2024高考數(shù)學(xué)講義-集合與常用邏輯

2024高考數(shù)學(xué)講義一集合與常用邏輯

目錄

1.第1講集合及其運(yùn)算.......................................................1

1.1.基礎(chǔ)知識整理............................................................1

1.2.核心考向突破............................................................4

1.3.解決集合概念問題的注意事項(xiàng)..............................................5

1.4.集合的新定義問題.......................................................12

1.5.對點(diǎn)訓(xùn)練................................................................13

1.6.課時(shí)作業(yè)................................................................14

2.第2講充分條件與必要條件................................................19

2.1.基礎(chǔ)知識整理..........................................................20

2.2.核心考向突破..........................................................22

2.3.課時(shí)作業(yè)..............................................................25

2.4.核心考向突破..........................................................30

3.第3講全稱量詞與存在量詞................................................34

3.1.基礎(chǔ)知識整理..........................................................34

3.2.核心考向突破..........................................................37

3.3.課時(shí)作業(yè)..............................................................41

1.第1講集合及其運(yùn)算

1.1.基礎(chǔ)知識整理

設(shè)知識梳理

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個(gè)特征：叵］確定性、質(zhì)互異性、函］無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是網(wǎng)屬于或廚不屬于兩種,用符號國巨或西k表

示.

(3)集合的表示法：闞列舉法、畫描述法、回圖示法.

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(4)常見數(shù)集的記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號阿N應(yīng)N*(或N+)直Z回Q國R

2.集合間的基本關(guān)系

表示

文字語言符號語言

關(guān)系

集合A與集合B中的所有元素

相等[17]ACB且麗BUAQA=B

回相同

集合A中任意一個(gè)元素都是集合

子集回AUB或B?A

B中的元素

集合A中任意一個(gè)元素都是集合

真子集B中的元素，且B中至少有一個(gè)[20]AB或BA

元素不是A中的元素

空集是因任何集合的子集，是

0GA

空集

國任何非空集合的真子集0B(BH。)

3.集合的基本運(yùn)算

并集交集補(bǔ)集

圖形

AUB=F23]AnB=[24](UA=區(qū)

符號

僅惶?；?￡8}{x|xWA且xGB}{x|xGU且xCA}

1.若有限集A中有〃個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2",真子集的個(gè)數(shù)為

2"-1,非空真子集的個(gè)數(shù)為2"-2.

2.A\J0=A,AUA=A,AC(AUB),BU(AUB).

3.AQ0=0,AAA=A,AHBQB.

4.AHB=AUB^A=B.

5.HB=ASAUB=8臺([以)3([u3)<4An([(出)=◎

6.AC([uA)=0；AU(Ct/A)=U',[u([uA)=A.

7.([uA)n([u3)=[u(AU8),([(/A)U([uB)=[(/(AAB).

8.如圖所示，用集合A,8表示圖中I、II、川、IV四個(gè)部分所表示的集

合分別是AHB,An([uB),5n(。以)，Cu(AU8).

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9.card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AA8).

1.(2021.湖北武漢月考)若集合P={xWN|xWM防},。=2/，貝女)

A.a￡P(guān)B.{a}EP

C.{a}^PD.a^P

答案D

解析依題意，因?yàn)椤?2既不是自然數(shù)，而集合P是不大于廊1的自然

數(shù)構(gòu)成的集合，所以質(zhì)產(chǎn)，只有D項(xiàng)正確.故選D.

2.(2020?新高考卷I)設(shè)集合A={x|lWxW3},B={x|2a<4},則AU8=()

A.{x|24xW3}B.{尢|2WxW3}

C.{RlWx<4}D.{x[l<x<4}

答案C

解析AUB=[1,3]U(2,4)=[1,4).故選C.

3.設(shè)集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)\y=^},則=()

A.{(1,1)}B.{(-2,4)}

C.{(1,1),(-2,4)}D.0

答案C

x+y=2,[x=1,\x=-2,

解析由\解得,或“所以AnB=《』)，(-

[y=片，ly=i〔y=4,

2,4)}.

