專題1.8概率精講精練（解析版）【人教版】

一、確定事件和隨機(jī)事件1、確定事件必然發(fā)生的事件：在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件。不可能發(fā)生的事件：有的事件在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，這樣的事件叫做不可能的事件。2、隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不放聲的事件，稱為隨機(jī)事件。二、頻率與概率1.概率的概念一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P(A).2.頻率與概率的關(guān)系當(dāng)我們大量重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，某事件出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定到某一個(gè)數(shù)值，把這一頻率的穩(wěn)定值作為該事件發(fā)生的概率的估計(jì)值.學(xué)科+網(wǎng)三、概率的計(jì)算1.公式法一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果,那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝nm2.列表法當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素(例如擲兩個(gè)骰)并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.3.畫樹狀圖當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素(例如從3個(gè)口袋中取球)時(shí)，列表就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖.4.幾何概型事件A發(fā)生的面積一般是用幾何圖形的面積比來(lái)求概率，計(jì)算公式為：P(A)＝,解這類題除了掌握概率的事件A發(fā)生的面積計(jì)算方法外，還應(yīng)熟練掌握幾何圖形的面積計(jì)算.5.游戲公平性判斷游戲的公平性是通過(guò)概率來(lái)判斷的，在條件相等的前提下，如果對(duì)于參加游戲的每一個(gè)人獲勝的概率都相等，則游戲公平，否則不公平.【考點(diǎn)1】隨機(jī)事件【例1】（揚(yáng)州）下列生活中的事件，屬于不可能事件的是()A．3天內(nèi)將下雨B．打開電視，正在播新聞C．買一張電影票，座位號(hào)是偶數(shù)號(hào)D．沒(méi)有水分，種發(fā)芽【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.【解答】解：A、3天內(nèi)將下雨，是隨機(jī)事件；B、打開電視，正在播新聞，是隨機(jī)事件；C、買一張電影票，座位號(hào)是偶數(shù)號(hào)，是隨機(jī)事件；D、沒(méi)有水分，種不可能發(fā)芽，故是不可能事件；故選：D.【變式1.1】（東湖區(qū)模擬）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣6次，下列說(shuō)法正確的是()A．必有3次正面朝上B．可能有3次正面朝上C．至少有1次正面朝上D．不可能有6次正面朝上【分析】根據(jù)等可能事件發(fā)生的可能性，以及可能性的大小進(jìn)行判斷即可.【解答】解：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能正面向上，也可能反面向上，可能性是均等的，不會(huì)受到前一次的影響，擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣6次，不一定3次正面朝上，因此A選項(xiàng)不符合題意，“可能有3次正面朝上”是正確的，因此B選項(xiàng)正確；可能6次都是反面向上，因此C不符合題意，有可能6次正面向上，因此D選項(xiàng)不符合題意；故選：B.【變式1.2】（饒平縣校級(jí)期末）下列事件中，屬于必然事件的為()A．打開電視機(jī)，正在播放廣告B．任意畫一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和等于180°C．?dāng)S一枚硬幣，正面朝上D．在只有紅球的盒里摸到白球【分析】打開電視機(jī)，正在播放廣告是隨機(jī)事件；任意畫一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和等于180°是必然事件；擲一枚硬幣，正面朝上是隨機(jī)事件；在只有紅球的盒里摸到白球是不可能事件，綜合做出判斷即可.【解答】解：打開電視機(jī)，可能在播廣告，也可能不在播放廣告，因此A選項(xiàng)不符合題意，任意三角形的內(nèi)角和都是180°,因此選項(xiàng)B符合題意，擲一枚硬幣，可能正面朝上，也可能反面向上，因此選項(xiàng)C不符合題意，在只有紅球的盒里是摸不到白球的，因此選項(xiàng)D不符合題意，故選：B.