2024學年高二數(shù)學上學期同步精講精練(人教A版選擇性必修第二冊)拓展四：構造函數(shù)法解決導數(shù)不等式問題(精講)(原卷版+解析)

拓展四：構造函數(shù)法解決導數(shù)不等式問題（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析重點題型一：構造或(，且)型重點題型二：構造或(，且)型重點題型三：構造或型重點題型四：構造或型第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1、兩個基本還原①②2、類型一：構造可導積函數(shù)①高頻考點1：②高頻考點1：高頻考點2③高頻考點1：④高頻考點1：高頻考點2⑤⑥序號條件構造函數(shù)123456783、類型二：構造可商函數(shù)①高頻考點1：②高頻考點1：高頻考點2：③⑥第二部分：第二部分：典型例題剖析重點題型一：構造或(，且)型1．(2023·四川·鹽亭中學模擬預測（文））已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．(2023·西藏昌都市第四高級中學一模（理））已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．(2023·四川省成都市第八中學校高三階段練習（文））已知定義在上的偶函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．(2023·江西·瑞金市第三中學高三階段練習（理））已知定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意的實數(shù)x，不等式恒成立，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．(2023·江西·贛州市贛縣第三中學高一階段練習（理））已知定義在上的偶函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．(2023·陜西師大附中高二期中（文））是定義在區(qū)間上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．7．(2023·廣東·華南師大附中高三階段練習）設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．(2023·河南·上蔡縣衡水實驗中學高三階段練習（文））已知奇函數(shù)是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，當時，有，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．9．(2023·四川·鹽亭中學高二階段練習（文））已知定義在上的連續(xù)函數(shù)，其導函數(shù)，當時，恒有成立．設，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．10．(2023·四川省南充市白塔中學高三開學考試（文））已知函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當時，，設，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．重點題型二：構造或(，且)型1．(2023·江蘇·漣水縣第一中學高三階段練習）是定義在上的函數(shù)，是的導函數(shù)，已知，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．(2023·江西省信豐中學高二階段練習（文））若定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則與的大小關系為（）A．＜ B．=C．＞ D．不能確定3．(2023·寧夏·平羅中學高三階段練習（文））設是定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（

）A． B．C． D．4．(2023·廣東·廣州市第五中學高三階段練習）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．(2023·陜西渭南·高二期末（理））已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，對任意滿足，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．6．(2023·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））已知是定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且不等式恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．重點題型三：構造或型1．(2023·貴州·貴陽一中高三階段練習（理））已知奇函數(shù)的導函數(shù)為，且在上恒有成立，則下列不等式成立的（

）A． B．C． D．2．(2023·湖北·高二階段練習）奇函數(shù)定義域為，其導函數(shù)是.當時，有，則關于x的不等式的解集為（）A．（，π） B．C． D．3．(2023·江西·高二期中（理））已知是定義域為的奇函數(shù)的導函數(shù)，當時，都有，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．(2023·江蘇·高三階段練習）已知定義在的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．5．(2023·吉林·長嶺縣第三中學高三階段練習）已知奇函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)是．當時，，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．重點題型四：構造或型1．(2023·福建龍巖·高二期中）設函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導函數(shù)，有，若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．2．(2023·甘肅·蘭州一中高三階段練習（理））已知偶函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，當時，有成立，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．(2023·江蘇南通·高三階段練習）已知函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．4．(2023·陜西渭南·高三階段練習（理））已知定義在上的奇函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（

）A． B．C． D．5．(2023·云南·峨山彝族自治縣第一中學高三階段練習（文））定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，若恒有，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．6．(2023·廣東·東莞市東華高級中學高二期末）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且對于任意的滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．7．(2023·遼寧·大連市第四十八中學高三期中）設奇函數(shù)的定義域為，且的圖象是連續(xù)不間斷，任意，有，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．(2023·全國·高二期末）已知定義在，上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是（

）A． B．C． D．9．(2023·重慶·高一階段練習）已知奇函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，當時，有成立，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．10．(2023·江西贛州·高二期末（理））對任意，不等式恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．11．(2023·重慶市廣益中學校高二階段練習）定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，當時，，則（

