【寒假自學(xué)課】蘇教版2024年高一數(shù)學(xué)寒假第07講向量運(yùn)算(原卷版+解析)

第07講向量運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握平面向量的運(yùn)算和探索其運(yùn)算性質(zhì)．2、體會(huì)平面向量運(yùn)算的作用．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：向量的加法運(yùn)算考點(diǎn)二：向量的減法運(yùn)算考點(diǎn)三：與向量的模有關(guān)的問(wèn)題考點(diǎn)四：向量的數(shù)乘運(yùn)算考點(diǎn)五：共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)七：平面向量模的問(wèn)題考點(diǎn)八：向量垂直（或夾角）問(wèn)題【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量，作，則三點(diǎn)不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線．這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則．求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝蓚€(gè)向量的和是一個(gè)向量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，但要注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)二：向量求和的多邊形法則及加法運(yùn)算律1、向量求和的多邊形法則的概念已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量．這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當(dāng)與重合，即一個(gè)圖形為封閉圖形時(shí)，有2、向量加法的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）結(jié)合律：知識(shí)點(diǎn)三：向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當(dāng)不共線時(shí)，；（2）當(dāng)同向且共線時(shí)，同向，則；（3）當(dāng)反向且共線時(shí)，若，則同向，；若，則同向，．知識(shí)點(diǎn)四：向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運(yùn)算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長(zhǎng)的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實(shí)質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）兩種方法給出的定義其實(shí)質(zhì)是一樣的．（2）對(duì)于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點(diǎn)向量（）減去起點(diǎn)向量（）．利用此方法作圖時(shí)，把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)的，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．（2）利用相反向量作圖，通過(guò)向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．知識(shí)點(diǎn)五：數(shù)乘向量1、向量數(shù)乘的定義實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；②當(dāng)時(shí)．的方向與的方向相反；③當(dāng)時(shí)，．2、向量數(shù)乘的幾何意義由實(shí)數(shù)與向量積的定義知，實(shí)數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=-，與互為相反向量；當(dāng)時(shí)，=．實(shí)數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)結(jié)合律：；分配律：，知識(shí)點(diǎn)六：向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當(dāng)向量時(shí)，與任一向量共線．（2）當(dāng)向量時(shí)，對(duì)于向量．如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的倍，即，那么當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．2、向量共線的判定定理是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理若向量與非零向量共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）兩個(gè)向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時(shí)，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使．（4）是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．知識(shí)點(diǎn)七：平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．2、如圖（1），設(shè)是兩個(gè)非零向量，，作如下變換：過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱(chēng)上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作．過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定．（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，寫(xiě)成；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積，而是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分．符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在實(shí)數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因?yàn)槠渲杏锌赡転?．2、投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為；當(dāng)=180時(shí)投影為．3、投影向量是一個(gè)向量，當(dāng)對(duì)于任意的，都有．知識(shí)點(diǎn)八：平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時(shí)向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．事實(shí)上，當(dāng)為銳角時(shí)，由于，所以；當(dāng)為鈍角時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以，此時(shí)與重合；當(dāng)時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以．知識(shí)點(diǎn)九：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量．1、2、3、當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別的或4、5、知識(shí)點(diǎn)十：向量數(shù)量積的運(yùn)算律1、交換律：2、數(shù)乘結(jié)合律：3、分配律：知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、已知實(shí)數(shù)、、，則．但是；2、在實(shí)數(shù)中，有，但是顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：向量的加法運(yùn)算例1．(2023·新疆·克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）等于（

）A． B． C． D．例2．(2023·福建·上杭縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）向量化簡(jiǎn)后等于（