【變式1.3】（越秀區(qū)模擬）在等腰三角形、等腰梯形、平行四邊形、矩形中任選兩個(gè)不同的圖形，那么下列事件中為不可能事件的是A．這兩個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形B．這兩個(gè)圖形都不是軸對(duì)稱圖形C．這兩個(gè)圖形都是中心對(duì)稱圖形D．這兩個(gè)圖形都不是中心對(duì)稱圖形【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形以及中心對(duì)稱圖形的定義、結(jié)合不可能事件的定義分析得出答案．【解答】解：A．等腰三角形和等腰梯形都是軸對(duì)稱圖形，是可能的，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．等腰三角形、等腰梯形、平行四邊形、矩形中有3個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，故這兩個(gè)圖形都不是軸對(duì)稱圖形是不可能事件，因此選項(xiàng)B符合題意；C．平行四邊形和矩形都是中心對(duì)稱圖形，是可能的，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．等腰三角形和等腰梯形都不是中心對(duì)稱圖形，是可能的，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【考點(diǎn)2】事件的可能性【例2】（徐匯區(qū)期末）從標(biāo)有1，2，3，…，20的20張卡片中任意抽取一張，可能性最大的是A．卡片上的數(shù)字是合數(shù)B．卡片上的數(shù)字是2的倍數(shù)C．卡片上的數(shù)字是素?cái)?shù)D．卡片上的數(shù)字是3的倍數(shù)【分析】可能性最大的是就是符合條件的卡片最多的．【解答】解：A、卡片上的數(shù)字是合數(shù)：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11張；B、卡片上的數(shù)字是2的倍數(shù)2×1，2×2，2×3，2×4，2×5，2×6，2×7，2×8，2×9，2×10，共10C、卡片上的數(shù)字是素?cái)?shù)的有2，3，5，7，11，13，17，19，共8張；故選：A．【變式2.1】（瑞安市期中）某班有25名男生和20名女生，現(xiàn)隨機(jī)抽簽確定一名學(xué)生做代表參加學(xué)代會(huì)，則下列選項(xiàng)中說(shuō)法正確的是A．男、女生做代表的可能性一樣大B．男生做代表的可能性較大C．女生做代表的可能性較大D．男、女生做代表的可能性的大小不能確定【分析】求出男、女生做代表的可能性，判斷即可.【解答】解：A、錯(cuò)誤．男、女生做代表的可能性分別為=，=，男生的可能性大．本選項(xiàng)不符合題意.B、正確．本選項(xiàng)符合題意.C、錯(cuò)誤．男生的可能性大．本選項(xiàng)不符合題意.D．錯(cuò)誤．本選項(xiàng)不符合題意.故選：B.【變式2.2】（利川市期末）在一次比賽前，教練預(yù)言說(shuō)：“這場(chǎng)比賽我們隊(duì)有70%的機(jī)會(huì)獲勝”，則下列說(shuō)法中與“有70%的機(jī)會(huì)獲勝”的意思接近的是()A．他這個(gè)隊(duì)贏的可能性較大B．若這兩個(gè)隊(duì)打10場(chǎng)，他這個(gè)隊(duì)會(huì)贏7場(chǎng)C．若這兩個(gè)隊(duì)打100場(chǎng)，他這個(gè)隊(duì)會(huì)贏70場(chǎng)D．他這個(gè)隊(duì)必贏【分析】概率值只是反映了事件發(fā)生的機(jī)會(huì)的大小，不是會(huì)一定發(fā)生．不確定事件就是隨機(jī)事件，即可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，發(fā)生的概率大于0并且小于1.【解答】解：A、根據(jù)概率的意義，正確；B、概率僅僅反映了這一事件發(fā)生的可能性的大小，若這兩個(gè)隊(duì)打10場(chǎng)，他這個(gè)隊(duì)可能會(huì)贏7場(chǎng)，但不會(huì)是肯定的，所以錯(cuò)誤；C、和B一樣，所以錯(cuò)誤；D、根據(jù)概率的意義，錯(cuò)誤.故選：A.【變式2.3】（豐順縣校級(jí)月考）宋代陸游所作的哲理詩(shī)《冬夜讀書示聿》有如下四句：①紙上得來(lái)終覺(jué)淺；②少壯工夫老始成；③絕知此事要躬行；④古人學(xué)問(wèn)無(wú)遺力.這四句詩(shī)歌的順序被打亂了，蘭蘭想把這幾句詩(shī)歌調(diào)整為正確的順序，則她第一次就調(diào)整正確的可能性【分析】根據(jù)四句詩(shī)隨機(jī)排列組合的情況得出結(jié)論即可.【解答】解：四句詩(shī)隨機(jī)排列組合共有4×3×2＝24（種正確的順序只有一種，故第一次就調(diào)整正確的可能性大小是，故選：C.