高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)探究與題型突破第33講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入(原卷版+解析)

第33講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).(2)分類：滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系.3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念[名師點(diǎn)睛]1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù)，則虛部b＝0，與實(shí)部a無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實(shí)部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0且b≠0.2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，則z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，則eq\o(z,\s\up6(－))＝z.[典例]1．(2023·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2．(2023·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測）已知，則“為純虛數(shù)”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件3．(2023·山東青島·二模）復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（

）A．1 B． C．2 D．4．（多選）(2023·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則[舉一反三]1．(2023·全國·高考真題（理））已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．(2023·北京八十中模擬預(yù)測）已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．1 C． D．33．（多選）(2023·福建省福州第一中學(xué)三模）設(shè)復(fù)數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A．恒成立 B．z可能是純虛數(shù)C．可能是實(shí)數(shù) D．的最大值為4．(2023·浙江省臨安中學(xué)模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為__________，__________．考點(diǎn)2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算[名師點(diǎn)睛](1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).[典例]1．(2023·全國·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．2．(2023·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．253．(2023·全國·高考真題）（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．2[舉一反三]1．(2023·山東臨沂·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)為單位，則=A． B． C． D．2．(2023·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）若，則（

）A．1 B． C．2 D．3．(2023·全國·高考真題（文））若．則（

）A． B． C． D．4．(2023·北京·二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則__________，__________．5．(2023·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）若是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)________．（寫成最簡結(jié)果）6．(2023·湖南師大附中三模）已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則_________.7．(2023·天津·靜海一中模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則________8．(2023·重慶八中模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則_________.9．(2023·廣東惠州·一模）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模等于___________.10．(2023·天津·耀華中學(xué)二模）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)___________.考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的幾何意義[名師點(diǎn)睛]1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.[典例]1.(2023·珠海一模)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1＝i2021，復(fù)數(shù)z2＝eq\f(|4－3i|,4＋3i)，則z1＋z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.(2023·衡水聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝a＋(a－1)i(a∈R)，則|z|的最小值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2) D.13.(多選)(2023·德州二模)已知復(fù)數(shù)z1＝eq\f(2,－1＋i)(i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是()A.z1對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限B.z1的虛部為－1C.zeq\o\al(4,1)＝4D.滿足|z|＝|z1|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上[舉一反三]1．(2023·北京市第五中學(xué)三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．(2023·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)（1–i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．（–∞，1） B．（–∞，–1）C．（1，+∞） D．（–1，+∞）3．（多選）(2023·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測）18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.下列說法正確的是（

）A．若，則或B．復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量與，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為9+iC．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為4．(2023·浙江·紹興一中模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足，其中是虛數(shù)單位，則z的虛部是________，復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于第_______象限．5．(2023·北京·北航實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)___________．6．(2023·天津和平·二模）復(fù)數(shù)：滿足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.7．(2023·江蘇·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)模擬預(yù)測）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為_______.考點(diǎn)4復(fù)數(shù)與方程[名師點(diǎn)睛](1)對實(shí)系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.(2)對復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.[典例]【例】已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個(gè)根.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測方程的另一個(gè)根，并給予證明.[舉一反三]1．（多選）(2023·山東泰安·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足方程，則（

）A．可能為純虛數(shù) B．該方程共有兩個(gè)虛根C．可能為 D．該方程的各根之和為22．(2023·湖南師大附中一模）已知是關(guān)于x的方程的根，則實(shí)數(shù)_______．3.在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程x2－ix＋i－1＝0.第33講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).(2)分類：滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系.3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念[名師點(diǎn)睛]1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù)，則虛部b＝0，與實(shí)部a無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實(shí)部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0且b≠0.2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，則z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，則eq\o(z,\s\up6(－))＝z.[典例]1．(2023·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．答案：B分析：利用復(fù)數(shù)相等的條件可求.【詳解】，而為實(shí)數(shù)，故，故選：B.2．(2023·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測）已知，則“為純虛數(shù)”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件答案：A分析：根據(jù)純虛數(shù)的定義判斷充分性，再舉反例判斷必要性即可【詳解】由題意，為純虛數(shù)則設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，可取，則為純虛數(shù)不成立.故“為純虛數(shù)”是“”的充分非必要條件故選：A3．(2023·山東青島·二模）復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（

）A．1 B． C．2 D．答案：A分析：利用復(fù)數(shù)的除法法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意可知，，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.4．（多選）(2023·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則答案：BD分析：對于A，舉例判斷，對于B，由復(fù)數(shù)相等的條件和復(fù)數(shù)的模的計(jì)算分析判斷，對于C，兩個(gè)虛數(shù)無大小關(guān)系，對于D，對已知的式子化簡變形即可【詳解】對于A，若，則滿足，而不滿足，所以A錯(cuò)誤，對于B，由，得，所以或，所以或，所以，所以B正確，對于C，因?yàn)閮蓚€(gè)虛數(shù)的模可以比較大小，而兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，所以C錯(cuò)誤，對于D，由，得，所以，所以D正確，故選：BD[舉一反三]1．(2023·全國·高考真題（理））已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．答案：A分析：先算出,再代入計(jì)算,實(shí)部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,得,即故選:2．(2023·北京八十中模擬預(yù)測）已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．1 C． D．3答案：C分析：首先計(jì)算左側(cè)的結(jié)果，然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.故選：C.3．（多選）(2023·福建省福州第一中學(xué)三模）設(shè)復(fù)數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A．恒成立 B．z可能是純虛數(shù)C．可能是實(shí)數(shù) D．的最大值為答案：ABD分析：首先根據(jù)題意得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】，對選項(xiàng)A，，，故A正確.對選項(xiàng)B，，當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)，故B正確.對選項(xiàng)C，令，即無解，故C錯(cuò)誤.對選項(xiàng)D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以的最大值為，故D正確.故選：ABD4．(2023·浙江省臨安中學(xué)模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為__________，__________．答案：

