數(shù)學建模講義-初等數(shù)學模型

數(shù)學建模講義例1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎?問題分析模型假設通常:三只腳著地放穩(wěn):四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。初等數(shù)學模型模型構成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是

的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和:

f(

)B,D兩腳與地面距離之和:

g(

)兩個距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù).對任意

,f(

),g(

)至少一個為0.數(shù)學問題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);

對任意

，f(

)?g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因為f(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評注和思考:建模的關鍵:假設條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子

和f(

),g(

)的確定例2放射性廢物的處理問題美國原子能委員會(現(xiàn)為核管理委員會)處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英尺的海里.他們這種做法安全嗎？分析：可從各個角度去分析造成危險的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能.

聯(lián)想：安全、危險圓桶至多能承受多大的沖撞速度？(40英尺/秒)圓桶和海底碰撞時的速度有多大？

問題:求這一種桶沉入300英尺的海底時的末速度.(原問題是什么?)可利用的數(shù)據(jù)條件：

圓桶的總重量:W=527.327（磅）

圓桶受到的浮力:B=470.327（磅）

圓桶下沉時受到的海水阻力:D=Cv，C=0.08利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移滿足的微分方程：

求解方法：其中方程的解為或者：計算碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時間t0

分析1：考慮圓桶的極限速度≈713.86>>40（英尺/秒）

實際極限速度與圓桶的承受速度相差巨大！

結論1：解決問題的方向是正確的.分析2：解決思路：避開求t0的難點

令v(t)=v(y(t)),其中y=y(t)

是圓桶下沉深度

代入(1)得將兩邊積分得函數(shù)方程：

若能求出函數(shù)v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為

v(300)≈45.41＞40（英尺/秒）

分析：v=v(y)是一個單調(diào)上升函數(shù)，而v

增大,y

也增大,可求出函數(shù)y=y(v)

令v=40(英尺/秒),g=32.2（英尺/秒),算出y=238.4(英尺)＜300(英尺）問題的實際解答：美國原子能委員會處理放射性廢物的做法是極其危險的,必須改變。

例3商人們怎樣安全過河3名商人

3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?河小船(至多2人)問題分析:多步?jīng)Q策過程決策:每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求:在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.模型構成Xk:第k次渡河前此岸的商人數(shù)Yk:第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk):過程的狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S:允許狀態(tài)集合Uk:第k次渡船上的商人數(shù)Vk:第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk):決策D={(u

,v)

u+v=1,2}:允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k:狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110

窮舉法:編程上機

圖解法:狀態(tài)s=(x,y):16個格點:10個點允許決策:移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,,d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設建模熱傳導定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導的熱量

T:溫差,d:材料厚度,k:熱傳導系數(shù)例4：雙層玻璃窗的功效熱量傳播只有傳導，沒有對流T1,T2不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù)dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta:內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb:外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度K1:玻璃的熱傳導系數(shù)K2:空氣的熱傳導系數(shù)建模記單層玻璃窗傳導的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大例5

崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度，假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑表功能的計算器。方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式來計算。例如，設t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。

我學過微積分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當屬空氣阻力。根據(jù)流體力學知識，此時可設空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

若設k=0.05并仍設t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了反應時間

進一步深入考慮不妨設平均反應時間為0.1秒，假如仍設t=4秒，扣除反應時間后應為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結果。還應考慮回聲傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落的真正時間為t1，聲音傳回來的時間記為t2，還得解一個方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個非線性主程組似乎不合情理

相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。某航空母艦派其護衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛行員，護衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快返回與其匯合并通報了航母當前的航速與方向，問護衛(wèi)艦應怎樣航行，才能與航母匯合。例6：艦艇的會合令：則上式可簡記成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母護衛(wèi)艦

θ1

θ2

即：可化為：記v2/v1=a通常a>1

則匯合點p必位于此圓上。

（護衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程）即可求出P點的坐標和θ2

的值。本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實際應用

例7

某人平時下班總是按預定時間到達某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他的方