4.已知集合A,8均為全集。={1,2,3,4}的子集，且[u(AUB)={4},AA([

4)={3},貝"8=()

A.{1,2}B.{1,2,4)

C.{2,4}D.。

答案A

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解析結(jié)合Venn圖（如圖河知B={1,2}.故選A.

5.已知集合A={x*-3x+2=0,xWR},B={x[0<x<5,xCN},貝滿足

條件AcCRB的集合C的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

答案D

解析因?yàn)锳={1,2},B={1,2,3,4},AQC^B,則集合C可以為{1,2},

（1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4個(gè).

6.已知集合4={-1,2},B={x\ax=\},若則由實(shí)數(shù)"的所有可能

的取值組成的集合為（）

A.11,斗B,{-1,

C.1o,1,1}D.1-1,0,1}

答案D

解析若8為空集，則方程辦=1無解，解得。=0；若B不為空集，則

aWO,由ox=l解得x=[,所以（=一1或5=2,解得a=-1或a=T，則由實(shí)

數(shù)。的所有可能的取值組成的集合為1-1,0,笥.故選D.

1.2.核心考向突破

考向一集合的基本概念

例1（1）設(shè)集合加=3x22小},。=5，則下列關(guān)系中正確的是（）

A.aeMB.a^M

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C.{a}EMD.{a}^M

答案B

解析符號僅表示元素與集合之間的關(guān)系，不能用來表示集合

與集合之間的關(guān)系，故C,D錯(cuò)誤.?.?。=/<2小，」.a莊M.故選B.

(2)已知a,86R,若"，?1]={層，a+b,0},貝|。+〃為()

A.1B.0

C.-1D.±1

答案C

解析由已知得"W0,則§=0,所以b=0,于是次=1,即。=1或。=-

1,又根據(jù)集合中元素的互異性可知。=1應(yīng)舍去.因此。=-1,故

故選C.

(3)已知集合4={。,陰X2+犬W3,工€2〃62},則4中元素的個(gè)數(shù)為()

A.9B.8

C.5D.4

答案A

解析,.,%2+y?W3,,.，彳€Z,.".x=一1,0,1.當(dāng)x=-1時(shí),y=-1,0,1；

當(dāng)x=0時(shí)，y=-1,0,1；當(dāng)x=l時(shí)，y=-1,0,1,綜上，A中元素共有9個(gè)，故

選A.

1.3.解決集合概念問題的注意事項(xiàng)

(1)解本例⑴時(shí)要注意，符號“€”“甘僅表示元素與集合之間的關(guān)系，不

能用來表示集合與集合之間的關(guān)系.a€M與〃M取決于a是否是集合M中的

素?

(2)研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條

件.解本例(3)時(shí)要注意，集合A是坐標(biāo)滿足N+y2W3的整數(shù)點(diǎn)構(gòu)成的集合.

(3)本例⑵中參數(shù)的確定，往往要對集合中的元素進(jìn)行分類討論，構(gòu)造方程

組求解.同時(shí)注意對元素互異性的檢驗(yàn).

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1.已知集合A={Rx=3%-1/6Z},則下列表示正確的是()

A.-HAB.-11EA

C.3后一1CAD.一34在A

答案C

解析當(dāng)左=0時(shí)，x=-\,所以-16A,所以A錯(cuò)誤；令-11=3左-1,

得％=—學(xué)在Z,所以-11&A,所以B錯(cuò)誤；令-34=3"1,得左=-11,所以

-34WA,所以D錯(cuò)誤；因?yàn)殡禬Z,所以FCZ,則3F-1CA,所以C正確.

2.(2020.?？谑懈呖颊{(diào)研考試)設(shè)集合A={1,2,3,4},8={3,4,5,6,7},集合M

="比€8且依4},貝l]M=()

A.{1,2}B.{3,4}

C.{5,6,7}D.{3,4,5,6,7}

答案C

解析因?yàn)榧螦={1,2,3,4},8={3,4,5,6,7},集合M={x|xWB且/A},

所以集合加={5,6,7}.故選C.

