高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件1：3 1 1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(人教版)

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的定義(1)文字語言：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于_____(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.(2)集合語言：P={M||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}.必備知識(shí)·素養(yǎng)奠基常數(shù)思考定義中的常數(shù)不滿足2a>|F1F2|時(shí)點(diǎn)的軌跡是什么?提示：(1)當(dāng)|PF1|+|PF2|=2a<|F1F2|時(shí)，P的軌跡不存在.(2)當(dāng)|PF1|+|PF2|=2a=|F1F2|時(shí)，P的軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的線段.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式焦點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)焦距焦點(diǎn)在x軸上

F1(-c,0),F2(c,0)2c(c>0)焦點(diǎn)在y軸上

________________2c(c>0)F1(0,-c),F2(0,c)思考：(1)從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何判斷橢圓焦點(diǎn)的位置？提示：判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些，即“誰大在誰上”.(2)在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a>b>c一定成立嗎？提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小關(guān)系不確定.素養(yǎng)小測(cè)1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)已知F1(-4，0)，F(xiàn)2(4，0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓. (

)(2)已知F1(-4，0)，F(xiàn)2(4，0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓. (

)(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4，0)，F(xiàn)2(4，0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5，3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓. (

)(4)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4，,0)，F(xiàn)2(4，0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(

)提示：(1)×.因?yàn)?a=|F1F2|=8，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2，不是橢圓.(2)×.2a<|F1F2|，動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在.(3)√.符合橢圓的定義.(4)×.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4，0)，F(xiàn)2(4，0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.2.已知F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，|F1F2|=8，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=10，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 (

)

A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段【解析】因?yàn)閨MF1|+|MF2|=10>|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓.【答案】A2.已知F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，|F1F2|=8，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=10，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 (

)

A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段【解析】因?yàn)閨MF1|+|MF2|=10>|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓.【答案】A關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例

已知橢圓的焦點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0),P是橢圓上一點(diǎn),且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中項(xiàng),則橢圓的方程是(

)

【解析】因?yàn)镕1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以|F1F2|=2，因?yàn)閨F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，所以點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓上，因?yàn)?a=4，a=2，c=1，所以b2=3，所以橢圓的方程是=1.【答案】C內(nèi)化·悟1.用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是什么?提示：先分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，可以先定位，再確定a，b的值.2.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)怎樣求標(biāo)準(zhǔn)方程?提示：若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定,需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n，m>0，n>0).類題·通待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，還是在兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能.(2)設(shè)方程.①依據(jù)上述判斷設(shè)方程為=1(a>b>0)或=1(a>b>0)；②在不能確定焦點(diǎn)位置的情況下也可設(shè)mx2+ny2=1(m>0，n>0且m≠n).類題·通待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，還是在兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能.(2)設(shè)方程.①依據(jù)上述判斷設(shè)方程為=1(a>b>0)或=1(a>b>0)；②在不能確定焦點(diǎn)位置的情況下也可設(shè)mx2+ny2=1(m>0，n>0且m≠n).(3)找關(guān)系：依據(jù)已知條件,建立關(guān)于a,b,c或m,n的方程組.(4)得方程:解方程組,將a,b,c或m,n代入所設(shè)方程即為所求.提醒:焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不同,其標(biāo)準(zhǔn)方程的形式也不同.習(xí)練·破已知方程=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是(

)A.m>2或m<-1 B.m>-2C.-1<m<2 D.m>2或-2<m<-1【解析】橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以m2>2+m，即m2-2-m>0.解得m>2或m<-1.又因?yàn)?+m>0，所以m>-2.所以m的取值范圍是m>2或-2<m<-1.【答案】D類型二橢圓定義及其應(yīng)用角度1用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例已知定點(diǎn)A(0，-2)，點(diǎn)B在圓C：x2+y2-4y-32=0上運(yùn)動(dòng)，C為圓心，線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為

.

