高考數(shù)學(xué)大題精做專題04直線與拋物線相結(jié)合問題(第五篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題04直線與拋物線相結(jié)合問題類型對應(yīng)典例直線與拋物線相結(jié)合求直線方程典例1直線與拋物線的位置關(guān)系典例2拋物線中的弦長問題典例3拋物線中的中點弦問題典例4拋物線中的焦點弦問題典例5【典例1】【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第二次模擬考試】已知拋物線的焦點為，過點，斜率為1的直線與拋物線交于點，，且.（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線交拋物線于不同于的兩點、，若直線，分別交直線于兩點，求取最小值時直線的方程.【典例2】【東北三省三校2019屆高三第三次模擬】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，若為拋物線上第一象限的一動點，過作的垂線交準(zhǔn)線于點，交拋物線于兩點.（Ⅰ）求證：直線與拋物線相切；（Ⅱ）若點滿足，求此時點的坐標(biāo).【典例3】【山西省忻州市第一中學(xué)2020屆月考】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，過點且與直線相切的動圓圓心為點，記點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）若直線與相交于兩點，與軸的交點為.若，求.【典例4】【福建省廈門市2020屆檢測】已知拋物線C：的焦點為F，直線l過點，交拋物線于A、B兩點.（1）若P為中點，求l的方程；（2）求的最小值.【典例5】【安徽省合肥市2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測】已知拋物線上一點到其焦點下的距離為10.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)過焦點F的的直線與拋物線C交于兩點，且拋物線在兩點處的切線分別交x軸于兩點，求的取值范圍.【針對訓(xùn)練】1.【陜西省咸陽市2020屆檢測】設(shè)定點，動圓過點且與直線相切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)為直線上任意一點，過點作軌跡的兩條切線和，證明：．2.【山東省煙臺市2019屆高三高考一模考試】已知為拋物線的焦點，過的動直線交拋物線與兩點，當(dāng)直線與軸垂直時，.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，拋物線上存在點使得直線的斜率成等差數(shù)列，求點的坐標(biāo).3.【安徽省銅陵市第一中學(xué)2020屆月考】已知拋物線的方程為，拋物線的焦點到直線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)點在拋物線上，過點作直線交拋物線于不同于的兩點、，若直線、分別交直線于、兩點，求最小時直線的方程.4.【云南省昆明市2019屆高三高考模擬】設(shè)拋物線：的焦點為，是上的點．（1）求的方程：（2）若直線：與交于，兩點，且，求的值．5．【福建省2019屆高三畢業(yè)班3月質(zhì)量檢測考試】在平面直角坐標(biāo)系中,圓外的點在軸的右側(cè)運動,且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離,記的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點的直線交于,兩點,以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點,線段交于點,證明：的面積是的面積的四倍.6.【2019屆江西省贛州市高三年級調(diào)研】已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點，且弦中點的縱坐標(biāo)為2.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記點，過點作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點）兩點，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題04直線與拋物線相結(jié)合問題類型對應(yīng)典例直線與拋物線相結(jié)合求直線方程典例1直線與拋物線的位置關(guān)系典例2拋物線中的弦長問題典例3拋物線中的中點弦問題典例4拋物線中的焦點弦問題典例5【典例1】【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第二次模擬考試】已知拋物線的焦點為，過點，斜率為1的直線與拋物線交于點，，且.（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線交拋物線于不同于的兩點、，若直線，分別交直線于兩點，求取最小值時直線的方程.【思路引導(dǎo)】（1）直曲聯(lián)立表示出拋物線弦長，得到關(guān)于的方程，求出，得到拋物線的方程.（2）直線與拋物線聯(lián)立，得到、，再根據(jù)題意，得到點和點的坐標(biāo)，用和表示出，代入、的關(guān)系，得到函數(shù)，求出最小值.從而得到直線的方程.【詳解】（1），直線的方程為，由，聯(lián)立，得，，，，拋物線的方程為：.（2）設(shè)，，直線的方程為：，聯(lián)立方程組消元得：，∴，.∴.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組解得，又，∴.同理得.∴.令，，則.∴.∴當(dāng)即時，取得最小值.此時直線的方程為，即.【典例2】【東北三省三校2019屆高三第三次模擬】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，若為拋物線上第一象限的一動點，過作的垂線交準(zhǔn)線于點，交拋物線于兩點.（Ⅰ）求證：直線與拋物線相切；（Ⅱ）若點滿足，求此時點的坐標(biāo).