二次根式-恒等變形學(xué)

二次根式恒等變形

方法一、分母有理化；因式分解、約分、再分母有理化；裂項(xiàng)；比例性質(zhì)。

..G2A/6

例1.化簡(jiǎn)〒~%一~廣

V2+V3+V5

例2.化簡(jiǎn)：、+受人

2V30-6V2+4V3

0+6

例3.化簡(jiǎn)：（1）

710+714+715+721°

75+277+3

(2)

岳+36+3S+7°

2+25+而4+2厲+而

(V7+710)(77+2)(V10+713)(713+4)

⑷屈+屈-岳-后

VIO+VU+A/TS+VZT

9+2V6+2V14+V21

⑸2V2+V3+V7

8+2715-710-76

V5+V3-V2

(7)7V5+2+7V5-2_^7I

VA/5+1

例4.(1)化簡(jiǎn)3+2/二8二9;(2)化簡(jiǎn)3+后后

1+V2-V31+V2-V3

例5.解方程=1（該方程中有2006個(gè)2）

1+J1+X

V5-3+2V5_</5+1

例6.求證：Z

V5+3-2V5-^5-1

例7?計(jì)算：---------7=-----7=H---7=-----7=+H---/-----/T---/-----[

1+V2V2+V3V3+V4V1991+V1992V1992+V1993

例8.已知x、y為實(shí)數(shù)，且滿足

卜+J.+2008)(y+7/+2008):2008.

那么X2-3xy-4y2-6x-6y+2008的值等于

方法二、分子有理化。

例9.已知x=J2001—J2000,y=^2000-71999,則x和y的大小關(guān)系.

例10.已知c>l,x—s/c—y/c—1>y={c+1—s/c,z-Jc+2—Jc+1,比較x、y、

z的大小.

例11.設(shè)廠24,a=-b=c=廣，則下列各式一定成立

rr+1Vrvr+1r(Vr+vr+1)

的是.

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

gjc廿C4A/1+住u,I-

例12.若xw0,求--------------------的最大值.

X

方法三：復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)配方法；公式法：

例13.化簡(jiǎn)55+2"

例14.2,3-20+J17-12應(yīng)等于()

A.5-4垃B.4A/2-1C.5D.1

11

例15.化簡(jiǎn):

4+759+30A/23766—40日

例16.化簡(jiǎn)

73-2A/2+75-276+小-2廂+，9-2而+也\-2向+J13-2屈+J15-2廊

+717-2772

例17.化簡(jiǎn)1+2(1+6(1+3)

例18.化簡(jiǎn)：，10+8/3+20

例19.化簡(jiǎn)：(1)2^/3+V5-713+748

⑵721-475+873-4^

(3)在(6-26-2百+而)

(4)J12+陰+屈+-J12-&+如-。

例20.化簡(jiǎn)：①,8+癡+,8_屈；②&+后+&-后.

例21.化簡(jiǎn)：(1),\/1+tz"+,\/l+CT+

(2)\2a-\13a~-2ab-b*23(a>b>O')

(3)5+x—4\[x+1+\/l0+x—6y[x+1

方法四、配方法；非負(fù)性；非負(fù)和。

例22.已知Ja-3-2百+(a+3-242=0,求2的值.

a

例23.如果a+Z?—2ja—1—4JZ?—2—3Jc—3----5,求a,b,c的值.

2

例24.設(shè)a+Z?+c+3=2(J^+Jb+l+Jc—l),求代數(shù)式〃？+/的值

g八田a2—3a+2a—3r

例25.化簡(jiǎn)：J—---------^=+?—a

\a2-6a+9，12—a

例26.已知:y=J=2—J日士+2,求/+y2的值

N5x—4\4-5x

例27.若a、b滿足3布+5g|=7,則S=2后-3g|的取值范圍是多少？

例28.正實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+Z?+c+d=l,設(shè)<=J3a+l+j3b+l+j3c+l+，3d+l

則()?

A..p>5B.0=5C.p<5D.p與5的大小關(guān)系不確定.

方法五：平方法；立方法；n次方法。

例29.已知a+E=Jjl992+&^l,a-b=^1992-^1991,求a。.

例30.已知:a+。=7A/2000+V2001,a-b=772001-72000，求a4-b4的值.

