高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件2:3 3 1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(人教版)_第1頁(yè)
高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件2:3 3 1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(人教版)_第2頁(yè)
高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件2:3 3 1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(人教版)_第3頁(yè)
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3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.拋物線的定義(1)文字語(yǔ)言:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離_____的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)集合語(yǔ)言:P={M||MF|=d}.必備知識(shí)·素養(yǎng)奠基相等思考定義中為什么要求直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F?提示:當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí),點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的一條直線,而不是拋物線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程由于拋物線焦點(diǎn)位置不同,方程也就不同,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下幾種形式:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).現(xiàn)將這四種拋物線對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程列表如下:標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形

焦點(diǎn)坐標(biāo)

準(zhǔn)線方程x=____x=y=_____y=p的幾何意義___________的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)線思考二次函數(shù)的圖象也是拋物線,與本節(jié)所學(xué)拋物線相同嗎?提示:不完全相同.當(dāng)拋物線的開口向上或向下時(shí)可以看作是二次函數(shù)的圖象,當(dāng)開口向左或向右時(shí)不能看作二次函數(shù)的圖象.素養(yǎng)小測(cè)1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)拋物線的方程都是二次函數(shù). (

)(2)準(zhǔn)線方程為y=4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=-16y.(

)(3)拋物線的開口方向由一次項(xiàng)確定. (

)提示:(1)×.當(dāng)拋物線是開口向上或向下時(shí),該曲線也是二次函數(shù)的圖象;當(dāng)拋物線是開口向右或向左時(shí),該曲線不是二次函數(shù)的圖象.(2)√.由題意可設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y==4,所以p=8,所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-16y.(3)√.一次項(xiàng)決定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定焦點(diǎn)是在正半軸或負(fù)半軸上,故該說(shuō)法正確.提示:(1)×.當(dāng)拋物線是開口向上或向下時(shí),該曲線也是二次函數(shù)的圖象;當(dāng)拋物線是開口向右或向左時(shí),該曲線不是二次函數(shù)的圖象.(2)√.由題意可設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y==4,所以p=8,所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-16y.(3)√.一次項(xiàng)決定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定焦點(diǎn)是在正半軸或負(fù)半軸上,故該說(shuō)法正確.

3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)(2,0)的距離比到直線x=-3的距離少1,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為

.

【解析】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)(2,0)的距離比到直線x=-3的距離少1,所以動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)(2,0)的距離與到直線x=-2的距離相等.根據(jù)拋物線的定義可知:動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線,其方程為y2=8x.

【答案】y2=8x關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例】1.頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線與y軸垂直,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,-1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (

)

A.y2=-2x

B.y2=2x

C.x2=2y

D.x2=-2y【解析】因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線與y軸垂直,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,-1),所以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py,p>0,把點(diǎn)(,-1)代入,得2=2p,解得p=1,所以拋物線方程為x2=-2y.【答案】D關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2.求焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2.求焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),已知方程x-2y-4=0,令x=0,得y=-2,所以所求拋物線的焦點(diǎn)為(0,-2),設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0),由-=-2,得2p=8,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y;當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),已知x-2y-4=0,令y=0,得x=4,所以拋物線的焦點(diǎn)為(4,0),設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),由=4,得2p=16,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x.綜上,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y或y2=16x.類題·通法拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法:建立適當(dāng)坐標(biāo)系,利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件,列出方程,進(jìn)行化簡(jiǎn),根據(jù)定義求出p,最后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法:由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,因而在求方程時(shí)應(yīng)首先確定焦點(diǎn)在哪一個(gè)半軸上,進(jìn)而確定方程的形式,然后再利用已知條件確定p的值.習(xí)練·突破根據(jù)下列條件分別求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點(diǎn);(2)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上,直線y=-3與拋物線交于點(diǎn)A,|AF|=5.

類型二拋物線的定義及其應(yīng)用【典例】1.動(dòng)圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動(dòng)圓恒與直線x+2=0相切,則動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn) (

)

A.(4,0)

B.(2,0)

C.(0,2)

D.(0,-2)【解析】

因?yàn)閳A心到直線x+2=0的距離等于到拋物線焦點(diǎn)的距離,所以定點(diǎn)為(2,0).【答案】B類型二拋物線的定義及其應(yīng)用【典例】2.已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)(1,0),且與直線x=-1相切,則動(dòng)圓的圓心的軌跡是

.

