高考數(shù)學一輪復習(提升版)(新高考地區(qū)專用)1.3復數(shù)(精講)(提升版)(原卷版+解析)

1.3復數(shù)（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一復數(shù)的基本知識【例1】(2023·全國·高三專題練習）已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A．z的虛部為4i B．z的共軛復數(shù)為1﹣4iC．|z|＝5 D．z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習）若復數(shù)，其共軛復數(shù)為，則（

）A．的虛部為 B．C．在復平面上對應的點在第四象限 D．2．(2023·全國·高三專題練習（多選））已知復數(shù)，則（

）A． B．C．若，則， D．的虛部是3．(2023·浙江省義烏中學模擬預測）已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，，下列選項中正確的是（

）A．若是純虛數(shù)，則這個純虛數(shù)為B．若為實數(shù)，則C．若在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，則D．當時，考點二復數(shù)的模長【例2-1】(2023·湖南·高一期中）已知復數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【例2-2】(2023·福建寧德·模擬預測）若，則的值為（

）A． B．2 C． D．3【例2-3】(2023·全國·高三專題練習）若復數(shù)z滿足，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．5 D．6【例2-4】(2023·全國·高三專題練習）若復數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則對應的點(x，y)滿足方程（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·河南·模擬預測（理））已知復數(shù)z滿足，為z的共軛復數(shù)，則的最大值為（

）A．1 B．4 C．9 D．162(2023·重慶·高三階段練習）已知復數(shù)z滿足，復數(shù)z的共軛復數(shù)為，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．(2023·全國·高三專題練習）若z是復數(shù)，|z+2-2i|＝2，則|z+1-i|+|z|的最大值是（）A． B． C． D．考點三復數(shù)的幾何意義【例3-1】(2023·全國·高三專題練習）設復數(shù)z滿足，且在復平面內(nèi)z對應的點位于第一象限，則z=（

）A． B． C． D．【例3-2】(2023·山東濰坊·模擬預測）（多選）已知復數(shù)z滿足，且復數(shù)z對應的點在第一象限，則下列結(jié)論正確的是（

）A．復數(shù)z的虛部為 B．C． D．復數(shù)z的共軛復數(shù)為【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習（理））已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)對應的點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．(2023·河南新鄉(xiāng)·高二期中（理））若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，則（

）A．不可能為純虛數(shù)B．在復平面內(nèi)對應的點可能位于第二象限C．在復平面內(nèi)對應的點一定位于第三象限D(zhuǎn)．在復平面內(nèi)對應的點可能位于第四象限3．(2023·全國·高三專題練習）已知復數(shù)對應的點在第二象限，為的共軛復數(shù)，有下列關于的四個命題：甲：；

乙：；丙：；

?。海绻挥幸粋€假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁考點四復數(shù)與其他知識的綜合運用【例4】(2023·全國·高三專題練習）已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部為（

）A． B． C．1010 D．1011【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習（理））在復平面內(nèi)，復數(shù)2，4對應的點分別為A，B.若C為線段AB上的點，且，則點C對應的共軛復數(shù)是（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習）已知，是復數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．(2023·河南商丘）定義函數(shù)，若（i為虛數(shù)單位），則的展開式中系數(shù)最大項為（

）A． B．C． D．考點五解復數(shù)的方程【例5】(2023·全國·高三專題練習）已知方程有兩個虛根，若，則的值是（

）A．或 B． C． D．【一隅三反】1．(2023·重慶八中模擬預測）若虛數(shù)單位是關于x的方程的一個根，則（

）A．0 B．1 C． D．22．(2023·山東棗莊·一模）設，是方程在復數(shù)范圍內(nèi)的兩個解，則（

）A． B．C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）復數(shù)滿足，且使得關于的方程有實根，則這樣的復數(shù)的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點六綜合運用【例6】(2023·河北·石家莊二中）（多選）下列四個命題中，真命題為（

）A．若復數(shù)滿足，則 B．若復數(shù)滿足，則C．若復數(shù)滿足，則 D．若復數(shù)，滿足，則【一隅三反】1．(2023·全國·模擬預測）（多選）已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．2．(2023·福建泉州·模擬預測）（多選）設為復數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則或3．(2023·山東青島·高三期末）（多選）已知復數(shù)，為虛數(shù)單位，，則下列正確的為（