例31.化簡(jiǎn)M=j8+14O+8括+^8-)40+8后

例32.化簡(jiǎn)^4-710+275+〔4+J10+2房

例33.求410+66+310-66的值。

例34.已知線段a、b、c組成一個(gè)三角形，則無能否組成三角形？

例35.已知x>0,y>0,xdl-y2+p%2=1,求證x+y=1o

已知儲(chǔ)+〃=/"且ab+zvo,求證

ab(ab+2)

方法六：換元法。

例37.計(jì)算：12002825391200282538J200282537義200282535+m+1。

例38.計(jì)算-3633x3635x3639x3641+36—3636x3638

例39.求根式，2+，2+也+，的值.

例40.計(jì)算J2J2亞石二的值.

例41.求根式,2_小2+,2々2+產(chǎn)的值.

x+y+z=Jx+y+z+1+5

例42.解方程組1%丫z

5--8-4

、4■留+^/3+y/11+y/5+V7

例43.

?i+（ViT+V5+V7）（V3-V2）

例44.已知:25-尤2一J15-d=2.貝!!-25-d+的值為（）.

例45.設(shè)x+G-l=產(chǎn),求的值。

例46.

例47.已知。=揖+也+近，那么，-+4+^=

aaa

=7

例48.方程組的解是.

例49.已知+知+/?-]2=6應(yīng),求x.

例50.已知尋x+28-為:-28=2,求x.

例51.+9無+13+—5、+13=7無，貝!|x=

目-+—=l(x>O,y>0)

例53.已知1949x2=1993/且九y求證

J1949x+1993y=V1949+V1993。

例54.設(shè)1995V=1996：/=1997Z3xyz>0,且有

^/1995x2+1996y2+1997z2=^/1995+^/1996+^/1997,試求工+工+工的值。

,xyz

111

方法七：裂項(xiàng):

ky/k+l+(左+l)y/ky/kyjk+l

例55.271+V2+372+273+",+100799+99^/100求P的值.

方法九：估算，比較大?。鹤鞑?、平方；

例56.若一^的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,求/+(l+J7)aZ?的值.

3-V7

例57.設(shè)號(hào)±2的整數(shù)部分為a小數(shù)部分為b,求/++"的值

V5-22

例58.設(shè)〃2=店+1,求機(jī)+工的整數(shù)部分

m

例59.若［可表示實(shí)數(shù)”的整數(shù)部分，則等于(

_716-6A/7_

D.4.

例60.

例61.設(shè)“二的整數(shù)部分是m,小數(shù)部分是n,求198〃?+9〃+”2的值;

例62.已知9+而和9—而■的小數(shù)部分分別是a和b,貝！Jab—3。+必+8的值是

例63.比較相與頒的大小。

例64.已知a、b是互不相等的正數(shù)，M=8+&,N=—比較M、N的大

方法十一：有理數(shù)、無理數(shù)性質(zhì)。

例65.已知：a,b,c為有理數(shù)，且等式?+V2Z?+V3C=A/5+276成立，求

2a+99%+1001c的值

例66.已知：a,b,c為有理數(shù)，且等式。+岳+&=)5+2新成立，求

2。+99%+1001c的值

例67.設(shè)正整數(shù)a,滿足Ja?-4A歷=4m-4n^.a,m,n的直

設(shè)a、b是兩個(gè)不相等的有理數(shù)，試判斷實(shí)數(shù)絲旺是有理數(shù)還是無理數(shù)?

例68.

b+y/2

若土吆是不等于1的有理數(shù)，求證幺是有理數(shù)。

例69.

a-ba

例70,設(shè)百+2為方程12+加^+〃=。的根，求相+〃的值。

方法十：幾何意義：平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式。

例71.求代數(shù)式」?fàn)t+4+小(12_尤)2+9的最小值。

方法十一：共朝二次根式；構(gòu)造共朝根式。

例72.已知尤=+6y=17J,求/+的值。

例73.比(有+行尸大的最小整數(shù)是；

例74.已知脛=(6+g)6的小數(shù)部分是P,求M(l—P)的值;

例75.求所有實(shí)數(shù)x,使得x=

方法八：變形條件和結(jié)論，降次。

已知6+4=8,則土包

例76.

已知：x^1+求(4f—1997X—1994)2°°1的值。

例77.

已知x=避二1,求5x的值;

例78.

2

設(shè)a=-7^—，求/-2〃-4。的值;

例79.

V5-1

例80.已知x=6+0,求/一205-3/一/+2辰2-4%+迅的值。

后1。1口左口_廠1_^X+2+V^2+4X

例81?已知