人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章第九節(jié)概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題學(xué)案

第九節(jié)概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題考試要求：1.會求概率、統(tǒng)計與不等式的綜合問題．2．會求概率、統(tǒng)計與函數(shù)的綜合問題．3．會求概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題．概率、統(tǒng)計與不等式的綜合問題【例1】(2024·長沙模擬)甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為γ(α＋β＋γ＝1，α＞0，β＞0，γ≥0)，且每局比賽結(jié)果相互獨立．(1)若α＝12，β＝13，γ＝16(2)當(dāng)γ＝0時，若比賽最多進行5局，求比賽結(jié)束時比賽局數(shù)X的分布列及期望E(X)的最大值．解：(1)記事件A為“每局比賽甲獲勝”，記事件B為“每局比賽乙獲勝”，記事件C為“每局比賽甲、乙兩人平局”，則P(A)＝α＝12，P(B)＝β＝13，P(C)＝γ＝記“進行4局比賽后甲運動員贏得比賽”為事件D，則事件D包括事件ABAA，B，ACCA，CACA，CCAA這5種情況，所以P(D)＝P(ABAA)＋P(B)＋P(ACCA)＋P(CACA)＋P(CCAA)＝2P(B)P(A)P(A)P(A)＋3P(C)P(C)P(A)P(A)＝2×13×123＋3×162×12(2)若γ＝0，此時每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，則α＋β＝1，此時X的所有可能取值為2，4，5，可得P(X＝2)＝P(AA)＋P(BB)＝α2＋β2，P(X＝4)＝P(ABAA)＋P(B)＋P(A)＋P(BABB)＝(2α3β＋2αβ3)＝2αβ(α2＋β2)，P(X＝5)＝P(ABAB)＋P(ABBA)＋P(BABA)＋P(BAAB)＝α2β2＋α2β2＋α2β2＋α2β2＝4α2β2，則X的分布列為X245Pα2＋β22αβ(α2＋β2)4α2β2則E(X)＝2×(α2＋β2)＋4×2αβ(α2＋β2)＋5×4α2β2＝4α2β2＋4αβ＋2.因為α＋β＝1≥2αβ，所以αβ≤14，當(dāng)且僅當(dāng)α＝β＝12時等號成立，則αβ∈此時E(X)＝4α2β2＋4αβ＋2＝(2αβ＋1)2＋1≤2×14+12＋1故E(X)的最大值為134概率、統(tǒng)計與不等式有關(guān)的綜合問題的解法(1)根據(jù)概率的性質(zhì)、均值、方差公式等得出關(guān)于概率p的表達式或不等式．(2)通過不等式知識解不等式或利用基本不等式求最值．某工廠A，B兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下，通過日常監(jiān)控得知，A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為p和2p－1(0.5≤p≤1)．(1)從A，B生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若至少有一件合格品的概率不低于99.5%，求p的最小值p0；(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可通過返工修復(fù)變?yōu)楹细衿?，?1)中確定的p0作為p的值．已知A，B生產(chǎn)線的不合格品返工修復(fù)后，每件產(chǎn)品可分別挽回損失5元和3元，若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢1000件產(chǎn)品，以返工修復(fù)后挽回損失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多．解：(1)至少有一件合格品的概率為1－(1－p)[1－(2p－1)]＝1－2(1－p)2.令1－2(1－p)2≥0.995，解得0.95≤p≤1.05.又0.5≤p≤1，所以0.95≤p≤1，故p的最小值p0＝0.95.(2)由(1)可知，A，B生產(chǎn)線上產(chǎn)品為合格品的概率分別為0.95和0.9，所以A，B生產(chǎn)線上產(chǎn)品不是合格品的概率分別為0.05和0.1.故從A生產(chǎn)線上抽檢的1000件產(chǎn)品中，不合格產(chǎn)品大約有1000×0.05＝50(件)，返工修復(fù)后，可挽回損失50×5＝250(元)，從B生產(chǎn)線上抽檢的1000件產(chǎn)品中，不合格產(chǎn)品大約有1000×0.1＝100(件)，返工修復(fù)后，可挽回損失100×3＝300(元)，因為250＜300，所以B生產(chǎn)線挽回的損失較多．概率、統(tǒng)計與函數(shù)的綜合問題【例2】(2024·濟寧模擬)某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進行針對性檢測(檢測分為初試和復(fù)試)，并隨機抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值．(2)若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ為樣本平均數(shù)的估計值，σ≈14.初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù)．(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎，答對兩道題獲得二等獎，答對一道題獲得三等獎，全部答錯不獲獎．