人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章第三節(jié)不等式的性質(zhì)與基本不等式學(xué)案

第三節(jié)不等式的性質(zhì)與基本不等式考試要求：1．會比較兩個數(shù)(式)的大小．2．理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用．3．掌握基本不等式，并能用基本不等式解決簡單的最值問題．自查自測知識點一兩個實數(shù)比較大小的方法1．已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，則P與Q的大小關(guān)系為()A．P<Q B．P＝QC．P>Q D．不能確定C解析：因為P－Q＝a2＋3a＋3－(a＋1)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1>0，所以P>Q.2．(教材改編題)已知x≠0，則(x2＋1)2與x4＋x2＋1的大小關(guān)系為(x2＋1)2>x4＋x2＋1．3．比較兩數(shù)的大小：7+10>解析：因為(7+10)2＝17＋270，(3+14)2＝17＋242，所以(7+10)2>(3+核心回扣兩個實數(shù)比較大小的方法關(guān)系方法作差法作商法a>ba－b>0ab>1(a，b>0)或ab<1(a，a＝ba－b＝0ab＝1(b≠a<ba－b<0ab<1(a，b>0)或ab>1(a，自查自測知識點二不等式的性質(zhì)1．(教材改編題)已知實數(shù)x，y滿足x＞y，則下列不等式成立的是()A．yx＜1 B．a(chǎn)x＞C．x＋a＞y＋a D．x2＞y2C解析：當(dāng)x＝－2，y＝－3時，x＞y，但是yx＞1，x2＜y2，故A，D錯誤；當(dāng)a＜0時，ax＜ay2．下列命題中，是真命題的是(B)A．如果ac>bc，那么a>bB．如果ac2>bc2，那么a>bC．如果ac>bc，那么aD．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d3．已知－1<a<2，－3<b<5，則a－b的取值范圍是．(－6，5)解析：因為－3<b<5，所以－5<－b<3.又－1<a<2，所以－6<a－b<5.核心回扣不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對稱性a>b?b<a；a<b?b>a可逆?zhèn)鬟f性a>b，b>c?a>c；a<b，b<c?a<c同向可加性a>b?a＋c>b＋c可逆可乘性a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bcc的符號同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向同正可乘方性a>b>0，n∈N*?an>bn同正可開方性a>b>0，n∈N，n≥2?na>同正自查自測知識點三基本不等式1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)函數(shù)y＝x＋1x的最小值是2.(×(2)兩個不等式a2＋b2≥2ab與a+b2≥ab成立的條件是相同的．(×(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(√)2．函數(shù)y＝xx2+1(x12解析：因為x＞0，所以y＝xx2+1＝1x+1x≤13．矩形兩邊長分別為a，b，且a＋2b＝6，則矩形面積的最大值是924．已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為．12解析：x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x+1-x22＝3×14＝34，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝12時，等號成立．所以x(3－3核心回扣1．基本不等式：ab≤a+b(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0．(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．2．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為a+b2，幾何平均數(shù)為ab3．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2p．(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值p2【常用結(jié)論】1．倒數(shù)性質(zhì)(1)a＞b，ab＞0?1a＜1b．(2)a＜0＜b?1a＜1b．(3)a＞b＞0，0＜c＜d?(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?1b＜1x＜2．常用的幾個重要不等式(1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)．(2)ab≤a+b22(a，b∈R)．(3)a+b22≤a2+b22(4)ba＋ab≥2(a，應(yīng)用1(多選題)下列四個條件中，能推出1a＜1A．b＞0＞a B．0＞a＞bC．a(chǎn)＞0＞b D．