【考點(diǎn)3】概率公式【例3】（松山區(qū)期末）如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中有9個(gè)格點(diǎn)，已經(jīng)取定點(diǎn)A和B，在余下的點(diǎn)中任取一點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形的概率是()【分析】找到可以組成直角三角形的點(diǎn)，根據(jù)概率公式解答即可.【解答】解：如圖，C1，C2，C3，C4均可與點(diǎn)A和B組成直角三角形.P=，其中任意抽取一個(gè)，運(yùn)算結(jié)果正確的概率是()【分析】隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．【解答】解：運(yùn)算結(jié)果正確的有⑤，則運(yùn)算結(jié)果正確的概率是，故選：C．【變式3.2】（紫陽(yáng)縣期末）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了灰色．現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格中任選出一個(gè)也涂成灰色，則使整個(gè)涂灰部分為軸對(duì)稱圖形的概率是【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念分別找出各個(gè)能成軸對(duì)稱圖形的小方格，再利用概率公式求解即可．【解答】解：如圖所示，有4個(gè)位置使之成為軸對(duì)稱圖形．則使整個(gè)涂灰部分為軸對(duì)稱圖形的概率是．故選：C．【變式3.3】（成安縣期中）如圖所示的是一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針落在數(shù)字“Ⅲ”所在區(qū)域內(nèi)的概率是【分析】由圖知，“Ⅲ”所在區(qū)域讀音的圓心角度數(shù)為360°﹣90°﹣60°＝210°，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：由圖知，“Ⅲ”所在區(qū)域讀音的圓心角度數(shù)為360°﹣90°﹣60°＝210°，210°7所以指針落在數(shù)字“Ⅲ”所在區(qū)域內(nèi)的概率是故選：D．【考點(diǎn)s】幾何概率【例4】（玄武區(qū)期中）如圖，在一塊正三角形飛鏢游戲板上畫一個(gè)正六邊形（圖中陰影部分假設(shè)飛鏢投中游戲板上的每一點(diǎn)是等可能的（若投中邊界或沒(méi)有投中游戲板，則重投1次任意投擲飛鏢1次，則飛鏢投中陰影部分的概率為【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．【解答】解：如圖，根據(jù)等邊三角形和正六邊形的性質(zhì)，可知圖中所有小三角形的面積都相等，∴任意投擲飛鏢一次，飛鏢投中陰影部分的概率為故選：D．【變式4.1】（湖口縣期中）如圖，一個(gè)小球在地板上滾動(dòng)，并隨機(jī)停在某塊方磚上，如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是【分析】用黑磚的面積除以總面積即可得出答案.【解答】解：由圖知，若設(shè)方磚的邊長(zhǎng)為a，則地板的總面積為3a×4a＝12a2，黑磚的面積為×2a×3a＝3a2，3a21∴小球最終停留在黑磚上的概率是故選：C.【變式4.2】（明山區(qū)校級(jí)月考）如果小球在如圖所示的地面上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停留在某塊方磚上，那么它最終停留在黑色區(qū)域的概率是()【分析】根據(jù)幾何面積得出概率即可.【解答】解：由圖知，黑色區(qū)域的面積占大正方形面積的∴它最終停留在黑色區(qū)域的概率是，故選：C.【變式4.3】（南京模擬）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區(qū)域的概率為【分析】隨機(jī)事件A的概率P（A事件A發(fā)生時(shí)涉及的圖形面積除以一次試驗(yàn)涉及的圖形面積，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，過(guò)A作AD⊥BC于D，過(guò)B作BE⊥CE于E，先求出△ABC的面積，陰影的面積=3S△ABC，再求出△BCE的面積，代入公式計(jì)算即可.【解答】解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為a，過(guò)A作AD⊥BC于D，過(guò)B作BE⊥CE于E，如圖所示：∵正六邊形的內(nèi)角為180°?=120°,∴BC=2CD=3a，∴在Rt△BCE中，∠BEC=90°,∠BCE=60°,BC=3a，則a，BE=則灰色部分面積為3S△ABC=3×BC?AD=3×白色區(qū)域面積為2S△BCE=2×CE?BE=a×a=a2，3所以正六邊形面積為兩部分面積之和為3a2，2飛鏢落在白色區(qū)域的概率故選：A.