）A． B．C． D．12．(2023·廣西桂林·高三階段練習（文））已知定義在上的函數(shù)，是的導函數(shù)，且恒有成立，則（

）①；②；③；④.其中所有正確結論的編號是A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④拓展四：構造函數(shù)法解決導數(shù)不等式問題（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析重點題型一：構造或(，且)型重點題型二：構造或(，且)型重點題型三：構造或型重點題型四：構造或型第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1、兩個基本還原①②2、類型一：構造可導積函數(shù)①高頻考點1：②高頻考點1：高頻考點2③高頻考點1：④高頻考點1：高頻考點2⑤⑥序號條件構造函數(shù)123456783、類型二：構造可商函數(shù)①高頻考點1：②高頻考點1：高頻考點2：③⑥第二部分：第二部分：典型例題剖析重點題型一：構造或(，且)型1．(2023·四川·鹽亭中學模擬預測（文））已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】令，則，所以在單調遞減，不等式可以轉化為，即，所以.故選：D.2．(2023·西藏昌都市第四高級中學一模（理））已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】令，當時，，當時，，在上單調遞減；又為的奇函數(shù)，，即為偶函數(shù)，在上單調遞增；又由不等式得，當，即時，不等式可化為，即，由在上單調遞減得，解得，故；當，即時，不等式可化為，即，由在上單調遞增得，解得，故；綜上所述，不等式的解集為：．故選：D．3．(2023·四川省成都市第八中學校高三階段練習（文））已知定義在上的偶函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】當時，，所以當時，，令，則當時，，故在時，單調遞減，又因為在在R上為偶函數(shù)，所以在R上為奇函數(shù)，故在R上單調遞減，因為，所以，當時，可變形為，即，因為在R上單調遞減，所以，解得：，與取交集，結果為；當時，可變形為，即，因為在R上單調遞減，所以，解得：，與取交集，結果為；綜上：不等式的解集為.故選：A4．(2023·江西·瑞金市第三中學高三階段練習（理））已知定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意的實數(shù)x，不等式恒成立，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】設，則，所以在R上單調遞減；由，得，即，所以，解得.故選：A.5．(2023·江西·贛州市贛縣第三中學高一階段練習（理））已知定義在上的偶函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】當時，，∴，令，∴在上單調遞減，又是定義在上的偶函數(shù)，∴是上的奇函數(shù)，即在上單調遞減，∵，∴，當，即時，，∴；當，即時，，∴，則.故不等式的解集為.故選：A.6．(2023·陜西師大附中高二期中（文））是定義在區(qū)間上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】構造，則，因為定義域為，且，所以所以函數(shù)在上單調遞增，不等式可化為：，即，所以有，解得：.即不等式的解集為：.故選：D7．(2023·廣東·華南師大附中高三階段練習）設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】由題意設，則當時，有，當時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，，函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，在上遞減，由得，，不等式，或，即有或，使得成立的的取值范圍是：，，，故選：D8．(2023·河南·上蔡縣衡水實驗中學高三階段練習（文））已知奇函數(shù)是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，當時，有，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：C【詳解】令，則，因為當時，有，所以當時，，所以在上為增函數(shù)，因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以為R上的奇函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，由，得，，所以，因為為奇函數(shù)，所以，所以，得，所以不等式的解集為，故選：C9．(2023·四川·鹽亭中學高二階段練習（文））已知定義在上的連續(xù)函數(shù)，其導函數(shù)，當時，恒有成立．設，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．答案：C【詳解】解：令，則，當時，恒有成立，當時，，即在上單調遞減．則，，，，即，故選：C．10．(2023·四川省南充市白塔中學高三開學考試（文））已知函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當時，，設，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．答案：C【詳解】解：令，則，當時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象過原點，又函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，即，所以，是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，又，，所以，所以，；故選：C．重點題型二：構造或(，且)型1．(2023·江蘇·漣水縣第一中學高三階段練習）是定義在上的函數(shù)，是的導函數(shù)，已知，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】由，得,設，則，所以函數(shù)在上單調遞增，因為，所以，所以不等式等價于即，所以，解得，所以不等式的解集為.故選:D.2．(2023·江西省信豐中學高二階段練習（文））若定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則與的大小關系為（）A．＜ B．=C．＞ D．不能確定答案：C【詳解】設，則有，又因為，所以在R上恒成立，則函數(shù)在R上單調遞增，則，即，即＞.故選：C.3．(2023·寧夏·平羅中學高三階段練習（文））設是定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】構造函數(shù)，所以，又因為，所以，在上單調遞增，因為，所以，不等式，可整理為，即，因為函數(shù)在上單調遞增，所以.故選：D.4．(2023·廣東·廣州市第五中學高三階段練習）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】是偶函數(shù)，，則，即是奇函數(shù)，由，可得，構造，則單調遞增；，，即的周期為，則，即；不等式可化簡為，即，由單調性可得，解得故選：A5．(2023·陜西渭南·高二期末（理））已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，對任意滿足，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】構造函數(shù),則,因為,故,因此可得在上單調遞減，由于，故，故選：A6．(2023·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））已知是定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且不等式恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：B【詳解】由題意，構造函數(shù)，則因為不等式恒成立，所以，即在上單調遞增，對于A選項，因為，即，即，故A選項錯誤對于B選項，因為，即，即，故B選項正確對于C選項，因為，即，即，故C選項錯誤對于D選項，因為，即，即，故D選項錯誤故選：B重點題型三：構造或型1．(2023·貴州·貴陽一中高三階段練習（理））已知奇函數(shù)的導函數(shù)為，且在上恒有成立，則下列不等式成立的（

