初中數(shù)學(xué)向量的線性運(yùn)算強(qiáng)化練習(xí)1

初中數(shù)學(xué)向量的線性運(yùn)算強(qiáng)化練習(xí)1

學(xué)校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.下列條件不能判定與平行的是（）

A.即|方且B.a=2c,-b=cC.3a=-S,D.同=一|司

2.下列正確的有（）

①恂=恫

②7為單位向量，則心瓦可

③平面內(nèi)向量4、2，總存在實(shí)數(shù)機(jī)使得向量"=

④若2=3+5，%〃4，萬〃生，則指、5就是公在4、%方向上的分向量

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

3.在矩形ABC。中，下列結(jié)論中正確的是（）

AD

BC

卜=囪

A.AB=CDB.AC=BDC.4D.BO=-OD

4.己知￡=7人下列說法中不正確的是（）

￡與方向相同同=慟

A.a-7b=0B.5C.a//bD.7

5.下列各量中是向量的是（）

A.時(shí)間B.速度C.面積D.長度

6.已知四邊形ABCQ滿足而=反，且|而+而|=|而-而那么四邊形A8C。

的形狀是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

B.BC

C.CB

D.AD

8.下列關(guān)于向量的說法中，不.他的是（）

A.2（1+5）=2萬+25

B.如果d=—2b，那么同=2忖

C.萬是非零向量，e是單位向量，那么同刀=同

D.機(jī)（點(diǎn)）二（"?〃）萬

二、填空題

9.如圖，已知在梯形A3CQ中，AB//CD,AB=2CDf設(shè)麗=￡,AD=b?那么

10.如圖，點(diǎn)。是△ABC的邊CB上的點(diǎn)，CD=2BD.設(shè)/=2，而=6,則而=

.（用含有。和b的式子表示）

11.若￡與單位向量"方向相反，且長度為3,則3=（用單位向量工表示向量

￡）

12.計(jì)算：-（a-2b）+2b=____.

2

13.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,BC=5.EF是中位線，設(shè)標(biāo)=￡,則

FE=a.

14.如圖，將而和可放置在3x3的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D、P、。均在格點(diǎn)

上，設(shè)通=￡，~AD=b＞那么向量而=（用向量￡、B來表示）.

D

15.已知向量入坂和1滿足關(guān)系式%+3僅-號=6,那么用向量入坂的線性組合表

示向量（二

16.已知向量關(guān)系式垢+6,-4=6,那么向量篷.（用向量￡與向量B表

示）

三、解答題

17.如圖，E是平行四邊形ABCO的邊BA延長線上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)、F,交BD

于點(diǎn)G,AE：AB=\：3,設(shè)麗=￡,BC—h.

（1）用向量2、5分別表示下列向量：

______L1UU

AE=,EC=，EG=；

（2）在圖中求作向量的分別在￡、另方向上的分向量.（不寫作法，但要寫出畫圖結(jié)

果）

18.如圖，D、E是AABC邊A8上的點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊AC、8c上的點(diǎn)，且滿足AO

=DE=EB,DF//BC,GE//AC.

（1）求證：FG//AB-,

（2）設(shè)C/i=3，CB=b＞請用向量￡，B表示方.

LLU11

19.已知：如圖，EF是AABC的中位線，設(shè)云？=萬，BC=b.

（1）求向量而、EA（用向量占、方表示）;

（2）在圖中求作向量而在兩、衣方向上的分向量.（不要求寫作法，但要指出所

20.如圖，點(diǎn)E在平行四邊形ABC。的對角線8。的延長線上.

（1）填空：DA+DC=:

AE-BC=;

（2）求作：AB+DE（不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)果）.

21.如圖，在AA8C中，點(diǎn)G是的重心，聯(lián)結(jié)AG,聯(lián)結(jié)BG并延長交邊AC于

點(diǎn)D,過點(diǎn)、G作GE//BC交邊AC于點(diǎn)、E.

（1）如果通=￡，AC=b，用入B表示向量的；

（2）當(dāng)BG=6,NG4￡>=45。時(shí)，求AE的長.

22.如圖，已知AABC中，O￡〃3C,且￡>￡：經(jīng)過AABC的重心點(diǎn)G,BD=a>

BC=h.

