第07講 三角形中的邊角關(guān)系-2024年暑假七升八數(shù)學(xué)銜接講義（滬科版）

第07講三角形中的邊角關(guān)系（3大知識點(diǎn)+17大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測）題型一三角形的識別與有關(guān)概念題型二三角形的個(gè)數(shù)問題題型三三角形的分類題型四三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用題型五構(gòu)成三角形的條件題型六確定第三邊的取值范圍題型七三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用題型八畫三角形的高題型九與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題題型十根據(jù)三角形中線求長度題型十一根據(jù)三角形中線求面積題型十二三角形的內(nèi)角和定理題型十三直角三角形的兩個(gè)銳角互余題型十四三角形的外角的定義及性質(zhì)題型十五三角形角平分線的定義題型十六利用網(wǎng)格求三角形面積題型十七銳角互余的三角形是直角三角形知識點(diǎn)01三角形的分類1、按邊分類： 2、按角分類： 不等邊三角形 直角三角形三角形 三角形銳角三角形 等腰三角形（等邊三角形是特例）斜三角形 鈍角三角形知識點(diǎn)02三角形的性質(zhì)1、三角形的三邊關(guān)系：三角形中任何兩邊的和大于第三邊；任何兩邊的差小于第三邊。2、三角形的三角關(guān)系：三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。三角形外角和定理：三角形的三個(gè)外角的和等于360°。三角形的外角性質(zhì)（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（2）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。知識點(diǎn)03三角形的角平分線、中線和高【典型例題一三角形的識別與有關(guān)概念】1．（2023河北石家莊·一模）叫做三角形A．連接任意三點(diǎn)組成的圖形B．由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形C．由三條線段組成的圖形D．以上說法均不對2．（22-23八年級上·遼寧撫順·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)完三角形的概念后，小強(qiáng)同學(xué)用火柴拼成的圖形如下，其中符合三角形概念的是（

）A． B． C． D．3．（22-23七年級下·全國·單元測試）如圖所示，圖中共有個(gè)三角形，其中以AB為邊的三角形有個(gè)，以∠A為內(nèi)角的三角形有個(gè)．4．（22-23八年級上·北京朝陽·期末）如圖，圖中以BC為邊的三角形的個(gè)數(shù)為．

5．（2023八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知，△ABC的周長是14cm，求BC的長．6．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，分別是，上的點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．（1）圖中共有多少個(gè)三角形？并把它們表示出來．（2）的三個(gè)頂點(diǎn)是什么？三條邊是什么？（3）以為邊的三角形有哪些？（4）以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有哪些？（5）所對的邊是什么？【典型例題二三角形的個(gè)數(shù)問題】1．（22-23七年級下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，以BC為邊的三角形共有（

）個(gè)A．5 B．4 C．3 D．22．（22-23七年級下·河南洛陽·期末）圖中三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．10個(gè)3．（22-23八年級上·廣東江門·階段練習(xí)）如圖，共有個(gè)三角形．4．（22-23八年級下·全國·期末）如圖所示，圖中有個(gè)三角形．

5．（22-23八年級上·全國·單元測試）（1）如圖1，D1是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，則圖中有哪幾個(gè)三角形？（2）如圖2，D1，D2是△ABC的邊AB上的兩點(diǎn)，則圖中有哪幾個(gè)三角形？（3）如圖3，D1，D2，…，D10是△ABC的邊AB上的10個(gè)點(diǎn)，則圖中共有多少個(gè)三角形？6．（22-23八年級上·新疆吐魯番·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個(gè)不同的三角形，……

（1）完成下表：連接個(gè)數(shù)123456出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)36（2）若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連接了_____個(gè)點(diǎn)?若一直連接到An，則圖中共有______個(gè)三角形．【典型例題三三角形的分類】1．（22-23七年級下·江蘇常州·期中）如圖所示，方格中有A、B、C、D、E五個(gè)格點(diǎn)，以這5個(gè)格點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，其中直角三角形有(

)A．1 B．2 C．3 D．42．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖所示的三角形有一部分被遮擋，通過觀察，判斷三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上都有可能3．（22-23八年級下·全國·課前預(yù)習(xí)）三角形按角分類可分為：、、．4．（22-23八年級下·全國·課前預(yù)習(xí)）三角形按邊分類可分為、；等腰三角形可分為、．5．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）根據(jù)下列所給條件，判斷的形狀．（1），，；（2）；（3）；（4），．6．（22-23八年級上·江西南昌·階段練習(xí)）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．請僅用無刻度的直尺，按下列要求作圖．

（1）在圖1中作一直角，使得的面積為4．（2）在圖2中作一鈍角，使得的面積為4．【典型例題四三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用】1．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（

）A．正方形 B．長方形 C．五邊形 D．直角三角形2．（23-24八年級上·廣東中山·期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（

）A．四邊形 B．三角形 C．長方形 D．正方形3．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）生活中，自行車的車架大多設(shè)計(jì)成如圖所示的三角形，這是因?yàn)槿切尉哂校?．（22-23七年級下·江蘇南京·期末）如圖，工人師傅制作門時(shí)，常用木條固定長方形門框，使其不變形，這樣做的根據(jù)是．

