河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次質(zhì)量考評理科數(shù)學試卷

河南省中原名校（即豫南九校）2018屆高三第六次質(zhì)量考評理科數(shù)學試卷第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題得,所以.故選C.2.已知復數(shù)，則（）A.1B.C.D.【答案】A3.已知雙曲線的漸近線與圓有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題得雙曲線的漸近線方程為，即.所以，故選B.4.若向量，向量，則（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】由題得,故選A.5.已知命題，命題.若為真命題，且為假命題，則函數(shù)的解析式可能為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因為為假命題,所以函數(shù)不是偶函數(shù),故選項B不滿足題意.對于選項A，如果滿足，則，顯然不滿足題意，所以選項A不滿足題意.對于選項C，如果滿足，則，滿足題意.對于選項D,如果滿足，則所以，而，所以選項D不滿足題意，故選C.6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則這幾何體的表面積為（）A.31B.52C.D.【答案】B【解析】由三視圖可知幾何體原圖為如圖所示的幾何體,所以,所以幾何體的表面積=52，故選B.7.我國東漢時期的數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣個問題：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問人數(shù)、雞價各幾何？設(shè)總?cè)藬?shù)為，雞的總價為，如圖的程序框圖給出了此問題的一種解法，則輸出的的值分別為（）A.7,58B.8,64C.9,70D.10,76【答案】C【解析】按照程序框圖運行，，所以x=9,y=70.故選C.8.已知函數(shù)，若集合含有4個元素，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題得解得：，所以（k∈Z），設(shè)直線y=﹣1與y=f（x）在（0，+∞）上從左到右的第四個交點為A，第五個交點為B，則，．由于方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四個實數(shù)根，則xA＜π≤xB，即，解得，故選D．9.函數(shù)與在同一坐標系內(nèi)的圖象不可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因為的圖像過原點,所以圖像中過原點的拋物線是函數(shù)的圖像,在選項C中,上面的圖像是函數(shù)的圖像,下面的是函數(shù)的圖像,所以,所以,由題得,因為a<0,所以恒成立，所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不是選項C中的圖像，故選C.10.已知是球表面上四點，點為的中點，若,，則球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可知與都是邊長為2的正三角形，如圖，過與的中心M,N分別作所在平面的垂線，兩垂線的交點就是球心O，在Rt中，∠MEO=60°，,所以O(shè)E=2ME=,所以球O的半徑,所以求O的表面積為.故選B.........................11.已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線與拋物線交于點，以線段為直徑的圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題得直線AB的方程為即y=x1,設(shè)A，聯(lián)立所以，|AB|=所以AB為直徑的圓E的圓心為（3,2），半徑為4.所以該圓E的方程為.所以點D恒在圓E外，圓E上存在點P,Q，使得以PQ為直徑的圓過點D(2,t)，即圓E上存在點P,Q，使得DP⊥DQ，顯然當DP,DQ與圓E相切時，∠PDQ最大，此時應滿足∠PDQ，所以，整理得.解之得，故選D.點睛：本題的難點在于分析轉(zhuǎn)化，本題的分析轉(zhuǎn)化，主要是利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過數(shù)形結(jié)合把問題轉(zhuǎn)化得簡潔明了.如果不用數(shù)形結(jié)合，本題解題會很復雜.12.已知函數(shù)，若與的值域相同，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題得所以函數(shù)f(x)在（0,1）上是增函數(shù)，在（1，+）是減函數(shù).所以，f(x)的值域為.設(shè)中，f(x)=t，則，所以y=f(t)與y=f(x)值域相同.因為函數(shù)f(x)在（0,1）上是增函數(shù)，在（1，+）是減函數(shù)，所以所以，故選A.點睛：本題的難點主要是難在轉(zhuǎn)化，與的值域相同如何轉(zhuǎn)化？這里要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域分析.轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想是高中數(shù)學中很重要的數(shù)學思想，要理解掌握和靈活運用.函數(shù)的分析轉(zhuǎn)化，主要是分析函數(shù)的圖像和性質(zhì).第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.的展開式中的系數(shù)為___________．【答案】【解析】對于,它的通項公式為.所以的系數(shù)為2=12.故填12.14.已知不等式組表示的平面區(qū)域為，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】由題得不等式組對應的可行域如圖所示，當直線經(jīng)過點A(3，4)時，直線的縱截距最大，z最小，且z的最小值為.當直線經(jīng)過點C（1,0）時，直線的縱截距最小，z最大，且z的最大值為.所以，所以，故填.15.已知函數(shù)，由是奇函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，類比這一結(jié)論，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點___________對稱.【答案】【解析】由題得所以是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.故填.16.在中，角的對邊分別為，設(shè)的面積為，若，則的最大值為___________．【答案】【解析】由題得由題得所以,當且僅當時取等號.所以的最大值為,故填點睛:本題的難在解題思路,第一個難點就是把中的分母化簡成,第二個難點是得到后，如何求tanA的最大值.轉(zhuǎn)化成利用基本不等式求cosA的最大值.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知等差數(shù)列的公差，其前項和為，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)見解析【解析】試題分析：（1）第（1）問，先通過已知條件求出d的值，再寫出數(shù)列的通項.(2)第（2）問，先化簡，再利用裂項相消求和，最后證明.試題解析：（1）由得，，因為成等比數(shù)列，所以，即，整理得，即，因為，所以，所以.（2）由（1）可得，所以，所以，所以.18.