第5章 第1課時(shí)　平面向量的概念及線性運(yùn)算-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．?？键c(diǎn)：復(fù)數(shù)、向量的模及夾角．主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，向量的模及夾角的運(yùn)算，難度較小．2．輪考點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積．?dāng)?shù)量積側(cè)重?cái)?shù)量積的運(yùn)算和其幾何意義的理解；線性運(yùn)算側(cè)重于共線向量的應(yīng)用．第1課時(shí)平面向量的概念及線性運(yùn)算[考試要求]1．理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2．掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度(或稱模)．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量．規(guī)定：0與任意向量平行．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法幾何意義a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝|λ||a|；當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb提醒：λ，μ為實(shí)數(shù)．3．向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa．提醒：當(dāng)a≠0時(shí)，定理中的實(shí)數(shù)λ才唯一．[常用結(jié)論]1．P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)?OP＝12(2．若OP＝vOA＋μO(píng)B(μ，v為常數(shù))，O不在直線AB上，則P，A，B三點(diǎn)共線的充要條件是μ＋v＝1．3．若G為△ABC的重心，則有(1)GA+GB+GC＝0；(2)AG4．對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)；(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無(wú)關(guān)． ()(2)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反． ()(3)若a∥b，b∥c，則a∥c． ()(4)若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上． ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊(cè)P10練習(xí)T4改編)下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是()A．AB+ACB．AB?ADC．AB+D．AM+MB[答案]D2．(人教A版必修第二冊(cè)P23習(xí)題6.2T13改編)設(shè)e是單位向量，AB＝3e，CD＝－3e，|AD|＝3，則四邊形ABCD是()A．梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形B[∵AB＝3e，CD＝－3e，∴AB＝－CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵|AD|＝3，∴四邊形ABCD是菱形，故選B.]3．(人教A版必修第二冊(cè)P16例8改編)設(shè)向量a，b不共線，向量λa＋b與a＋2b共線，則實(shí)數(shù)λ＝________．12[∵λa＋b與a＋2b∴存在實(shí)數(shù)μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b),∴λ=μ，4．(人教A版必修第二冊(cè)P23習(xí)題6.2T10(1)改編)若a，b滿足|a|＝3，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______．82[|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a，b同向時(shí)取等號(hào)，所以|a＋b|max＝8.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反向時(shí)取等號(hào)，所以|a＋b|min＝2．]考點(diǎn)一平面向量的概念[典例1](1)(2024·江蘇南京模擬)下列說(shuō)法正確的是()A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對(duì)于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>b(2)(多選)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．EF＝CDB．AB與DE共線C．BD與CD是相反向量D．AE＝12|AC(1)C(2)ABC[(1)對(duì)于A，單位向量的模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若a，b同向共線，|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b反向共線，|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及三角形中兩邊之和大于第三邊，知|a＋b|<|a|＋|b|.綜上可知，對(duì)于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正確；對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤．故選C.(2)AE＝12AC向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的．(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量不可以比較大小，但向量的?？梢员容^大小．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．(4)aa是與非零向量a[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(2024·北京大興模擬)設(shè)a，b是非零向量，“aa＝bb”是“a＝bA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[由aa＝bb表示單位向量相等，得a，b同向，但不能確定它們的模是否相等，即不能推出a＝由a＝b表示a，b同向且模相等，則aa＝b所以“aa＝bb”是“a＝b故選B.]