5．（22-23七年級下·廣東惠州·期中）如圖，是一個(gè)用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)固性、美觀性、實(shí)用性等因素，需再加竹條與其頂點(diǎn)連接．要求：（1）在圖（1）、（2）中分別加適當(dāng)根竹條，設(shè)計(jì)出兩種不同的連接方案．（2）通過上面的設(shè)計(jì)，可以看出至少需再加根竹條，才能保證風(fēng)箏骨架穩(wěn)固、美觀和實(shí)用．（3）在上面的方案設(shè)計(jì)過程中，你所應(yīng)用的數(shù)學(xué)道理是．6．（22-23七年級下·山西·階段練習(xí)）被外界贊譽(yù)為世界奇跡的港珠澳大橋(下圖)，是連接香港、珠海、澳門的超大型跨海通道，全長55公里，無論從施工難度，還是從施工的復(fù)雜度，甚至從施工周期的長短來看，都足以配得上這樣的稱贊．(1)觀察大橋圖形，有好多的拉線，這些拉線和大橋的其他部位組成的圖形形狀是三角形，這樣設(shè)計(jì)是利用了三角形的；(2)用八根木條釘成的如圖所示的八邊形木架，要使它不變形，至少要再釘根木條，在圖上畫出來．【典型例題五構(gòu)成三角形的條件】1．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（

）A．正方形 B．長方形 C．五邊形 D．直角三角形2．（23-24八年級上·廣東中山·期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（

）A．四邊形 B．三角形 C．長方形 D．正方形3．（22-23七年級下·湖南長沙·期末）已知三條線段長度分別為1、2、4，能否組成三角形？（填“能”或“不能”）．4．（22-23七年級下·上?！ふn后作業(yè)）如果三角形的兩邊長分別是3cm和6cm，第三邊長是奇數(shù)，那么這個(gè)三角形的第三邊長為cm．5．（22-23八年級上·浙江湖州·階段練習(xí)）已知三條線段，，，以這三條線段為邊能構(gòu)成三角形嗎？請說明理由．6．（22-23七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在一個(gè)四邊形各邊上任意取一點(diǎn)，并順次連接它們．想一想，你得到的圖形周長與原四邊形周長哪一個(gè)大？為什么？如果是一個(gè)五邊形呢？六邊形呢？【典型例題六確定第三邊的取值范圍】1．（23-24八年級上·河南漯河·期中）一個(gè)三角形的兩條邊分別為2和6，則這個(gè)三角形的第三邊的長可以是（

）A．2 B．4 C．5 D．82．（23-24八年級上·廣西玉林·期中）小芳有兩根長度為和的木條，她想釘一個(gè)三角形木框，桌上有下列長度的幾根木條，她應(yīng)該選擇的木條長度為（

）A． B． C． D．3．（22-23七年級下·山西臨汾·期末）一個(gè)三角形的兩邊長分別為2和14，第三邊長為偶數(shù)，則第三邊長為．4．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）一個(gè)三角形的兩邊長分別是2和5，則第三邊長可以是．（寫出一個(gè)即可）5．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）兩根木棒的長分別是和．要選擇第三根木棒，將它們首尾相接釘成一個(gè)三角形．若第三根木棒的長為偶數(shù)，則第三根木棒長的取值情況有幾種?6．（22-23八年級上·云南昭通·期中）某市木材市場上的木棒規(guī)格與價(jià)格如下表：規(guī)格價(jià)格/（元/根）小明的爺爺要做一個(gè)三角形的支架用來養(yǎng)兔子，在木材市場上已經(jīng)購買了兩根長度分別為和的木棒，還需要購買一根．(1)有幾根規(guī)格的木棒可供小明的爺爺選擇？(2)在能做成三角形支架的情況下，要求做成的三角形支架的周長為偶數(shù)，則小明的爺爺做三角形支架，買木棒一共花了多少元？【典型例題七三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】1．（23-24八年級上·重慶開州·期末）以下長度的三條線段，能組成三角形的是（

）A．2，3，5 B．5，5，8 C．3，2，7 D．3，5，92．（23-24八年級上·遼寧大連·期末）已知的兩邊長分別為2和5，則第三邊長可能是（

）A．2 B．3 C．6 D．73．（22-23九年級上·廣東茂名·期末）已知三角形三邊長分別為1，3，，若為奇數(shù)，則值為．4．（22-23七年級上·廣東深圳·期末）邊長為1的小正方形組成如圖所示的6×6網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H都在格點(diǎn)上．其中到四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)是．5．（22-23八年級上·湖北十堰·階段練習(xí)）如圖，在中，，邊上的中線把的周長分成50和35兩部分，求和的長．6．（22-23八年級上·全國·單元測試）探究：如圖，用釘子把木棒、和分別在端點(diǎn)、處連接起來，用橡皮筋把連接起來，設(shè)橡皮筋的長是．

(1)若，，，試求的最大值和最小值；(2)在（1）的條件下要圍成一個(gè)四邊形，你能求出x的取值范圍嗎?【典型例題八畫三角形的高】1．（23-24八年級上·遼寧鐵嶺·期中）如圖，是的高的是（