a(chǎn)＞b＞0ABD解析：因為1a＜1b等價于1a－1b＝b-aab＜0，當(dāng)a＞b，ab＞0時，1應(yīng)用2已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝a+b2，y＝a+b，則xA．x>y B．y>xC．x>2y D．y>2xB解析：因為a，b為不相等的正實數(shù)，所以y2＝(a+b)2＝a＋b.由基本不等式得a＋b＝a+b+a+b2>a+b+2ab2＝a+b22＝x2，所以y2>x2.又因為x不等式的性質(zhì)考向1利用不等式的性質(zhì)比較大小1．(多選題)已知實數(shù)a，b，c滿足c<b<a且ac<0，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)b>ac B．c(b－a)>0C．a(chǎn)c(a－c)<0 D．cb2<ab2ABC解析：因為c<b<a且ac<0，所以c<0，a>0，所以ab>ac，故A一定成立；又b－a<0，所以c(b－a)>0，故B一定成立；又a－c>0，ac<0，所以ac(a－c)<0，故C一定成立；當(dāng)b＝0時，cb2＝ab2，當(dāng)b≠0時，有cb2<ab2，故D不一定成立．故選ABC．2．(多選題)設(shè)b>a>0，c∈R，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)12<b12 B．1C．a(chǎn)+2b+2>ab D．a(chǎn)c3<ABC解析：因為y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以<；因為y＝1x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以1a>1b；因為a+2b+2－ab＝2b-ab+2b>0，所以a+2b+2>ab；當(dāng)c3．(2024·濰坊調(diào)研)下列對不等關(guān)系的判斷，正確的是()A．若1a＜1b，則a3＞B．若aa2＞bb2C．若lna2＞lnb2，則2|a|＞2|b|D．若tana＞tanb，則a＞bC解析：對于選項A，當(dāng)a＝－1，b＝1時，滿足1a＜1b，但a3＜b3，A錯誤；對于選項B，當(dāng)a＝1，b＝－2時，滿足aa2＞bb2，但2a＞2b，B錯誤；對于選項C，lna2＞lnb2?a2＞b2?|a|＞|b|?2|a|＞2|b|，C正確；對于選項D，tanπ3判斷不等式成立常用的三種方法(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個驗證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件．(2)利用特殊值法排除錯誤答案．(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時，可以利用指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．考向2利用不等式的性質(zhì)求取值范圍4．若－2<a<b<3，－2<c<0，則c(a－b)的取值范圍是．(0，10)解析：由－2<a<b<3，得b－a>0，且－2<a<3，－2<b<3，所以－3<－a<2.由不等式的性質(zhì)可得－5<b－a<5，所以0<b－a<5.因為－2<c<0，所以0<－c<2，所以0<－c(b－a)<10，即0<c(a－b)<10，所以c(a－b)的取值范圍是(0，10)．5．設(shè)x，y為實數(shù)，滿足2≤xy2≤3，3≤x2y≤4，則x532解析：x5y5＝x2y31xy2，因為3≤x2y≤4，所以27≤x2y3≤64.因為2≤xy2≤3，所以13≤1xy求含有字母的數(shù)(或式)的取值范圍時應(yīng)注意的兩點(1)要注意題設(shè)中的條件．(2)要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個同方向的不等式可加不可減，可乘不可除．利用基本不等式求最值考向1配湊法求最值【例1】(1)若x＞2，則函數(shù)y＝x＋4x-2A．3 B．4C．5 D．6D解析：因為x＞2，所以x－2＞0，所以y＝x＋4x-2＝(x－2)＋4x-2＋2≥2x-2·4x-2＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝4x-2，即x＝4時取等號，所以函數(shù)(2)已知函數(shù)f(x)＝－x2x+1(A．f(x)有最小值4B．f(x)有最小值－4C．f(x)有最大值4D．f(x)有最大值－4A解析：f(x)＝-x2x+1＝-x2-1+1x+1＝－x-1+1x+1＝－x+1+1x+1-2＝－(x＋1)＋1-x+1＋2.因為x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以f(x)配湊法求最值的依據(jù)、技巧(1)依據(jù)：基本不等式．(2)技巧：通過添項、拆項、變系數(shù)、湊因子等方法湊成和為定值或積為定值的形式，即符合“一正、二定、三相等”的條件，然后利用基本不等式求最值．考向2常數(shù)代換法求最值【例2】(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，則1a＋1b的最小值為4解析：因為a＋b＝1，所以1a＋1b＝1a+1b(a＋b)＝2＋ba+ab≥2＋2ba(2)已知兩個正數(shù)x，y滿足x＋2y＝8xy，則4x＋2y的最小值為．