【教師備選資源】(2023·湖南雅禮中學(xué)一模)下列說(shuō)法正確的是()A．若a∥b，則a與b的方向相同或相反B．若a，b為非零向量，且aa＝bb，則a與C．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ使得a＝λbD．若e1，e2是兩個(gè)單位向量，且e1?e2B[對(duì)于A，當(dāng)a＝0時(shí)，a與b的方向可以既不相同也不相反，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，a，b為非零向量，aa表示與a方向相同的單位向量，bb表示與b方向相同的單位向量，因?yàn)閍a＝bb，所以對(duì)于C，當(dāng)b＝0，a為非零向量時(shí)，λ不存在，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，由e1?e2＝1，得1+1?2e1·e2考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算[典例2](1)如圖，O是?ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則下列等式成立的是()A．OA+OB＝AB B．OAC．AO?OB＝AB D．OA(2)在△ABC中，BD＝13BC，若AB＝a，AC＝b，則ADA．23a＋13b B．13aC．13a－23b D．23a(1)D(2)A[(1)由向量減法的運(yùn)算可得OA?OB＝BA，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以BA＝(2)法一：如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以AD＝AE+AF，因?yàn)锽D＝13BC，所以AE＝23AB，AF＝13AC，所以法二：AD＝AB+BD＝AB+13BC＝AB+13法三：由BD＝13BC，得AD?AB＝13(AC?AB)，所以AD＝AB根據(jù)向量的線性運(yùn)算求參數(shù)[典例3](2024·山西大同模擬)在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，M為AD的中點(diǎn)，BM＝mAB＋nAC，則m＋n＝()A．－12 B．1C．1 D．－1A[因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以BD＝12BC＝12又因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以BM＝12BA+12又BM＝mAB＋nAC，所以m＝－34，n＝1所以m＋n＝－12平面向量線性運(yùn)算的求解策略(1)共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用向量減法的幾何意義，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的線性運(yùn)算將目標(biāo)向量表示出來(lái)，再進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)已知單位向量e1，e2，…，e2024，則|e1＋e2＋…＋e2024|的最大值是________，最小值是________．(2)在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，若AB＝xAE＋yAF(x，y∈R)，則x－y＝________．(1)20240(2)2[(1)當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2024方向相同時(shí)，|e1＋e2＋…＋e2024|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2024|＝2024；當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2024滿足e1＋e2＋…＋e2024＝0時(shí)，|e1＋e2＋…＋e2024|的最小值為0.(2)由題意得AE＝AB+BE＝AF＝AD+DF＝因?yàn)锳B＝xAE＋yAF，所以AB＝x+所以x+y2=1，x2考點(diǎn)三向量共線定理的應(yīng)用[典例4](1)已知AB＝a＋5b，BC＝－3a＋6b，CD＝4a－b，則()A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線(2)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與邊AB，AC交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)AM＝xAB，AN＝y(tǒng)AC，則A．3 B．4C．5 D．6(1)A(2)A[(1)由題意得BD＝BC+CD＝a＋5b＝AB，又BD，AB有公共點(diǎn)B，所以A，(2)延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)H(圖略)，則H為BC的中點(diǎn)，∵G為△ABC的重心，∴AG＝23AH＝23×12(∵M(jìn)，G，N三點(diǎn)共線，∴13x+13y＝1，即利用向量共線定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量是否共線的主要依據(jù)．(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?AB，[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(2023·廣東廣州二模)在△ABC中，M是AC邊上一點(diǎn)，且AM＝12MC，N是BM上一點(diǎn)，若AN＝19AC＋mBCA．－13 B．－1C．16 D．(2)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且CP＝2PA，則△PAB與△PBC的面積之比是()A．13 B．1C．23 D．(1)D(2)B[(1)由AM＝12MC，得AC＝3由AN＝19AC＋mBC，得AN＝19AC＋m(AC?AB)＝19+m因?yàn)锽，N，M三點(diǎn)共線，所以13+3m＋(－m)＝1，解得m(2)∵CP＝2PA，∴P為邊AC靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，∴△PAB與△PBC的面積之比為12課時(shí)分層作業(yè)(三十二)平面向量的概念及線性運(yùn)算一、單項(xiàng)選擇題1．下列命題正確的是()A．|a|＝|b|?a＝b B．a(chǎn)≠b?|a|≠|(zhì)b|C．a(chǎn)∥b?a＝b D．|a|＝0?a＝0D[對(duì)于A，兩個(gè)向量的模相等，但方向不一定相同，所以錯(cuò)誤；對(duì)于B，若兩個(gè)向量是相反向量，則兩個(gè)向量的模相等，所以錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量平行不能得到向量相等，所以錯(cuò)誤；對(duì)于D，若一個(gè)向量的模等于0，則這個(gè)向量是0，所以正確．]