3.設(shè)集合A={x\(x-a)2<\}，且2€A,3在A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案(1,2]

解析A={x[(x-?)2<1}={x||x-iz|<l}={x|a-\<x<a+1}.

因?yàn)?€A,34A,所以卜+1>2,

解得l<aW2.

Q+1W3,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是（1,2].

考向二集合間的基本關(guān)系

例2（1）（2020.山東省萊西一中、高密一中、棗莊三中模擬）集合32、=『,

xWR｝的非空真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4

C.6D.8

答案C

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解析畫出函數(shù)y=2,和y的圖象，根據(jù)圖象知集合32，=f,xWR}有

3個(gè)元素，故集合{x|2，=f,xWR}的非空真子集的個(gè)數(shù)為23-2=6.故選C.

⑵已知集合A=(R=+l)(x-6)W0},B={x\m-\^x^2m+\].若BGA,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

答案機(jī)v-2或

解析A={x|—lWx<6},若則當(dāng)3=。時(shí)，有機(jī)一1>2m+1,即mv

-2時(shí)，符合題意.

m-1<2m+1,

解得OWmW,.

{2m+1^6,

綜上，實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是根<-2或OW〃?W|.

(1)當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)是有限個(gè)時(shí)，其子集、真子集個(gè)數(shù)為確定

的.當(dāng)元素個(gè)數(shù)為〃時(shí)，集合有2"個(gè)子集，有(2"-1)個(gè)真子集，有(2"-1)個(gè)非

空子集，有(2"-2)個(gè)非空真子集.

(2)已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對子集是否

為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解.

①若集合元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程(組)求解,

此時(shí)注意集合中元素的互異性；

②若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解，此時(shí)

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需注意端點(diǎn)值能否取到.

即時(shí)訓(xùn)練4.(2021.海南省海南中學(xué)高三月考)設(shè)集合M=

卜180。+45。，ZWz],N="x=[x180。+45。，kg"那么()

A.M=NB.MUN

C.NUMD.MCN=。

答案B

[

解析由題意可得M斗小/xi80。+45。，keZ(={x\x=(2k+1)45°,kE

Z},即45。的奇數(shù)倍構(gòu)成的集合，又N=]x|x=(X18()o+45。，k￡={x\x=(k+

1).45°,kEZ],即45。的整數(shù)倍構(gòu)成的集合，所以M&N.故選B.

5.設(shè)A={x*+4x=0},8={x|『+2(。+l)x+層一1=0},

(1)若BNA,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為；

(2)若A=則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案—l或。=1(2)a=l

解析由題意，得4={-4,0}.

.?.B：?；?={-4}或3={0}或8={-4,0}.

當(dāng)B=。時(shí)，^+2(0+l)x+a2-1=0無解，即/=4(a+I)2-4(a2-1)=8?+

8<0,解得a<—1.

當(dāng)8={-4}或B={0}時(shí)，/+2(a+l)x+/一1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

貝lJ/=8a+8=0,：.a=-1,此時(shí)8={0},符合條件.

當(dāng)8={-4,0}時(shí)，-4和0是方程/+2(。+1〃+/-1=0的兩個(gè)根，

fj=8a+8>0,

則<-4+0=-25+1),解得a=l.

2

<-4X0=a-1,

綜上所述，aW-1或a=l.

(2)-.-ACB,.-.B={-4,0}.由⑴知a=l.

多角度探究突破

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考向三集合的基本運(yùn)算

角度1集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算

例3(1)(2020,德州二模)若全集U={1,2,345,6},M={1,3,4},N={2,3,4},

則集合(〔uM)U(CuN)等于()

A.{5,6}B.{1,5,6}

C.{2,5,6)D.{1,2,5,6)

答案D

解析因?yàn)閁={123,4,5,6},{1,3,4},N={2,3,4},所以{2,5,6},

[W={1,5,6},所以(CuM)U(CuN)={l,2,5,6},故選D.

