新高考版2024年高考數(shù)學(xué)必刷壓軸題專題22雙曲線解答題壓軸題學(xué)生版

專題22雙曲線（解答題壓軸題）①雙曲線的中點(diǎn)弦問題1．（2024·四川·樹德中學(xué)高三期中（文））已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，為在動(dòng)直線（）上的投影.當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.(1)求的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).試問：是否存在，使得為的中點(diǎn)？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上．（1）求雙曲線C的方程及漸近線方程；（2）以為中點(diǎn)作雙曲線C的一條弦AB，求弦AB所在直線的方程．3．（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線C的焦點(diǎn)為、，實(shí)軸長為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且Q恰好為線段的中點(diǎn)，求直線l的方程.4．（2024·河南洛陽·高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線M與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且M與圓相切．(1)求M的虛軸長．(2)是否存在直線l，使得l與M交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為？若存在，求l的斜率；若不存在，請說明理由.②雙曲線中的最值問題1．（2024·全國·高三階段練習(xí)）在一張紙上有一圓，定點(diǎn)，折疊紙片上的某一點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn).(1)證明：為定值，并求出點(diǎn)的軌跡的軌跡方程；(2)若曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)分別為在第一象限上的點(diǎn)與在第四象限上的點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.2．（2024·全國·高二期中）已知雙曲線C：的漸近線方程為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且，求的最小值．3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的兩焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且關(guān)于原點(diǎn)對稱.若雙曲線C的實(shí)軸長為2，焦距為，且點(diǎn)P（0，-1）到漸近線的距離為.（1）求雙曲線C的方程；（2）若過點(diǎn)P的直線l分別交雙曲線C的左、右兩支于點(diǎn)A、B，交雙曲線C的兩條漸近線于點(diǎn)D、E（D在y軸左側(cè)）.記和的面積分別為、，求的取值范圍.4．（2024·江蘇·高二單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為雙曲線：的右頂點(diǎn)，直線與的一條漸近線平行.（1）求的方程；（2）如圖，?為的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的右支上，且的平分線與軸?軸分別交于點(diǎn)?，試比較與的大小，并說明理由；（3）在（2）的條件下，設(shè)過點(diǎn)?的直線與交于?兩點(diǎn)，求的面積最大值.5．（2024·湖南師大附中高二期中）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線的實(shí)軸長為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若曲線與在第一象限的交點(diǎn)為，求證：.（3）過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于的，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).記，的面積分別為，，求的最小值.6．（2024·全國·高二期末）已知等軸雙曲線的頂點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)、.（1）求等軸雙曲線的方程；（2）為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的隨意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為，和，，求的最小值.7．（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知以原點(diǎn)為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率．（Ⅰ）求該雙曲線的方程；（Ⅱ）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)③雙曲線中定點(diǎn)、定值、定直線問題1．（2024·河北·高三階段練習(xí)）已知圓A：，直線l（與x軸不重合）過點(diǎn)交圓A于C、D兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線的平行線交直線于點(diǎn)E.(1)證明為定值，并求點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡方程為，直線l與曲線交于M、N兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，是否存在實(shí)常數(shù)入，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.2．（2024·湖南·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在，請說明理由.3．（2024·湖南永州·一模）點(diǎn)在雙曲線上，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），分別表示直線的斜率，滿意，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).4．（2024·遼寧朝陽·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)點(diǎn)，在雙曲線上，直線，與軸分別相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若坐標(biāo)原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.5．（2024·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，且三角形的面積為．(1)求m的值；(2)已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，l與C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，若，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，證明：直線l經(jīng)過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)．6．（2024·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線和點(diǎn).(1)斜率為且過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求最小時(shí)的值.(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若曲線上存在定點(diǎn)，使為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值.7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)（2，3），兩條漸近線的夾角為60°，直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程．(2)若l過原點(diǎn)，P為雙曲線上異于A、B的一點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率、均存在．求證：為定值．(3)若l過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在x軸上的點(diǎn)M（m，0），使得直線l繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．8．（2024·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)料）已知雙曲線過點(diǎn)，且離心率為．(1)求雙曲線C的方程．