【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）設(shè)，由此可得直線的斜率，進(jìn)而得到直線的斜率，由此得到的方程為，令可得點的坐標(biāo)，于是可得直線的斜率．然后再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到在點A處的切線的斜率，比較后可得結(jié)論．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后得到二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及可求得點A的坐標(biāo)．【詳解】（Ⅰ）由題意得焦點．設(shè)，∴直線的斜率為，由已知直線斜率存在，且直線的方程為，令，得，∴點的坐標(biāo)為，∴直線的斜率為．由得，∴，即拋物線在點A處的切線的斜率為，∴直線與拋物線相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線的方程為，由消去整理得，設(shè)，則．由題意得直線的斜率為，直線的斜率為，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，∴，又，且，∴存在，使得．【典例3】【山西省忻州市第一中學(xué)2020屆月考】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，過點且與直線相切的動圓圓心為點，記點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）若直線與相交于兩點，與軸的交點為.若，求.【思路引導(dǎo)】（1）結(jié)合拋物線第一定義即可求解；（2）需要將問題轉(zhuǎn)化，設(shè)的中點為，結(jié)合可得，聯(lián)立直線和拋物線方程，表示出對應(yīng)的弦長，由點到點距離公式求得長度，解方程即可解得，進(jìn)而求解弦長【詳解】（1）由題可知，圓心軌跡到定點的距離等于到定直線的距離，故點的軌跡為拋物線，拋物線焦點為，則的方程為；（2）由可知，線段，設(shè)的中點為，則，聯(lián)立，則，將代入直線得，直線與軸交點為：，則，由弦長公式可得，又，聯(lián)立化簡可得，解得（負(fù)值舍去），則【典例4】【福建省廈門市2020屆檢測】已知拋物線C：的焦點為F，直線l過點，交拋物線于A、B兩點.（1）若P為中點，求l的方程；（2）求的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）方法一：利用點差法求中點弦所在直線斜率，再根據(jù)點斜式得結(jié)果；注意驗證所求直線與拋物線有兩個交點；方法二：設(shè)中點弦所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及中點坐標(biāo)公式求中點弦所在直線斜率，再根據(jù)點斜式得結(jié)果；注意考慮中點弦直線斜率不存在的情況是否滿足題意；（2）由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，方法一：設(shè)直線l：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值，注意比較直線斜率不存在的情況的值；方法二：設(shè)直線l：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值，此種設(shè)法已包含直線斜率不存在的情況.【詳解】解：（1）方法一：設(shè)，，，則，，，化簡得，因為的中點為，，，∴l(xiāng)的方程為，即.經(jīng)檢驗，符合題意.方法二：設(shè)，，當(dāng)斜率不存在時，顯然不成立.當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l：，顯然，由得易知，，因為的中點為，，即，解得，∴l(xiāng)的方程為（2）方法一：由拋物線的定義可知當(dāng)斜率不存在時，直線l：，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l：，顯然，由得，易知，，時，的最小值為綜上，的最小值為方法二：由拋物線的定義可知顯然直線l不平行于x軸，設(shè)直線l：，由得，易知，，，時，的最小值為【典例5】【安徽省合肥市2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測】已知拋物線上一點到其焦點下的距離為10.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)過焦點F的的直線與拋物線C交于兩點，且拋物線在兩點處的切線分別交x軸于兩點，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由拋物線的定義，可得到，即可求出，從而得到拋物線的方程；（Ⅱ）直線的斜率一定存在，可設(shè)斜率為，直線為，設(shè)，，由可得，，，然后對求導(dǎo)，可得到的斜率及方程表達(dá)式，進(jìn)而可表示出，同理可得到的表達(dá)式，然后對化簡可求出范圍。解：（Ⅰ）已知到焦點的距離為10，則點到準(zhǔn)線的距離為10.∵拋物線的準(zhǔn)線為，∴，解得，∴拋物線的方程為.（Ⅱ）由已知可判斷直線的斜率存在，設(shè)斜率為，因為，則：.設(shè)，，由消去得，，∴，.由于拋物線也是函數(shù)的圖象，且，則：.令，解得，∴，從而.同理可得，，∴.∵，∴的取值范圍為.【針對訓(xùn)練】1.【陜西省咸陽市2020屆檢測】設(shè)定點，動圓過點且與直線相切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)為直線上任意一點，過點作軌跡的兩條切線和，證明：．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)拋物線的定義和題設(shè)中的條件可知的軌跡是以為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，焦點到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而求得拋物線的方程；（2）首先判斷過點過與曲線相切的直線斜率存在，設(shè)切線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，整理得出判別式等于0，從而求得，利用韋達(dá)定理得出，從而得到.