(2X2020.煙臺一模)已知集合M=3y=ln(x+1)},N={y|y=ev},則MCN

=()

A.(-1,0)B.(-1,+8)

C.(0,+8)D.R

答案C

解析-：M={x|>-=ln(x+1)}={x|x+1>0}={x|x>-1}=(-1,+°°),N=

{y|y=e'}={y|y>0}=(0,+°°),：.MC\N=(0,+°°).

x+1

(3)已知全集U=R,集合A={x*-x—6W0},5=x|——>0,那么集合

iX-4

AA([M)=()

A.{x|-2Wx<4}B.{x|xW3或x24}

C.{x|-2^x<-1}D.{x|—lWxW3}

答案D

解析依題意A={A-I-2?},B={x\x<-1或x>4},故[uB={x|-

1WXW4},故An([S)={x|—1WXW3}.故選D.

觸類旁通(1)集合基本運(yùn)算的求解策略

①當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時(shí)，可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算，也

可借助Venn圖運(yùn)算；

②當(dāng)集合是用不等式表示時(shí)，可運(yùn)用數(shù)軸求解.對于端點(diǎn)處的取舍，可以單

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獨(dú)檢驗(yàn)?

(2)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算口訣

交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于3；并集元素勿遺漏，切記重復(fù)僅取一；全

集U是大范圍，去掉U中A元素，剩余元素成補(bǔ)集.

即時(shí)訓(xùn)練6.2020?全國卷II)已知集合A={x|園<3,x￡Z],B={x||x|>l,

x€Z},貝ljAnB=()

A.0B.{-3,-2,2,3}

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

答案D

解析因?yàn)锳={x||X<3,無WZ}={-2,-1,0,1,2},B={x\\x\>l,x€Z}=

3x>l或xv-1,x€Z},所以403={-2,2}.故選D.

7.已知全集。=11,集合4={小2一3*-4>0},B={x|-2WxW2},則如圖

所示陰影部分所表示的集合為()

A.{尤|-24<4}B.{%|xW2或％24}

C.{x|-2WxW-l}D.{x|—lW%<2}

答案D

解析依題意，得A=3尤1或X>4},因此[RA=1WXW4},題中的

陰影部分所表示的集合為("A)AB={X|-1WxW2}.故選D.

8.(2021.新高考八省聯(lián)考)已知M,N均為R的子集，且[RM=N,則MU

(CRAQ=()

A.0B.M

C.ND.R

答案B

解析解法一：???[RMQN,.?.M3[RN,據(jù)此可得知11(&乂>=聞.故選8.

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解法二：如圖所示，設(shè)矩形區(qū)域ABC。表示全集R,矩形區(qū)域表示

集合M,則矩形區(qū)域COEH表示集合[RM,矩形區(qū)域CDFG表示集合N,滿足

[RM=N,結(jié)合圖形可得MU([RM=M.故選B.

角度2利用集合運(yùn)算求參數(shù)

例4(1)(2020.遼寧省遼南協(xié)作校一模)已知集合用={0,x2},N={1,2},若

MAN={2},貝1JMUN=()

A.{0,—1,2}B.{2,0,1,2}

C.{0,1,2>D.{0,1,-也，也，2}

答案c

解析集合加={0,》2}小={1,2},用0"={2},則2€%所以加={0,2},

則MUN={0』,2}.故選C.

(2)設(shè)集合A={x|X4-x)23},B={x\x>a],若A08=A,則。的取值范圍

A.B.a<l

C.aW3D.a<3

答案B

解析由x(4-x)23,解得1WXW3,即集合A={x|lWxW3}.因AC8=A,

貝I]A包8,而B={x|x>。},所以“<1.故選B.

將兩個(gè)集合之間的關(guān)系準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的條件時(shí)，應(yīng)注

意子集與真子集的區(qū)別，此類問題多與不等式(組)的解集相關(guān).確定參數(shù)所滿足

的條件時(shí)，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易產(chǎn)生增解或漏解.本例⑵易

忽視aWl,而誤選A.

即時(shí)訓(xùn)練9.已知集合4={xCN|(x—3)(x—6)W0},8={3,6,m},若A

UB=A,則實(shí)數(shù)加的值為.

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答案4或5

解析由已知，得4=口€m3?無忘6}={3,4,5,6},因?yàn)锳UB=A,所以8

CA.又8=[3,6,m],所以加=4或5.

