高中數學選擇性必修一課件1：2 5 1 第2課時 直線與圓的方程的實際應用(人教版)

2.5.1第2課時直線與圓的方程的實際應用第二章直線和圓的方程學習目標

學習目標1.理解并掌握直線與圓的方程在實際生活中的應用.2.會用“數形結合”的數學思想解決問題.

核心素養(yǎng)1．能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系．(邏輯推理)2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題．(數學建模)直線與圓的方程的實際應用方法仔細讀題(審題)→建立數學模型→解答數學模型→檢驗，給出實際問題的答案.新知探索直線與圓的方程的實際應用方法第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，如點、直線，將平面幾何問題轉化為代數問題.第二步：通過代數運算，解決代數問題.第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論.用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”新知探索直線與圓的方程的實際應用方法第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，如點、直線，將平面幾何問題轉化為代數問題.第二步：通過代數運算，解決代數問題.第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論.用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”新知探索小試身手1.一涵洞的橫截面是半徑為5m的半圓，則該半圓的方程是()A.x2＋y2＝25B.x2＋y2＝25(y≥0)C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D.隨建立直角坐標系的變化而變化答案：D典例精析題型一：直線與圓的方程的應用例1.一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報，臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？解：以臺風中心為坐標原點，以東西方向為x軸建立直角坐標系(如圖所示)，其中取10km為單位長度，則受臺風影響的圓形區(qū)域所對應的圓的方程為x2＋y2＝9，港口所對應的點的坐標為(0,4)，輪船的初始位置所對應的點的坐標為(7,0)，典例精析題型一：直線與圓的方程的應用例1.一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報，臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？則輪船航線所在直線l的方程為即4x＋7y－28＝0，圓心(0,0)到l：4x＋7y－28＝0的距離因為所以直線與圓相離.故輪船不會受到臺風的影響.規(guī)律方法題型一：直線與圓的方程的應用解決直線與圓的實際應用題的步驟(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知.(2)建系：建立適當的直角坐標系，用坐標和方程表示幾何模型中的基本元素.(3)求解：利用直線與圓的有關知識求出未知.(4)還原：將運算結果還原到實際問題中去.規(guī)律方法題型一：直線與圓的方程的應用解決直線與圓的實際應用題的步驟(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知.(2)建系：建立適當的直角坐標系，用坐標和方程表示幾何模型中的基本元素.(3)求解：利用直線與圓的有關知識求出未知.(4)還原：將運算結果還原到實際問題中去.典例精析題型二：坐標法的應用例2.如圖所示，AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，且AB⊥CD，E為垂足.利用坐標法證明E是CD的中點.證明:如圖所示，以O為坐標原點，以直徑AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設圓O的半徑為r，|OE|＝m，則圓O的方程為x2＋y2＝r2，設C(m，b1)，D(m，b2).則即b1，b2是關于b的方程m2＋b2＝r2的根，解方程得即(m，0).故E是CD的中點.則CD的中點坐標為不妨設規(guī)律方法題型二：坐標法(1)坐標法建立直角坐標系應堅持的原則①若有兩條相互垂直的直線，一般以它們分別為x軸和y軸.②充分利用圖形的對稱性.③讓盡可能多的點落在坐標軸上，或關于坐標軸對稱.④關鍵點的坐標易于求得.(2)通過建立坐標系，將幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算，求得結果.所以本例充分體現了數學建模和數學運算的數學核心素養(yǎng).典例精析題型三：直線與圓的綜合實際應用例3.某圓拱橋的水面跨度是20m，拱高為4m.現有一船寬9m，在水面以上部分高3m，通行無阻.近日水位暴漲了1.5m，為此，必須加重船載，降低船身，當船身至少降低____m時，船才能安全通過橋洞.(結果精確到0.01m)解：以水位未漲前的水面AB的中點為原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，設圓拱所在圓的方程為x2＋(y－b)2＝r2，∵圓經過點B(10,0)，C(0,4)，解得:典例精析題型三：直線與圓的綜合實際應用例3.某圓拱橋的水面跨度是20m，拱高為4m.現有一船寬9m，在水面以上部分高3m，通行無阻.近日水位暴漲了1.5m，為此，必須加重船載，降低船身，當船身至少降低____m時，船才能安全通過橋洞.(結果精確到0.01m)∴圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，故當水位暴漲1.5m后，船身至少應降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通過橋洞.規(guī)律方法實際應用的解題方法在實際問題中，遇到有關直線和圓的問題，通常建立直角坐標系，利用坐標法解決．建立適當的直角坐標系應遵循三點：(1)若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標軸；(2)常選特殊點作為直角坐標系的原點；(3)盡量使已知點位于坐標軸上．建立適當的直角坐標系，會簡化運算過程．要想學會建立適當的直角坐標系，必須靠平時經驗的積累．規(guī)律方法實際應用的解題方法在實際問題中，遇到有關直線和圓的問題，通常建立直角坐標系，利用坐標法解決．建立適當的直角坐標系應遵循三點：(1)若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標軸；(2)常選特殊點作為直角坐標系的原點；(3)盡量使已知點位于坐標軸上．建立適當的直角坐標系，會簡化運算過程．要想學會建立適當的直角坐標系，必須靠平時經驗的積累．跟蹤練習解析：從村莊外圍到小路的最短距離為圓心(2，－3)到直線x－y＋2＝0的距離減去圓的半徑2，即1.設某村莊外圍成圓形，其所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離是_________．答案：-2跟蹤練習2.如圖，圓弧形拱橋的跨度AB＝12m，拱高CD＝4m，則拱橋的直徑為________

m.解析:設圓心為O，半徑為r，則由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，所以拱橋的直徑為13m.即解得答案：13跟蹤練習3.一輛貨車寬1.6米，要經過一個半徑為3.6米的半圓形單行隧道，則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度最高約為（）A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米解析:以半圓所在直徑為x軸，過圓心且與x軸垂直的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.易知半圓所在的圓的方程為x2＋y2＝3.62(y≥0)，由圖可知，當貨車恰好在隧道中間行走時車篷最高，此時x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(負值舍去).答案：B所以選B.跟蹤練習4.如圖所示，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝.求新橋BC的長.解:如圖，以O為坐標原點，OC所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.由條件知，A(0,60)，C(170,0)，直線BC的斜率跟蹤練習4.如圖所示，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝.求新橋BC的長.又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率設點B的坐標為(a，b)，則解得a＝80，b＝120.因此新橋BC的長為150m.課堂小結直線與圓的方程的實際應用直線與圓的方程的實際應用直線與圓的方程的實際應用坐標法綜合應用綜合應用備用工具&資料跟蹤練習4.如圖所示，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝.求新橋BC的長.又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率設點B的坐標為(a，b)，則解得a＝80，b＝120.因此新橋BC的長為150m.跟蹤練習3.一輛貨車寬1.6米，要經過一個半徑為3.6米的半圓形單行隧道，則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度最高約為（）A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米解析:以半圓所在直徑為x軸，過圓心且與x軸垂直的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.易知半圓所在的圓的方程為x2＋y2＝3.62(y≥0)，由圖可知，當貨車恰好在隧道中間行走時車篷最高，此時x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(負值舍去).答案：B所以選B.直線與圓的方程的實際應用方法仔細讀題(審題)→建立數學模型→解答數學模型→檢驗，給出實際問題的答案.新知探索直線與圓的方程的實際應用方法第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，如點、直線，將平面幾何問題轉化為代數問題.第二步：通過代數運算，解決代數問題.第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論.用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”新知探索典例精析題型一：直線與圓的方程的應用例1.一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報，臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？解：以臺風中心為坐標原點，