專(zhuān)題02 方程-【初升高銜接】新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（解析版）

第第頁(yè)專(zhuān)題02方程【初高中知識(shí)點(diǎn)銜接】知識(shí)點(diǎn)初中高中一元一次方程一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組及其解法通過(guò)對(duì)含字母系數(shù)的、形式意義上的一元一次、二次方程進(jìn)行分類(lèi)和求解的討論，體會(huì)分類(lèi)討論的思想和周密思考問(wèn)題的過(guò)程一元二次方程一元二次方程及其解法；一元二次方程的求根公式研究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,即韋達(dá)定理，掌握韋達(dá)定理的證明以及它的基本運(yùn)用簡(jiǎn)單的代數(shù)方程整式方程、分式方程、無(wú)理方程、二元二次方程組；高次方程是初中九年級(jí)拓展內(nèi)容,屬于選修內(nèi)容把方程中的等號(hào)變?yōu)椴坏忍?hào),那么方程就變?yōu)檎讲坏仁健⒎质讲坏仁健o(wú)理不等式、高次不等式在本專(zhuān)題中，我們主要鞏固初中所學(xué)的知識(shí)，在鞏固的基礎(chǔ)上進(jìn)行初高中銜接.在初中,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達(dá)定理)雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了，但是學(xué)生探究得不夠深刻，但在高中，韋達(dá)定理有著非常廣泛的應(yīng)用，是高中學(xué)生必須掌握的內(nèi)容,在本講中著重練習(xí)了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)?！局R(shí)回顧與銜接】一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程，一般式為二、一元二次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是二次的整式方程叫做一元二次方程，一般式為1、求根公式一元二次方程的兩個(gè)根為：2、判別式①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。③當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。3、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：①推導(dǎo)過(guò)程：一元二次方程的兩個(gè)根為： 所以：，②一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱(chēng)為”韋達(dá)定理”．③一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)和分別是一元二次方程，則∴于是有下面的結(jié)論：若和分別是一元二次方程，則(其中)④用兩根和與兩根積來(lái)表示：利用韋達(dá)定理,我們可以不直接求方程的根，而知其根的正、負(fù)性。當(dāng)且時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù);當(dāng)且時(shí)時(shí)，方的兩根同正或同負(fù).三、有理方程整式方程與分式方程統(tǒng)稱(chēng)為有理方程，有理方程和無(wú)理方程統(tǒng)稱(chēng)為初等代數(shù)方程，簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)方程。一元整式方程:如果方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式,那么這個(gè)方程叫做一元整式方程。分式方程:如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知數(shù)，那么這個(gè)方程是分式方程。比如：解分式方程的一般步驟，可用流程圖表述為四、無(wú)理方程方程中含有根式，且被開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程稱(chēng)為無(wú)理方程。比如等解簡(jiǎn)單的無(wú)理方程，可以通過(guò)去根號(hào)化為有理方程來(lái)解，解簡(jiǎn)單無(wú)理方程的一般步驟用流程圖表述為【例題精講】1、設(shè)拋物線(xiàn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為和，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意、為方程的兩根，即可得到，，，再代入計(jì)算可得.【詳解】依題意、為方程的兩根，所以，，，所以，，所以.故選：A2、設(shè)關(guān)于x的方程的兩根為.(1)若，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】(1)3或(2)1或5【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用韋達(dá)定理列式，再配方代入計(jì)算作答.（2）借助韋達(dá)定理探討兩根的符號(hào)，再分條件去絕對(duì)值符號(hào)求解作答.【詳解】（1）依題意，，則，由，得，即，解得或，所以實(shí)數(shù)m的值為3或.（2）由（1）知，，顯然不可能同號(hào)，當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為1或5.3、已知實(shí)數(shù)且滿(mǎn)足，則______．【答案】【分析】由題意可得是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由利用韋達(dá)定理可得答案.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)且滿(mǎn)足，所以是方程即的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，，所以，，所以，故答案為：.4、已知，則（