）A．若z是實數(shù)，則 B．復平面內(nèi)表示復數(shù)z的點位于一條拋物線上C． D．若，則1.3復數(shù)（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一復數(shù)的基本知識【例1】(2023·全國·高三專題練習）已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A．z的虛部為4i B．z的共軛復數(shù)為1﹣4iC．|z|＝5 D．z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限答案：B【解析】∵，∴z的虛部為4,z的共軛復數(shù)為1﹣4i，|z|，z在復平面內(nèi)對應的點在第一象限.故選：B【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習）若復數(shù)，其共軛復數(shù)為，則（

）A．的虛部為 B．C．在復平面上對應的點在第四象限 D．答案：D【解析】因為復數(shù)，所以，z的虛部為，，對應點在第一象限，，故選：D2．(2023·全國·高三專題練習（多選））已知復數(shù)，則（

）A． B．C．若，則， D．的虛部是答案：BC【解析】，，故不能推出，A不正確；由復數(shù)模的定義，故B正確；根據(jù)復數(shù)相等知，時，正確，故C正確；由虛部的定義知，的虛部是y,故D不正確.故選：BC3．(2023·浙江省義烏中學模擬預測）已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，，下列選項中正確的是（

）A．若是純虛數(shù)，則這個純虛數(shù)為B．若為實數(shù)，則C．若在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，則D．當時，答案：D【解析】，對于A：當是純虛數(shù)時，則且，解得，此時這個純虛數(shù)為，故A不正確；對于B：當為實數(shù)時，則，解得，故B不正確；對于C：當在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，則，解得，故C不正確；對于D：當時，，所以，故D正確，故選：D.考點二復數(shù)的模長【例2-1】(2023·湖南·高一期中）已知復數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案：C【解析】由，得，解得或.故“”是“”的必要不充分條件.故選：C【例2-2】(2023·福建寧德·模擬預測）若，則的值為（

）A． B．2 C． D．3答案：D【解析】因為，所以，故設，則，所以.故選：D【例2-3】(2023·全國·高三專題練習）若復數(shù)z滿足，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．5 D．6答案：C【解析】設.則表示復平面點到點的距離為3.則的最大值為點到的距離加上3.即.故選：C.【例2-4】(2023·全國·高三專題練習）若復數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則對應的點(x，y)滿足方程（

）A． B．C． D．答案：B【解析】設，代入得：.故選：B【一隅三反】1．(2023·河南·模擬預測（理））已知復數(shù)z滿足，為z的共軛復數(shù)，則的最大值為（

）A．1 B．4 C．9 D．16答案：C【解析】設，則，由，得，即，所以所對應的點的軌跡是以為圓心為半徑的圓，因為為z的共軛復數(shù)，所以即，而可看作該圓上的點到原點的距離的平方，所以.故選：C.2(2023·重慶·高三階段練習）已知復數(shù)z滿足，復數(shù)z的共軛復數(shù)為，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】令，，則表示與距離為1的點集，即，此時，表示圓上點到原點距離，所以的最大值，即為圓上點到原點的最大距離，而圓心到原點距離為1，且半徑為1，所以圓上點到原點的最大為2.故選：B.3．(2023·全國·高三專題練習）若z是復數(shù)，|z+2-2i|＝2，則|z+1-i|+|z|的最大值是（）A． B． C． D．答案：D【解析】設z＝x+yi(x，y∈R)，由|z+2-2i|＝2知，動點的軌跡可看作以為圓心，2為半徑的圓，|z+1-i|+|z|可看作點P到和的距離之和，而|CO|＝，|CA|＝，易知當P，A，O三點共線時，|z+1-i|+|z|取得最大值時，且最大值為|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，故選：D．考點三復數(shù)的幾何意義【例3-1】(2023·全國·高三專題練習）設復數(shù)z滿足，且在復平面內(nèi)z對應的點位于第一象限，則z=（

）A． B． C． D．答案：B【解析】把四個選項一一代入驗證：對于A：z=，則有，.故A錯誤；對于B：z=，則有，.故B正確；對于C：z=，則有，.故C錯誤；對于D：z=，則有，.故D錯誤；故選：B【例3-2】(2023·山東濰坊·模擬預測）（多選）已知復數(shù)z滿足，且復數(shù)z對應的點在第一象限，則下列結(jié)論正確的是（