2．(2024·北京朝陽(yáng)模擬)在△ABC中，BD＝12DC，則A．14AB+34C．13AB+2B[∵BD＝12DC，∴AD?AB＝12(3．(2023·浙江湖州二模)設(shè)M是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，則MA＋2MB＋2MC+A．AB B．CDC．2AB D．1A[M是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，則MA＝－MC，MD＝－所以MA＋2MB＋2MC+MD＝MA+MC+MC+MB+4．已知a，b是兩個(gè)不共線的平面向量，向量AB＝λa＋b，AC＝a－μb(λ，μ∈R)，若AB∥AC，則有()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1C[因?yàn)锳B∥AC，所以存在實(shí)數(shù)k使AB＝kAC.因?yàn)锳B＝λa＋b，AC＝a－μb(λ，μ∈R)，所以λa＋b＝k(a－μb)，可得λ=k，5．對(duì)于平面內(nèi)n個(gè)起點(diǎn)相同的單位向量ai(i＝1，2，…，n，n＝2k，k∈N＊)，若每個(gè)向量與其相鄰向量的夾角均為2πn，則a1與a2＋…＋anA．垂直 B．反向平行C．同向平行 D．無(wú)法確定B[根據(jù)題意可得a1＋a2＋…＋an＝0，所以a2＋…＋an＝－a1，所以a1與a2＋…＋an的位置關(guān)系為反向平行.故選B.]6．(2024·江蘇南通模擬)若向量a，b滿足|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列結(jié)論一定正確的是()A．a(chǎn)＝0B．存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λbC．存在實(shí)數(shù)m，n，使得ma＝nbD．|a－b|＝|a|－|b|C[當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共線，且同向，故存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝nm，其中m，n同號(hào)，即a＝nmb，即ma＝nb，則存在實(shí)數(shù)m，n，使得ma＝nb，當(dāng)a≠0，b＝0時(shí)，選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，|a－b|≠|(zhì)a|－|7．P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足PA+PB+PC＝2AB，△ABC的面積是S1，△PABA．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2B[∵PA+PB+PC＝2AB∴3AP＝BC，∴AP∥BC且方向相同，設(shè)AP與BC的距離為h，∵S△PAB＝12|AP|·h，S△ABC＝12|BC|·h，又∵|BC|＝3|AP|，∴S△PAB＝13S△ABC，S1＝3S8．如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，BF＝2FO，且FC＝λFD＋μFE，則λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．4D[∵FC＝FO+OC＝4FO＝4×12(FD+FE)＝2FD＋2FE，∴λ＝μ＝2，二、多項(xiàng)選擇題9．已知M為△ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，則下列等式成立的是()A．|MA|＝|MB|＝|MC|B．MA+MBC．BM＝2D．S△MBC＝13S△BD[如圖，M為△ABC的重心，則MA+MB+BM＝BD+DM＝BD+13(由DM＝13AD得S△MBC＝13S△ABC10．設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．若BM＝13BC，則AMB．若AM＝2AC－3AB，則M，B，C三點(diǎn)共線C．若AM＝λ(AB+AC)，BM＝(1－2μ)BC，λ，μ∈R，則λ＋μD．若AM＝xAB＋yAC且x＋y＝13，則△MBC的面積是△ABC面積的ACD[A選項(xiàng)，AM＝AB+BM＝AB+13BCB選項(xiàng)，假設(shè)M，B，C三點(diǎn)共線，則MB＝λBC，即AB?AM＝λ(AC?AB)，整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)AB，故當(dāng)λ＝－2時(shí)，即AM＝2AC?AB，與條件中的AM＝2AC－3AB不一致，所以C選項(xiàng)，根據(jù)AM＝λ(AB+AC可知點(diǎn)M在直線AD上，又由BM＝(1－2μ)BC，可知點(diǎn)M在直線BC上，所以點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，所以λ＝12，1－2μ＝12，即μ＝14，所以λ＋μD選項(xiàng)，因?yàn)锳M＝xAB＋yAC，而x＋y＝13，所以3AM＝3xAB＋3yAC，其中3x＋3y＝1，不妨設(shè)AQ＝3AM，則Q點(diǎn)在直線BC上，由于△MBC與△ABC同底，而高線之比等于MQ與AQ之比，即比值為2∶3，所以△MBC的面積是△ABC面積的2三、填空題11．(2024·四川成都模擬)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1?e－8[依題意得，BC＝?e1－3e2，于是BD＝BC+CD＝?e1?3e2+2e1?e2＝e1－4e2，由A，B，D三點(diǎn)共線可知，存在λ，使得AB＝λBD，即2e1＋ke2＝12．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于不同的兩點(diǎn)M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，則m＋2[連接AO(圖略)，則AO＝12(AB＋AC)＝m2AM＋n2AN，因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，所以m2＋n13．在△ABC中，E為AC上一點(diǎn)，AC＝3AE，P為線段BE上任一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，若AP＝xAB＋yAC，則1xA．8 B．10C．13 D．16D[由題意，如圖，AP＝λAB＋(1－λ)AE，且0<λ<1，又AC＝3AE，所以AP＝λAB+1?λ3AC，故x=λ，y=1?λ3，且0<λ<1，故1當(dāng)且僅當(dāng)1?λλ＝9λ1?λ，即λ＝所以1x+314．在平面上有△ABC及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：S△OBC·OA＋S△OAC·OB＋S△OAB·OC＝0，即稱為經(jīng)典的“奔馳定理