人教A版普通高中數(shù)學一輪復習第二章第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學案

第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考試要求：1.了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算性質．2．通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念．3．能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點．自查自測知識點一指數(shù)1．(教材改編題)設a>0，則下列運算中正確的是(D)2．設a＞0，將表示成分數(shù)指數(shù)冪，其結果是(C)A．a12 B．a5C．a76 D．a3．計算：π0＋2-2×2141核心回扣1．根式的性質(1)(na)n＝a(a使n(2)當n是奇數(shù)時，nan＝a；當n是偶數(shù)時，nan＝|a2．分數(shù)指數(shù)冪的意義(1)amn＝nam(a>0，m，n∈N*(2)a－mn＝1amn(a>0，m，n∈N(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．3．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．自查自測知識點二指數(shù)函數(shù)1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)函數(shù)y＝3·2x與y＝2x+1都不是指數(shù)函數(shù)．(√)(2)若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n.(×)(3)函數(shù)y＝2－x在R上為減函數(shù)．(√)(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(×)2．(教材改編題)已知指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(－1，2)，那么這個函數(shù)圖象也必定經(jīng)過點(D)A.-2，14C．(1，2) D．33．函數(shù)y＝2x+1的圖象是(A)ABCD核心回扣1．指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質0<a<1a>1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1減函數(shù)增函數(shù)4．已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，則(B)A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b5．若函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值之和為3，則a的值為(A)A．2 B．3C．4 D．1核心回扣注意點：(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點(0，1)，(1，a)，-1，(2)指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝1ax的圖象關于y(3)當a＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢；當0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢．簡記：撇增捺減．【常用結論】(1)任意兩個指數(shù)函數(shù)的圖象都是相交的，都過定點(0，1)；底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關于y軸對稱．(2)指數(shù)函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)的大小關系如圖所示，其中0<c<d<1<a<b.應用已知y1＝13x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，則在同一平面直角坐標系內，它們的大致圖象為(AABCD指數(shù)冪的化簡與求值1．若實數(shù)a>0，則下列等式成立的是()A．(－2)-2＝4 B．2a-3＝1C．(－2)0＝－1 D．(a－14)4＝D解析：(－2)-2＝14，故A錯誤；2a-3＝2a3，故B錯誤；(－2)0＝1，故C錯誤；(a－14)2．若x12＋x－12＝3，則x313解析：由x12＋x－12＝3，兩邊平方，得x＋x-1＝7，再平方得x2＋x-2＝47，所以x2＋x-2－2＝45.因為x32＋x－32＝(x12)3＋(x－12)3＝(x12＋x－12)(x－1＋3．化簡下列各式：(1)2350＋2-2×214－(2)56a13·b-2·(－3a－12b-1)÷(4a23·b(3)a2解：(1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋14×23(2)原式＝－52a－16b-3÷(4a23·b-3)12＝－54·a－16b-3÷(a13b－32)＝－54a－12·(3)原式＝a-13b12·a-12b13指數(shù)冪運算的注意點(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．②運算的先后順序．(2)當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定結果的符號，再把底數(shù)化為正數(shù)．(3)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)．指數(shù)函數(shù)的圖象及應用【例1】(1)函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是()A.B.C.D.A解析：由f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，排除B，D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域為(－∞，0]，排除C.