（1）試用向量々、5表示向量而；

（2）求作向量,（3@-5）（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）.

參考答案:

I.D

【解析】

【分析】

根據(jù)平行向量的定義分析求解即可求得答案.

【詳解】

A、引|6且^〃6,因此?！?，故符合題意；

B、ci=2c,-b=c,因此引|5,故符合題意；

C、3。=-5,因此仄5方向相反，但不||6,故符合題意；

D、同=-問，沒法確定仄5的方向，無法判定可防，故不符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的知識，掌握平行向量與向量的模的定義是關(guān)鍵.

2.A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的有關(guān)知識，對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

解：①恂=|胴,錯(cuò)誤

②二為單位向量，則入慟4或心-忖高，錯(cuò)誤,

③平面內(nèi)向量2、工，總存在實(shí)數(shù)機(jī)使得向量"=，癡，只有￡、"共線時(shí)才成立，說法錯(cuò)

誤，

④而、百也可能是公在I、％反方向上的分向量，說法錯(cuò)誤

故選A

【點(diǎn)睛】

此題考查了平面向量的基本知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的基本知識.

3.C

【解析】

答案第1頁，共14頁

【分析】

根據(jù)相等向量及向量長度的概念逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量.

A.AB=—CD，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.|AC|=|BD|,但方向不同，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

c.根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，對角線互相平分且相等，所以|無4=1而故該選項(xiàng)正確;

D.BO=OD，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相等向量及向量的長度，掌握相等向量的概念是解題的關(guān)鍵.

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的定理逐一判斷即可.

【詳解】

解：A.a=~Jb

：.a-7b=0^故選項(xiàng)A不正確，符合題意；

B.3與B方向相同，正確，不符合題意；

C.a//b，正確，不符合題意；

D問=7慟,正確，不符合題意;

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的定理，熟練掌握平面向量的基本定理是解題的關(guān)鍵.

5.B

【解析】

【詳解】

根據(jù)向量的概念進(jìn)行判斷即可.

解：既有大小，又有方向的量叫做向量；

答案第2頁，共14頁

時(shí)間、面積、長度只有大小沒有方向，因此不是向量.

而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量.

故選：B.

此題是個(gè)基礎(chǔ)題，本題的考點(diǎn)是向量的概念，純粹考查了定義的內(nèi)容.注意數(shù)學(xué)知識與實(shí)

際生活之間的聯(lián)系.

6.A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意知，該四邊形是對角線相等的平行四邊形，由此判定它是矩形.

【詳解】

解：如圖，AB^DC，

：.AB=DC,AB//DC.

■.四邊形是平行四邊形.

AD=BC.

-.|AB+AD|=|AB-AD|,

.JCA|=|fi￡>|.

CA=BD.

平行四邊形ABC。是矩形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量，矩形的判定.解題的關(guān)鍵是根據(jù)相等向量和三角形法則推知:

AB=DCHAB//DC,CA=BD.

7.B

【解析】

【詳解】

答案第3頁，共14頁

解：由題意可知，AC-AB=BC，

故選：B.

根據(jù)向量減法的三角形法則可得答案.

本題主要考查的是向量的減法及其幾何意義，掌握向量減法的三角形法則是解題的關(guān)鍵.

8.C

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的定義（在平面中既有大小又有方向的量稱為向量）與運(yùn)算法則依次進(jìn)行判

斷即可得出選項(xiàng).

【詳解】

解：A、2（a+b）=2a+2b,本選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、如果；;>=-21,則舊=2日選項(xiàng)正確,不符合題意；

C、=等號左邊為向量，右邊為向量模長，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

D、m（疝）=（哂&,本選項(xiàng)正確,不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查平面向量的定義與運(yùn)算，理解平面向量的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

2-1-

9.-bH—a

33

【解析】

【分析】

由AB〃C￡>,即可證得△又由AB=2CD,即可求得而與麗的關(guān)系，利用

三角形法則，求得而，即可求得理.

【詳解】

解：,/AB=a,AD=b,

.\BD=AD-AB=b-a.

QAH//CD,AB=2CD,

:.△ECDSXEAB,

答案第4頁，共14頁

.CDDE1

'AB-BE-2r

__2__2

:.BE=-BD=-(b-a),

———2-2-1

AE=AB+BE=a+-(b-a)=-h+-a.