94解析：將x＋2y＝8xy兩邊同時除以xy，得2x＋1y＝8，則4x＋2y＝18(4x＋2y)2x+1y＝1810+4yx+4xy≥1810+24yx[變式1]將本例(1)中的條件“a＋b＝1”改為“a＋2b＝3”，則1a＋1b的最小值為1＋223解析：因為a＋2b＝3，所以13a＋23b＝1，所以1a＋1b＝1a+1b13a+23b＝13＋23＋a3b[變式2]若本例(1)條件不變，則1+1a1+9解析：1+1a1+1b＝1+a+ba1+a+bb＝2+ba2+a常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))．(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式．(4)利用基本不等式求最值．考向3消元法求最值【例3】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為．6解析：(方法一)由已知得9－(x＋3y)＝13·x·3y≤13·x+3y22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y，即x＝3，y＝1時取等號，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.令x＋3y＝t，則t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥(方法二)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9-3y1+y，所以x＋3y＝9-3y1+y＋3y＝9-3y+3y1+y1+y＝9+3y21+y＝31+y2-61+y+121+y＝3(1＋y)＋121+y－6≥2消元法求最值的技巧(1)消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．(2)如果出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解，但一定要注意各個元的范圍．1．若a＞0，b＞0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，則a＋b的最小值為()A．8 B．6C．4 D．2C解析：由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，則有1a＋1b＝1，所以a＋b＝1a+1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·a2．若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是()A．223 C．33 D．A解析：因為正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，所以y＝1-x26x．由x>0，y>0，即x>0，1-x26x>0，解得0<x<1.所以x＋2y＝x＋1-x23x＝2x3＋13x≥22x3·13．若a，b∈R，ab＞0，則a4+4b4解析：因為ab＞0，所以a4+4b4+1ab≥24a4b4+1ab＝4利用基本不等式解決實際問題【例4】當(dāng)下，電動汽車越來越普及，可以通過固定的充電樁進行充電．某商場計劃在地下停車庫安裝公共充電樁，以滿足顧客的需求．據(jù)市場分析，公共充電樁的歷年總利潤y(單位：萬元)與運營年數(shù)x(x是正整數(shù))成二次函數(shù)關(guān)系，運營3年時總利潤為20萬元，運營6年時總利潤最大，為110萬元．(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求運營的年平均總利潤的最大值．(注：年平均總利潤＝歷年總利潤運營年數(shù)解：(1)因為投入運營六年時總利潤最大，為110萬元，即二次函數(shù)開口向下，且頂點坐標(biāo)為(6，110)，可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－6)2＋110(a<0)．又運營三年時總利潤為20萬元，即20＝a(3－6)2＋110，解得a＝－10，則y＝－10(x－6)2＋110，即y＝－10x2＋120x－250(x∈N*)．(2)由(1)得年平均總利潤為yx＝－10x+25x＋120≤當(dāng)且僅當(dāng)x＝25x，即x所以運營的年平均總利潤的最大值為20萬元．利用基本不等式解決實際應(yīng)用問題的思路(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用M(x)(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：M(x)＝k2x+3(0≤x≤10)．若不建隔熱層，每年能源消耗費用為203萬元，設(shè)f((1)求k的值及f(x)的表達(dá)式．(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最??？求最小值．解：(1)依題意當(dāng)x＝0時，M(0)＝203，即k3＝203則f(x)＝8x＋20·202x+3＝8x＋4002x+3(0≤x(2)f(x)＝8x＋4002x+34(2x＋3)＋4002x+3≥242x+3＝80－12＝68.