已知某學(xué)生進入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為a，第三道題答對的概率為b.若他獲得一等獎的概率為18，設(shè)他獲得二等獎的概率為P，求P附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)樣本平均數(shù)的估計值為10(40×0.010＋50×0.020＋60×0.030＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62.所以樣本平均數(shù)的估計值為62.(2)因為學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝62，σ≈14.所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90.所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈12(1－0.9545)＝所以估計能參加復(fù)試的人數(shù)為0.02275×8000＝182.(3)由該學(xué)生獲得一等獎的概率為18，可得a2b＝1則P＝a2(1－b)＋a(1－a)b＋(1－a)ab＝a2＋2ab－38＝a2＋14a－令P＝f(a)＝a2＋14a－38，0＜a＜1，則f′(a)＝2a－14a2當(dāng)0＜a＜12時，f′(a)＜0；當(dāng)12＜a＜1時，f′(a)所以f(a)在區(qū)間0，12所以f(a)min＝f12＝14＋12－3所以P的最小值為38概率、統(tǒng)計與函數(shù)有關(guān)的綜合問題的解法在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率．決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，解題時通常先結(jié)合概率、方差、均值的公式列出函數(shù)表達式，再利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最值等)求解．在2024年春節(jié)期間，甲公司和乙公司在某購物平臺上同時開啟了打折促銷，直播帶年貨活動，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭關(guān)系．(1)現(xiàn)對某時間段100名觀看直播后選擇這兩個公司直播間購物的情況進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：單位：名用戶年齡段購物所選直播間合計甲直播間乙直播間19～24歲40105025～34歲203050合計6040100是否有99.9%的把握認為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關(guān)？(2)若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個直播間進行購物，第一天等可能地從甲、乙兩家中選一家直播間購物，如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.7；如果第一天去乙直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.8，求小李第二天去乙直播間購物的概率．(3)元旦期間，甲直播間進行“秒殺”活動，假設(shè)直播間每人下單成功的概率均為p(0＜p＜1)，每人下單成功與否互不影響，若從直播間中隨機抽取5人，記5人中恰有2人下單成功的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.解：(1)列聯(lián)表如下：單位：名用戶年齡段購物所選直播間合計甲直播間乙直播間19～24歲40105025～34歲203050合計6040100由表中數(shù)據(jù)可得χ2＝100×40×30?20×10250×50×60×40＝50故有99.9%的把握認為選擇哪家直播間購物與用戶的年齡有關(guān)．(2)由題設(shè)，事件小李第二天去乙直播間包括第一天去甲直播間，第二天去乙直播間和第一天去乙直播間，第二天去乙直播間兩種情況，所以小李第二天去乙直播間購物的概率P＝0.5×(1－0.7)＋0.5×(1－0.8)＝0.25.(3)由題可設(shè)5人中下單成功的人數(shù)為X，則X～(5，p)，所以f(p)＝C52p2(1－p)3＝10p2(1－p)3，令g(p)＝p2(1－p)3＝p2－3p3＋3p4－p所以g′(p)＝p(2－9p＋12p2－5p3)，令h(p)＝2－9p＋12p2－5p3，所以h′(p)＝－9＋24p－15p2＝－15p?452＋所以h′(p)在0，45又h′35＝h′(1)＝0故在0，35上，h′(p)＜0，h(p)單調(diào)遞減；在35，1上，h′(p)＞0由h25＝0，h(1)＝0，得在0，25上，h(p)＞0，即g′(p)＞0，在25，1上，h(p)＜0，即g′(p)＜0，所以g(p)在0，25上單調(diào)遞增，在25，1上單調(diào)遞減，即f(p)在0，25上單調(diào)遞增，在概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題【例3】(2024·大連模擬)國學(xué)小組有編號為1，2，3，…，n的n位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個選擇題，每人答對第一題的概率為23，答對第二題的概率為12，每個同學(xué)的答題過程都是相互獨立的，比賽規(guī)則如下：①按編號由小到大的順序依次進行，第1號同學(xué)開始第1輪出賽，先答第一題；②若第i(i＝1，2，3，…，n－1)號同學(xué)未答對第一題，則第i輪比賽失敗，由第i＋1號同學(xué)繼續(xù)比賽；③若第i(i＝1，2，3，…，n－1)號同學(xué)答對第一題，則再答第二題，若該生答對第二題，則比賽在第i輪結(jié)束；若該生未答對第二題，則第i輪比賽失敗，由第i＋1號同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進行到了第n輪，則不管第(1)令隨機變量Xn表示n名同學(xué)在第Xn輪比賽結(jié)束，當(dāng)n＝3時，求隨機變量X3的分布列．