【考點(diǎn)s】用頻率估計(jì)概率【例5】（金水區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)密閉不透明的盒里有若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來(lái)的情況下，為估計(jì)白球的個(gè)數(shù)，小剛向其中放入6個(gè)黑球，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復(fù)，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估計(jì)盒中大約有白球()A．28個(gè)B．29個(gè)C．30個(gè)【分析】可根據(jù)“黑球數(shù)量÷黑白球總數(shù)＝黑球所占比例”來(lái)列等量關(guān)系式，其中“黑白球總數(shù)＝黑球個(gè)數(shù)+白球個(gè)數(shù)“，“黑球所占比例＝隨機(jī)摸到的黑球次數(shù)÷總共摸球的次數(shù)”.【解答】解：設(shè)盒里有白球x個(gè)，得：解得：x≈30.經(jīng)檢驗(yàn)結(jié)果符合題意.答：盒中大約有白球30個(gè).故選：C.【變式5.1】（禹州市期末）木箱里裝有僅顏色不同的9張紅色和若干張藍(lán)色卡片，隨機(jī)從木箱里摸出一張卡片后記下顏色后再放回，經(jīng)過(guò)多次的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片有()【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率.【解答】解：設(shè)木箱中藍(lán)色卡片有x個(gè)，根據(jù)題意得：解得：x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)x＝6是原方程的解，則估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片有6張.故選：A.【變式5.2】（無(wú)為市期末）在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的小球共40個(gè)，除顏色不同外其他完全相同，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后，摸到紅色球、黑色球的頻率分別穩(wěn)定在25%和45%，則口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是()A．4B．8C【分析】用球的總個(gè)數(shù)分別乘以摸到紅色球和黑色球的頻率求出其對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)，繼而可得答案.【解答】解：由題意知，紅色球的個(gè)數(shù)為40×25%＝10（個(gè)黑色球的個(gè)數(shù)為40×45%＝18（個(gè)所以口袋中白色球的個(gè)數(shù)為40﹣10﹣18＝12（個(gè)故選：C.【變式5.3】（宛城區(qū)期末）某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是()A．從裝有相同質(zhì)地的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球的暗箱中隨機(jī)取一個(gè)紅球B．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”C．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面D．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正六面體骰，向上一面的點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)7【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，即其概率P＝0.33，計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為0.33者即為正確答案.【解答】解：A、從裝有相同質(zhì)地的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球的暗箱中隨機(jī)取一個(gè)紅球，取到的紅球的概率是=0.6，不符合題意；B、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”的概率為≈0.33，符合題意；C、先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面的概率是=0.25，不符合題意；D、拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正六面體骰，向上一面的點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)7的概率，不符合題意.故選：B.【考點(diǎn)6】樹狀圖與列表法求概率【例6】（宜城市期末）在甲乙兩個(gè)不透明的口袋中，分別有大小、材質(zhì)完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4．