人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)20課時練習(xí)含答案

課時質(zhì)量評價(二十)1．(2024·南平模擬)已知函數(shù)f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f(x)在(1，f(1))處的切線方程；解：(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝2lnx－x2＋x(x＞0)，所以f′(x)＝2x－2x因為f(1)＝0，所以切點坐標為(1，0)，切線斜率為f′(1)＝1，所以切線方程為y－0＝1(x－1)，即y＝x－1.(2)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝ax－a在1e，e上有兩個不同的交點，求實數(shù)解：由題知f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)，函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝ax－a在1e令g(x)＝f(x)－y＝2lnx－x2＋a(x＞0)，所以g′(x)＝2x－2x＝-2因為x∈1e所以令g′(x)＝0，得x＝1，所以當(dāng)1e≤x＜1時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x≤e時，g′(x)＜0，g(x所以g(x)＝2lnx－x2＋a在1e，e上有最大值g(1)，g(1)＝因為g1e＝a－2－1e2，g(e)＝a又g(e)－g1e＝4－e2＋1e所以g(e)＜g1e所以g(x)＝2lnx－x2＋a在1e，e上有最小值g(e)＝a＋2－e所以g(x)＝2lnx－x2＋a在1e，e上有兩個不同的零點的條件是g1=a-1＞0，所以實數(shù)a的取值范圍為1，2．(2024·通遼模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋x2＋x＋a(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的極值點；解：(1)因為f(x)＝－x3＋x2＋x＋a(a∈R)，所以f′(x)＝－3x2＋2x＋1＝(3x＋1)(－x＋1)．令f′(x)＞0，解得－13＜x＜1；令f′(x)＜0，解得x＞1或x＜－1所以f(x)在-∞，-13，(1，＋所以f(x)的極小值點是－13(2)若函數(shù)f(x)有且只有兩個零點，求實數(shù)a的值．解：函數(shù)f(x)有且只有兩個零點，令f(x)＝0，則－x3＋x2＋x＝－a.令g(x)＝－x3＋x2＋x，即y＝g(x)與y＝－a的圖象有兩個交點．由(1)分析知g(x)在-∞，-13，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在-1要使函數(shù)f(x)有且只有兩個零點，即－a＝g(1)或－a＝g-13，解得a＝－1或a＝3．(2024·江門模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex－a(a∈R)．(1)求f(x)的極值；解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)＝(x＋2)ex.令f′(x)＜0，得x＜－2；令f′(x)＞0，得x＞－2，所以f(x)在區(qū)間(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(－2，＋∞)上單調(diào)遞增．所以當(dāng)x＝－2時，f(x)有極小值f(－2)＝－1e2－(2)若f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．解：函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex－a有兩個零點，取g(x)＝(x＋1)ex，則直線y＝a與函數(shù)y＝g(x)的圖象有兩個交點．g′(x)＝(x＋2)ex，令g′(x)＜0，得x＜－2；令g′(x)＞0，得x＞－2，所以g(x)在區(qū)間(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(－2，＋∞)上單調(diào)遞增．因為g(－1)＝0，g(－2)＝－1e當(dāng)x＜－1時，g(x)＜0，當(dāng)x＞－1時，g(x)＞0，當(dāng)x→－∞時，g(x)→0，當(dāng)x→＋∞時，g(x)→＋∞，所以函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示．結(jié)合圖象可知，當(dāng)－1e2＜a＜0時，直線y＝a與函數(shù)y＝g(x)的圖象有兩個交點，即f(故實數(shù)a的取值范圍為-14．已知函數(shù)f(x)＝x－lnx＋m，g(x)＝xe(1)若函數(shù)f(x)和g(x)的圖象都與平行于x軸的同一條直線相切，求m的值；解：由題意知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－1x＝x-1當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，故f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．由f(1)＝1＋m，可得y＝f(x)的圖象與直線y＝1＋m相切．因為g′(x)＝1-xex，則當(dāng)x∈(－∞，1)時，g′(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)故g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，g(1)＝1e，即y＝g(x)的圖象與直線y＝1因為兩函數(shù)圖象均與平行于x軸的同一條直線相切，則1＋m＝1e，即m＝1(2)若函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)有兩個零點x1，x2，證明：ex1·證明：F(x)＝f(x)－g(x)＝x－lnx＋m－xex＝－lnxex－xex＋m(x＞0)，令t1＝x由F(x1)＝F(x2)＝0，得－lnt1－t1＋m＝－lnt2－t2＋m＝0.易知函數(shù)y＝－lnt－t＋m在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故t1＝t2，即x1ex即g(x1)＝g(x2)．由(1)可知g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2.要證ex1·ex2＞e2，只需證x1＋x2＞2，只需證x2＞2－x1.又2－x1＞1，故只需證g(x2)因為g(x1)＝g(x2)，所以只需證g(x1)＜g(2－x1