高考數(shù)學(xué)微專題集專題27圓錐曲線與四心問題微點(diǎn)4圓錐曲線與垂心問題(原卷版+解析)

專題27圓錐曲線與四心問題微點(diǎn)4圓錐曲線與垂心問題專題27圓錐曲線與四心問題微點(diǎn)4圓錐曲線與垂心問題【微點(diǎn)綜述】從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征．而現(xiàn)在圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題．“四心”問題進(jìn)入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新．因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．下面，筆者從全國部分省市高考模擬試卷中精選出一些與垂心有關(guān)的典型例題并予以分類導(dǎo)析，旨在探索解題規(guī)律，總結(jié)解題方法．一、三角形垂心的定義三角形的垂心：三角形三條邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的垂心．二、三角形垂心重要結(jié)論設(shè)分別是的外心、重心、垂心，則（1）；（2）三點(diǎn)共線，且（歐拉線）；（3）斜三角形垂心坐標(biāo)：；（4）H是△的垂心；（5）垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離得2倍；（6）焦點(diǎn)三角形垂心軌跡方程：①橢圓的焦點(diǎn)三角形的垂心的軌跡方程為；②雙曲線的焦點(diǎn)三角形的垂心的軌跡方程為．三、典型例題精析例1．1．記橢圓：的左右焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓于，，，處的切線交于點(diǎn)，設(shè)的垂心為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【評注】本題主要考查橢圓中的最值問題，考查橢圓的切線方程，涉及基本不等式求最值，屬于跨章節(jié)綜合題．例2．2．已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)O可能為的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【評注】本題考查雙曲線中三角形的幾種心的性質(zhì)，考查邏輯推理能力，求解時注意三角形各種心的定義．例3．3．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn).若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為_______________【評注】本題考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對圓錐曲線基本問題的把握以及分析問題解決問題的能力以及基本的運(yùn)算求解能力，三角形的垂心的概念以及兩直線垂直的條件是突破此題的關(guān)鍵．例4．4．已知：橢圓的右焦點(diǎn)為為上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)為的垂心時，則的面積為____________．【評注】本題主要考查了根據(jù)的值求橢圓的方程以及利用弦長公式求三角形的面積，涉及了三角形垂心的性質(zhì)、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于較難題．例5．5．已知點(diǎn)在橢圓C：上，過點(diǎn)作直線交橢圓C于點(diǎn)的垂心為，若垂心在y軸上．則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________．【評注】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．例6．6．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的垂心，則直線的方程為______.【評注】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查垂心的幾何性質(zhì)，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．例7．7．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)恰為的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【評注】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等．例8．8．已知內(nèi)接于拋物線，其中O為原點(diǎn)，若此內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，則的外接圓方程為_____.【評注】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題例9．9．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的垂心為．則橢圓C的方程為________________；例10．10．若△OAB的垂心恰是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，其中O是原點(diǎn)，A、B在拋物線上，則△OAB的面積S=____________.例11．11．如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸的正方向交于A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y＝2上運(yùn)動，過點(diǎn)B作圓O的切線，切點(diǎn)為C，則△ABC的垂心H的軌跡方程為______．【評注】本題主要考查軌跡的求解方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力．例12．12．平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線：的兩條漸近線與拋物線C：交于O，A，B三點(diǎn)，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為A． B． C．2 D．【評注】本題考查雙曲線的性質(zhì)，聯(lián)立方程組，根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)，得是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．小結(jié)：三角形的外心、重心、內(nèi)心、垂心，在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用．如果把三角形的四心與解析幾何有關(guān)圖形的性質(zhì)有機(jī)地結(jié)合，可拓寬應(yīng)用的范圍，使很多解析幾何問題，獲得明快的解決．【強(qiáng)化訓(xùn)練】13．若曲線：上一點(diǎn)，是否存在直線與拋物線相交于兩不同的點(diǎn)，使的垂心為．則直線的方程為_____________．14．雙曲線的漸近線與拋物線相交于，，，若的垂心為的焦點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．15．已知雙曲線：(，)的漸近線與拋物線：()交于點(diǎn)、、，若的垂心為拋物線的焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)、、，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C． D．