第7章 第1課時　基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．?？键c：空間幾何體的表面積與體積、空間線面位置關(guān)系的證明、立體幾何中的向量方法．空間幾何體的表面積與體積主要考查小題：一是柱、錐、臺體的體積與表面積的計算，二是球與柱、錐、臺體的切接問題；空間位置關(guān)系的證明與立體幾何中的向量方法主要考查解答題，第(1)問重點考查線面位置關(guān)系的證明；第(2)問重點考查空間角，尤其是二面角、線面角的計算．2．輪考點：空間幾何體的結(jié)構(gòu)．常與數(shù)學(xué)文化結(jié)合以客觀題的形式出現(xiàn)，主要考查對空間幾何體的結(jié)構(gòu)認(rèn)知，難度較小．第1課時基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積[考試要求]1．認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2．知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.3．能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖．1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)特殊的棱柱①側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．②側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．③底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．④底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體．(3)正棱錐底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．(4)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)2．立體圖形的直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4．柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝13臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上球S＝4πR2V＝43πR[常用結(jié)論]1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝24S原圖形，S原圖形＝22S一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱． ()(2)菱形的直觀圖仍是菱形． ()(3)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方． ()(4)底面是正多邊形的棱錐是正棱錐． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊P119練習(xí)T2改編)一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為()A．163π B．32C．16π D．24πB[設(shè)球的半徑為R，則S＝4πR2＝16π，解得R＝2，則球的體積V＝43πR3＝322．(人教A版必修第二冊P106習(xí)題8.1T8改編)如圖所示，長方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()A．棱臺B．四棱柱C．五棱柱D．簡單組合體C[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．]3．(人教A版必修第二冊P119練習(xí)T1改編)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A．1cm B．2cmC．3cm D．32B[設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，因為側(cè)面展開圖是一個半圓，所以πl(wèi)＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．]4．(人教A版必修第二冊P120習(xí)題8.3T3改編)如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1＝16．若側(cè)面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點．當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為________．12[設(shè)△ABC的面積為a，底面ABC水平放置時，液面高為h，側(cè)面AA1B1B水平放置時，水的體積為V＝34S△ABC·AA1＝34a·16＝12a，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水的體積為V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，所以當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為12考點一基本立體圖形結(jié)構(gòu)特征[典例1]下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說法的序號是________．①②[①正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個平面圍成的封閉圖形是四面體也就是三棱錐；③錯誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．]直觀圖[典例2](多選)如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，則以下說法正確的是()A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2倍C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC的周長是4＋42CD[根據(jù)斜二測畫法可知，在原圖形中，O為CA的中點，AC⊥OB，因為O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，則△ABC是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示：所以△ABC的周長是4＋42，面積是4，A錯誤，C，D正確．由斜二測畫法可知，△ABC的面積是△A′B′C′的面積的22倍，B錯誤．故選CD.]【教師備選資源】已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．34a2 B．38C．68a2 D．616D[法一：如圖①②所示的實際圖形和直觀圖，由圖②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝22O′C′＝68所以S△A′B′C′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a＝616法二：S△ABC＝12×a×asin60°＝34a又S直觀圖＝24S原圖＝24×34a2＝展開圖[典例3](1)如果圓錐的側(cè)面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．