10.已知集合P={yM-y—2>0},Q={x*+ar+h〈0},若PUQ=R,PAQ

=(2,3],貝lja+b=.

答案-5

解析P={yip-y一2〉0}={y|y>2或y<-1},

?.?PUQ=R,PAQ=(2,3],，。={衛(wèi)-1?},

??-1,3是方程X2+如+。=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得,-a=-1+3

=2,b=-3,.\a+b=—5.

1.4.集合的新定義問題

1.(2020.青島模擬)設(shè)P和。是兩個(gè)集合，定義集合P-Q={x|x€P,且x

qQ},如果P={x|l<2"<4},Q={y|y=2+sinx,xWR},那么P—Q=()

A.{x|0<rWl}B.{x|0Wx<2}

C.{x|K<2}D.{鄧)<x<l}

答案D

解析因?yàn)镻={x|2°<2^<22}={x|0<r<2},Q={y|y=2+sinx,xCR}=

{.VilWyW3},根據(jù)P-Q的定義可得P-Q={x|0<x<l).

2.已知非空集合A,8滿足以下兩個(gè)條件：

(1)AUB={1,2,3,4}(AHB=0-

(2)A的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素,8的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素.

則有序集合對(A,8)的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.4D.6

答案B

解析若集合A中只有1個(gè)元素,則集合8中有3個(gè)元素，則1莊A,3CB,

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即3WA/€8,此時(shí)有1對；同理，若集合8只有1個(gè)元素，則集合A中有3個(gè)

元素，有1對；若集合A中有2個(gè)元素，則集合8中有2個(gè)元素，2生A,20&

不滿足條件.所以滿足條件的有序集合對（A,8）的個(gè)數(shù)為1+1=2,故選B.

一答題啟示

解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：（1）緊扣新定義.首先分析

新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題

過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；⑵用好集合的性質(zhì).解

題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合

的運(yùn)算與性質(zhì).

1.5.對點(diǎn)訓(xùn)練

1.如圖所示的Venn圖中，A,8是兩個(gè)非空集合，定義集合為陰影部

分表示的集合.若x,y€R,￥={巾=._/},B={y|y=3\x>0},貝lj為

（）

A.{x[0<x<2}B.{x|l<rW2}

C.{x|OWxWl或x22}D.{ROWxWl或x>2}

答案D

解析?.?A={x|0WxW2},8={川>1},

.,.AUB={x|x2O},AC8={x[l<xW2},

.'.A?B="UB（AClB）={x[0Wx<1或x>2}.

2.集合A={ai,及，G,…，a"}（其中〃22）,如果A中的元素滿足ais…斯

=山+。2+…+小，就稱A為“復(fù)活集”，給出下列結(jié)論：

①集合（7；小,T泗是“復(fù)活集”；

②若出，4?2€R,且{ai,。2}是''復(fù)活集"，則。@>4;

③若ai,z€N*,貝也回，z}不可能是“復(fù)活集”.

其中正確的結(jié)論是________.（填序號）

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答案①③

-1+A/5-1-y[5-1+^5-1-A/5

解析①一―2=―廣+—產(chǎn)=-1，故①正確；②不

2

妨設(shè)41+。2=。1。2="則由根與系數(shù)的關(guān)系知42是一元二次方程%-及+f

=0的兩個(gè)根，由J=(-/)2-4/>0,可得/<0或f>4,故②錯(cuò)誤；③不妨設(shè)

,?〈〃〃，由a\ar^an-a\+z+…+?！ā础?。?，得。1。2???。〃，<〃，當(dāng)〃=2時(shí)，

有。1<2,又m€N”,=1,于是由QI+02=0102得1+。2=。2,無正整數(shù)解，

即當(dāng)兩，z€N*時(shí)，｛⑶，。2｝不可能是“復(fù)活集”，故③正確.

1.6.課時(shí)作業(yè)

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列各組集合中表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={2,3},N={3,2}

C.M={(x,y)|x+y=l},N={y|x+y=l}

D.M={2,3},N={(2,3)}

答案B

解析由集合元素的無序性，易知{2,3}={3,2}.故選B.