17．已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是的垂心，則直線的方程_________；18．如圖，已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，，且．設(shè)動點(diǎn)P滿足的垂心恰好是，記點(diǎn)C到直線AB距離為d，若，求實(shí)數(shù)的值．19．已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線與，分別與拋物線相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)．若直線的斜率為1且的垂心在軸上，則直線的方程___________．.20．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為．若橢圓上存在兩點(diǎn)，使得的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的方程________________．21．已知拋物線：．若直線是經(jīng)過定點(diǎn)的一條直線，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，過定點(diǎn)作的垂線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值_________________．22．已知分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且在第一象限.記直線的斜率分別為，當(dāng)取得最小值時，的垂心到軸的距離為______．23．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，，．若的垂心為的焦點(diǎn)，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的方程為________．24．雙曲線的漸近線與拋物線相交于，，，若的垂心為的焦點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．25．已知橢圓：的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若橢圓的右焦點(diǎn)恰好為的垂心，則直線的方程為____________．26．已知分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且在第一象限.記直線的斜率分別為，當(dāng)取得最小值時，的垂心到軸的距離為______．27．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)_____________.28．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn).若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為_______________29．設(shè)拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，已知P，Q，T為拋物線C上三個動點(diǎn)，且滿足F為的重心，三邊，，的中點(diǎn)分別為，，，分別過，，作拋物線C準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，若，則（

）A．2 B．3C．4 D．630．已知橢圓：的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若橢圓的右焦點(diǎn)恰好為的垂心，則直線的方程為____________．專題27圓錐曲線與四心問題微點(diǎn)4圓錐曲線與垂心問題專題27圓錐曲線與四心問題微點(diǎn)4圓錐曲線與垂心問題【微點(diǎn)綜述】從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征．而現(xiàn)在圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題．“四心”問題進(jìn)入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新．因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．下面，筆者從全國部分省市高考模擬試卷中精選出一些與垂心有關(guān)的典型例題并予以分類導(dǎo)析，旨在探索解題規(guī)律，總結(jié)解題方法．一、三角形垂心的定義三角形的垂心：三角形三條邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的垂心．二、三角形垂心重要結(jié)論設(shè)分別是的外心、重心、垂心，則（1）；（2）三點(diǎn)共線，且（歐拉線）；（3）斜三角形垂心坐標(biāo)：；（4）H是△的垂心；（5）垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離得2倍；（6）焦點(diǎn)三角形垂心軌跡方程：①橢圓的焦點(diǎn)三角形的垂心的軌跡方程為；②雙曲線的焦點(diǎn)三角形的垂心的軌跡方程為．三、典型例題精析例1．1．記橢圓：的左右焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓于，，，處的切線交于點(diǎn)，設(shè)的垂心為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【評注】本題主要考查橢圓中的最值問題，考查橢圓的切線方程，涉及基本不等式求最值，屬于跨章節(jié)綜合題．例2．2．已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)O可能為的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【評注】本題考查雙曲線中三角形的幾種心的性質(zhì)，考查邏輯推理能力，求解時注意三角形各種心的定義．例3．3．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn).若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為_______________【評注】本題考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對圓錐曲線基本問題的把握以及分析問題解決問題的能力以及基本的運(yùn)算求解能力，三角形的垂心的概念以及兩直線垂直的條件是突破此題的關(guān)鍵．例4．4．已知：橢圓的右焦點(diǎn)為為上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)為的垂心時，則的面積為____________．【評注】本題主要考查了根據(jù)的值求橢圓的方程以及利用弦長公式求三角形的面積，涉及了三角形垂心的性質(zhì)、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于較難題．例5．5．已知點(diǎn)在橢圓C：上，過點(diǎn)作直線交橢圓C于點(diǎn)的垂心為，若垂心在y軸上．則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________．【評注】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．例6．6．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的垂心，則直線的方程為______.