）A． B．C． D．答案：B【詳解】構造函數(shù)，由在上恒有成立，即在上為增函數(shù)，又由為偶函數(shù)，，故A錯誤.偶函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，故B正確；，，故C錯誤；，，故D錯誤.故選：B2．(2023·湖北·高二階段練習）奇函數(shù)定義域為，其導函數(shù)是.當時，有，則關于x的不等式的解集為（）A．（，π） B．C． D．答案：D【詳解】解：令，因為當時，有，所以，當時，，所以，函數(shù)在(內為單調遞減函數(shù)，所以，當時，關于的不等式可化為，即，所以；當時，，則關于的不等式可化為，即因為函數(shù)為奇函數(shù)，故，也即所以，即，所以，．綜上，原不等式的解集.故選：D．3．(2023·江西·高二期中（理））已知是定義域為的奇函數(shù)的導函數(shù)，當時，都有，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】因為是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)．設，∴當時，，∴在區(qū)間上是增函數(shù)，∴在區(qū)間是減函數(shù)，∵．當時，不等式等價于，當時，不等式等價于，∴原不等式的解集為．故選：D．4．(2023·江蘇·高三階段練習）已知定義在的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：B【詳解】設，則，所以在上是減函數(shù)，所以，即，A錯；，即，B正確；，即，C錯；的正負不確定，因此與大小不確定，D不能判斷．故選：B．5．(2023·吉林·長嶺縣第三中學高三階段練習）已知奇函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)是．當時，，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】解：設，∴，∵當時，，∴，∴在上單調遞減，∵是定義在上的奇函數(shù)，故，∴是定義在上的偶函數(shù)．∴在上單調遞增．①當時，，則不等式可轉化為，即，∴，故．②當時，，則不等式可轉化為，即，∴，故．不等式的解集為．故選：D．重點題型四：構造或型1．(2023·福建龍巖·高二期中）設函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導函數(shù)，有，若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．答案：C【詳解】因為，所以設，則，所以在上為增函數(shù)，又因為，，，，所以，即故選：C2．(2023·甘肅·蘭州一中高三階段練習（理））已知偶函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，當時，有成立，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】因為偶函數(shù)的定義域為，設，則，即也是偶函數(shù).當時，根據(jù)題意，則在上是減函數(shù)，而函數(shù)為偶函數(shù)，則在上是增函數(shù).于是，，所以.故選：A.3．(2023·江蘇南通·高三階段練習）已知函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：C【詳解】設，則，則在單增，對A，，化簡得，故A錯；對B，，化簡得，故B錯；對C，，化簡得，故C正確；對D，，化簡得，故D錯，故選：C4．(2023·陜西渭南·高三階段練習（理））已知定義在上的奇函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（

）A． B．C． D．答案：B【詳解】因為，所以，令，，則，所以單調遞增，所以，所以為奇函數(shù)，，所以，即，所以A，C錯誤；因為，所以，又因為為奇函數(shù)，所以，所以B正確；因為，所以．又因為為奇函數(shù)，所以，所以D錯誤．故選：B5．(2023·云南·峨山彝族自治縣第一中學高三階段練習（文））定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，若恒有，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】令，則因為，因為所以得所以在上單調遞減，故，所以，有故選：D6．(2023·廣東·東莞市東華高級中學高二期末）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且對于任意的滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：B【詳解】解：偶函數(shù)對于任意的滿足，令，則，即為偶函數(shù)．又，故在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，即，故B正確；，故A錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B．7．(2023·遼寧·大連市第四十八中學高三期中）設奇函數(shù)的定義域為，且的圖象是連續(xù)不間斷，任意，有，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【詳解】令