人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)27課時練習(xí)含答案

課時質(zhì)量評價(二十七)1．如圖所示，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD＝()A．30° B．45°C．60° D．75°B解析：依題意可得AD＝2010m，AC＝305m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理的推論，得cos∠CAD＝AC2+AD2-CD又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.2．(2024·瀘州模擬)如圖，航空測量的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機飛行的海拔高度為10000m，速度為50m/s.某一時刻飛機看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650mB解析：如圖，設(shè)飛機的初始位置為點A，經(jīng)過420s后的位置為點B，山頂為點C，作CD⊥AB于點D，則∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°.在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得ABsin∠ACB＝則BC＝2100012×sin15°＝10500(因為CD⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(6-2)×22＝10500(3所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為10000－7350＝2650(m)．3．(數(shù)學(xué)與生活)我國無人機技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，并廣泛用于搶險救災(zāi)、視頻拍攝、環(huán)保監(jiān)測等領(lǐng)域．如圖，有一個從地面A處垂直上升的無人機P，對地面B，C兩受災(zāi)點的視角為∠BPC，且tan∠BPC＝13．已知地面上三處受災(zāi)點B，C，D共線，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1km，則無人機P到地面受災(zāi)點D處的遙測距離PDA．2km B．2kmC．3km D．4kmB解析：(方法一)由題意得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.設(shè)PD＝xkm，記∠PBD＝α，∠PCD＝β，所以tanα＝x2，tanβ＝x所以tan∠BPC＝tan(β－α)＝x-x21+x·x2＝xx又在Rt△PDA中，有PD＞AD，所以x＝2，即PD＝2km.(方法二)由題意知BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.設(shè)PA＝xkm，則PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝13，可得cos∠BPC＝3在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2x2+5·x2+2·310104．(多選題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，3(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝π3．若點D是△ABC外一點，DC＝1，DAA．△ABC的內(nèi)角B等于πB．△ABC的內(nèi)角C等于πC．△ACD的面積為3D．四邊形ABCD面積的最大值為53ABD解析：因為3(acosC＋ccosA)＝2bsinB，由正弦定理得3(sinAcosC＋sinCcosA)＝2sinBsinB，所以sinB＝32，所以B＝π又因為∠CAB＝π3，所以∠ACB＝πS△ACD＝12×1×3sinD＝32sinD，由于角在等邊三角形ABC中，設(shè)AC＝x，x＞0，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD，將DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cosD，所以四邊形ABCD的面積S＝S△ABC＋S△ACD＝12x·xsinπ3＋12×1×3sinD＝34x2＋32sinD＝34(10－6cosD)＋32所以當(dāng)D＝5π6時，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為55．甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在其北偏東60°方向上的B處，乙船正在以anmile/h的速度向北行駛，已知甲船的速度是3anmile/h，則甲船應(yīng)沿著方向前進，才能最快與乙船相遇．北偏東30°解析：如圖所示，設(shè)經(jīng)過th兩船在C點相遇．在△ABC中，BC＝at，AC＝3at，B＝180°－60°＝120°.由正弦定理BCsin∠CAB＝ACsinB，得sin∠CAB＝BCsin因為0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°，所以∠DAC＝60°－30°＝30°，即甲船應(yīng)沿北偏東30°的方向前進，才能最快與乙船相遇．6．(2023·全國甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的平分線交BC于點D，則AD＝．2解析：在△ABC中，由余弦定理得cos60°＝AC2+4-62×2AC，整理得AC2－2AC－2＝0，得因為S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2ACsin60°＝12×2ADsin30°＋12AC·AD·sin30°，所以AD＝237．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，且滿足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝2，則△BCD的面積為．16解析：設(shè)BD＝x，則AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x.因為∠ADC＋∠BDC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠BDC，由余弦定理可得9x2+2-2-3x22×2×3x＝－x2+2-2-x22×2×x，解得x＝13，故AD＝1，AC＝1，所以cosA＝8．如圖，在100m高的山頂B處，測得山下一塔頂D與塔底C的俯角分別為30°和60°，則塔高CD＝()A．4003m B．400C．20033m D．D解析：由題圖可知，山高AB＝100m，∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，所以∠BCA＝60°，∠CBD＝30°.在Rt△ABC中，BC＝ABsin∠BCA＝1003在△BCD中，∠CBD＝∠BCD＝30°，則∠BDC＝120°，由正弦定理CDsin30°＝BCsin120°，得CD＝9．(多選題)一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75°方向，距離126海里，燈塔C在A的北偏西30°方向，距離為123海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東60°方向，下面結(jié)論正確的有()A．AD＝24B．CD＝12C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D．∠CDA＝60°ABD解析：如圖，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得ADsin45°＝則AD＝126在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC·AD·cos30°，因為AC＝123，AD＝24，所以CD＝12，故B正確；由正弦定理得CDsin30°＝所以sin∠CDA＝32故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因為AD＞AC，故∠CDA為銳角，所以∠CDA＝60°，故C不正確，D正確．10．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝3π4，cosA＝17，則BC＝4(3－1)解析：在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝64，所以BD＝8，所以cos∠ABD＝AB2+B又因為AB⊥BC，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝12又∠CBD∈0，所以cos∠CBD＝1-sin2∠CBD所以sin∠BDC＝sin(∠BCD＋∠CBD)＝sin∠BCDcos∠CBD＋cos∠BCDsin∠CBD＝22×32－22×1在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC＝BDsin∠BCD＝所以BC＝82sin∠BDC＝82×6-2411．如圖，在△ABC中，AB＝2，3acosB－bcosC＝ccosB，點D在線段BC上．(1)若∠ADC＝3π4，求AD(2)若BD＝2DC，△ACD的面積為423，求解：(1)因為3acosB－bcosC＝ccosB，由正弦定理可得3sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA．因為A∈(0，π)，則sinA＞0，故cosB＝13，則B為銳角，所以sinB＝1-cos2因為∠ADC＝3π4，所以∠ADB＝π在△ABD中，由正弦定理得ADsinB＝ABsin∠ADB，所以AD223＝(2)設(shè)CD＝t，則BD＝2t.因為S△ACD＝423，則S△ABC＝3S△ACD＝4即12×2×3t×223＝42，解得t＝2，故BC在△ABC中，由余弦定理可得AC＝A＝4+36-2×2×6×13＝4在△ABD中，由正弦定理可得BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB，故sin∠BAD在△ACD中，由正弦定理可得CDsin∠CAD＝ACsin∠ADC，故sin∠CAD＝2因為sin∠ADB＝sin(π－∠ADC)＝sin∠ADC，所以sin∠BADsin∠CAD＝212．(2024·濟寧模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(2a＋c)·cos(A＋C)＋b＝2bcos2C2(1)求B；(2)如圖，若D為△ABC外一點，且∠BCD＝7π12，AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，求AC解：(1)由(2a＋c)cos(A＋C)＋b＝2bcos2C2得(2a＋c)cos(π－B)＝b2cos即－(2a＋c)cosB＝bcosC.由正弦定理得－(2sinA＋sinC)cosB＝sinBcosC，整理得－2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，所以－2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA．又A∈(0，π)，所以sinA＞0，所以cosB＝－12又B∈(0，π)，所以B＝2π3(2)如圖，連接BD.因為AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，所以BD