【評注】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查垂心的幾何性質(zhì)，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．例7．7．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)恰為的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【評注】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等．例8．8．已知內(nèi)接于拋物線，其中O為原點(diǎn)，若此內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，則的外接圓方程為_____.【評注】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題例9．9．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的垂心為．則橢圓C的方程為________________；例10．10．若△OAB的垂心恰是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，其中O是原點(diǎn)，A、B在拋物線上，則△OAB的面積S=____________.例11．11．如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸的正方向交于A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y＝2上運(yùn)動，過點(diǎn)B作圓O的切線，切點(diǎn)為C，則△ABC的垂心H的軌跡方程為______．【評注】本題主要考查軌跡的求解方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力．例12．12．平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線：的兩條漸近線與拋物線C：交于O，A，B三點(diǎn)，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為A． B． C．2 D．【評注】本題考查雙曲線的性質(zhì)，聯(lián)立方程組，根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)，得是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．小結(jié)：三角形的外心、重心、內(nèi)心、垂心，在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用．如果把三角形的四心與解析幾何有關(guān)圖形的性質(zhì)有機(jī)地結(jié)合，可拓寬應(yīng)用的范圍，使很多解析幾何問題，獲得明快的解決．【強(qiáng)化訓(xùn)練】13．若曲線：上一點(diǎn)，是否存在直線與拋物線相交于兩不同的點(diǎn)，使的垂心為．則直線的方程為_____________．14．雙曲線的漸近線與拋物線相交于，，，若的垂心為的焦點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．15．已知雙曲線：(，)的漸近線與拋物線：()交于點(diǎn)、、，若的垂心為拋物線的焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)、、，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C． D．17．已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是的垂心，則直線的方程_________；18．如圖，已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，，且．設(shè)動點(diǎn)P滿足的垂心恰好是，記點(diǎn)C到直線AB距離為d，若，求實(shí)數(shù)的值．19．已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線與，分別與拋物線相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)．若直線的斜率為1且的垂心在軸上，則直線的方程___________．.20．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為．若橢圓上存在兩點(diǎn)，使得的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的方程________________．21．已知拋物線：．若直線是經(jīng)過定點(diǎn)的一條直線，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，過定點(diǎn)作的垂線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值_________________．22．已知分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且在第一象限.記直線的斜率分別為，當(dāng)取得最小值時，的垂心到軸的距離為______．23．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，，．若的垂心為的焦點(diǎn)，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的方程為________．24．雙曲線的漸近線與拋物線相交于，，，若的垂心為的焦點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．25．已知橢圓：的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若橢圓的右焦點(diǎn)恰好為的垂心，則直線的方程為____________．26．已知分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且在第一象限.記直線的斜率分別為，當(dāng)取得最小值時，的垂心到軸的距離為______．27．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)_____________.28．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn).若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為_______________29．設(shè)拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，已知P，Q，T為拋物線C上三個動點(diǎn)，且滿足F為的重心，三邊，，的中點(diǎn)分別為，，，分別過，，作拋物線C準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，若，則（

