高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：8 3 2 獨(dú)立性檢驗(yàn)(人教A版)

8．3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求了解隨機(jī)變量χ2的意義，通過(guò)對(duì)典型案例分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法.通過(guò)運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動(dòng)時(shí)間，某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動(dòng)方式，結(jié)果整理成下表：?jiǎn)栴}如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？提示可通過(guò)表格與圖形進(jìn)行直觀分析，也可通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析定量判斷．1.臨界值χ2

統(tǒng)計(jì)量也可以用來(lái)作相關(guān)性的度量．χ2

越小說(shuō)明變量之間越獨(dú)立，χ2越大說(shuō)明變量之間越相關(guān)2．獨(dú)立性檢驗(yàn)

基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：

當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；

當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立

，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．

這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn)(testofindependence)．下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題的大致步驟 (1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋； (2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較； (3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論； (4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．拓展深化[微判斷]1．概率值α越小，臨界值xα越大．

(

)2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于反證法．

(

)3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是有多大的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系．

(

)√√√

[微訓(xùn)練]1．如果根據(jù)小概率α＝0.01的χ2檢測(cè)試驗(yàn)，認(rèn)為H0成立，那么具體算出的數(shù)據(jù)滿足(

)

附表：α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828A.χ2＞6.635 B．χ2＞5.024C．χ2＞7.879 D．χ2＞3.841答案A

[微訓(xùn)練]1．如果根據(jù)小概率α＝0.01的χ2檢測(cè)試驗(yàn)，認(rèn)為H0成立，那么具體算出的數(shù)據(jù)滿足(

)

附表：α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828A.χ2＞6.635 B．χ2＞5.024C．χ2＞7.879 D．χ2＞3.841答案A2．某校為了研究“學(xué)生的性別”和“對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度”是否有關(guān)，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2＝7.069，則認(rèn)為“學(xué)生性別與支持某項(xiàng)活動(dòng)有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)(

) A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%解析∵χ2＝7.069>6.635＝x0.01，∴認(rèn)為“學(xué)生性別與支持某項(xiàng)活動(dòng)有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%.答案B[微思考]1．有人說(shuō)：“在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為吸煙和患肺病有關(guān)，是指每100個(gè)吸煙者中就會(huì)有99個(gè)患肺病的．”你認(rèn)為這種觀點(diǎn)正確嗎？為什么？

提示

觀點(diǎn)不正確．犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01說(shuō)明的是吸煙與患肺病有關(guān)的程度，不是患肺病的百分?jǐn)?shù)．2．應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的嗎？

提示

不一定．所有的推斷只代表一種可能性，不代表具體情況．題型一有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”【例1】某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表，用你所學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下，認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？

體育文娛合計(jì)男生212344女生62935合計(jì)275279解零假設(shè)為H0：喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒(méi)有關(guān)系∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，根據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.【訓(xùn)練1】打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)．下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)：

患心臟病未患心臟病合計(jì)每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計(jì)5415791633根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)系？解零假設(shè)為H0：打鼾與患心臟病無(wú)關(guān)系由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得≈68.033>10.828＝x0.001.根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.題型二有關(guān)“無(wú)關(guān)的檢驗(yàn)”【例2】為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語(yǔ)的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科生對(duì)外語(yǔ)有興趣的有138人，無(wú)興趣的有98人，文科生對(duì)外語(yǔ)有興趣的有73人，無(wú)興趣的有52人．試分析學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的興趣是否有關(guān)？

解零假設(shè)為H0：選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的興趣無(wú)關(guān)．

列出2×2列聯(lián)表

理文合計(jì)有興趣13873211無(wú)興趣9852150合計(jì)236125361代入公式得χ2的觀測(cè)值∵1.871×10－4＜2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，即選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的興趣無(wú)關(guān).規(guī)律方法獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強(qiáng)．【訓(xùn)練2】某教育機(jī)構(gòu)為了研究成年人具有大學(xué)專科以上學(xué)歷(包括大學(xué)?？?和對(duì)待教育改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了392名成年人進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：

積極支持教育改革不太贊成教育改革合計(jì)大學(xué)?？埔陨蠈W(xué)歷39157196大學(xué)專科以下學(xué)歷29167196合計(jì)68324392解零假設(shè)為H0：成年人具有大學(xué)?？埔陨蠈W(xué)歷(包括大學(xué)專科)和對(duì)待教育改革態(tài)度無(wú)關(guān)．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得因?yàn)?.78<2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以我們沒(méi)有理由說(shuō)成年人具有大學(xué)?？埔陨蠈W(xué)歷(包括大學(xué)?？?和對(duì)待教育改革態(tài)度有關(guān)．題型三獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用【例3】某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間(單位：時(shí))的樣本數(shù)據(jù)． (1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？ (2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率．(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．附：α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879(2)由頻率分布直方圖得學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的頻率為1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75.(3)由(2)知，300位學(xué)生中有300×0.75＝225(人)的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)．樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，可得每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表如下：