先從甲袋中任意摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字為m，再?gòu)囊掖忻鲆粋€(gè)小球，記下數(shù)字為n.（1）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有（m，n）可能的結(jié)果；（2）若m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解時(shí)，則小明獲勝；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解時(shí)，則小利獲勝，問(wèn)他們兩人誰(shuí)獲勝的概率大？【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖可得所有可能的結(jié)果；（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的結(jié)果有4個(gè)，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的結(jié)果有2個(gè)，然后根據(jù)概率公式求解.【解答】解1）樹狀圖如圖所示：（2）∵m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解，由樹狀圖得：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解的結(jié)果有4個(gè)（包括m＝n＝3，和m＝n＝4兩種情況同理m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解（m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2）的結(jié)果有2個(gè)，小明獲勝的概率為小利獲勝的概率為∴小明獲勝的概率大.【變式6.1】（利川市期末）第一盒中有2個(gè)白球、1個(gè)黃球，第二盒中有1個(gè)白球、1個(gè)黃球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．分別從每個(gè)盒中隨機(jī)取出1個(gè)球，用列表法或畫樹狀圖法求下列事件的概率：（1）取出的2個(gè)球都是黃球；（2）取出的2個(gè)球中1個(gè)白球、1個(gè)黃球.【分析】（1）列表展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)，找出2個(gè)球都是黃球的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解；（2）找出2個(gè)球中1個(gè)白球、1個(gè)黃球的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.【解答】解：列表如下：第一個(gè)盒第二個(gè)盒黃球（白球，黃球）黃球（白球，黃球）（白球，黃球）（黃球，黃球）所有可能情況有6種，（1）所有可能情況有6種．其中2個(gè)黃球的可況有1種，P=（2）所有可能情況有6種，其中1個(gè)黃球一個(gè)白球的可能情況有3種，.【變式6.2】（平泉市期末）佳佳和琪琪兩位同學(xué)玩抽數(shù)字游戲，5張卡片上分別寫有2，4，6，8，x這5個(gè)數(shù)字，其中兩張卡片上的數(shù)字是相同的．從中隨機(jī)抽出一張，已知P(抽到數(shù)字6的卡片)=.（1）求這5張卡片上的數(shù)字的眾數(shù).（2）若佳佳已抽走一張數(shù)字2的卡片，琪琪準(zhǔn)備從剩余4張卡片中抽出一張.①所剩的4張卡片上數(shù)字的中位數(shù)與原來(lái)5張卡片上數(shù)字的中位數(shù)是否相同？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.②琪琪先隨機(jī)抽出一張卡片后放回，之后又隨機(jī)抽出1張，用列表法（或樹狀圖）求琪琪兩次都抽到數(shù)字6的概率.【分析】（1）根據(jù)抽到數(shù)字6的卡片的概率為可得x值，從而可得眾數(shù)；（2）①分別求出前后兩次的中位數(shù)即可；②畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式求解即可.【解答】解1）∵2、4、6、8、x這五個(gè)數(shù)字中，P（抽到數(shù)字6的卡片）則數(shù)字6的卡片有2張，即x＝6，則眾數(shù)為：6；（2）①相同，理由是：原來(lái)五個(gè)數(shù)字的中位數(shù)為：6，抽走數(shù)字2后，剩余數(shù)字為4、6、6、8，則中位數(shù)為所以前后兩次的中位數(shù)相同；②根據(jù)題意畫樹狀圖如下：可得共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次都抽到數(shù)字6的情況有4種，則琪琪兩次都抽到數(shù)字6的概率為【變式6.3】（福鼎市期中）某中學(xué)在參加“創(chuàng)文明城，點(diǎn)贊泉城”書畫比賽中，楊老師從全校30個(gè)班中隨機(jī)抽取了4個(gè)班（用A，B，C，D表示對(duì)征集到的作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì)，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）楊老師采用的調(diào)查方式是抽樣調(diào)查（填“普查”或“抽樣調(diào)查”（2）請(qǐng)補(bǔ)充完整條形統(tǒng)計(jì)圖，并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中C班作品數(shù)量所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)150°.