǎn)是平面上一圖形圍繞某一點(diǎn)按一定角度旋轉(zhuǎn)的變換。

-旋轉(zhuǎn)的中心點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角。

-旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即形狀和大小不變，但位置發(fā)生變化。

2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

-旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，只改變圖形的位置。

-旋轉(zhuǎn)具有一定的對稱性，即旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對稱。

-旋轉(zhuǎn)的角度可以分為正角和負(fù)角，正角表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，負(fù)角表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

3.旋轉(zhuǎn)對稱圖形

-旋轉(zhuǎn)對稱圖形是指通過旋轉(zhuǎn)一個(gè)圖形能夠與另一個(gè)圖形重合的圖形。

-旋轉(zhuǎn)對稱圖形的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和軸對稱性是判斷圖形是否為旋轉(zhuǎn)對稱的關(guān)鍵因素。

-旋轉(zhuǎn)對稱圖形具有軸對稱性，即存在一條直線（稱為對稱軸），使得圖形關(guān)于這條直線對稱。

4.旋轉(zhuǎn)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

-旋轉(zhuǎn)在實(shí)際生活中廣泛應(yīng)用，如旋轉(zhuǎn)門、汽車輪子的旋轉(zhuǎn)等。

-旋轉(zhuǎn)對稱圖形在藝術(shù)設(shè)計(jì)、建筑和工程領(lǐng)域有重要應(yīng)用，如設(shè)計(jì)具有對稱美的建筑外觀和裝飾圖案。

-旋轉(zhuǎn)還可以用于解決實(shí)際問題，如圖形的變換、機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究等。教學(xué)反思今天的課講的是旋轉(zhuǎn)，這是九年級(jí)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生第一次系統(tǒng)地接觸幾何變換。從學(xué)生的反應(yīng)來看，他們對旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)的理解還有待提高。我意識(shí)到，對于這樣的抽象概念，光靠講解是不夠的，還需要更多的直觀演示和實(shí)踐操作。

我嘗試用PPT展示了旋轉(zhuǎn)的圖形，讓學(xué)生能夠直觀地看到旋轉(zhuǎn)前后的變化，但我覺得這還不夠。下節(jié)課，我計(jì)劃使用一些實(shí)際的模型，比如陀螺或者轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，讓學(xué)生親手操作，感受旋轉(zhuǎn)的實(shí)際效果。我相信這樣的親身體驗(yàn)會(huì)對他們理解旋轉(zhuǎn)的概念有更大的幫助。

此外，我還注意到，在講解旋轉(zhuǎn)對稱圖形時(shí)，部分學(xué)生對于如何判斷一個(gè)圖形是否為旋轉(zhuǎn)對稱還比較困惑。這部分內(nèi)容比較復(fù)雜，我需要設(shè)計(jì)一些簡單的練習(xí)題，讓學(xué)生能夠在課后鞏固所學(xué)知識(shí)。同時(shí)，我也會(huì)在課后及時(shí)給予學(xué)生反饋，幫助他們糾正錯(cuò)誤。

在教學(xué)過程中，我也發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對于課堂討論的參與度不高，他們更愿意聽我講解而不是自己思考和表達(dá)。針對這個(gè)問題，我計(jì)劃在課堂上更多地引導(dǎo)學(xué)生參與，比如提出一些開放性的問題，讓學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)。同時(shí)，我也會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生課下多進(jìn)行思考和討論，培養(yǎng)他們的合作精神和解決問題的能力。板書設(shè)計(jì)1.旋轉(zhuǎn)的定義：

-旋轉(zhuǎn)是平面上一圖形圍繞某一點(diǎn)按一定角度旋轉(zhuǎn)的變換。

-旋轉(zhuǎn)的中心點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角。

-旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即形狀和大小不變，但位置發(fā)生變化。

2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

-旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，只改變圖形的位置。

-旋轉(zhuǎn)具有一定的對稱性，即旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對稱。

-旋轉(zhuǎn)的角度可以分為正角和負(fù)角，正角表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，負(fù)角表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