(2)若函數(shù)y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍為．(0，1)解析：作出函數(shù)y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b如圖所示．由圖象可得b的取值范圍是(0，1)．[變式]將本例(2)改為直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．解：y＝|ax－1|的圖象是由y＝ax的圖象先向下平移1個單位長度，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的．當a＞1時，如圖1，兩個圖象只有一個交點，不合題意；當0＜a＜1時，如圖2，要使兩個圖象有兩個交點，則0＜2a＜1，得0＜a＜12圖1圖2綜上可知，a的取值范圍是0，應用指數(shù)函數(shù)圖象的技巧(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷所給的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．(2)對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．1．(多選題)已知實數(shù)a，b滿足等式12a＝13A．0<b<aB．a＜b＜0C．0＜a＜bD．a＝b＝02．若函數(shù)y＝21-x＋m的圖象不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍為．(－∞，－2]解析：y＝21-x＋m＝12x-1＋m，函數(shù)y＝12x-1的圖象如圖所示，則要使其圖象不經(jīng)過第一象限，則m≤－2.故m的取值范圍為(－指數(shù)函數(shù)的性質及應用考向1比較大小【例2】(2024·聊城模擬)設a＝30.8，b＝π0.8，c＝13e，則a，b，cA．c<a<b B．a<b<cC．c<b<a D．b<a<cA解析：冪函數(shù)y＝x0.8在(0，＋∞)上單調遞增，又π>3>1，則有π0.8>30.8>10.8＝1.指數(shù)函數(shù)y＝13x在R上單調遞減，而e>0，于是得13e<130＝1，從而有13e<1<30.8<π0.8，所以c<比較指數(shù)式的大小的方法(1)能化成同底數(shù)的，先化成同底數(shù)冪，再利用單調性比較大?。?2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小．考向2解指數(shù)方程或不等式【例3】(1)已知實數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝4x，x≥0，2a-x，x＜0.若f(1－a)＝12解析：當a＜1時，41-a＝21，解得a＝12；當a＞1時，代入不成立．故a的值為(2)若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為．{x|x>4或x<0}解析：因為f(x)為偶函數(shù)，當x＜0時，－x>0，則f(x)＝f(－x)＝2－x－4，所以f(x)＝2當f(x－2)＞0時，有x-2≥0，2x-2-4＞0或x-2＜0，2-x+2-4＞0，解得x簡單的指數(shù)方程或不等式的求解方法解決此類問題應利用指數(shù)函數(shù)的單調性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進行分類討論．考向3指數(shù)型函數(shù)的單調性及應用【例4】(1)設函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，2)上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[4，＋∞)B．[－4，0)C．(0，4]D．(－∞，－4]A解析：設t＝x(x－a)＝x2－ax，對稱軸為直線x＝a2．因為y＝2t是R上的增函數(shù)，所以要使f(x)在區(qū)間(0，2)上單調遞減，則t＝x2－ax在區(qū)間(0，2)上單調遞減，即a2≥2，故實數(shù)a的取值范圍是[4，＋(2)若函數(shù)f(x)＝13ax2－4x＋3有最大值3，則a＝1解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，則f(x)＝13h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應有最小值－1，因此有a>0，12a-164a=-1，解得a＝1，即當求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷．求參數(shù)值(范圍)的方法是首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質，再利用其性質求解．1．已知a＝0.20.5，b＝213，c＝0.20.2，則a，b，cA．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<c<bD解析：b＝213>20＝1.由于y＝0.2x在R上單調遞減，故c＝0.20.2>0.20.5＝a，故c>a，且c＝0.20.2<0.20＝1.綜上，a<c<b2．若x滿足不等式3x2＋1≤19x-2，則函數(shù)y＝2xA．18，2C．-∞，18 B解析：由3x2＋1≤19x-2，可得3x2＋1≤3-2(x-2)．因為y＝3x在R上單調遞增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以2-3≤y＝2x≤21，即函數(shù)y＝2x的值域是13．若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]時恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．-34，+∞解析：從已知不等式中分離出實數(shù)a，得a>－14x+12x．因為函數(shù)y＝14x和y＝12x在R上都是減函數(shù)，所以當x∈(－∞，1]時，14x≥14，12x≥12，所以14x＋1[試題呈現(xiàn)]設a＝3525，b＝2535，c＝25A．