男生女生合計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)453075每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)16560225合計(jì)21090300零假設(shè)為H0：該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別無(wú)關(guān)．結(jié)合列聯(lián)表可算得根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.【訓(xùn)練3】某校高三年級(jí)在一次全年級(jí)的大型考試中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)系？

物理優(yōu)秀化學(xué)優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699解零假設(shè)為H0：數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績(jī)優(yōu)秀都無(wú)關(guān)系．列出數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的2×2列聯(lián)表如下：

物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀228132360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143737880合計(jì)3718691240列出數(shù)學(xué)成績(jī)與化學(xué)成績(jī)的2×2列聯(lián)表如下：

化學(xué)優(yōu)秀化學(xué)非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀225135360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀156724880合計(jì)3818591240列出數(shù)學(xué)成績(jī)與總分成績(jī)的2×2列聯(lián)表如下：

總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀26793360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀99781880合計(jì)3668741240根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績(jī)優(yōu)秀都有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.一、素養(yǎng)落地1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解

獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”成立，計(jì)算χ2的值，如果χ2值很大，說(shuō)明假設(shè)不合理，χ2越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．對(duì)兩個(gè)分類變量A，B的下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為(

) ①A與B無(wú)關(guān)，即A與B互不影響； ②A與B關(guān)系越密切，則χ2的值就越大； ③χ2的大小是判定A與B是否相關(guān)的唯一依據(jù) A．0 B．1 C．2 D．3

解析①正確，A與B無(wú)關(guān)即A與B相互獨(dú)立；②不正確，χ2的值的大小只是用來(lái)檢驗(yàn)A與B是否相互獨(dú)立；③不正確，例如借助三維柱形圖、二維條形圖等．故選B.

答案B2．高二第二學(xué)期期中考試，按照甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和及格統(tǒng)計(jì)人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：

優(yōu)秀及格合計(jì)甲班113445乙班83745合計(jì)197190則χ2的觀測(cè)值約為(

)A．0.600 B．0.828C．2.712 D．6.004答案A3．考察棉花種子經(jīng)過(guò)處理跟生病之間的關(guān)系得到下表數(shù)據(jù)：

種子處理種子未處理合計(jì)得病32101133不得病61213274合計(jì)93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可得出(

)A．種子是否經(jīng)過(guò)處理跟是否生病有關(guān)B．種子是否經(jīng)過(guò)處理跟是否生病無(wú)關(guān)C．種子是否經(jīng)過(guò)處理決定是否生病D．以上都是錯(cuò)誤的答案B4．(多選題)對(duì)于分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2的值，下列說(shuō)法正確的是(

) A．χ2越大，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 B．χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 C．χ2越接近于0，“X與Y沒(méi)有關(guān)系”的可信程度越小 D．χ2越大，“X與Y沒(méi)有關(guān)系”的可信程度越小解析χ2越大，“X與Y沒(méi)有關(guān)系”的可信程度越小，則“X與Y有關(guān)系”的可信程度越大，χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越?。鸢窧D5．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學(xué)不好，理科就怕英語(yǔ)不好”．下表是一次針對(duì)高三文科學(xué)生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù)．

總成績(jī)好總成績(jī)不好合計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)好478a490數(shù)學(xué)成績(jī)不好39924423合計(jì)bc913(1)計(jì)算a，b，c的值；(2)文科學(xué)生總成績(jī)不好與數(shù)學(xué)成績(jī)不好有關(guān)系嗎？解(1)由478＋a＝490，得a＝12.由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36.b＝478＋399＝877.(2)零假設(shè)為H0：文科學(xué)生總成績(jī)不好與數(shù)學(xué)成績(jī)不好沒(méi)有關(guān)系．計(jì)算得根據(jù)小概率值α＝0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為文科學(xué)生總成績(jī)不好與數(shù)學(xué)成績(jī)不好有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.備用工具&資料5．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學(xué)不好，理科就怕英語(yǔ)不好”．下表是一次針對(duì)高三文科學(xué)生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù)．

總成績(jī)好總成績(jī)不好合計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)好478a490數(shù)學(xué)成績(jī)不好39924423合計(jì)bc913(1)計(jì)算a，b，c的值；(2)文科學(xué)生總成績(jī)不好與數(shù)學(xué)成績(jī)不好有關(guān)系嗎？4．(多選題)對(duì)于分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2的值，下列說(shuō)法正確的是(

) A．χ2越大，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 B