高中數(shù)學選擇性必修3課件第六章 計數(shù)原理數(shù)學探究 楊輝三角的性質與應用(人教A版)

數(shù)學探究楊輝三角的性質與應用相關知識閱讀楊輝三角的歷史沿革北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算．楊輝，字謙光，南宋時期杭州人．在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了如上所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引自11世紀中葉(約公元1050年)賈憲的《釋鎖算術》，并繪畫了“古法七乘方圖”．故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”．元朝數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》(1303年)擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”．意大利人稱之為“塔塔利亞三角形”(TriangolodiTartaglia)以紀念在16世紀發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的塔塔利亞．在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學家帕斯卡在31歲時發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角”．布萊士·帕斯卡的著作Traitédutrianglearithmétique(1655年)介紹了這個三角形．帕斯卡搜集了幾個關于它的結果，并以此解決一些概率論上的問題，影響面廣泛，PierreRaymonddeMontmort(1708年)和亞伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡來稱呼這個三角形．21世紀以來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinesetriangle)歷史上曾經(jīng)獨立繪制過這種圖表的數(shù)學家有：賈憲中國北宋11世紀《釋鎖算術》楊輝中國南宋1261《詳解九章算法》記載之功朱世杰中國元代1299《四元玉鑒》級數(shù)求和公式阿爾·卡西阿拉伯1427《算術的鑰匙》阿皮亞納斯德國1527米歇爾．斯蒂費爾德國1544《綜合算術》二項式展開式系數(shù)薛貝爾法國1545B·帕斯卡法國1654《論算術三角形》其實，中國古代數(shù)學家在數(shù)學的許多重要領域中處于遙遙領先的地位．中國古代數(shù)學史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.數(shù)學之美：楊輝三角(帕斯卡三角)的奇特性質楊輝三角(也稱帕斯卡三角)相信很多人都不陌生，它是一個無限對稱的數(shù)字金字塔，從頂部的單個1開始，下面一行中的每個數(shù)字都是上面兩個數(shù)字的和．楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)．在歐洲，帕斯卡(1623—1662)在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形．帕斯卡的發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年．

就是這個看上去平平無奇的數(shù)字三角形，卻有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文將一一為您揭曉．1．最外層的數(shù)字始終是12．第二層是自然數(shù)列3．第三層是三角數(shù)列什么是三角數(shù)列，看一下圖就明白了，這個數(shù)列中的數(shù)字始終可以組成一個完美的等邊三角形．3．第三層是三角數(shù)列什么是三角數(shù)列，看一下圖就明白了，這個數(shù)列中的數(shù)字始終可以組成一個完美的等邊三角形．4．三角數(shù)列相鄰數(shù)字相加可得方數(shù)數(shù)列什么又是方數(shù)數(shù)列呢？雷同與三角數(shù)列，就是它的數(shù)字始終可以組成一個完美的正方形．5．每一層的數(shù)字之和是一個2倍增長的數(shù)列6.斐波那契數(shù)列沒錯，如果按照一定角度將直線上的數(shù)字相加，我們也可以從楊輝三角中找到斐波那契數(shù)列．斐波那契數(shù)列是指從0，1兩個數(shù)開始，每一位數(shù)始終是前兩位的和．這個數(shù)列有個神秘的特性，即越往后，相鄰兩數(shù)的比值越來越逼近黃金分割數(shù)0.618(或1.618，兩數(shù)互為倒數(shù))．斐波那契數(shù)列和黃金分割數(shù)不但在大自然中處處可見，在人類的藝術設計中也是應用非常廣泛．斐波那契數(shù)列是指從0，1兩個數(shù)開始，每一位數(shù)始終是前兩位的和．這個數(shù)列有個神秘的特性，即越往后，相鄰兩數(shù)的比值越來越逼近黃金分割數(shù)0.618(或1.618，兩數(shù)互為倒數(shù))．斐波那契數(shù)列和黃金分割數(shù)不但在大自然中處處可見，在人類的藝術設計中也是應用非常廣泛．7．素數(shù)素數(shù)是指只能被1和它本身整除的數(shù)字．然而在楊輝三角里，除了第二層自然數(shù)列包含了素數(shù)以外，其他部分的數(shù)字都完美避開了素數(shù)．8．可以被特定數(shù)整除的數(shù)字形成了奇妙的分形結構如果我們把楊輝三角再放大，就會發(fā)現(xiàn)這些可以被特定數(shù)字整數(shù)的數(shù)的分布非常有規(guī)律，它們會形成類似分形的圖案．備用工具&資料斐波那契數(shù)列是指從0，1兩個數(shù)開始，每一位數(shù)始終是前兩位的和．這個數(shù)列有個神秘的特性，即越往后，相鄰兩數(shù)