）A．2 B．3C．4 D．630．已知橢圓：的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若橢圓的右焦點(diǎn)恰好為的垂心，則直線的方程為____________．參考答案：1．D【解析】先根據(jù)題意，得到，，設(shè)直線的方程為，，，求出在點(diǎn)，處的切線方程，聯(lián)立切線方程，得出點(diǎn)，根據(jù)題意，得到軸，得出的橫坐標(biāo)為，再由求出的縱坐標(biāo)為，得出，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】橢圓的左右焦點(diǎn)為，，由題意，易知直線的斜率存在，（若斜率不存在，則三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形），設(shè)直線的方程為，，，對兩邊同時求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得，則，則橢圓在點(diǎn)處的切線斜率為，則橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，即，即；同理，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，由得，則，所以，即；又的垂心為，則，，即軸，則的橫坐標(biāo)也為，記的縱坐標(biāo)為，由得，所以，則，因此，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以直線與橢圓必有兩個交點(diǎn)，故且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓中的最值問題，考查橢圓的切線方程，涉及基本不等式求最值，屬于跨章節(jié)綜合題.2．A【解析】根據(jù)三角形四種心的性質(zhì)，即可得答案；【詳解】對B，若O為的內(nèi)心，則到直線的距離等于，顯然不可能，到直線的距離恒小于，故B錯誤；對C，若O為的外心，則，，和已知矛盾，故B錯誤；對D，若O為的重心，則，這也顯然錯誤，故C錯誤；根據(jù)排除法，O可能為的垂心，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線中三角形的幾種心的性質(zhì)，考查邏輯推理能力，求解時注意三角形各種心的定義.3．【詳解】設(shè)所在的直線方程為,則所在的直線方程為,解方程組得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為:.因?yàn)槭堑拇剐?，所?所以，.所以，.考點(diǎn)：1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).4．分析：設(shè)直線方程為并代入橢圓方程，由，根據(jù)韋達(dá)定理求出參數(shù)，再結(jié)合三角形面積公式即可求出結(jié)果．【詳解】∵為的垂心，∴又因?yàn)?，∴，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，可得，即，且可得，∵，∴，即解得或，當(dāng)時，三點(diǎn)共線（舍去），∴，此時，，點(diǎn)到直線的距離．∴．故答案為：5．分析：（1）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)，此時，由聯(lián)立求解即可；（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，設(shè)直線方程為：，由AB⊥QT可得，由BT⊥AQ可得，化簡得（*），聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理可得，即可代入（*）得，又，最后求解上述不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)，此時，則，∴，又，聯(lián)立解得或（舍去），∴.（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，設(shè)直線方程為：，直線QT的斜率為，∵AB⊥QT，∴，即，又∵BT⊥AQ，∴，即，（*）聯(lián)立化為，則，，，∴，，代入（*）可得．∴，解得，綜上可知：實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】（1）直線需討論斜率存在與否；（2）三角形垂心成立，相當(dāng)于滿足兩組高和底垂直即可，即可結(jié)合向量來表示；當(dāng)使用到坐標(biāo)時，可以聯(lián)立直線與圓錐曲線，結(jié)合韋達(dá)定理來表示，最后還需滿足6．分析：設(shè)PQ直線y＝x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），，3x2+4mx+2m2﹣2＝0，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．【詳解】上頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)F為垂心因?yàn)椋僵?，且FM⊥l，所以k1＝1，所以設(shè)PQ直線y＝x+m，且設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）由消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．又F為△MPQ的垂心，∴PF⊥MQ，∴又∴∴，∴經(jīng)檢驗(yàn)滿足m2＜3∴存在滿足條件直線l方程為：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0∵x﹣y+1＝0過M點(diǎn)即MP重合不構(gòu)成三角形，∴3x﹣3y﹣4＝0滿足題意．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查垂心的幾何性質(zhì)，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.7．C分析：由題可得，利用向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.【詳解】由題可知，則雙曲線的漸近線為，則當(dāng)時，，設(shè)，∵坐標(biāo)原點(diǎn)恰為的垂心，∴，即，即，則，即，∵，∴，即，則離心率.故選：C．8．分析：由拋物線的對稱性知A、B關(guān)于x軸對稱，設(shè)出它們的坐標(biāo)，利用三角形的垂心的性質(zhì)，結(jié)合斜率之積等于﹣1即可求得直線MN的方程，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，問題得以解決．【詳解】∵拋物線關(guān)于x軸對稱，內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，三邊上的高過焦點(diǎn)，∴另兩個頂點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對稱，即△ABO是等腰三角形，作AO的中垂線MN，交x軸與C點(diǎn)，而Ox是AB的中垂線，故C點(diǎn)即為△ABO的外接圓的圓心，OC是外接圓的半徑，設(shè)A（x1，2），B（x1，﹣2），連接BF，則BF⊥AO，∵kBF，kAO，∴kBF?kAO＝?1，整理，得x1（x1﹣5）＝0，則x1＝5，（x1＝0不合題意，舍去），∵AO的中點(diǎn)為（，），且MN∥BF，∴直線MN的方程為y（x），當(dāng)x1＝5代入得2x+4y﹣90，∵C是MN與x軸的交點(diǎn)，∴C（，0），而△ABO的外接圓的半徑OC，于是得到三角形外接圓方程為（x）2+y2＝（）2，△OAB的外接圓方程為：x2﹣9x+y2＝0，故答案為x2﹣9x+y2＝0．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題9．分析：設(shè)，，由的垂心為，可得，則有，將坐標(biāo)代入化簡可求出，再由在橢圓上，代入橢圓方程結(jié)合，可可求出，從而可得橢圓方程.【詳解】設(shè)，．由的垂心為，得．所以，化簡得，解得．由點(diǎn)在橢圓上，得，結(jié)合，解得，．所以橢圓的方程為．故答案為：.10．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0).