）A． B． C． D．例3．(2023·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則等于（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二：向量的減法運(yùn)算例4．在四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，若，則四邊形一定是（）A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形例5．如圖，已知向量，，求作向量．考點(diǎn)三：與向量的模有關(guān)的問(wèn)題例6．（1）已知、、的模分別為1、2、3，求|++|的最大值；（2）如圖所示，已知矩形ABCD中，，設(shè)，，，試求|++|的大小．例7．已知平面上不共線的四點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C．3 D．2例8．已知非零向量，滿足，，且|－|=4，求|+|的值．考點(diǎn)四：向量的數(shù)乘運(yùn)算例9．計(jì)算下列各式：（1）4（+）3（）；（2）3（2+）（2+3）；（3）．例10．如圖所示，的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，且用表示考點(diǎn)五：共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題例11．設(shè)兩非零向量和不共線，（1）如果求證三點(diǎn)共線．（2）試確定實(shí)數(shù)，使和共線．例12．已知向量，，其中，不共線，向量，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使向量與共線？例13．如圖所示：，在中，向量，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)，在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過(guò)M點(diǎn)，設(shè)＝p，＝q，求證：＋＝1．考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例14．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知等邊的邊長(zhǎng)為3，則________例15．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且向量與的夾角為120°，則______．例16．(2023·安徽·歙縣教研室高一期末）已知向量，，滿足，，，，，則_________．例17．已知，且向量與向量的夾角．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量．考點(diǎn)七：平面向量模的問(wèn)題例18．(2023·吉林·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．2 C． D．4例19．(2023·云南保山·高一期末）向量，的夾角為120°，且，，則等于（

）A．2 B． C． D．例20．(2023·遼寧錦州·高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．5考點(diǎn)八：向量垂直（或夾角）問(wèn)題例21．已知，且向量在向量方向上的投影數(shù)量為．（1）求與的夾角；（2）求；（3）當(dāng)為何值時(shí)，向量與向量互相垂直？例22．已知，，，求：（1）與的夾角；（2）與的夾角的余弦值．例23．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若單位向量滿足，且，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)__________．例24．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量滿足，，與的夾角為，，則_______．【真題演練】1．(2023·全國(guó)·高考真題（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．3．（2023·北京·高考真題（理））設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．(2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．5．（2023·全國(guó)·高考真題（文））若向量滿足，則_________．6．（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)為單位向量，且，則______________．7．（2023·全國(guó)·高考真題（理））已知單位向量，的夾角為45°，與垂直，則k=__________．8．（2023·全國(guó)·高考真題（理））已知為單位向量，且=0，若，則___________．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．(2023·湖北·襄陽(yáng)四中高一階段練習(xí)）下列各式化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B．C． D．2．(2023·黑龍江·建三江分局第一中學(xué)高一期末）“平面向量，平行”是“平面向量，滿足”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．(2023·湖北省天門(mén)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．4．(2023·內(nèi)蒙古大學(xué)滿洲里學(xué)院附屬中學(xué)高一期末）已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．5．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實(shí)數(shù)，使得與垂直，則（

）A．2 B． C． D．6．(2023·江蘇·興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知非零向量、滿足，且，則的形狀是（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形7．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．8．(2023·江蘇·金沙中學(xué)高一期末）如圖，矩形內(nèi)放置5個(gè)邊長(zhǎng)均為1的小正方形，其中，，，在矩形的邊上，且為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C．5 D．7二、多選題9．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為10．(2023·甘肅蘭州·高一期末）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的最小值與最大值分別是（

）A． B． C．4 D．611．(2023·安徽省岳西縣湯池中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．12．(2023·福建·福州黎明中學(xué)高一期末）已知，，為同一平面內(nèi)的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則（