(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)號同學(xué)未答對第二題，則第i輪比賽失敗，第i＋1號同學(xué)重新從第一題開始作答．令隨機變量Yn表示n名同學(xué)在第Yn輪比賽結(jié)束．①求隨機變量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；②證明：E(Yn)單調(diào)遞增，且小于3.(1)解：根據(jù)題意可知X3的所有可能取值為1，2，3，又P(X3＝1)＝23×12＝P(X3＝2)＝23×12×12＋13×23×12＝518，P(X3＝3)＝1所以X3的分布列為X3123P13518718(2)①解：根據(jù)題意知Yn＝1，2，…，n，每位同學(xué)兩題都答對的概率為p＝23×12＝所以答題失敗的概率均為1－23×12＝所以Yn＝k(1≤k≤n－1，k∈N*)時，P(Yn＝k)＝23k-1×1當(dāng)Yn＝n時，P(Yn＝n)＝23n-1所以Yn的分布列為Yn123…n－1nP1323×1232×1…23n-2×123n-1②證明：由①知E(Yn)＝23k-1×13＋n23n-1(n∈N*，n≥E(Yn＋1)－E(Yn)＝n23n-1×13＋(n＋1)23n－n23n-1＝2故E(Yn)單調(diào)遞增；由上得E(Y2)＝53故E(Yn)＝E(Y2)＋[E(Y3)－E(Y2)]＋[E(Y4)－E(Y3)]＋…＋[E(Yn)－E(Yn－1)]，所以E(Yn)＝53＋232＋233＋…＋23n-1＝53＋2321?23故E(Y2)＜E(Y3)＜E(Y4)＜E(Y5)＜…＜E(Yn)＜3.概率、統(tǒng)計與數(shù)列有關(guān)的綜合問題的解法一是認真審題，判斷隨機變量的所有可能取值，并注意相互獨立事件的概率與互斥事件的概率的區(qū)別，求出隨機變量取各個值時的概率，從而列出隨機變量的分布列；二是將概率的參數(shù)表達式與數(shù)列的遞推式相結(jié)合，可得數(shù)列的通項公式，此種解法新穎獨特．(2024·威海模擬)全民健身是全體人民增強體魄、健康生活的基礎(chǔ)和保障，為了研究杭州市民健身的情況，某調(diào)研小組隨機抽取了100名市民進行調(diào)研，得到如下數(shù)據(jù)：每周健身次數(shù)1次2次3次4次5次6次及6次以上男4653428女7587617(1)如果認為每周健身4次及以上為“喜歡健身”，請列出2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，判斷喜歡健身與性別是否有關(guān)聯(lián)．(2)假設(shè)杭州市民小紅第一次去健身房A健身的概率為211，去健身房B健身的概率為911，從第二次起，若前一次去健身房A，則此次不去A的概率為14；若前一次去健身房B，則此次仍不去A的概率為13．記第n次去健身房A健身的概率為P附：χ2＝nad?bcα0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)依題意，2×2列聯(lián)表如下：單位：人性別是否喜歡健身合計喜歡不喜歡男351550女302050合計6535100零假設(shè)為H0：喜歡健身與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝100×35×20?30×15250×50×65×30≈1.099＜3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此也可以認為(2)依題意，P1＝211，當(dāng)n≥2時，Pn＝Pn－1×34＋(1－Pn－1)×23＝112Pn－則Pn－811＝1所以數(shù)列Pn?811是首項為P1－811＝211所以Pn－811＝－611×112n?1，Pn＝811所以P10＝811－611×1129≈所以第10次去A健身房健身的概率更大．課時質(zhì)量評價(六十九)1．(2024·煙臺模擬)某籃球隊為提高隊員訓(xùn)練的積極性，進行小組投籃游戲；每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成一個小組．游戲規(guī)則如下：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”．已知甲、乙兩名隊員投進籃球的概率分別為p1，p2.(1)若p1＝12，p2＝23，求他們在第一輪游戲獲得“神投小組(2)已知p1＋p2＝65①p1，p2取何值時能使得甲、乙兩名隊員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率最大？并求出此時的最大概率．②在第①問的前提下，若甲、乙兩名隊員想要獲得297次“神投小組”的稱號，則他們平均要進行多少輪游戲？解：(1)每小組投進的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，則可能的情況有：①甲投中一次，乙投中兩次；②甲投中兩次，乙投中一次；③甲投中兩次，乙投中兩次．