因F為△OAB的垂心，則OF⊥AB，故可設(shè)A、B的坐標(biāo)為.于是OA的方程為ay=2x，.BF的斜率，據(jù)，得，因此，h=a2=5，所以.故答案為：．11．，分析：設(shè)垂心的坐標(biāo)，根據(jù)條件，建立方程關(guān)系，即可求出的軌跡方程．【詳解】設(shè)，，連結(jié)，，則，，是切線，，，，四邊形是菱形．，得，又，滿足，所以，即是所求軌跡方程．故答案為：，12．B分析：由三角形垂心的性質(zhì)，得，即，由此可得的離心率．【詳解】解：聯(lián)立漸近線與拋物線方程得，，拋物線焦點(diǎn)為，由三角形垂心的性質(zhì)，得，即，所以，所以，所以，所以的離心率為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，聯(lián)立方程組，根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)，得是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．13．分析：利用代入法，根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】把代入中，得，即，假設(shè)存在直線與拋物線相交于兩不同的點(diǎn)，使的垂心為，設(shè)，顯然直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)直線的方程是，由，消去化簡得：，即∵的垂心為，∴即，或當(dāng)時，直線的方程是，過點(diǎn)，不合題意，舍去，∴存在這樣的直線，其方程是，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14．C【解析】設(shè)，解得，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，則解得：，同理，根據(jù)得到解得故選：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線和拋物線的綜合題型，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15．A【解析】設(shè)所在的直線方程為，則所在的直線方程為，聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)是的垂心，由求解.【詳解】設(shè)所在的直線方程為，則所在的直線方程為，解方程組得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵是的垂心，∴，∴，即，∴，解得，故選：A.16．C分析：設(shè)點(diǎn)，則，其中，分析可知，求出、的值，可求得的值，再利用雙曲線的離心率公式可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】易知點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，設(shè)點(diǎn)，則，其中，拋物線的焦點(diǎn)為，則，，由題意可知，解得，則，所以，，所以，雙曲線的離心率為.故選：C.17．分析：根據(jù)給定條件，求出直線AB的斜率，并設(shè)出方程，再與的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，則直線MF的斜率，而為的垂心，即有，直線AB的斜率為，設(shè)的方程為，由消去y并整理得：，于是得，，，，，由得，，解得，而，則有，所以直線的方程為.故答案為：18．或分析：先求，由是的垂心，得，且，即，設(shè),，得，同理由可得：，則,，,是方程的兩組解，故此方程表示直線，再計(jì)算，由，解得，即可得出答案．【詳解】解：設(shè),，,，則，．點(diǎn)C到直線AB距離為，因?yàn)槭堑拇剐?，所以，且．由得，即①．設(shè),，則②，又，，所以③，由①②③得：，即，同理：由可得：．所以,，,是方程的兩組解，故此方程表示直線．又因?yàn)橹本€，所以，，解得：，．所以．所以．①當(dāng)時，，解得．②當(dāng)時，，解得．綜上所述：或．19．分析：先聯(lián)立直線與拋物線方程后結(jié)合韋達(dá)定理得到，，同時由得，再由條件求得直線的方程，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，接著根據(jù)及斜率公式，代入整理得，從而求得直線的方程．【詳解】據(jù)題題意，如圖，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，所以，，且，即，又因?yàn)?，，所以由得，所以直線PH的方程是，令，得，故，再由得，即，將，代入，得，再將，代入，整理可得：，解得：或（舍去），故直線AB的方程為，即．故答案為：..20．分析：根據(jù)題意列式求出，即可得出橢圓方程，再設(shè)，，根據(jù)題意，得到，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式，以及根與系數(shù)關(guān)系，由題意，得到，求出，即可得出結(jié)果．【詳解】由題意，得，解得，∴橢圓的方程為．設(shè)，．∵，而，∴，故可設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，得，首先，由得，解得．（*）且，．又，∴，得，即，整理得，，∴，即，解得或（均適合（*）式）．當(dāng)時，直線恰好經(jīng)過點(diǎn)，不能構(gòu)成三角形，不合題意，故舍去．∴直線的方程為．21．20分析：設(shè)直線的方程為（），設(shè)，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)弦長公式表示出，同理表示出，從而可求出四邊形面積的，再換元求函數(shù)的最小值．【詳解】設(shè)直線的方程為（），設(shè)，，聯(lián)立，得，則，，所以，設(shè)，，同理得，則四邊形的面積，令，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)，即，時，取得最小值，即四邊形面積的最小值為20，故答案為：20【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵有二，其一是求出四邊形面積的表達(dá)式，其二利用換元法求的最小值，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題．22．分析：易證，利用基本不等式求解取最小值時，進(jìn)而得的方程為，與雙曲線聯(lián)立解得的坐標(biāo)為由，得=0，向量坐標(biāo)化解得y即可【詳解】易證，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時直線的方程為，與聯(lián)立，得，解得或（舍去），則的坐標(biāo)為，設(shè)的垂心的坐標(biāo)為，由，得，解得，則到軸的距離為.故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的綜合，考察抽象概括能力與運(yùn)算求解能力，掌握雙曲線的常見二級結(jié)論，轉(zhuǎn)化垂心為垂直關(guān)系是關(guān)鍵，是中檔題23．分析：首先求出、的坐標(biāo)，依題意可得，即可得到，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，求出、，即可求出雙曲線方程；【詳解】解：雙曲線的漸近線為，由，解得或，所以，由，解得或，所以．∵為的垂心，，即，解得，∵點(diǎn)雙曲線上，即，∴，即雙曲線方程為；故答案為：24．C【解析】設(shè)，解得，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，則解得：，同理，根據(jù)得到