）A．與的夾角 B．C． D．三、填空題13．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量的夾角為，，，則______．14．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，則與的面積比為_(kāi)__________．15．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量滿足，，與的夾角為，則在上的投影為_(kāi)_______．16．(2023·北京師大附中高一期末）已知平面向量，，滿足，且，則的值為_(kāi)_______．四、解答題17．(2023·西藏拉薩·高一期末）已知平面向量滿足，且．（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的值．18．(2023·浙江·寧波咸祥中學(xué)高一期末）已知向量，若，（1）求與的夾角θ；（2）求；（3）當(dāng)λ為何值時(shí)，向量與向量互相垂直？19．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在中，D，F(xiàn)分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，且，，．求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．20．(2023·上海市陸行中學(xué)高一期末）已知向量?的夾角為，且，設(shè)，．（1）求；（2）試用來(lái)表示的值；（3）若與的夾角為鈍角，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)不共線的向量、的夾角為，且，，為正實(shí)數(shù)．（1）若與垂直，求；（2）若，求的最小值及對(duì)應(yīng)的的值．22．(2023·重慶市銅梁區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校高一期末）已知向量滿足：，，．（1）若，求在方向上的投影向量；（2）求的最小值．23．(2023·吉林·延邊第一中學(xué)高一期中）如圖所示，在中，與相交于點(diǎn)．（1）用和分別表示和；（2）若，求實(shí)數(shù)和的值．第07講向量運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握平面向量的運(yùn)算和探索其運(yùn)算性質(zhì)．2、體會(huì)平面向量運(yùn)算的作用．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：向量的加法運(yùn)算考點(diǎn)二：向量的減法運(yùn)算考點(diǎn)三：與向量的模有關(guān)的問(wèn)題考點(diǎn)四：向量的數(shù)乘運(yùn)算考點(diǎn)五：共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)七：平面向量模的問(wèn)題考點(diǎn)八：向量垂直（或夾角）問(wèn)題【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量，作，則三點(diǎn)不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線．這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則．求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝蓚€(gè)向量的和是一個(gè)向量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，但要注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)二：向量求和的多邊形法則及加法運(yùn)算律1、向量求和的多邊形法則的概念已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量．這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當(dāng)與重合，即一個(gè)圖形為封閉圖形時(shí)，有2、向量加法的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）結(jié)合律：知識(shí)點(diǎn)三：向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當(dāng)不共線時(shí)，；（2）當(dāng)同向且共線時(shí)，同向，則；（3）當(dāng)反向且共線時(shí)，若，則同向，；若，則同向，．知識(shí)點(diǎn)四：向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運(yùn)算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長(zhǎng)的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實(shí)質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）兩種方法給出的定義其實(shí)質(zhì)是一樣的．（2）對(duì)于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點(diǎn)向量（）減去起點(diǎn)向量（）．利用此方法作圖時(shí)，把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)的，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．（2）利用相反向量作圖，通過(guò)向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．知識(shí)點(diǎn)五：數(shù)乘向量1、向量數(shù)乘的定義實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；②當(dāng)時(shí)．的方向與的方向相反；③當(dāng)時(shí)，．2、向量數(shù)乘的幾何意義由實(shí)數(shù)與向量積的定義知，實(shí)數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=-，與互為相反向量；當(dāng)時(shí)，=．實(shí)數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)結(jié)合律：；分配律：，知識(shí)點(diǎn)六：向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當(dāng)向量時(shí)，與任一向量共線．（2）當(dāng)向量時(shí)，對(duì)于向量．如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的倍，即，那么當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．2、向量共線的判定定理是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理若向量與非零向量共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）兩個(gè)向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時(shí)，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使．（4）是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．知識(shí)點(diǎn)七：平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．2、如圖（1），設(shè)是兩個(gè)非零向量，，作如下變換：過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱(chēng)上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作．過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定．（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，寫(xiě)成；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積，而是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分．符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在實(shí)數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因?yàn)槠渲杏锌赡転?．2、投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為；當(dāng)=180時(shí)投影為．3、投影向量是一個(gè)向量，當(dāng)對(duì)于任意的，都有．知識(shí)點(diǎn)八：平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時(shí)向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．事實(shí)上，當(dāng)為銳角時(shí)，由于，所以；當(dāng)為鈍角時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以，此時(shí)與重合；當(dāng)時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以．知識(shí)點(diǎn)九：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量．1、2、3、當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別的或4、5、知識(shí)點(diǎn)十：向量數(shù)量積的運(yùn)算律1、交換律：2、數(shù)乘結(jié)合律：3、分配律：知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、已知實(shí)數(shù)、、，則．但是；2、在實(shí)數(shù)中，有，但是顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：向量的加法運(yùn)算例1．(2023·新疆·克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）等于（

