四川省綿陽市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題理試題含解析VIP

Page20Page20一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合中的不等式，然后依據(jù)集合的交集運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A2.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)反例可推斷AC，依據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可推斷BD.【詳解】對(duì)于A，若，明顯滿意，但不能得到，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，所以，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，明顯滿意，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，則，綜上可知D正確，故選：D3.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公比（）A.2 B. C.2或 D.2或【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解公比.【詳解】由，有，即．由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，解得或，由數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，∴．故選：A4.如圖所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量線性運(yùn)算的幾何意義即可計(jì)算【詳解】.故選：B5.納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中的納皮爾比擬式?納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的獨(dú)創(chuàng)，著有《奇異的對(duì)數(shù)定律說明書》，并且獨(dú)創(chuàng)了對(duì)數(shù)表，可以利用對(duì)數(shù)表查詢出隨意對(duì)數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，假如物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出；現(xiàn)有一杯溫度為70℃的溫水，放在空氣溫度為零下10℃的冷藏室中，則當(dāng)水溫下降到10℃時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間約為（）參考數(shù)據(jù)：，.A.3.048分鐘 B.4.048分鐘 C.5.048分鐘 D.6.048分鐘【答案】C【解析】【分析】先將已知數(shù)據(jù)代入公式，再用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得到，用換底公式將為底的對(duì)數(shù)換成為底的對(duì)數(shù)，代入已知對(duì)數(shù)值計(jì)算即可.【詳解】依題意，，，，代入公式得：（分鐘），故選：C.6.已知命題p：函數(shù)在上單調(diào)遞減；命題，都有．若為真命題，為假，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意求出為真命題時(shí)的范圍，進(jìn)而依據(jù)中一真一假分兩類狀況探討即可求解.【詳解】若命題p為真，則，若為真，則，由于為真命題，為假，則中一真一假若真假，則滿意：；若真假，則滿意：，此時(shí)無解，綜上故選：A7.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】從圖像利用解除法進(jìn)行求解：先分析奇偶性，解除B；計(jì)算解除C；依據(jù)時(shí)，；解除D.即可得到答案.【詳解】對(duì)于，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)?，所以是偶函?shù)，解除B.當(dāng)時(shí)，，解除C；當(dāng)時(shí)，，，；解除D.故選：A.8.已知，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得的值，再利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】解：由誘導(dǎo)公式可得，所以，.因此，.故選：D.9.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題意可得,，，，．故A正確．考點(diǎn)：三角函數(shù)單調(diào)性．10.若曲線的一條切線為，其中，為正實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)已知求出，，再利用基本不等式求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則有，∵，∴，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.11.定義在上的奇函數(shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，，則方程在上全部根的和為（）A.32 B.48 C.64 D.80【答案】C【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)推斷出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的對(duì)稱性、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以由，因此函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，所以，所以當(dāng)時(shí)，，于當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，而函數(shù)也關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱，在同始終角坐標(biāo)系內(nèi)圖象如下圖所示：由數(shù)形結(jié)合思想可知：這兩個(gè)函數(shù)圖象有8個(gè)交點(diǎn)，即共有四對(duì)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，所以方程在上全部根的和為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵.12.若正實(shí)數(shù)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一個(gè)大于的零點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意得，，則，即是，從而同構(gòu)函數(shù)，，利用的單調(diào)性得到，代入求解即可.【詳解】依題意得，，即，，，即，，，，又，同構(gòu)函數(shù)：，，則，又，，，，又，，單調(diào)遞增，，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）函數(shù)零點(diǎn)即為函數(shù)的取值；（2）對(duì)的兩個(gè)方程合理的變形，達(dá)到形式同一，進(jìn)而同構(gòu)函數(shù)，，其中應(yīng)留意定義域；（3）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定；（4）求解的值時(shí)，將替換后應(yīng)留意分子的取值.二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分13.已知x，y滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為______．【答案】【解析】【分析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線：，在直線中，縱截距為，向下平移直線時(shí)，減小，由，得，即，因此向下平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，為最小值．故答案為：．14.已知向量，且，則___________.【答案】【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，解得，所以，?故答案為：.15.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，題設(shè)不等式化為，再利用單調(diào)性變形求解．【詳解】令，則，∴在上是減函數(shù)，，不等式化為，即，也即為，所以，.故答案為：，16.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿意條件的最小正整數(shù)x為________．【答案】2【解析】【分析】先依據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點(diǎn)法可得，即；所以.因?yàn)?，；所以由可得或；因?yàn)?，所以，方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)當(dāng)滿意，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2.方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)當(dāng)滿意，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：依據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，依據(jù)周期求解，依據(jù)特別點(diǎn)求解.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱中心；（2）當(dāng)時(shí)，，求的值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是；，（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式，誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)式，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱中心求解；（2）由兩角差的余弦公式計(jì)算．【小問1詳解】由題意得：，由，可得；所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；令，，解得：，，此時(shí)函數(shù)值為，所以對(duì)稱中心為，．【小問2詳解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．18.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，，成等差數(shù)列．等差數(shù)列滿意，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可;（2）用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可【小問1詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以即，因?yàn)?，，所以，解得或（舍去），所以，，由可得，解得，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所以，所?9.在中，角的對(duì)邊分別為，其中，且.（1）求角的大小；（2）求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再依據(jù)求出的取值范圍，即可得解；【小問1詳解】解：因?yàn)?，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】解：因?yàn)椤?，由余弦定理，即，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周長的取值范圍為20.已知函數(shù)，其中a是正數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)分類探討確定單調(diào)性；（2）由（1）的結(jié)論分類探討確定最大值點(diǎn)，從而得參數(shù)范圍．【小問1詳解】因?yàn)?，所以．①?dāng)時(shí)，，在上嚴(yán)格遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問2詳解】由（1）可知①當(dāng)時(shí)，，在上嚴(yán)格遞增，此時(shí)在上的最大值為；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上的最大值只有可能是或，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以，解得，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上的最大值可能是或，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐椋?，解得，此時(shí)，由①②③得，，∴滿意條件的a的取值范圍是．21.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）有兩個(gè)零點(diǎn)，通過參變分立，轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題.（2）先利用參數(shù)放縮轉(zhuǎn)變成恒成立，再通過參變分別轉(zhuǎn)化成最小值問題.【小問1詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個(gè)相異實(shí)根，，有兩個(gè)零點(diǎn)即有兩個(gè)相異實(shí)根.令，則，得，得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】，所以原命題等價(jià)于對(duì)一切恒成立，對(duì)一切恒成立，令，令，則在上單增，又，使，即①，當(dāng)時(shí)，，即在遞減當(dāng)時(shí)，，即在遞增，由①知，，函數(shù)在單調(diào)遞增，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】(1)零點(diǎn)問題常用方法為干脆探討法和參變分別兩種方法.(2)恒成立問題一般有三種方法：干脆探討法，參變分別法，端點(diǎn)效應(yīng).（二）選考題：共10分.考生在第22、23兩題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是．（1）求曲線C的一般方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消去參數(shù)可得C的一般方程，依據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式可求直線直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入橢圓一般方程，消元后依據(jù)參數(shù)的幾何意義求解.【小問1詳解】由（為參數(shù)），得，故曲線C的一般方程為．由，得，故直線l的直角坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】由題意可知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．將直線l的參數(shù)方