頂角為30°的等腰三角形D．其他等腰三角形(2)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為a，底面邊長為b，一只螞蟻從點A出發(fā)沿每個側(cè)面爬到A1，路線為A→M→N→A1，則螞蟻爬行的最短路程是()A．a(chǎn)B．9C．4D．a(chǎn)(1)A(2)A[(1)因為圓錐的側(cè)面展開圖是直徑為a的半圓面，所以圓錐的底面圓的直徑為a2，母線長也為a(2)正三棱柱的側(cè)面展開圖是如圖所示的矩形，矩形的長為3b，寬為a，則其對角線AA1的長為最短路程．因此螞蟻爬行的最短路程為a2(1)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧：緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)在斜二測畫法中，平行于x軸或在x軸上的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸或在y軸上的線段平行性不變，長度減半．(3)在解決空間幾何體最短距離問題時，一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(多選)下列說法中正確的是()A．長方體是直四棱柱B．兩個面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D．平行六面體不是棱柱(2)在我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個問題中，葛藤長的最小值為()A．2丈4尺 B．2丈5尺C．2丈6尺 D．2丈8尺(3)用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC＝AB＝1，則原平面圖形的面積為________．(1)AC(2)C(3)32[(1)長方體是直四棱柱，A正確；兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體，當(dāng)側(cè)棱延長后不交于同一點時，就不是棱臺，B錯誤；正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，C正確；平行六面體一定是棱柱，D錯誤．故選AC.(2)如圖，由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形ABEF，圓木的高AB＝24尺，BE＝5尺，因此葛藤繞圓木2周后最少長為BD＝AB2+(3)法一：如圖，過點A作AE⊥CD于點E，因為∠ADC＝45°，所以AD＝2AE＝2BC＝2，CD＝CE＋DE＝CE＋AE＝AB＋BC＝2.原平面圖形中A′D′＝22，A′B′＝AB＝1，C′D′＝CD＝2，作原平面圖形如下，則原平面圖形的面積為12(C′D′＋A′B′)×A′D′＝32法二：在直觀圖中，∠ADC＝45°，AB＝BC＝1，DC⊥BC，所以AD＝2，CD＝2，所以直角梯形ABCD的面積為1+2×12＝32，所以原圖形的面積為32×【教師備選資源】1．已知圓錐的母線長為1，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，則該圓錐的軸截面面積為()A．2C．5B[因為圓錐的母線長為1，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，所以圓錐的底面周長為1×2π3＝2π3，所以底面半徑為13，高為12?2．多面體歐拉定理是指對于簡單多面體，其各維對象數(shù)總滿足一定的數(shù)量關(guān)系，在三維空間中，多面體歐拉定理可表示為：V(頂點數(shù))＋F(表面數(shù))－E(棱長數(shù))＝2．在數(shù)學(xué)上，富勒烯的結(jié)構(gòu)都是以正五邊形和正六邊形面組成的凸多面體，例如富勒烯C60(結(jié)構(gòu)圖如圖)是單純用碳原子組成的穩(wěn)定分子，具有60個頂點和32個面，其中12個面為正五邊形，20個面為正六邊形．除C60外具有封閉籠狀結(jié)構(gòu)的富勒烯還可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540等，則C84結(jié)構(gòu)含有正六邊形的個數(shù)為()A．12 B．24C．30 D．32D[設(shè)分子中形狀為正五邊形和正六邊形的面各有x個和y個，V＝84，F(xiàn)＝x＋y，E＝3×84÷2.由歐拉公式V＋F－E＝2，可得84＋x＋y－3×84÷2＝2，即x＋y＝44.又由多邊形的邊數(shù)可表示C84的棱數(shù)，即(5x＋6y)÷2＝3×84÷2，即5x＋6y＝252，由x+y故C84結(jié)構(gòu)含有正六邊形的個數(shù)為32．]考點二空間幾何體的表面積與體積表面積[典例4](1)(2020·全國Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64π B．48πC．36π D．32π(2)(2024·湖南長沙模擬)為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為2∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為()A．78 B．43C．19 D．(1)A(2)B[(1)如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因為⊙O1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO12＋r2＝(23)2＋22＝16，所以球O(2)設(shè)正六邊形的邊長為a，由題意正六棱柱的高為2a，因為正六棱錐的高與底面邊長的比為2∶3，所以正六棱錐的高為23a，正六棱錐的側(cè)棱長為133a，正六棱錐的側(cè)面積S1＝6×12a139a正六棱柱的側(cè)面積S2＝6·a·2a＝12a2，所以S1S2體積[典例5](1)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則三棱錐A-B1CD1的體積為()A．43 B．8C．4 D．6(2)(2023·全國甲卷)在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝6，則該棱錐的體積為()A．1 B．3C．2 D．3(3)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，則該棱臺的體積為________．(1)B(2)A(3)766[(1)如圖，三棱錐A-B1CD1是由正方體ABCD-A1B1C1D1截去四個小三棱錐A-A1B1D1，C-B1C1D1，B1-ABC，D1-又VABCD?A1BVA?A1B1D1＝VC?B1C1D1＝VB1-所以VA?B1CD1(2)如圖，取AB的中點D，連接PD，CD，因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝3，又PC＝6，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD?平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP-ABC＝13×S△ABC×PD＝13×12(3)法一：如圖所示，設(shè)點O1，O分別為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，連接B1D1，BD，則點O1，O分別為B1D1，BD的中點，連接O1O，則O1O即是正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高，過點B1作B1E⊥BD，垂足為E，則B1E＝O1O.因為AB＝2，A1B1＝1，所以O(shè)B＝2，O1B1＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22，又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB12?BE2＝2?12＝62，所以O(shè)1O＝62，所以V正四棱臺ABCD?法二：如圖，將正四棱臺ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)形成正四棱錐P-ABCD，因為AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分別為PA，PB，PC，PD的中點，又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22.連接BD，取BD的中點為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2?BO2＝6，所以正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為62，所以V正四棱臺ABCD?A1B1C1D1＝13×(22＋12＋22×12)×62＝766.(或者V四棱錐P-ABCD＝13×22×6＝463，V四棱錐P?求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積，特別是三棱錐的體積(即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換)[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為43πC．AC＝22D．△PAC的面積為3(2)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬AD＝3丈，長AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF與平面ABCD平行，EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是()A．4立方丈 B．5立方丈C．6立方丈 D．8立方丈(3)如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，AC是四分之一圓，則圖中陰影部分以O(shè)C所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為________．(1)AC(2)B(3)5π[(1)AC(2)B(3)5π[(1)在△PAB中，由余弦定理得AB＝23.如圖，連接PO，易知圓錐的高h(yuǎn)＝PO＝1，底面圓的半徑r＝AO＝BO＝3.該圓錐的體積V＝13πr2h該圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πr·PA＝23π，B錯誤；取AC的中點H，連接PH，OH，因為OA＝OC，所以O(shè)H⊥AC，同理可得PH⊥AC，則二面角P-AC-O的平面角為∠PHO＝45°，所以O(shè)H＝PO＝1，AH＝CH＝AO2?OH2＝2，所以AC＝22，C正確；PH＝2OH＝2，S△PAC＝1(2)如圖，過點E作EG⊥平面ABCD，垂足為點G，過點F作FH⊥平面ABCD，垂足為點H，過點G作PQ∥AD，交AB于點Q，交CD于點P，過點H作MN∥BC，交AB于點N，交CD于點M，由圖形的對稱性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四邊形AQPD與四邊形NBCM都是矩形．則它的體積V＝VE-AQPD＋VEPQ-FMN＋VF-NBCM＝13·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋13·FH·S矩形NBCM＝13×1×1×3＋12×3×1×2＋13×(3)該旋轉(zhuǎn)體是一個圓柱挖去一個半球后剩余的部分，且圓柱的底面半徑是1，高是1，球的半徑是1，所以該旋轉(zhuǎn)體的表面積為π×12＋2π×1×1＋12×4π×12＝5π.【教師備選資源】1．(2024·湖北武漢模擬)已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為()A．8 B．163C．316 D．B[設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，球的半徑為R，則l＝2r＝R，即R＝2r，l＝2r，球的表面積S1＝4πR2＝16πr2，圓錐的表面積S2＝πrl＋πr2＝2πr2＋πr2＝3πr2，則S1S2＝162．(2024·河北石家莊模擬)一個圓錐的側(cè)面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，若該圓錐的體積為93π，則該圓錐的母線長為()A．3 B．33C．6 D．63C[設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，則圓錐側(cè)面展開的扇形面積為πrl，底面圓面積為πr2，因為πrl＝2πr2，所以l＝2r，得h＝l2?r2＝3r，所以圓錐的體積為V＝13πr2h＝13πr2·3r＝93π，解得3．(2024·江蘇常州模擬)如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個圓心角為60°的扇形．把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為13A．8π3 B．C．16π3C[假設(shè)圓錐半徑為R，母線為l，則R＝1．設(shè)圓臺上底面半徑為r，母線為l1，則r＝13由已知可得，π3＝2πRl＝2如圖，作出圓錐、圓臺的軸截面，則有l(wèi)?l1l＝rR＝13所以圓臺的側(cè)面積為π(R＋r)l1＝4×1+13課時分層作業(yè)(四十一)基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積一、單項選擇題1．(2024·河北衡水模擬)將12根長度相同的小木棍通過黏合端點的方式(不可折斷)，不可能拼成()A．正三棱柱 B．正四棱錐C．正四棱柱 D．正六棱錐D[正三棱柱中9條棱長度可以完全相等，A成立；正四棱錐中8條棱長度可以完全相等，B成立；正四棱柱中12條棱長度可以完全相等，C成立；因為正六邊形的中心到六個頂點的距離都等于邊長，所以正六棱錐的側(cè)棱長總比底邊長，D不成立．故選D.]2．(2023·山東濟(jì)南一模)已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為()A．24 B．6C．22 D．26B[由斜二測畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系S直觀圖S原圖∴該三角形直觀圖的面積為24×34×23．