當(dāng)且僅當(dāng)4(2x＋3)＝4002x+3，即x＝7答：當(dāng)隔熱層修建72cm厚時，總費用f(x兩個不等式的幾何解釋及應(yīng)用鑒于不等式在實際生活中的廣泛應(yīng)用，以及在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要地位和在高考數(shù)學(xué)中的重要作用，高考數(shù)學(xué)對不等式知識有著重考查的趨勢．對“基本不等式”的重點考查顯得尤為突出，這是因為基本不等式是不等式中的重要不等式，應(yīng)用它不僅可以證明不等式，同時它也是求部分函數(shù)的最值的一個有力工具．[典題展示]下圖驗證的不等式是()A．a(chǎn)2＋b2≥a＋bB．4ab≥a2＋b2C．a(chǎn)＋b≥2abD．a(chǎn)2＋b2≥2ab思路展示(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab表示最大的正方形的面積，每一個三角形的面積為12ab，一共8個，則其面積和為4ab，最小的正方形的面積為(b－a)2.由圖可得(a＋b)2＝4ab＋(b－a)2，即a2＋b2＋2ab＝4ab＋(b－a)2，即a2＋b2＝2ab＋(b－a)2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b(1)仔細(xì)分析圖形中各邊之間的關(guān)系，準(zhǔn)確表示出有關(guān)圖形的面積．(2)找出圖形面積之間的關(guān)系，找到與之對應(yīng)的不等式．(3)常用結(jié)論ab≤a+b22≤a《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)．通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明．如圖所示，點O為半圓的圓心，在AB上取一點C，使得AC＝a，BC＝b，過點C作CD⊥AB交圓周于點D，連接OD．作CE⊥OD交OD于點E，則下列不等式可以表示CD≥DE的是()A．a(chǎn)b≥2aba+b(a＞0，bB．a(chǎn)+b2≥ab(a＞0，bC．a(chǎn)2+b22≥a+bD．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)思路展示如圖，連接DB．因為AB是⊙O的直徑，所以∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，中線OD＝AB2＝a+b2．由射影定理可得CD2＝AC·BC＝ab，所以CD＝在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝CD2OD＝ab由CD≥DE得ab≥2aba+b(1)注意靈活應(yīng)用平面幾何知識(如勾股定理、三角形全等、射影定理、相似等)求圖形中有關(guān)線段的長度．(2)常用結(jié)論21a+1b≤ab≤a+b2≤[試題呈現(xiàn)](多選題)(2022·新高考全國Ⅱ卷)若實數(shù)x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1[四字程序]讀實數(shù)x，y滿足x2＋y2－xy＝1想構(gòu)造不等式，通過代數(shù)換元或三角換元來實現(xiàn)算1．令x＋y＝t消去y，依據(jù)關(guān)于x的方程有解列不等式．2．求xy的范圍，把x＋y，x2＋y2看作關(guān)于xy的函數(shù)思1．利用基本不等式可以實現(xiàn)積化和、和化積．2．三角代換的適用條件和新?lián)Q元范圍的確定[一題多解]思路參考：利用xy≤x+y22，xy≤x2+y22構(gòu)造關(guān)于x＋y，BC解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤3x+y22，解得－2≤x＋y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立，即當(dāng)x＝y(tǒng)＝－1時，x＋y＝－2；當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，x＋y由x2＋y2－xy＝1，得(x2＋y2)－1＝xy≤x2+y22，解得x2＋y2≤當(dāng)x＝13，y＝－13時，x2＋y2＝思路參考：令x＋y＝t消去y，依據(jù)關(guān)于x的方程有解列不等式．BC解析：令x＋y＝t，則y＝t－x，代入x2＋y2－xy＝1得關(guān)于x的方程3x2－3tx＋(t2－1)＝0，則Δ＝(－3t)2－4×3×(t2－1)≥0，解得－2≤t≤2，即－2≤x＋y≤2.令x2＋y2＝m，則由x2＋y2－xy＝1得xy＝m－1，于是有m≥2|m－1|，解得23≤m≤2，即x2＋y2∈2思路參考：求xy的范圍，把x＋y，x2＋y2看作關(guān)于xy的函數(shù)，求函數(shù)的值域的范圍．BC解析：由xy＋1＝x2＋y2≥2|xy|，得xy∈-13，1，則x2＋y2＝xy＋1∈23，2，(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋1思路參考：先配方，再進行三角換元，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求范圍．