2.(2020?全國卷II)已知集合U={-2,-1,0,123},A={-1,0,1},8={1,2},

則［u(AU8)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3)

C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}

答案A

解析由題意，可得AU8={-l,0,l,2},貝Ku(AUB)={-2,3}.故選A.

3.(202。海南省海南中學(xué)高三月考)若S是由“我和我的祖國”中的所有字

組成的集合，則S的非空真子集個(gè)數(shù)是()

A.62B.32

第14頁共47頁

C.64D.30

答案D

解析因?yàn)椤拔液臀业淖鎳敝械乃凶纸M成的集合S一共有5個(gè)元素，

所以S的非空真子集的個(gè)數(shù)是25-2=30個(gè).故選D.

4.已知集合A={x*-4尤<5},8={衛(wèi)也<2},則下列判斷正確的是()

A.-1.26AB.

C.BQAD.AQB

答案C

解析由/-4x-5<0得-l<x<5,所以-1.26A,A錯(cuò)誤；由也<2得0Wx<4,

所以，BCB,B錯(cuò)誤；因?yàn)锳=3—l<x<5},8={x|0Wx<4},所以BGA,C正

確，D錯(cuò)誤.故選C.

5.已知實(shí)數(shù)集R,集合4={x|log.<l},5={x€Z*+4W5x},則“)08

=()

A.[2,4]B.{2,3,4}

C.{1,2,3,4}D.[1,4]

答案B

解析由log2X<1得0<x<2,貝ljA={x[0<x<2).

.■.[RA={x|xW0或x22},由f—Sx+dWO得1WXW4,貝I]3=[1,2,3,4},

.-.(CRA)CIS={2,3,4}.故選B.

6.(2020?江西九校聯(lián)考)已知機(jī)，〃CR,集合A={2,logvzn},集合B={7%

n},若APlB={l},貝ljm+〃=()

A.1B.2

C.4D.8

答案D

解析由Ari8={1}得log7m=1,所以"2=7,Z7=1,貝Ij加+〃=8.故選D.

7.(2020?全國卷I)設(shè)集合A={4r2—4W0},B={x\2x+a^O},且408=

{x|-24Wl},則)

第15頁共47頁

A.-4B.-2

C.2D.4

答案B

解析■.■A={4?—4W0}={x|-2WxW2},B={x\2x+a<0}=\x\x^-,

ACB={x|—2WxWl},一冬=1,解得。=一2.故選B.

8.(2020?全國卷川)已知集合4={(”,y)\x,y€N*,y^x},B={(x,y)\x+y

=8},則AAB中元素的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3

C.4D.6

答案C

y^x,

解析由題意，得ACB中的元素滿足且二由x+y=

[x+y=o8,

822x,得xW4,所以APB中的元素有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4個(gè).故選

C.

9.設(shè)集合P={(x,y)\y=k},Q={(x,>)|y=2"},已知PA設(shè)=0,那么9的

取值范圍是()

A.(-00,0)B.(0,+8)

C.(-00,0]D.(1,+8)

答案C

解析由題意知尸攵與y=2,的圖象無交點(diǎn)，又y=2>0,所以ZW0.故選

C.

10.定義集合的商集運(yùn)算為於卜lx=g,已知集合4={2,4,6},

8小4-1,它A1,則集合如8中的元素個(gè)數(shù)為()

A.6B.7

C.8D.9

第16頁共47頁

答案B

of1111]B

解析由題意知，B={0,1,2},彳=〔0,2,4,不1，引，則彳UB=

jo,I，￡1,I，21，共有7個(gè)元素.故選B.

二、多項(xiàng)選擇題

11.已知集合A廿小=,B={x\x>a}，則下列選項(xiàng)可能成立的是()

A.AQBB.BQA

C.AU([RB)=RD.

答案ABC

x+120,

解析由c,c得4=[-1,2)1^2，+8),B=(a,+8),[RB=(_

x-2#0,

8,0,選項(xiàng)A,B,C都有可能成立，對于選項(xiàng)D,不可能有AC[RB.