）A． B． C． D．答案：B【解析】故選：B例2．(2023·福建·上杭縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）向量化簡(jiǎn)后等于（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由,故選：A例3．(2023·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則等于（

）A． B．C． D．答案：B【解析】.故選：B考點(diǎn)二：向量的減法運(yùn)算例4．在四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，若，則四邊形一定是（）A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形答案：B【解析】∵，∴，∴，∴四邊形一定是梯形．故選：B．例5．如圖，已知向量，，求作向量．【解析】解：（1）如圖，將向量的起點(diǎn)平移到向量的起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即為向量；（2）如圖，將向量的起點(diǎn)平移到向量的起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即為向量；考點(diǎn)三：與向量的模有關(guān)的問(wèn)題例6．（1）已知、、的模分別為1、2、3，求|++|的最大值；（2）如圖所示，已知矩形ABCD中，，設(shè)，，，試求|++|的大?。窘馕觥浚?）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，∴|++|的最大值為6．（2）過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，交BC的延長(zhǎng)線于E，如圖所示．∵DE∥AC，AD∥BE，∴四邊形ADEC為平行四邊形，∴，，于是，∴．例7．已知平面上不共線的四點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C．3 D．2答案：C【解析】解：由，得，即，所以，即，故選：C．例8．已知非零向量，滿足，，且|－|=4，求|+|的值．【解析】如圖，，，則．以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則．由于．故，所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以O(shè)ACB是矩形．根據(jù)矩形的對(duì)角線相等有，即|+|=4．考點(diǎn)四：向量的數(shù)乘運(yùn)算例9．計(jì)算下列各式：（1）4（+）3（）；（2）3（2+）（2+3）；（3）．【解析】（1）原式=43+4+3=+7．（2）原式=36+32+3=7+6．（3）原式．例10．如圖所示，的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，且用表示【解析】在中考點(diǎn)五：共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題例11．設(shè)兩非零向量和不共線，（1）如果求證三點(diǎn)共線．（2）試確定實(shí)數(shù)，使和共線．【解析】（1）證明

共線，又有公共點(diǎn)，∴三點(diǎn)共線．（2）解

∵和共線，∴存在，使，則由于和不共線，只能有則．例12．已知向量，，其中，不共線，向量，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使向量與共線？【解析】因?yàn)橄蛄浚?，所以要使與共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)，使，即，即得．故存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，只要，就能使與共線．例13．如圖所示：，在中，向量，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)，在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過(guò)M點(diǎn)，設(shè)＝p，＝q，求證：＋＝1．【解析】因?yàn)锳，M，D三點(diǎn)共線，所以，因?yàn)锽，M，C三點(diǎn)共線，所以，解得，所以，因?yàn)椋絧，＝q，所以．因?yàn)楣簿€，所以，即，所以＋＝1．考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例14．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知等邊的邊長(zhǎng)為3，則________答案：【解析】.故答案為：例15．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且向量與的夾角為120°，則______.答案：-268【解析】.故答案為：例16．(2023·安徽·歙縣教研室高一期末）已知向量，，滿足，，，，，則_________.答案：6【解析】由，得，兩邊平方，得，因?yàn)?，所以，?故答案為：.例17．已知，且向量與向量的夾角．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量．【解析】解：；（2）設(shè)與向量方向相同的單位向量為，則．向量在向量上的投影為：，所以向量在向量上的投影向量為．考點(diǎn)七：平面向量模的問(wèn)題例18．(2023·吉林·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．2 C． D．4答案：B【解析】因?yàn)椋?，所以，故選：B例19．(2023·云南保山·高一期末）向量，的夾角為120°，且，，則等于（