分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求出虛部，再利用復(fù)數(shù)的模長公式即可求出模長.【詳解】因?yàn)?，所以，則的虛部為，，故答案為：；.考點(diǎn)2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算[名師點(diǎn)睛](1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).[典例]1．(2023·全國·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．答案：C分析：由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】故選：C2．(2023·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25答案：B分析：利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．3．(2023·全國·高考真題）（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.4．(2023·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．2答案：D分析：利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D[舉一反三]1．(2023·山東臨沂·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)為單位，則=A． B． C． D．答案：A【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，故選A.2．(2023·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）若，則（

）A．1 B． C．2 D．答案：A分析：根據(jù)虛數(shù)單位i的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，可求出z，即可求得.【詳解】由題意得，故，故選：A．3．(2023·全國·高考真題（文））若．則（

）A． B． C． D．答案：D分析：根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：D.4．(2023·北京·二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則__________，__________．答案：

分析：利用復(fù)數(shù)的除法化簡得到，利用復(fù)數(shù)的模長公式即得.【詳解】∵，∴，.故答案為：；.5．(2023·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）若是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)________．（寫成最簡結(jié)果）答案：分析：由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算直接化簡可得.【詳解】.故答案為：6．(2023·湖南師大附中三模）已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則_________.答案：2分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，然后求得【詳解】，所以.故答案為：7．(2023·天津·靜海一中模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則________答案：分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則，化簡得，進(jìn)而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)得到，根據(jù)模長公式即可求解.【詳解】由得,所以,故.故答案為:8．(2023·重慶八中模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則_________.答案：分析：利用復(fù)數(shù)的除法和乘法運(yùn)算求解.【詳解】.故答案為：9．(2023·廣東惠州·一模）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模等于___________.答案：1分析：根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡目標(biāo)復(fù)數(shù)，再求其模長即可.【詳解】因?yàn)?，所以模?.故答案為：1.10．(2023·天津·耀華中學(xué)二模）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)___________.答案：.分析：根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，結(jié)合復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】，故答案為：.考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的幾何意義[名師點(diǎn)睛]1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.[典例]1.(2023·珠海一模)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1＝i2021，復(fù)數(shù)z2＝eq\f(|4－3i|,4＋3i)，則z1＋z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z1＝i2021＝i，z2＝eq\f(|4－3i|,4＋3i)＝eq\f(5（4－3i）,25)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i，所以z1＋z2＝eq\f(4,5)＋eq\f(2,5)i，故z1＋z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(2,5)))，在第一象限.2.(2023·衡水聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝a＋(a－1)i(a∈R)，則|z|的最小值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2) D.1答案B解析因?yàn)閦＝a＋(a－1)i，所以|z|＝eq\r(a2＋（a－1）2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))≥eq\f(\r(2),2)，所以|z|的最小值為eq\f(\r(2),2).3.(多選)(2023·德州二模)已知復(fù)數(shù)z1＝eq\f(2,－1＋i)(i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是()A.z1對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限B.z1的虛部為－1C.zeq\o\al(4,1)＝4D.滿足|z|＝|z1|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上答案AB解析由題意，復(fù)數(shù)z1＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝－1－i，所以復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是(－1，－1)，位于第三象限，所以A正確；復(fù)數(shù)z1的虛部為－1，所以B正確；zeq\o\al(4,1)＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正確；由|z1|＝eq\r(（－1）2＋（－1）2)＝eq\r(2)，得滿足|z|＝|z1|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓上，所以D不正確.[舉一反三]1．(2023·北京市第五中學(xué)三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】【詳解】的共軛復(fù)數(shù)為，對應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限，故選D.2．(2023·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)（1–i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．（–∞，1） B．（–∞，–1）C．（1，+∞） D．（–1，+∞）答案：B【詳解】設(shè)，因?yàn)閺?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得：，故選B.3．（多選）(2023·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測）18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.下列說法正確的是（

）A．若，則或B．復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量與，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為9+iC．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為答案：BCD分析：由復(fù)數(shù)的幾何意義對四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可．【詳解】對于選項(xiàng)A，設(shè)，只需即可，故錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，復(fù)數(shù)與分別表示向量與，表示向量的復(fù)數(shù)為，故正確；對于選項(xiàng)C，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則對應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故正確；對于選項(xiàng)D，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，內(nèi)圓半徑為1，外圓半徑為的圓環(huán)上，故所構(gòu)成的圖形面積為，故正確；故選：BCD．4．(2023·浙江·紹興一中模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足，其中是虛數(shù)單位，則z的虛部是________，復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于第_______象限．答案：

1

一分析：利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則計(jì)算出z，可得虛部及在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所位于的象限.【詳解】，故z的虛部為1，其對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故答案為：1；一.5．(2023·北京·北航實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)___________．答案：1【解析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的幾何意義直接計(jì)算即可得解.【詳解】，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意有：，則.故答案為：1.6．(2023·天津和平·二模）復(fù)數(shù)：滿足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.答案：分析：先求解出，從而得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由題意得：，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：7．(2023·江蘇·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)模擬預(yù)測）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為_______.答案：分析：利用復(fù)數(shù)的幾何意義知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿足，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)滿