12.(2021.廣東省湛江區(qū)域聯(lián)考)若集合A具有以下性質(zhì)：①集合中至少有

兩個(gè)元素；②若屏，y}=A,則孫，x+y€A,且當(dāng)x#0時(shí)，則稱集合A

是“緊密集合”.以下說法正確的是()

A.整數(shù)集是“緊密集合”

B.實(shí)數(shù)集是“緊密集合”

C.“緊密集合”可以是有限集

D.若集合A是“緊密集合”，且二y€A,則

答案BC

=1,而*Z,故整數(shù)集不是“緊密集合”，A錯(cuò)誤；根據(jù)

解析若x=2,y：

“緊密集合”的性質(zhì)，實(shí)數(shù)集是“緊密集合”，B正確；集合{-1,0,1}是“緊密

集合”，故“緊密集合”可以是有限集，C正確；集合4={-1,0,1}是“緊密集

合“，當(dāng)x=l,y=-1時(shí)，x-y=24A,D錯(cuò)誤.

三、填空題

第17頁共47頁

13.已知集合A=2x,IpB={x1,x+y,O},若A=B,則x+y=

答案2

解析顯然y=l,即4={2芍0,1},B={W,x+1,0}.若x+l=l,則x=0,

集合A中元素不滿足互異性，舍去.「.x2=l,且2x=x+l,」.x=l,故x+y=

2.

14.設(shè)全集為R,集合A={x*-9<0},B={x\-l<x^5},則AA([RB)=

答案3-3<xW-l}

解析由題意，知A={x*—9<0}={x|-3a<3},因?yàn)?={用一1〃W5},

所以[RB={X|XW-1或x>5}.所以An([RB)={x[—3a<3}C{MxW—1或x>5}

={A|-3aW-1}.

15.已知集合A={4?—3x+2=0},B={九*一以+3。-5=0},若=

B,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

答案[2,10)

解析由題意，可得A={X*-3X+2=0}={1,2},因?yàn)锳n8=B,所以8

QA.

(1)當(dāng)B=。時(shí)，方程f-G：+3a-5=0無解，貝1]/=/一4(3。-5)<0,解得

2<a<10,此時(shí)滿足題意.

⑵當(dāng)8#。時(shí),若B=A,則3={1}或{2}或{1,2}.

①當(dāng)B={1}時(shí)，l—a+3a—5=0,得a=2,止匕時(shí)B={x\x1-2x+1=0}=

{1},滿足題意；

②當(dāng)8={2}時(shí)，4_2。+3。_5=0,得4=1,止匕時(shí)8={4?_x_2=0}={—

1,2},不滿足題意，即。#1；

1+2=a,

③當(dāng)8={1,2}時(shí)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得1<此時(shí)無解.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為210).

第18頁共47頁

16.某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品,

第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，

后兩天都售出的商品有4種，則該網(wǎng)店

(1)第一天售出但第二天未售出的商品有種；

(2)這三天售出的商品最少有種.

答案(1)16(2)29

解析(1)如圖1所示，第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16(種).

（2）如圖2所示，這三天售出的商品最少有19+13-3=29（種）.

四、解答題

17.已知集合尸={x|a+lWxW2a+1},。={x*-3xW10}.

（1）若。=3,求（［RP）AQ;

（2）若PUQ=Q,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解（1）因?yàn)椤?3,所以尸={x|4〈xW7},

:RP={X|X<4或x>7}.

又Q=10W0}={x|-2WxW5},所以（［RP）CQ={4r<4或

x>7}A{x\-2WxW5}={x\-2Wxv4}.

（2）當(dāng)PW。時(shí)，由PUQ=Q得PCQ,

+1N-2,

所以?2a+lW5,解得0WaW2;

12。+12a+1,

當(dāng)P=0,即2a+l<a+l時(shí)，有PGQ,得a<0.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-8,2］.