）A．-22 B．-1 C．7 D．11【答案】B【分析】解方程求，由此可求.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以或，?dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，故選：B.5、某區(qū)為殘疾人辦實(shí)事，在一道路改造工程中，為盲人修建一條長(zhǎng)3000米的盲道，在實(shí)際施工中，由于增加了施工人員，每天可以比原計(jì)劃多修建250米，結(jié)果提前2天完成工程，設(shè)實(shí)際每天修建盲道米，根據(jù)題意可得方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用每天修建的盲道比原來(lái)多250米，提前2天完成，得出方程即可.【詳解】設(shè)實(shí)際每天修建盲道米，根據(jù)題意可得：，故選：D6、關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根分別為，且，則的值是__________.【答案】【分析】由題得到韋達(dá)定理，結(jié)合已知得，解方程，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】由題得，（）所以，且，所以.所以，整理得，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足，所以舍去.當(dāng)時(shí)，.滿(mǎn)足（）.故答案為：57、的解集為_(kāi)________【答案】【分析】令，解關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)的值求解關(guān)于的一元二次方程.【詳解】令，則，解得：，，由得：，方程無(wú)解；由得：，解得：，，解集為.8、如果是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是______【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理可得，兩式相減即可得解.【詳解】因?yàn)槭且辉畏匠痰膬蓚€(gè)根，所以，兩式相減得，因?yàn)?故答案為：.9、（1）已知關(guān)于x的方程在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知關(guān)于x的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）已知關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）將方程變形為，要求a的取值范圍，就是求的取值范圍，然后運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出答案即可；（2）不等式在上有解，等價(jià)于，由（1）知答案；（3）不等式在上恒成立，等價(jià)于，由（1）知答案.【詳解】（1）將方程變形為，要求a的取值范圍，就是求的取值范圍，即y＝(x＋)2－，0≤x≤1，所以當(dāng)x＝0時(shí)，y取得最小值為－1；當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值為1，所以y的取值范圍是－1≤y≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2）不等式在上有解，等價(jià)于由（1）知（3）不等式在上恒成立，等價(jià)于由（1）知【點(diǎn)睛】本題考查的是方程有解及不等式恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，較簡(jiǎn)單.10、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)用含有的代數(shù)式表示【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可得解；（2）利用韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，則.11、在①，②，③這三個(gè)條件中選一個(gè)合適的條件，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：若滿(mǎn)足，且_________，求出下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】解方程可求得兩根，并確定兩根的范圍；將符合條件的根代入所求式子即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由得：或；若選條件①，沒(méi)有滿(mǎn)足，故無(wú)法求出；若選條件②，則，；若選條件③，則，.（2）若選條件①，沒(méi)有滿(mǎn)足，故無(wú)法求出；若選條件②，則，，；若選條件③，則，，.12、若是方程的兩根，則_____________【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理可得，兩式相減即可得解.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，兩式相加得，所?故答案為：.13、表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，.則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)已知條件列不等式，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得方程的解，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，方程變形為，則，解得，①當(dāng)時(shí)，，原方程化為，解得（不符合，舍去）.②當(dāng)時(shí)，，原方程化為，無(wú)解.③當(dāng)時(shí)，，原方程化為，無(wú)解.④當(dāng)時(shí)，，原方程化為，解得（不符合，舍去）.⑤當(dāng)時(shí)，，原方程化為，解得（不符合，舍去）.綜上所述，方程的實(shí)數(shù)解為，共個(gè).故選：A【鞏固練習(xí)】1、．設(shè)方程的兩根為，則方程的根為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將代入方程，可以得到與的關(guān)系，即可求得的根.【詳解】方程，即，又因?yàn)榉匠痰膬筛鶠?，即，又因?yàn)榉匠炭梢曰?jiǎn)為，代入即，即，所以方程的根為.故答案為：B2、（1）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足，求實(shí)數(shù)的值.（2）解方程：【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理即可求解；（2）配方，解方程即可求解.【詳解】（1）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：,

又，

,解得：或當(dāng)時(shí)，方程中，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去.實(shí)數(shù)的值為.（2）原方程可變形為：或或,經(jīng)檢驗(yàn)，它們均為原方程的根.3、設(shè)自然數(shù)，且，則________．【答案】16【分析】依題意可得，即可得到，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，即，所以關(guān)于的方程有正整數(shù)解，所以，其中，解得，所以，又，因?yàn)?、為自然?shù)且，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故答案為：4、方程的解是（

）A．1 B． C． D．方程無(wú)解【答案】A【分析】去分母解方程，并檢驗(yàn)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，整理得：，解得，因?yàn)榍?，所以，，即方程的解是故選：A5、已知，，則__________．【答案】/1.6【分析】由題意可知、是方程的兩根，直接由韋達(dá)定理可得兩根之積，從而可得的值.【詳解】由方程的結(jié)構(gòu)可知、是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得故答案為：.6、已知，則_________【答案】23【分析】將看成一個(gè)整體，然后利用完全平方公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】，，故答案為：237、、是方程的兩個(gè)根，則____________【答案】/【分析】利用韋達(dá)定理可得出、的值，可求得、的值，再利用立方差公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?、是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得，，所以，，則，，因此，.故答案為：.8、在中，如果，滿(mǎn)足，那么_____【答案】.【分析】根據(jù)已知條件及銳角三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?解得，在中，，所以，在中，，所以，所以.故答案為：.9、已知二元一次方程組，則_____，_____.【答案】【分析】將方程組中的兩個(gè)等式別相加、相減可得結(jié)果.【詳解】將方程組中的兩個(gè)等式相減可得，將方程組中的兩個(gè)等式相加可得，可得.故答案為：；.10、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的個(gè)數(shù)的判斷方法可直接構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：且.故選：C.11、關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：對(duì)于任意，為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，滿(mǎn)足△即可；（2）利用韋達(dá)