a>c>bB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>a[四字程序]讀a，b，c均為冪值的形式想1.利用函數(shù)的單調性．2．通過中間量比較大?。?．作差或商比較大小算1.構造函數(shù)．2．統(tǒng)一冪指數(shù)．3．化為根式形式思注意分數(shù)指數(shù)冪的等價變形以及運算法則[一題多解]思路參考：構造指數(shù)函數(shù)，利用單調性比較b與c的大小．作商法比較a與c的大小，通過傳遞性推出a與b的大小．A解析：先比較b與c的大小，構造函數(shù)y＝25x.因為0<25<1，所以函數(shù)y＝25x為R上的減函數(shù)．又因為35>25，所以b＝2535<2525＝c.再比較a與c，因為ac＝3225>32思路參考：統(tǒng)一冪指數(shù)，利用冪函數(shù)的單調性比較大小．A解析：因為a，b，c均為正實數(shù)，且a5＝352＝925，b5＝253＝8125，c5＝252＝425，所以a5>c5>b5.因為y＝x5在(0，＋∞)上單調遞增，所以思路參考：將三個數(shù)轉化為同次根式的形式比較大?。瓵解析：因為a＝5925，b＝58125，c＝5425，所以課時質量評價(十)1．若函數(shù)y＝(2a－3)x在R上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a<2 B．a>3C．32<a<2 D．a<C解析：因為函數(shù)y＝(2a－3)x在R上單調遞減，所以0<2a－3<1，所以32<a2．(2024·臨沂模擬)若a-1－a1＝4，則a-2＋a2的值為()A．8 B．16C．2 D．18D解析：因為a-1－a1＝4，所以a-2＋a2＝(a-1－a1)2＋2＝42＋2＝18.故選D.3．已知函數(shù)f(x)＝ax-1－2(a>0，a≠1)恒過定點M(m，n)，則函數(shù)g(x)＝m＋xn的圖象不經(jīng)過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限D解析：因為a0＝1，所以f(x)＝ax-1－2恒過定點(1，－1)，所以m＝1，n＝－1，所以g(x)＝1＋1x4．(多選題)已知a>0，則函數(shù)f(x)＝ax－2a的圖象可能是()A.B.C.D.AD解析：由于當x＝1時，f(1)＝a－2a＝－a<0，排除B，C.若a＝2，f(x)＝2x－4，此時函數(shù)圖象可能為A.若a＝12，f(x)＝125．已知函數(shù)f(x)＝a1-ax(a>0且a≠1)在區(qū)間[2，3]上單調遞增，則aA．0，12 C．0C解析：由a>0且a≠1，得y＝1-ax為減函數(shù)，由復合函數(shù)單調性法則得a∈(0，1)，且1－3a≥0，解得a∈0，6．若3x＝5，3y＝6，則32x＋y的值為．150解析：因為3x＝5，3y＝6，所以32x＋y＝32x·3y＝(3x)2·3y＝52×6＝150.7．當x≤1時，函數(shù)f(x)＝4x－2x+1＋2的值域為．[1，2]解析：因為f(x)＝4x－2x+1＋2＝(2x)2－2×2x＋2，令t＝2x，由于x≤1，則t∈(0，2]，則原函數(shù)可化為y＝t2－2t＋2，t∈(0，2].當t＝1時，y取最小值1，當t＝2時，y取最大值2，故y∈[1，2]，即f(x)∈[1，2].8．(2024·湖南聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)滿足f(x－y)＝fxfy，且f(1)<f(3)，請寫出一個符合上述條件的函數(shù)f(x)＝2x(答案不唯一)解析：令f(x)＝2x，顯然f(x)＝2x在定義域上單調遞增，滿足f(1)<f(3)，且f(x－y)＝2x－y＝2x2y，即滿足f(x－y)＝fxfy，所以9．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝2x+1＋1.(1)求f(x)的解析式；(2)解關于x的不等式f(x)≤5.解：(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.設x<0，則－x>0，所以f(－x)＝2－x+1＋1.因為f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－2－x+1－1，所以f(x)＝-(2)當x>0時，令2x+1＋1≤5，則2x+1≤4，x＋1≤2，x≤1，即0<x≤1；當x＝0時，f(x)＝0，滿足不等式f(x)≤5；當x<0時，－2－x+1<－2，－2－x+1－1<－3恒成立，滿足不等式f(x)≤5.綜上所述，不等式f(x)≤5的解集為{x|x≤1}．10．(多選題)設函數(shù)f(x)＝10x10x+1，若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則A．0 B．－1C．1 D．2AB解析：因為0<10x，則1＋110x>1，所以函數(shù)f(x)＝10x10x+1＝11+110x的值域是(0，1)，則f(11．(多選題)(數(shù)學與生活)某食品的保鮮時間y(單位：時)與儲存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系y＝ekx＋b(e＝2.718…，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，則()A．k<0B．儲存溫度越高保鮮時間越長C．在10℃的保鮮時間是60小時D．在30℃的保鮮時間是15小時ACD解析：對于A，由題可知120＝eb，30＝e20k＋b＝e20k·eb，則e20k＝14，故e10k＝12，所以10k<0，則k<0，A正確；對于B，由A可知，y＝kx＋b在R上是減函數(shù)，且y＝ex在R上是增函數(shù)，所以y＝ekx＋b在R上是減函數(shù)，則儲存溫度越高保鮮時間越短，B錯誤；對于C，e10k＋b＝e10k·eb＝12×120＝60，C正確；對于D，e30k＋b＝e30k·eb＝112．(2024·湖北聯(lián)考)已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)＝x32xax4解析：已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)＝x32xax+1為奇函數(shù)，則有f(－x)＝－f(x)，即-x32-x13．已知函數(shù)f(x