【解析】如圖，由題意，得|PA|=|PB|，所以|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=r=6>|AC|=4，所以點(diǎn)P的軌跡E是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓，其中c=2，a=3，所以b=，所以橢圓方程為=1.【答案】=1角度2利用橢圓的定義解決焦點(diǎn)三角形問題典例

已知橢圓C：=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且∠PF1F2=60°，則△PF1F2的面積是

(

)

A.5 B. C. D.【解析】由題意可得a=3，c==2.設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，則m+n=6①，由余弦定理得，cos∠PF1F2=,即m2-n2-4m+16=0②，由①②解得m=,故△PF1F2的面積是【答案】D

類題·通1.橢圓定義的應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)連線長(zhǎng)度之間的相互轉(zhuǎn)化.(2)將橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的和看成一個(gè)整體，求解定值問題.2.橢圓定義解題的整體思想對(duì)于橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△F1PF2，如已知∠F1PF2，可利用S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2把|PF1|·|PF2|看成一個(gè)整體，運(yùn)用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨(dú)求出|PF1|和|PF2|，這樣可以減少運(yùn)算量.發(fā)散·拓橢圓中的焦點(diǎn)三角形：橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2，稱為焦點(diǎn)三角形.解關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形的問題，通常要利用橢圓的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識(shí)求解.橢圓=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上.若|PF1|=4，則|PF2|=

，∠F1PF2的大小為

.

習(xí)練·破【解析】由題意，得|PF1|+|PF2|=6，又|PF1|=4，所以|PF2|=2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2==-.所以∠F1PF2=120°.【答案】2

120°類型三與橢圓有關(guān)的軌跡問題典例

已知△ABC的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)B(0，-4)，C(0，4)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是 (

)

A.=1(x≠0) B.=1(x≠0)C.=1(x≠0) D.=1(x≠0)思維·引1.根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和頂點(diǎn)，得到點(diǎn)A到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離之和等于定值，得到點(diǎn)A的軌跡是橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，寫出橢圓的方程，去掉不合題意的點(diǎn).2.利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示P點(diǎn)和M點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，用代入法求得軌跡方程.【解析】因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)B(0，-4)，C(0，4)，所以|BC|=8，|AB|+|AC|=20-8=12，因?yàn)?2>8，所以點(diǎn)A到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離之和等于定值，所以點(diǎn)A的軌跡是橢圓.因?yàn)閍=6，c=4，所以b2=20，所以橢圓的方程是

=1(x≠0).【答案】B內(nèi)化·悟求軌跡方程的關(guān)鍵是什么?提示：關(guān)鍵是分析題中條件,選擇合適的求軌跡方程的方法.類題·通求與橢圓有關(guān)的軌跡方程常用的方法(1)定義法：若動(dòng)點(diǎn)的軌跡特點(diǎn)符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義，則可用定義法求解.(2)直接法：將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系直接坐標(biāo)化，列出等式后化簡(jiǎn),得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(3)相關(guān)點(diǎn)法:根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程,通過轉(zhuǎn)換求出動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程.習(xí)練·破若△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c成等差數(shù)列，且b=6，求頂點(diǎn)B的軌跡方程.解：以直線AC為x軸,AC的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(-3,0),C(3,0),B(x,y),則|BC|+|AB|=a+c=2b=2|AC|=12，所以B點(diǎn)的軌跡是以A,C為焦點(diǎn)的橢圓,且a＇=6,c＇=3,b＇2=27.故所求的軌跡方程為=1(y≠0).課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.方程=10化簡(jiǎn)的結(jié)果是 (

)

【解析】方程=10表示動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到兩個(gè)定點(diǎn)(±2,0)的距離之和為定值10,且10>2+2,由橢圓的定義可得：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，且2a=10，c=2，所以b2=a2-c2=52-22=21.所以橢圓的方程為：=1.【答案】B2.已知橢圓的焦點(diǎn)為(-1，0)和(1，0)，點(diǎn)P(2，0)在橢圓上，則橢圓的方程為 (

)

【解析】c=1，a=2，所以b2=a2-c2=3，所以橢圓的方程為=1.【答案】A3.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，則△F1PF2的面積=

.

【答案】4備用工具&資料3.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，則△F1PF2的面積=

.

2.已知橢圓的焦點(diǎn)為(-1，0)和(1，0)，點(diǎn)P(2，0)在橢圓上，則橢圓的方程為 (

)

1.橢圓的定義(1)文字語言：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于_____(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.(2)集合語言：P={M||MF1|+|MF2