2-1

故答案為：

【點(diǎn)睛】

此題考查向量的知識與相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還

要注意向量是有方向的.

-2-2--

10.a+—b##—b+a

33

【解析】

【分析】

由已知條件求得而，根據(jù)三角形法則求得而，在中利用三角形法則求解即可

【詳解】

解：'：CD=2BD,CB=b

：,BD=-CB=-h

33

AC=a，CB=b，

AB=AC+CB=a+b

___________]__2_

AD=AB-BD=a+b——b=a+—b

33

_-2-

故答案為：a+§6

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，掌握三角形法則是解題的關(guān)鍵.

H.-3e

【解析】

【分析】

根據(jù)￡與單位向量工的關(guān)系，即可求解.

【詳解】

￡與單位向量工方向相反，且長度為3,

答案第5頁，共14頁

a=-3e-

故答案是：-3e.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查用單位向量表示其他向量，掌握平面向量的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵.

1--

12.—a+b

2

【解析】

【分析】

先去括號，然后合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】

解：—(a-2b)+2b

2

=-a-—x2b+2b

22

1-r

=-a+b

2

故答案為：—ci+b.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的線性運(yùn)算.解題的關(guān)鍵在于理解向量的數(shù)乘與加減運(yùn)算.

13.--

3

【解析】

【分析】

根據(jù)梯形的中位線定理求出EF,再根據(jù)平行向量的倍數(shù)關(guān)系和方向即可解答.

【詳解】

VEF是梯形ABCD的中位線，

/.EF=-(AD+BC)=4,

2

;而和而是平行向量，并且方向相反，

乂AD-a>AD=3

_EF_4-

FE——?AD——a,

AD3

答案第6頁，共14頁

故答案為：-三4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了梯形的中位線定理、平行向量，解答的關(guān)鍵是熟練掌握梯形的中位線定理，會

用非零平行向量中的一個(gè)向量表示另一個(gè)向量，要注意兩個(gè)向量的方向.

1-2丁

14.—ciH—h

33

【解析】

【分析】

由題意直接根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求出答案.

【詳解】

解：VPQ='PE+EQ=--AB+-Ab=--a+-b.

3333

1_

故答案為：-彳。+彳。.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行向量的加減運(yùn)法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

_2-

15.一a+br

3

【解析】

【分析】

利用一元一次方程的求解方法，去括號、移項(xiàng)、系數(shù)化1,即可求得答案.

【詳解】

解：；2a+3（B-x）=6,

***2a+3b-3x=0?

J2M+3b=3元，

?一2一1

??x=-a+b.

3

2--

故答案為：

【點(diǎn)睛】

此題考查了平面向量的知識.此題難度不大，注意掌握此向量方程的解法與一元一次方程

的解法一樣.

答案第7頁，共14頁

1--

16.-a+b

3

【解析】

【分析】

利用類似一元一次方程的求解方法，去括號、移項(xiàng)、系數(shù)化1,即可求得答案.

【詳解】

解:丁2^+6僅一工）=。

***2a+6^-6x=6

6x=2a+6h

1一一

x=—a+b

3

故答案為：］。+石

【點(diǎn)睛】

此題考查了平面向量的知識.此題難度不大，此向量方程的解法與一元一次方程的解法類

似.

14416

17.（1）-a,b--a~b~a;（2）見解析

【解析】

【分析】

1____4

（1）根據(jù)即可求出而，根據(jù)￡：。=麗+8。即可求出EC，先證明EG=,

.、,UUU1

EC,即可求出EG；

（2）如圖，過點(diǎn)G作GM〃AB,GN//BC,根據(jù)平行四邊形法則即可求得答案.

【詳解】

解：⑴BA=aAE=^BA,

?.?—AE_=-1-tz?

________4_.

?：EC=EB+BC，EB='-aiBC=b>

.—4-

??EC=b一飛a，

■:CD〃EB,

：.EG：CG=EB：CD=4：3,

答案第8頁，共14頁

：.EG：EC=4：7,

.uuai4-16-

??EG=~b--a>

14416

故答案為：-a>b~a'亍5一天a;

(2)如圖，過點(diǎn)G作GM〃AB交8c于M,GN〃BC交AB于N,則向量麗、的是向

量而分別在25方向上的分向量.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、向量的線性運(yùn)算和平行四邊形

法則等知識，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵.