）A．2 B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)榈膴A角為120°，且，，所以，所以.故選：D例20．(2023·遼寧錦州·高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．5答案：C【解析】由，可得，則，將，代入可得：，可得：，則，故選：C.考點(diǎn)八：向量垂直（或夾角）問(wèn)題例21．已知，且向量在向量方向上的投影數(shù)量為．（1）求與的夾角；（2）求；（3）當(dāng)為何值時(shí)，向量與向量互相垂直？【解析】（1）因?yàn)?，所以．又在方向上的投影?shù)量為，所以，所以，所以．（2）．（3）因?yàn)榕c互相垂直，所以，所以，所以．例22．已知，，，求：（1）與的夾角；（2）與的夾角的余弦值．【解析】（1），，，設(shè)與的夾角為，則．又，；（2），，．，又．，設(shè)與的夾角為，則．即與的夾角的余弦值為．例23．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若單位向量滿足，且，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)__________.答案：6【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，又是單位向量，所以，?故答案為：例24．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量滿足,，與的夾角為，，則_______．答案：2【解析】因?yàn)?，所以，?又，,與的夾角為，則，所以．故答案為：2.【真題演練】1．(2023·全國(guó)·高考真題（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2答案：C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C.2．（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．3．（2023·北京·高考真題（理））設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案：C【解析】∵A?B?C三點(diǎn)不共線,∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2?>0與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.4．(2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．答案：【解析】設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．5．（2023·全國(guó)·高考真題（文））若向量滿足，則_________.答案：【解析】∵∴∴.故答案為：.6．（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)為單位向量，且，則______________.答案：【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所以所以解得：所以故答案為?．（2023·全國(guó)·高考真題（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.答案：【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．8．（2023·全國(guó)·高考真題（理））已知為單位向量，且=0，若，則___________.答案：.【解析】因?yàn)椋?，，所以，所以．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．(2023·湖北·襄陽(yáng)四中高一階段練習(xí)）下列各式化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】對(duì)于A，，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故正確；故選：D2．(2023·黑龍江·建三江分局第一中學(xué)高一期末）“平面向量，平行”是“平面向量，滿足”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】若平面向量，平行，則向量，方向相同或相反，所以或；若，則，即向量，方向相同，以及向量，平行．綜上，“平面向量，平行”是“平面向量，滿足”的必要非充分條件．故選：B．3．(2023·湖北省天門(mén)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，故選：A4．(2023·內(nèi)蒙古大學(xué)滿洲里學(xué)院附屬中學(xué)高一期末）已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，，即，即，又，，解得，，所以.故選：C5．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實(shí)數(shù)，使得與垂直，則（

）A．2 B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛椋?，所以，因?yàn)榕c垂直，所以，即，解得.故選：B.6．(2023·江蘇·興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知非零向量、滿足，且，則的形狀是（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形答案：D【解析】因?yàn)楹头謩e表示向量和向量方向上的單位向量，由，的角平分線與垂直，為等腰三角形，且，且，，又，，，三角形為等邊三角形．故選：D．7．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?所以，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?(為中點(diǎn))，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?為中點(diǎn)),(為中點(diǎn)),所以，故正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故正確.故選：B.8．(2023·江蘇·金沙中學(xué)高一期末）如圖，矩形內(nèi)放置5個(gè)邊長(zhǎng)均為1的小正方形，其中，，，在矩形的邊上，且為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C．5 D．7答案：D【解析】由題圖知：，，，所以，由，，故.故選：D二、多選題9．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為答案：BC【解析】，,,解得,故A錯(cuò)誤,，由于，與的夾角為，故B正確,,故C正確在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤,故選：BC10．(2023·甘肅蘭州·高一期末）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的最小值與最大值分別是（

）A． B． C．4 D．6答案：AD【解析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，可以看作和在上的投影向量的模的乘積，因?yàn)椋援?dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)數(shù)量積最小，最小為；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)數(shù)量積最大，最大為.故選：AD.11．(2023·安徽省岳西縣湯池中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】如圖：對(duì)于選項(xiàng)A，，即選