（3）如果全班征集的作品中有5件獲得一等獎(jiǎng)，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，現(xiàn)要在獲得一樣等獎(jiǎng)的作者中選取兩人參加表彰座談會(huì)，請(qǐng)你用列表或樹狀圖的方法，求恰好選取的兩名學(xué)生性別不同的概率.【分析】（1）楊老師從全校30個(gè)班中隨機(jī)抽取了4個(gè)班，屬于抽樣調(diào)查.（2）由題意得：所調(diào)查的4個(gè)班征集到的作品總數(shù)為班作品的件數(shù)為：24﹣4﹣6﹣4＝10（件繼而可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；用C班作品數(shù)除以總作品數(shù)再乘360°即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中C班作品數(shù)量所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù).（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩名學(xué)生性別不同的情況，再利用概率公式即可求得答案.【解答】解1）楊老師從全校30個(gè)班中隨機(jī)抽取了4個(gè)班，屬于抽樣調(diào)查.故答案為：抽樣調(diào)查.（2）所調(diào)查的4個(gè)班征集到的作品數(shù)為C班有244+6+410（件補(bǔ)全條形圖如圖所示，扇形統(tǒng)計(jì)圖中C班作品數(shù)量所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)360°×=150°;故答案為：150°;（3）畫樹狀圖得：∵共有20種等可能的結(jié)果，兩名學(xué)生性別不同的有12種情況，∴恰好選取的兩名學(xué)生性別不同的概率為【考點(diǎn)7】概率與函數(shù)方程綜合題【例7】（蘭州期中）已知a，b可以取﹣21，1，2中的任意一個(gè)值（a≠b則直線y＝ax+b經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的概率是.【分析】列表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，找出a與b都為正數(shù)，即為直線y＝ax+b經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的情況數(shù)，即可求出所求的概率.【解析】列表如下：1212所有等可能的情況數(shù)有12種，其中直線y＝ax+b經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的情況數(shù)有4種，【變式7.1】（金牛區(qū)校級(jí)期中）從﹣1，0，1，2，3這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，記為a，那么使關(guān)于x的方程=1有解，且使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的概率為.【分析】由題意得使關(guān)于x的方程=1有解，且使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的a的值有4個(gè)，由概率公式即可得出答案.【解析】∵使關(guān)于x的方程=1有解，∵一元二次方程x2﹣3x+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=(﹣3）2﹣4×1×a＝9﹣4a＞0，解得：a<,∴從﹣1，0，1，2，3這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，符合條件的有4個(gè)，∴使關(guān)于x的方程=1有解，且使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的概率為，故答案為：.【變式7.2】（金牛區(qū)校級(jí)期中）有五張大小形狀相同的卡片，分別寫有1～5這五個(gè)數(shù)字，將它們背面朝上洗勻后，任意抽取一張，記卡片上的數(shù)字為a，則a的值使得關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解的概率為.