2.第2講充分條件與必要條件

第19頁共47頁

2.1.基礎(chǔ)知識整理

眄知識梳理

充分條件、必要條件與充要條件

若〃04,則〃是4的回0充分條件,〃是〃的陶必要條件

p是q的畫充分不必要條件p=q且3P

p是q的畫必要不充分條件p否q且q0P

〃是t7的畫暹條件p0q

P是q的畫既不充分也不必要條件p4q豆q4P

知識拓展

1.⑴若，是＜7的充分不必要條件，4是廠的充分不必要條件，貝力是，的

充分不必要條件.

(2)若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件.

2.若A={x|p(x)},8={x|g(x)},貝

(1)若則p是q的充分條件；

⑵若A33,則。是g的必要條件；

(3)若A=3,則，是g的充要條件；

(4)若AB,則p是q的充分不必要條件；

(5)若AB,則，是＜7的必要不充分條件；

(6)若/。B且廉8,則〃是q的既不充分也不必要條件.

|雙基自測

1.(2020.海南省新高考診斷性測試)“游客甲在海南省”是“游客甲在三亞

市”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

第20頁共47頁

解析因?yàn)槿齺喪惺呛Ｄ鲜〉囊粋€(gè)地級市，所以如果甲在三亞市，那么甲必

在海南省，反之不成立，故選B.

2.（2020.濟(jì)寧三模）設(shè)％一是非零向量,則“。功=0”是%12”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析設(shè)非零向量明方的夾角為仇若。仍=0,則cose=0,又0W6W%

7T兀

所以。=2,所以若瓦貝=所以cos8=0,所以。仍=0.因止匕“ab

=0"是的充要條件.故選C.

3.若集合A={2,4},B={\,m2},則"08={4}”是“陽=2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析當(dāng)〃?=2時(shí)，有ACB={4}；若AC8={4},則〃3=4,解得加=±2,

不能推出〃?=2.故選B.

4.（2020.天津高考）設(shè)a6R,則“a>l”是“層>?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析求解二次不等式/可得。>1或據(jù)此可知，。>1是

的充分不必要條件.故選A.

5.已知〃是一的充分不必要條件，$是「的必要條件，<?是5的必要條件,

那么，是9的條件.

答案充分不必要

解析由已知可得〃0r=>s=><7，且田”，所以〃=>q,而q￡p,故〃是4的

充分不必要條件.

6.已知p：x>a是<7：2<x<3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

第21頁共47頁

答案（-8,2]

解析由已知，得{x|2<x<3}{小>。},所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-8,2].

2.2.核心考向突破

多角度探究突破

考向一充分、必要條件的判斷

角度1定義法判斷充分、必要條件

例1（2020.海南省普通高中高考調(diào)研測試）"lna<ln〃”是“加2<〃2，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若Inm<\nn,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性可知0<m<n,可得

蘇<〃2,因而具有充分性；若加2<層，則網(wǎng)<同,當(dāng)〃?<0,〃<0時(shí)對數(shù)函數(shù)無意義，

因而不具有必要性，綜上可知，“In〃Kln〃”是“加2<〃2，，的充分不必要條件.故選

A.

角度2集合法判斷充分、必要條件

例2（2020.濟(jì)南市高三上學(xué)期期末）設(shè)x€R,則“2*>4”是“1g（國-1）>

0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析設(shè)P：2-'>4,即p:2->22,整理得p：x>2;設(shè)q：1g3-1）>0,

即q：1g（W-l）>lg1,整理得q:x<-2或x>2,因?yàn)閧x|x>2}{x|x<-2或

x>2},所以〃=見q￡p.故“2、>4"是“l(fā)g（|尤的充分不必要條件.故

選A.

第22頁共47頁

觸類旁通充要條件的兩種判斷方法

（1）定義法：根據(jù)片切,4今。進(jìn)行判斷.

（2）集合法：根據(jù)p,q成立時(shí)對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.

即時(shí)訓(xùn)練1.（2020.海南高三一模）設(shè)集合A,B是全集U的兩個(gè)子集，則

=是“An（uB=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析如圖所示，=同時(shí)An[uB=00AQB.故選C.

x2+1

2.（2020?濰坊一模）“"1”是"Vx〉0,丁沁”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答