BC解析：將條件x2＋y2－xy＝1變形為x-y22＋34設(shè)x－y2＝cosθ，3y2＝sinθ，則x＝cosθ＋13sinθ，y＝因此x＋y＝cosθ＋3sinθ＝2sinθ+π6x2＋y2＝cos2θ＋53sin2θ＋23sinθcosθ＝43＋23sin2θ-π6，因為－1≤sin2θ-π6≤1，所以課時質(zhì)量評價(三)1．(2024·徐州模擬)設(shè)P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)·(a－3)，a∈R，則有()A．P≥Q B．P>QC．P<Q D．P≤QA解析：因為P－Q＝2a2－4a＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，所以P≥Q.2．設(shè)a>0，則a＋a+4aA．2a+4 B．2C．4 D．5D解析：a＋a+4a＝a＋1＋4a≥1＋2a·4a＝5，當(dāng)且僅當(dāng)a3．若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有(B)A．a(chǎn)d＞bd B．a(chǎn)C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)4．若6<a<10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，則cA．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)D解析：因為a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a.因為6<a5．(2024·日照模擬)若圓柱的上、下底面的圓周都在一個半徑為2的球面上，則該圓柱側(cè)面積的最大值為()A．4π B．8πC．12π D．16πB解析：設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，則圓柱的高為24-r2，圓柱的側(cè)面積為S＝2πr×24-r2＝4πr4-r2≤4π×r2+4-r6．(2024·濰坊質(zhì)檢)給出下列命題：①a>b?ac2>bc2；②a>|b|?a2>b2；③a>b?a2>b2；④|a|>b?a2>b2.其中正確的命題是．②解析：對于①，當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，不滿足題意，故①錯誤；對于②，因為a>|b|≥0，故a2>b2，故②正確；對于③，取a＝1，b＝－2，滿足a>b，但a2＝1<4＝b2，故③錯誤；對于④，取a＝1，b＝－2，滿足|a|>b，但a2＝1<4＝b2，故④錯誤．7．1x+1y(x＋49解析：1x+1y(x＋4y)＝5＋xy＋4yx≥5＋24＝9，當(dāng)且僅當(dāng)xy＝4yx，即8．(2024·菏澤模擬)若實數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，則2x＋4y的最小值為．22解析：2x＋4y≥22x×22y＝22x+2y＝22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝19．(數(shù)學(xué)與生活)某居民小區(qū)欲在一塊空地上建一面積為1200m2的矩形停車場，停車場的四周留有人行通道，設(shè)計要求停車場外側(cè)南北的人行通道寬3m，東西的人行通道寬4m，如圖所示(圖中單位：m)．問：如何設(shè)計停車場的邊長，才能使人行通道占地面積最?。孔钚∶娣e是多少？解：設(shè)矩形停車場東西側(cè)邊長為xm(x>0)，則其南北側(cè)邊長為1200xm，人行通道占地面積為S＝(x＋6)1200x+8－1200＝8x＋7200x＋48≥28x·7200x＋48＝2×240＋48＝528，當(dāng)且僅當(dāng)8x＝7200x，即x＝30時，等號成立，故S10．已知對任意的正實數(shù)x，y，不等式x＋4y≥mxy恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(0，4] B．(0，2]C．(－∞，4] D．(－∞，2]C解析：因為x>0，y>0，所以x＋4y≥mxy等價于m≤x+4yxy，即m≤x+4yxymin.又因為x+4yxy＝xy＋4yx≥2xy·4yx＝4，當(dāng)且僅當(dāng)xy＝411．(學(xué)科交匯)(2024·泰安模擬)在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥品．實驗一：小明將5克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實驗二：小芳將20克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個實驗中小明和小芳共秤得的藥品()A．大于20克 B．小于20克C．大于等于20克 D．小于等于20克C解析：設(shè)天平左、右兩邊臂長分別為a，b，小明、小芳放入的藥品的克數(shù)分別為x，y，則由杠桿原理得5a＝bx，ay＝20b，于是x＝5ab，y＝20ba，故x＋y＝5ab＋20ba≥25ab12．(多選題)已知1≤a≤5，a＋b＝8，則()A．－6≤a－b≤2B．7≤ab≤15C．32≤a2＋b2≤50D．2a＋8b的最小值為128AC解析：對于A，由已知得，a－b＝2a－(a＋b)＝2a－8，又1≤a≤5，所以－6≤2a－8≤2，所以－6≤a－b≤2，故A正確；對于B，當(dāng)a＝b＝4時，ab＝16，不等式不成立，故B錯誤；對于