(2)設(shè)直線l是圓上的動(dòng)點(diǎn)處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，證明：以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)．9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線．(1)求雙曲線C的離心率；(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B均異于左、右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點(diǎn)D，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．10．（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，，是雙曲線上除頂點(diǎn)以外的隨意兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)設(shè)直線與直線的斜率分別為，，求的值．(2)若，證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（2024·廣東汕尾·高二期末）已知點(diǎn)，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為雙曲線C的右頂點(diǎn)，已知，且點(diǎn)到一條漸近線的距離為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線：與雙曲線C交于兩點(diǎn)，，直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).12．（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是雙曲線的左?右兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線的右支上，且的面積為3.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若雙曲線的兩頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，摸索究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，懇求出該定直線方程；若不在，請說明理由.13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，點(diǎn)是直線上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿意.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；（3）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、，在線段上去異于點(diǎn)、的點(diǎn)，滿意，證明點(diǎn)恒在一條定直線上.④雙曲線中向量問題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線l過F與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，；(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)F且垂直于l的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．2．（2024·江蘇·南京師大附中高三階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，的右焦點(diǎn)與點(diǎn)的連線與的一條漸近線垂直．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)經(jīng)過點(diǎn)且斜率不為零的直線與的兩支分別交于點(diǎn)，．①若為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍；②若是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（－，0），（，0），點(diǎn)M滿意，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知A（1，0），過點(diǎn)A的直線AP，AQ與曲線C分別交于點(diǎn)P和Q（點(diǎn)P和Q都異于點(diǎn)A），若滿意AP⊥AQ，求證：直線PQ過定點(diǎn).4．（2024·全國·模擬預(yù)料）已知雙曲線C的一條漸近線方程為，，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)P為雙曲線C上隨意一點(diǎn)，連接直線PM，PN分別交C于點(diǎn)A，B，且，，求證：為定值，并求出該定值.5．（2024·四川省資中縣球溪高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線C：的漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線C分別交于左、右兩支上的A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)過原點(diǎn)O作直線，使得，且與雙曲線C分別交于左、右兩支上的點(diǎn)M、N．是否存在定值，使得？若存在，懇求出的值；若不存在，請說明理由．6．（2024·河南信陽·高二期末（文））已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，過作軸的垂線交雙曲線的兩條漸近線于，，得到三角形的面積為1.(1)求，；(2)設(shè)，，的三個(gè)點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，且.求證：的面積為定值.7．（2024·廣東·模擬預(yù)料）已知雙曲線的離心率為2，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由.8．（2024·山東·高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，．動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為．(1)求的方程．(2)設(shè)為直線上一點(diǎn)，過的直線與交于，兩點(diǎn)，試問是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．⑤雙曲線綜合問題1．（2024·河南·安陽一中高三階段練習(xí)（理））設(shè)為雙曲線的左?右頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形.(1)求雙曲線的離心率；(2)已知，若直線分別交直線于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角變更時(shí)，以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，、分別是它的左、右焦點(diǎn)，是其左頂點(diǎn)，且雙曲線的離心率為．設(shè)過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)位于第一象限內(nèi)．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線分別與直線交于兩點(diǎn)，證明為定值；(3)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知F1（－，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若＋，＝0，證明：存在定點(diǎn)T，使得|QT|為定值．4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，且的漸近線方程為．(1)求的方程；(2)如圖，過原點(diǎn)作相互垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，，在軸同側(cè)．①求四邊形面積的取值范圍；②設(shè)直線與兩漸近線分別交于，兩點(diǎn)，是否存在直線使，為線段的三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．5．（2024·杭州求是高級中學(xué)高二期末）已知雙曲線C的離心率，左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)T是y軸上的點(diǎn)，過T作兩直線分別交雙曲線C的左支于P、Q兩點(diǎn)和A、B兩點(diǎn)，若，P、Q兩點(diǎn)的中點(diǎn)為M，A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求兩直線OM和ON的斜率之和．6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，漸近線方程為，F(xiàn)到漸近線的距離為．(1)求C的方程；(2)若直線l過F，且與C交于P，Q兩點(diǎn)（異于C的兩個(gè)頂點(diǎn)），直線與直線AP，AQ的交點(diǎn)分別為M，N．是