下表為2014年至2017年某百貨零售企業(yè)的線下銷售額(單位：萬元），其中年份代碼年份.（1）已知與具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預測2018年該百貨零售企業(yè)的線下銷售額；（2）隨著網(wǎng)絡(luò)購物的飛速發(fā)展，有不少顧客對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長表示懷疑，某調(diào)査平臺為了解顧客對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長的看法，隨機調(diào)查了55位男顧客、50位女顧客(每位顧客從“持樂觀態(tài)度”和“持不樂觀態(tài)度”中任選一種），其中對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長持樂觀態(tài)度的男顧客有10人、女顧客有20人，能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長所持的態(tài)度與性別有關(guān)？參考公式及數(shù)據(jù)：，，，【答案】(1)預測2018年該百貨零售企業(yè)的線下銷售額為377.5萬元，(2)以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)増長所持的態(tài)度與性別有關(guān).【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接利用公式求出線性回歸方程，再根據(jù)線性回歸方程預測.(2)第（2）問，先完成2×2列聯(lián)表，再求出的觀測值，最后下結(jié)論.試題解析：（1）由題意得，，所以，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為.由于，所以當時，，所以預測2018年該百貨零售企業(yè)的線下銷售額為377.5萬元.（2）由題可得列聯(lián)表如下：故的觀測值，由于，所以可以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)増長所持的態(tài)度與性別有關(guān).19.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，.（1）求證：平面平面；（2）若，試判斷棱上是否存在與點不重合的點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析(2)棱上不存在與點不重合的點，使得直線與平面所成角的正弦值為.【解析】試題分析：（1）第（1）問，把平面平面平面(2)第（2）問，先利用向量法得到直線與平面所成角的方程，再探究方程的解的情況，從而得到解答.試題解析：（1）因為四邊形是平行四邊形，，所以，又，所以，所以，又，且，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，如圖，分別以所在直線為軸、軸，平面內(nèi)過點且與直線垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則由，，可得，所以，假設(shè)棱上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則,即，令，可得，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，整理得，因為，所以，故無解，所以棱上不存在與點不重合的點，使得直線與平面所成角的正弦值為.20.已知橢圓的離心率，且橢圓與圓的4個交點恰為一個正方形的4個頂點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點為橢圓的下頂點，為橢圓上與不重合的兩點，若直線與直線的斜率之和為，試判斷是否存在定點，使得直線恒過點，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在定點，使得直線恒過點【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接根據(jù)已知條件得到關(guān)于a,b的一個方程組，再解方程組即可.(2)第（2）問，對直線的斜率分兩種情況討論.每一種情況都要先根據(jù)已知條件求直線DE的方程，再判斷其方程是否過定點.試題解析：（1）因為橢圓的離心率，所以，即，因為橢圓與圓的4個交點恰為一個正方形的4個頂點，所以直線與圓的一個交點在橢圓上，所以，由解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入得，，所以，即.設(shè)，則，因為直線與直線的斜率之和為，所以，整理得，所以直線的方程為，顯然直線經(jīng)過定點.當直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，因為直線與直線的斜率之和為，設(shè)，則，所以，解得，此時直線的方程為，顯然直線經(jīng)過定點.綜上，存在定點，使得直線恒過點.點睛：本題的關(guān)鍵是計算，先要把直線DE的方程和橢圓的方程聯(lián)立，得到比較復雜的韋達定理，再把韋達定理代入=，化簡得到,計算量比較大，如果計算出錯，則結(jié)果出錯.所以我們在計算時要認真細心.21.已知函數(shù).（1）當時，試判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：函數(shù)在上的最小值小于.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞増(2)見解析【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接求導，再利用二次求導求函數(shù)的單調(diào)性.(2)第（2）問，對a分類討論，再利用導數(shù)求出求每一種情況下函數(shù)的單調(diào)性，從而證明函數(shù)在上的最小值小于.試題解析：（1）由題可得，設(shè)，則，所以當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，所以，因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞増.（2）由（1）知在上單調(diào)遞増，因為，所以，所以存在，使得，即，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞増，所以當時，令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即當時，故函數(shù)在上的最小值小于.點睛：本題的難點在后，要證明f(t).這時，要再構(gòu)造函數(shù)，求它的單調(diào)性和最值，從而找到突破口.在導數(shù)解答里，構(gòu)造函數(shù)是一個常規(guī)技巧，我們要理解掌握和靈活運用.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線經(jīng)過點，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程；（2）若是曲線上兩點，求的值.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：（1）第（1）問，先把參數(shù)方程化成普通方程，再把普通方程化成極坐標方程.(2)第（2）問，先根據(jù)已知條件求出，再代入化簡求值.試題解析：（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程為，即，由，可得曲線的極坐標方程為，因為曲線經(jīng)過點，所以，解得(負值舍去