3.旋轉(zhuǎn)對稱圖形：

-旋轉(zhuǎn)對稱圖形是指通過旋轉(zhuǎn)一個(gè)圖形能夠與另一個(gè)圖形重合的圖形。

-旋轉(zhuǎn)對稱圖形的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和軸對稱性是判斷圖形是否為旋轉(zhuǎn)對稱的關(guān)鍵因素。

-旋轉(zhuǎn)對稱圖形具有軸對稱性，即存在一條直線（稱為對稱軸），使得圖形關(guān)于這條直線對稱。

4.旋轉(zhuǎn)在實(shí)際問題中的應(yīng)用：

-旋轉(zhuǎn)在實(shí)際生活中廣泛應(yīng)用，如旋轉(zhuǎn)門、汽車輪子的旋轉(zhuǎn)等。

-旋轉(zhuǎn)對稱圖形在藝術(shù)設(shè)計(jì)、建筑和工程領(lǐng)域有重要應(yīng)用，如設(shè)計(jì)具有對稱美的建筑外觀和裝飾圖案。

-旋轉(zhuǎn)還可以用于解決實(shí)際問題，如圖形的變換、機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究等。典型例題講解1.例題1：判斷下列圖形是否為旋轉(zhuǎn)對稱圖形，并指出其旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角。

答案：

（1）正三角形：是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，旋轉(zhuǎn)中心是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角為120°。

（2）正方形：是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，旋轉(zhuǎn)中心是正方形的中心點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角為90°。

（3）正五邊形：是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，旋轉(zhuǎn)中心是正五邊形的中心點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角為72°。

2.例題2：已知一個(gè)圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合，求旋轉(zhuǎn)角度。

答案：

旋轉(zhuǎn)角度可以是原圖形周長的任意整數(shù)倍。

3.例題3：將一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一定角度后，求旋轉(zhuǎn)后的圖形的對應(yīng)點(diǎn)。

答案：

設(shè)原圖形的對應(yīng)點(diǎn)為A，旋轉(zhuǎn)后的圖形的對應(yīng)點(diǎn)為B。旋轉(zhuǎn)中心為O，旋轉(zhuǎn)角為θ。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有：

AO=BO

∠AOB=θ

4.例題4：已知一個(gè)圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合，求旋轉(zhuǎn)中心。

答案：

旋轉(zhuǎn)中心是原圖形上任意一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合。

5.例題5：將一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一定角度后，求旋轉(zhuǎn)中心到旋轉(zhuǎn)后圖形的對應(yīng)點(diǎn)的距離。

答案：

旋轉(zhuǎn)中心到旋轉(zhuǎn)后圖形的對應(yīng)點(diǎn)的距離等于原圖形對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離乘以cosθ，其中θ是旋轉(zhuǎn)角。

6.例題6：已知一個(gè)圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合，求旋轉(zhuǎn)后圖形的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)。

答案：

設(shè)原圖形的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為(a,b)，旋轉(zhuǎn)角為θ。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有：

x'=a+(x-a)cosθ-(y-b)sinθ

y'=b+(x-a)sinθ+(y-b)cosθ

其中，x'和y'分別是旋轉(zhuǎn)后圖形的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)。

7.例題7：已知一個(gè)圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合，求旋轉(zhuǎn)后圖形的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)。

答案：

設(shè)原圖形的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為(a,b)，旋轉(zhuǎn)角為θ。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有：

x'=a+(x-a)cosθ-(y-b)sinθ

y'=b+(x-a)sinθ+(y-b)cosθ

其中，x'和y'分別是旋轉(zhuǎn)后圖形的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)。

8.例題8：已知一個(gè)圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合，求旋轉(zhuǎn)中心到旋轉(zhuǎn)后圖形的對應(yīng)點(diǎn)的向量。

答案：

設(shè)原圖形的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為(a,b)，旋轉(zhuǎn)角為θ。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有：

向量OP=(x-a,y-b)

向量OQ=(x'-a,y'-b)

向量OQ=向量OP×cosθ+(y-b)×sinθ×i-(x-a)×sinθ×j

其中，i和j分別是x軸和y軸的單位向量，x'和y'分別是旋轉(zhuǎn)后圖形的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)。

9.例