因為p1＝12，p2＝2所以他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率為C21·122×232＋122×C21×23(2)①由題意得他們在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率P＝C21×因為p1＋p2＝65，所以P＝12又0≤p1≤1，0≤p2≤1，則15≤p1≤1令m＝p1p2＝?p12＋65p1＝－p則m∈15令P＝f(m)＝125m－3m2＝－3m?252所以f(m)＝125m－3m2在15，925上單調(diào)遞增，則Pmax＝f925＝297625，此時p②他們小組在n輪游戲中獲得“神投小組”稱號的次數(shù)ξ滿足ξ～Bn，所以np＝297，則n＝297297625＝所以平均要進行625輪游戲．2．某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗試劑品α分為兩類不同劑型α1和α2.現(xiàn)對其進行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑α1和α2合格的概率分別為34和35，第二次檢測時兩類試劑α1和α2合格的概率分別為45和2(1)設(shè)經(jīng)過兩次檢測后兩類試劑α1和α2合格的種類數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一使用試劑品α進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p(0＜p＜1)且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為f(p)，若當(dāng)p＝p0時，f(p)最大，求p0的值．解：(1)試劑α1合格的概率為34×45＝試劑α2合格的概率為35×23＝由題意知X的所有可能取值為0，1，2.則P(X＝0)＝1?35×1?25＝625，P(X＝1)＝1?35×25＋35×1?25＝1325，P(X012P6251325625數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×625＋1×1325＋2×6(2)檢測3人確定“感染高危戶”的概率為(1－p)2p，檢測4人確定“感染高危戶”的概率為(1－p)3p，則f(p)＝(1－p)2p＋(1－p)3p＝(1－p)2p(2－p)．令x＝1－p，因為0＜p＜1，所以0＜x＜1，原函數(shù)可化為g(x)＝x2(1－x2)(0＜x＜1)．因為x2(1－x2)≤x2+1?當(dāng)且僅當(dāng)x2＝1－x2，即x＝22此時p＝1－22，所以p0＝1－23．(2024·濟南模擬)某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護意識，舉辦了一次“環(huán)境保護知識競賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．(2)由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)，且σ2＝362，已知小明的預(yù)賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計小明是否有資格參加復(fù)賽？(3)復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量n，每一題都需要“花”掉(即減去)一定分數(shù)來獲取答題資格，規(guī)定答第k題時“花”掉的分數(shù)為0.2k(k＝1，2，…，n)；③每答對一題加2分，答錯既不加分也不減分；④答完n題后參賽學(xué)生的最終分數(shù)即為復(fù)賽成績．已知參加復(fù)賽的學(xué)生甲答對每道題的概率均為0.8，且每題答對與否都相互獨立．若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績，則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少？附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973；362≈19.解：(1)預(yù)賽成績在[60，80)范圍內(nèi)的樣本量為0.0125×20×100＝25，預(yù)賽成績在[80，100)范圍內(nèi)的樣本量為0.0075×20×100＝15，設(shè)抽取的2人中預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，則P(X≥1)＝C15又P(X＝0)＝C252C402＝513，P(X＝1)＝C151C251C402＝X012P5132552752故E(X)＝0×513＋1×2552＋2×752(2)μ＝x＝(10×0.005＋30×0.01＋50×0.015＋70×0.0125＋90×0.0075)×20＝53，σ2＝362，則σ≈19，所以Z～N(53，362)，故P(Z≥91)＝P(Z≥μ＋2σ)＝12[1－P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)]≈0.02275故全市參加預(yù)賽的學(xué)生中，成績不低于91分的有120000×0.02275＝273(人)，因為273＜300，故小明有資格參加復(fù)賽．(3)設(shè)學(xué)生甲答對的題目數(shù)為ξ，復(fù)賽成績?yōu)閅，則ξ～B(n，0.8)，故E(ξ)＝0.8n，Y＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2ξ，故E(Y)＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2E(ξ)＝－110n2＋3n2＋100＝－110n?因為n∈N*，所以答題數(shù)量為7或8時，學(xué)生甲可獲得最佳的復(fù)賽成績．4．老年公寓是