）A．復數(shù)z的虛部為 B．C． D．復數(shù)z的共軛復數(shù)為答案：BC【解析】設復數(shù).因為，且復數(shù)z對應的點在第一象限，所以，解得：，即.對于A：復數(shù)z的虛部為.故A錯誤；對于B：.故B正確；對于C：因為，所以.故C正確；對于D：復數(shù)z的共軛復數(shù)為.故D錯誤.故選：BC【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習（理））已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)對應的點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】.所以復數(shù)對應的點在第四象限，故選：D2．(2023·河南新鄉(xiāng)·高二期中（理））若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，則（

）A．不可能為純虛數(shù)B．在復平面內(nèi)對應的點可能位于第二象限C．在復平面內(nèi)對應的點一定位于第三象限D(zhuǎn)．在復平面內(nèi)對應的點可能位于第四象限答案：D【解析】由為第二象限，其對應輻角范圍為，所以對應輻角為，故在復平面內(nèi)對應的點可能位于第三、四象限及y軸的負半軸.所以A、B、C錯誤，D正確.故選：D3．(2023·全國·高三專題練習）已知復數(shù)對應的點在第二象限，為的共軛復數(shù)，有下列關于的四個命題：甲：；

乙：；丙：；

丁：．如果只有一個假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案：B【解析】設，由于對應點在第二象限，所以，，，，.甲，乙，丙，丁，由于“只有一個假命題”，所以乙是假命題，的值應為.故選：B考點四復數(shù)與其他知識的綜合運用【例4】(2023·全國·高三專題練習）已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部為（

）A． B． C．1010 D．1011答案：B【解析】因為，所以，相減得，所以，虛部為．故選：B．【一隅三反】1．(2023·全國·高三專題練習（理））在復平面內(nèi)，復數(shù)2，4對應的點分別為A，B.若C為線段AB上的點，且，則點C對應的共軛復數(shù)是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意知，復平面內(nèi)點A和點B的坐標分別為，，設點C的坐標為所以，根據(jù)得，計算得所以點C對應的復數(shù)為，其共軛復數(shù)為，選項C正確.故選：C.2．(2023·全國·高三專題練習）已知，是復數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】設，,當，即時，，所以取，，,,則滿足，但顯然不滿足所以“”是“”的充分不必要條件故選：A3．(2023·河南商丘）定義函數(shù)，若（i為虛數(shù)單位），則的展開式中系數(shù)最大項為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由已知，兩邊取模，得，所以n＝10．二項式的展開式的通項為，因為n＝10，則．令第r＋1項的系數(shù)最大，則，即，解得，因為，所以r＝3，所以，故系數(shù)最大的項為．故選：C．考點五解復數(shù)的方程【例5】(2023·全國·高三專題練習）已知方程有兩個虛根，若，則的值是（

）A．或 B． C． D．答案：C【解析】由已知方程有兩個虛根，因此方程判別式小于0，即.,設由韋達定理可知所以,即,

即,

所以所以故答案為：C【一隅三反】1．(2023·重慶八中模擬預測）若虛數(shù)單位是關于x的方程的一個根，則（

）A．0 B．1 C． D．2答案：B【解析】由題，是方程的一個根，所以，即，則，所以，即，所以，選：B2．(2023·山東棗莊·一模）設，是方程在復數(shù)范圍內(nèi)的兩個解，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由方程得，由求根公式得，不妨設，.，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.3．(2023·全國·高三專題練習）復數(shù)滿足，且使得關于的方程有實根，則這樣的復數(shù)的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案：C【解析】設,因為,所以,所以將代入方程整理，因為關于的方程有實根，所以所以當時，解得，此時關于的方程為或，易知方程無實數(shù)根，故舍去，所以；當時，解得，，所以，所以，此時方程有實數(shù)根，滿足條件.綜上，或.故這樣的復數(shù)的個數(shù)為個.故選：C考點六綜合運用【例6】(2023·河北·石家莊二中）（多選）下列四個命題中，真命題為（

）A．若復數(shù)滿足，則 B．若復數(shù)