【分析】解分式方程得出根據(jù)分式方程有整數(shù)解得出a≠4且a≠1，再分別求出a＝2、3、5時(shí)x的值，利用概率公式即可得出答案.∴ax﹣2﹣（x﹣2）＝6，∵分式方程有整數(shù)解，∴a≠4且a≠1，當(dāng)a＝5時(shí)，x=（舍∴使分式方程有整數(shù)解的a的值有兩個(gè)，∴a的值使得關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解的概率為，故答案為：.【變式7.3】（武侯區(qū)校級(jí)期中）有六張正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，則抽取的卡片上的數(shù)字為不等式組的解的概率為.【分析】先求出不等式組的整數(shù)解，再由概率公式可求解.【解析】∵不等式組∴不等式組的整數(shù)解為2，3，4，∴抽取的卡片上的數(shù)字為不等式組的解的概率==，1故答案為.2【變式7.4】（錦江區(qū)校級(jí)期中）已知a為正整數(shù)，且二次函數(shù)y＝x2+（a﹣7）x+3的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則a使關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解的概率為.【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到?>0，解得a＜7，求得a的值為1，2，3，4，5，6，再把分式方程化為1﹣ay+4y﹣12＝1，解得y=接著分別把a(bǔ)的值代入確定分式方程為整數(shù)解所對(duì)應(yīng)的a的值，然后根據(jù)概率公式求解.【解析】∵二次函數(shù)y＝x2+（a﹣7）x+3的對(duì)稱軸在y軸右側(cè).∴?>0，∴a﹣7＜0，∵a是正整數(shù)，分式方程可化為ay﹣4﹣2（y﹣1）=﹣y，解得∵關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解，∴a使關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解的概率為故答案為：.【變式7.5】（青羊區(qū)校級(jí)期中）從﹣3，01，2這5個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)記為m，則能使二次函數(shù)yx﹣2）2+m的頂點(diǎn)在x軸上方的概率為.【分析】根據(jù)概率公式直接求解即可.【解析】∵在﹣3，01，2這5個(gè)數(shù)中，能使二次函數(shù)yx﹣2）2+m的頂點(diǎn)在x軸上方的3個(gè)，分別是，1，2，∴能使二次函數(shù)yx﹣2）2+m的頂點(diǎn)在x軸上方的概率為；故答案為：.【考點(diǎn)8】游戲的公平性【例8】（古丈縣期末）學(xué)完《概率初步》后，小誠(chéng)和小明兩個(gè)好朋友利用課外活動(dòng)時(shí)間自制A、B兩組卡片共5張，A組三張分別寫有數(shù)字2，4，6，B組兩張分別寫有3，5．它們除了數(shù)字外沒(méi)有任何區(qū)別．他倆提出了如下兩個(gè)問(wèn)題請(qǐng)你解答：（1）隨機(jī)從A組抽取一張，求抽到數(shù)字為2的概率；（2）隨機(jī)地分別從A組、B組各抽取一張，請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法表示所有等可能的結(jié)果；（3）如果他倆還制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則：若選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則小誠(chéng)獲勝；否則小明獲勝．請(qǐng)問(wèn)這樣的游戲規(guī)則對(duì)小誠(chéng)、小明雙方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】（1）A組共有3張卡片，其中2有1張，據(jù)此解答.（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖即可；（3）根據(jù)（1）計(jì)算出各自獲勝的概率即可得出結(jié)論. 【解答】解1）∵A組共有3張卡片，其中2有1張，∴P（抽到數(shù)字為2）=.（2）畫樹狀圖如下：∴有六種等可能的結(jié)果；（3）不公平，理由如下：2×5＝10不是3的倍數(shù)；4×3＝12是3的倍數(shù)；6×3＝18是3的倍數(shù)；6×5＝30是3的倍數(shù)；故小誠(chéng)獲勝的概率為=，小明獲勝的概率是，∴這樣的游戲規(guī)則對(duì)小誠(chéng)、小明雙方不公平.【變式8.1】（遜克縣期末）淘淘和明明玩骰游戲，每人將一個(gè)各面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體骰擲一次，把兩人擲得的點(diǎn)數(shù)相加，并約定：點(diǎn)數(shù)之和等于6，淘淘贏；點(diǎn)數(shù)之和等于7，明明贏；點(diǎn)數(shù)之和是其它數(shù)，兩人不分勝負(fù).（1）請(qǐng)你用“畫樹狀圖