【解析】設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x,y),則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與其到直線x=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡是拋物線.【答案】拋物線內(nèi)化·悟拋物線的定義可以理解為“一動(dòng)三定”什么意思?提示:拋物線的定義可歸為“一動(dòng)三定”,即“一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M”“一個(gè)定點(diǎn)F”“一條定直線l”“一個(gè)定值”.其中“定點(diǎn)”為拋物線的焦點(diǎn),“定直線”為拋物線的準(zhǔn)線,“定值”指動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與它到定直線l(準(zhǔn)線)的距離之比等于1.類題·通法拋物線的判斷方法(1)定義判斷:可以看動(dòng)點(diǎn)是否符合拋物線的定義,即到定點(diǎn)的距離等于到定直線(直線不過(guò)定點(diǎn))的距離.(2)方程判斷:求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,看方程是否符合拋物線的方程.習(xí)練·突破1.若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則P點(diǎn)的軌跡方程是 (

)A.y2=-16x

B.y2=-32xC.y2=16x

D.y2=32

3.拋物線x2=4y上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是10,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為

.

【解析】設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),由拋物線方程x2=4y,知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1,由拋物線的定義,得|PF|=y0+1=10,所以y0=9,代入拋物線方程得x0=±6.

【答案】(6,9)或(-6,9)類型三拋物線的實(shí)際應(yīng)用【典例】河上有一拋物線形拱橋,當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí),水面寬為8m,一小船寬4m,高2m,載貨后船露出水面上的部分高0.75m,問(wèn):水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時(shí),小船開始不能通航?

內(nèi)化·悟解決拋物線的實(shí)際應(yīng)用的關(guān)鍵是什么?提示:拋物線應(yīng)用題的解題關(guān)鍵:把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,利用數(shù)學(xué)模型,通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言(文字、符號(hào)、圖形、字母等)表達(dá)、分析、解決問(wèn)題.類題·通法拋物線應(yīng)用題的解法建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法:以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系.這樣可使得標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱性,而且曲線過(guò)原點(diǎn),方程不含常數(shù)項(xiàng),形式更為簡(jiǎn)單,便于應(yīng)用.習(xí)練·破如圖是一種加熱水和食物的太陽(yáng)灶,上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡,鏡的軸截面是拋物線的一部分,盛水和食物的容器放在拋物線的焦點(diǎn)處,容器由若干根等長(zhǎng)的鐵筋焊接在一起的架子支撐.已知鏡口圓的直徑為12米,鏡深2米,若把盛水和食物的容器近似地看作點(diǎn),求每根鐵筋的長(zhǎng)度為多少米.解:如圖,在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合,x軸垂直于鏡口直徑.由已知,得A點(diǎn)坐標(biāo)是(2,6),設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則36=2p×2,p=9.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=18x,焦點(diǎn)坐標(biāo)是F.因?yàn)槭⑺褪澄锏娜萜髟诮裹c(diǎn)處,所以A,F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離即為每根鐵筋長(zhǎng).|AF|==6.5,故每根鐵筋的長(zhǎng)度是6.5米.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.對(duì)拋物線x2=4y,下列描述正確的是 (

)

A.開口向上,焦點(diǎn)為(0,1)B.開口向上,焦點(diǎn)為C.開口向右,焦點(diǎn)為(1,0)D.開口向右,焦點(diǎn)為【解析】拋物線x2=4y開口向上,焦點(diǎn)為(0,1).【答案】A

【答案】B

【答案】A4.如圖所示,等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.求拋物線E的方程.解:依題意,|OB|=8,∠BOy=30°.設(shè)B(x,y),則x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=12.因?yàn)辄c(diǎn)B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.故拋物線E的方程為x2=4y.

備用工具&資料4.如圖所示,等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.求拋物線E的方程.

1.拋物線的定義(1)文字語(yǔ)言:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離_____的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)集合語(yǔ)言:P={M||MF|=d}.必備知識(shí)·素養(yǎng)奠基相等2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程由于拋物線焦點(diǎn)位置不同,方程也就不同,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下幾種形式:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).現(xiàn)將這四種拋物線對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程列表如下:思考二次函數(shù)的圖象也是

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