【詳解】（1）依題意知，點的軌跡是以為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，方程為(2)設(shè)，顯然過與曲線相切的直線斜率存在，設(shè)切線方程為，與曲線聯(lián)立得，即，依題意，即，，分別是直線和的斜率，.2.【山東省煙臺市2019屆高三高考一?？荚嚒恳阎獮閽佄锞€的焦點，過的動直線交拋物線與兩點，當(dāng)直線與軸垂直時，.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，拋物線上存在點使得直線的斜率成等差數(shù)列，求點的坐標(biāo).【思路引導(dǎo)】（1）由題意可得，即可求出拋物線的方程，（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合直線，，的斜率成等差數(shù)列，即可求出點的坐標(biāo).解：（1）因為，在拋物線方程中，令，可得．于是當(dāng)直線與軸垂直時，，解得．所以拋物線的方程為．（2）因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得．設(shè)，，則，.若點滿足條件，則，即，因為點，，均在拋物線上，所以，，．代入化簡可得，將，代入，解得．將代入拋物線方程，可得．于是點為滿足題意的點．3.【安徽省銅陵市第一中學(xué)2020屆月考】已知拋物線的方程為，拋物線的焦點到直線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)點在拋物線上，過點作直線交拋物線于不同于的兩點、，若直線、分別交直線于、兩點，求最小時直線的方程.【思路引導(dǎo)】（1）焦點，根據(jù)點到直線的距離，求拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再求直線的方程，得到點的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示兩點間距離，求最值.試題解析：（1）拋物線的焦點為，，得，或（舍去）∴拋物線的方程為.（2）點在拋物線上，∴，得，設(shè)直線為，，，由得，；∴，，，由，得，同理；∴；∴當(dāng)時，，此時直線方程：.4.【云南省昆明市2019屆高三高考模擬】設(shè)拋物線：的焦點為，是上的點．（1）求的方程：（2）若直線：與交于，兩點，且，求的值．【思路引導(dǎo)】（1）直接把代入拋物線方程中，求出；（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，化簡，最后利用，求出的值.【詳解】（1）因為是上的點，所以，因為，解得，拋物線的方程為.（2）設(shè)，，由得，則，，由拋物線的定義知，，，則，，，解得.5．【福建省2019屆高三畢業(yè)班3月質(zhì)量檢測考試】在平面直角坐標(biāo)系中,圓外的點在軸的右側(cè)運動,且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離,記的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點的直線交于,兩點,以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點,線段交于點,證明：的面積是的面積的四倍.【思路引導(dǎo)】法一：（1）設(shè)P（x，y），x＞0，F(xiàn)（1，0）．由點P在⊙F外，可得點P到⊙F上的點的最小距離為|PF|﹣1，由題意可得：|PF|﹣1＝x，利用兩點之間的距離公式即可得出．（2）設(shè)N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．則D（，）．由題意可設(shè)直線AB的方程為：y＝k（x﹣1）（k≠0）．與拋物線方程聯(lián)立化為：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式可得D，M，N的坐標(biāo)．再利用三角形面積計算公式即可得出．法二：（1）由題意得，點到圓的距離等于到直線的距離，根據(jù)拋物線的定義求得軌跡方程.（2）設(shè)，，由題意可設(shè)直線AB的方程為：與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式可得D的坐標(biāo)，結(jié)合，可得，進(jìn)而求出N的坐標(biāo)，利用點的位置關(guān)系得到面積的關(guān)系.法三：（1）與法一同；（2）設(shè)，，由題意可設(shè)直線AB的方程為：與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式可得D，M的坐標(biāo)，利用斜率公式計算得到，再利用長度關(guān)系得到面積的關(guān)系.【詳解】解法一：（1）設(shè)，依題意，.因為在圓外，所以到圓上的點的最小距離為依題意得，即，化簡得的方程為.（2）設(shè)，，，則.依題意可設(shè)直線的方程，由得.因為，所以，則有，故，由拋物線的定義知.設(shè)，依題意得，所以.又因為，所以，解得，所以.，因為在拋物線上，所以，即，所以，，故解法二：（1）設(shè)，依題意.因為在圓外，所以到圓上的點的最小距離為.依題意得，點到圓的距離等于到直線的距離，所以在以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線上.所以的方程為..（2）設(shè)，，因為直線過，依題意可設(shè)其方程由得，因為，所以，則有.因為是的中點，所以.由拋物線的定義得.，設(shè)圓與相切于，因為與拋物線相交于，所以，且，所以，即，解得，設(shè)，則，且，所以，因為，所以為的中點，所以，又因為為的中點，，所以.解法三：（1）同解法一.（2）設(shè)，，連結(jié)，.因為直線過，依題意可設(shè)其方程由得.，因為，所以，所以.因為，，又因為，所以，解得，所以，所以，故.又因為，所以，從而.所以，又，所以.6.【2019屆江西省贛州市高三年級調(diào)研】已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點，且弦中點的縱坐標(biāo)為2.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；