(2024·湖北武漢模擬)攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知正四棱錐的底面邊長為32m，側(cè)棱長為5m，則其體積為()A．242m3 B．24m3C．722m3 D．72m3B[如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，連接AC，BD交于點O，則點O為正方形ABCD的中心，連接OP，則底面邊長AB＝32(m)，對角線BD＝2AB＝6(m)，BO＝12BD又BP＝5(m)，故高OP＝BP故該正四棱錐的體積為V＝13×324．(2024·黑龍江齊齊哈爾模擬)科技是一個國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號(如圖1)是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050m，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55m，高19m，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的表面積約為(參考數(shù)據(jù)：42582≈32.6，π≈3.1A．2480m2 B．2498m2C．2502m2 D．2508m2A[由題圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為R＝192＝9.5而圓臺另一個底面的半徑為r＝1(m)，圓臺的母線長為l＝1722+31.52＝42582≈32.6(m)，則S半球＝12×4×π×9.52＝180.5π(m2)，SS圓臺側(cè)≈π1+192×32.6＝342.3π(m2)，S圓臺底所以S表＝180.5π＋266π＋342.3π＋π＝789.8π≈789.8×3.14≈2480(m2)．故選A.]5．(2023·湖北武漢二調(diào))某車間需要對一個圓柱形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑為15cm，高為10cm，加工方法為在底面中心處打一個半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔．若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應(yīng)設(shè)計為()A．10 B．15C．4 D．5D[大圓柱表面積為2×152π＋10×2×15π＝750π，小圓柱側(cè)面積為10×2πr，上、下底面積之和為2πr2，所以加工后工件的表面積為750π＋20πr－2πr2，當(dāng)r＝5時表面積最大．故選D.]6．長方體的體對角線長為1，表面積為1，有一面為正方形，則其體積為()A．2108 B．2C．29 D．B[不妨設(shè)長方體底面為正方形，邊長為a，高為b，則底面的對角線為a2+a2∵長方體的體對角線長為1，表面積為1，∴4ab+2∴長方體體積為a2b＝227故選B.]7．(2023·天津高考)在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點M滿足PM＝13PC，線段PB上的點N滿足PN＝23PB，則三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的A．19 B．2C．13 D．B[如圖，因為PM＝13PC，PN＝23PB，所以S△PMNS△PBC＝12PM·PN·sin∠BPC12PC·PB·sin∠BPC＝PM·PNPC·PB＝13×238．(2022·全國甲卷)甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若S甲S乙A．5 B．22C．10 D．5C[設(shè)母線長為l，甲圓錐底面圓半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，則S甲S乙＝πr1lπr2又2π則r1所以r1＝23l，r2＝13所以甲圓錐的高h(yuǎn)1＝l2?49乙圓錐的高h(yuǎn)2＝l2?19所以V甲V乙＝13π二、多項選擇題9．(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則()A．V3＝2V2 B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1CD[設(shè)AB＝ED＝2FB＝2，則V1＝13×12×2×2×2＝43，V2＝13×12×2×2×1＝23.連接BD交AC于M，連接EM、FM(圖略)，則FM＝3，EM＝6，EF＝3，故S△EMF＝12×3×6＝322，V3＝1310．某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，則()A．該圓臺的高為1cmB．該圓臺軸截面面積為33cm2C．該圓臺的體積為73πD．一只小蟲從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到AD的中點，所經(jīng)過的最短路程為5cmBCD[如圖1，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝CD?AB2＝1(cm)，則BE＝22?12圓臺的軸截面面積為12×(2＋4)×3＝33(cm2圓臺的體積為13×3×(π＋4π＋π·4將圓臺的一半側(cè)面展開，如圖2中ABCD，設(shè)P為AD中點，圓臺對應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開為扇形COD，由CE＝EO1可得BC＝OB＝2cm，則OC＝4cm，∠COD＝4π24＝π2，又OP＝OA＋AD2＝3(cm)，則CP＝4三、填空題11．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40cm，母線長最短為50cm，最長為80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2．2600π[將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面面積S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2600π(cm212．(2023·新高考Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為________．28[如圖所示，正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，用平行于底面的平面截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐P-A′B′C′D′后，得到正四棱臺A′B′C′D′-ABCD，且A′B′＝2，AB＝4．記O′，O分別為正四棱臺A′B′C′D′-ABCD上、下底面的中心，H′，H分別為A′B′，AB的中點，連接PO，PH，O′H′，OH，則PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2．易知△PO′H′∽△POH，所以PO'PO＝O'H'OH，即3PO＝12，解得PO＝6，所以O(shè)O′＝PO－PO′＝3，所以該正四棱臺的體積V＝13×13．(2024·陜西西安模擬)盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長為8cm的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方