__2_2-

18.(1)證明見詳解；(2)GF=-a—h.

33

【解析】

【分析】

AP1

(1)由AO=QE=￡8,可得80=2AD,由。尸〃8C,—=-,由GE〃AC,

FC2

可得空=:，可得生=生=2,/FCG=/ACB,可證△FCGS/\4C8即可；

GC2BCAC3

2

(2)由△/CGS^ACB,可得尸G=§AB,由在=5可得

BA=CA-CB=a-b，由向量的模之間關(guān)系可得|喬卜j網(wǎng)，GF/BA；利用平行向量關(guān)系

GF=-BA=-a--b.

333

【詳解】

(1)證明：；AD=DE=EB,

：.AE=AD+ED=2AD=2BE,BD=DE+EB=2BE=2AD,

'：DF//BC,

.ADAFADI

"DB-7C-2AD-2'

"：GE//AC,

答案第9頁，共14頁

BEBGBE_1

￡4""GC-2BE-2)

.BGAF1

**GC-FC_2y

.BG+CGAF+FC1+2

?_?_____—___—_____—_—___,

GCFC2

.GCFC2/…

??==—,/FCG=/ACB,

BCAC3

:?△FCGsAACB,

；?NFGC=NB,

：?FG〃AB；

(2)解：,:AFCGS^ACB,

.FGGC2

**AB-BC-3，

2

:.FG=-AB

3

;場=2，CB=b^CB+BA=CA

^BA=CA-CB=a-b

V|GF|=||BA|,GF//BA；

__2__2一一\2-2-

GF=—BA=—(a—b]=—a—b.

33V733

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線截線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，向量的模，平行向量，和與差

向量，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.(1)EF=-b；EA=-b-a；(2)作圖見解析.

22

【解析】

【分析】

(1)由EF是AABC的中位線，設(shè)通=￡,患=反利用三角形的中位線的性質(zhì)，即可求得

EF，然后由三角形法則，求得麗；

(2)利用平行四邊形法則，即可求得向量而在福，前方向上的分向量.

【詳解】

解：(1)；EF是AABC的中位線，BC=b.

答案第10頁，共14頁

：.^p=-BC=-b,

22

AF=a，

：.EA=W-AF=-b-a,

2

（2）如圖，過點(diǎn)E作EM〃AC,

則面與而即為向量存在瓦、蔗方向上的分向量.

本題考查了平面向量的知識.此題比較簡單，注意掌握三角形法則與平行四邊形法則的應(yīng)

用.

20.(1)DB；DE；(2)見解析

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)向量的平行四邊形法則寫出3+配即可，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可

得而=配，然后根據(jù)向量的三角形法則求解即可;

（2）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得覺=而，然后根據(jù)向量的平行四邊形法則

作出以￡>C、OE為鄰邊的平行四邊形，其對角線即為所求.

【詳解】

解：⑴DA+DC=DB，

AD=BC，

AE-BC=AE-AD=DEt

故答案為：DB-DE-

（2）如圖，而即為所求通+詼.

答案第II頁，共14頁

本題考查了平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，向量的問題，熟練掌握平行四邊形法則和三角

形法則是解題的關(guān)鍵.

——21-L

21.(1)BG=——a+-b；(2)AE=442.

33

【解析】

【分析】

—>|->—>9—>

(1)由G是重心，可得">=”，BG=-BD,因?yàn)樵L=成+侖)，可得

BD=-a+^h,進(jìn)而求出8萬；

(2)根據(jù)G是重心，求出。G=3,因?yàn)椤?G。是等腰直角三角形，勾股定理計(jì)算出AL>=

3拒，由AO=OC,0c=3OE求出OE=&,相加即可.

【詳解】

解：(1)BD=BA+AD,

:點(diǎn)G是心△ABC的重心,

：.AD^^AC,

??->—>->->

,AB=a，AC=b9

T1T

JAD=-a,

2

—>—>i—>

???BD=-a+-b

2

T2T9T]->

???BG=-BD=-(-a+-b),

33