）A． B．C． D．2．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）作三角形的一條高，其中正確的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）一個(gè)三角形的三條高線的交點(diǎn)在三角形的外部，則這個(gè)三角形是三角形4．（22-23七年級下·遼寧丹東·期中）如圖，中，，于點(diǎn)D，圖中線段可以作為的高的有條．5．（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，作出的邊上的高．（用尺規(guī)完成作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）6．（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，將向下平移2格，再向右平移4格．(1)請?jiān)趫D中畫出平移后的；(2)在圖中畫出的高．【典型例題九與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題】1．（22-23七年級下·重慶·期中）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別為它的兩條高線，BD=6、CE=5、AB=12，則AC=（

）A．10 B． C． D．72．（2023·山東淄博·一模）如圖，△ABC的面積可以表示為（

）A． B． C． D．3．（22-23八年級上·山東臨沂·期末）在中，AB=a，BC=b，的高AD與高CE的比是4．（22-23八年級上·福建龍巖·期中）如圖，在中，，，的高與高之比是．5．（22-23七年級下·江蘇南通·期末）如圖，是的高，，，求的度數(shù)．6．（2024七年級下·江蘇·專題練習(xí)）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形．例如：如圖（1）．在和中，和分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．

【性質(zhì)探究】如圖（1），用分別表示和的面積．則，∵∴．【性質(zhì)應(yīng)用】(1)如圖②，是的邊上的一點(diǎn)．若，則__________；(2)如圖③，在中，分別是和邊上的點(diǎn)．若，，求和的面積．【典型例題十根據(jù)三角形中線求長度】1．（22-23七年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，CM是△ABC的中線，AB＝10cm，則BM的長為（

）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm2．（22-23七年級下·山東聊城·期末）如右圖，已知AM是的中線，點(diǎn)P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若的面積為10，，則MP的最小值為（

）A．5 B．4 C．2.5 D．1.253．（22-23七年級下·遼寧本溪·期中）如圖，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD為中線，則△ABD與△ACD的周長之差為．4．（22-23七年級下·全國·課后作業(yè)）連結(jié)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它的叫做三角形這邊上的中線．如圖，若BE是中AC邊上的中線，則AE．5．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）如圖，在中，是邊上的中線，的周長是，的周長是，比長多少厘米？6．（22-23八年級上·河北廊坊·期末）在中，，．(1)若是整數(shù)，求的長；(2)已知是的中線，若的周長為10，求三角形的周長．【典型例題十一根據(jù)三角形中線求面積】1．（22-23八年級上·云南玉溪·期中）三角形的下列線段中，能將三角形的面積分成相等的兩部分的是（

）A．中線 B．角平分線 C．高 D．最長邊上的高2．（22-23七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，分別是，的中點(diǎn)，則圖中與的面積相等的三角形有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（22-23七年級下·安徽宿州·期末）如圖，在中，是的中線，是的中線，若的面積為，則的面積為．

4．（22-23八年級上·安徽淮北·期中）如圖，是的中線，是的中線，若，則等于

5．（22-23七年級上·廣東·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)D是的邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段的中點(diǎn)，且的面積為，則的面積是多少？6．（23-24八年級上·云南曲靖·期中）如圖，為的中線，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．(1)，，求的度數(shù)；(2)若的面積為，，則點(diǎn)E到邊的距離為多少．【典型例題十二三角形的內(nèi)角和定理】1．（23-24七年級下·安徽宿州·階段練習(xí)）若三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為，則這個(gè)三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形2．（2024·廣東潮州·一模）如圖所示，在中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級下·黑龍江綏化·期中）在中，，則4．（2024·湖北孝感·三模）如圖，平面鏡放置在水平地面上，墻面于點(diǎn)，一束光線照射到鏡面上，反射光線為，點(diǎn)在上，若，則的度數(shù)為．5．（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，在中，點(diǎn)、分別在、上，且，，，求的度數(shù)．6．（23-24七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，是的高，點(diǎn)E、F在、上，，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，求證：．【典型例題十三直角三角形的兩個(gè)銳角互余】1．（22-23八年級下·湖南永州·期中）在中，，，則（

）A． B． C． D．2．（22-23八年級上·遼寧葫蘆島·期末）如圖所示，將一副三角尺疊放在一起，則的大小為（

）A． B． C． D．3．（22-23八年級上·浙江·期末）若直角三角形的一個(gè)銳角為，則另一個(gè)銳角等于．4．（22-23七年級下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，為直角三角形，，于點(diǎn)，與相等的角是．5．（222-23八年級上·陜西咸陽·期中）如圖，，的頂點(diǎn)F、G分別在直線、上，交于點(diǎn)H，且平分．若，，求的度數(shù)．6．（23-24八年級上·甘肅武威·期中）如圖，在中，是的角平分線，是邊上的高，相交于點(diǎn)，如果，求的度數(shù)．【典型例題十四三角形的外角的定義及性質(zhì)】1．（23-24八年級上·河南濮陽·期中）將一副三角板按如圖所示放置，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）如圖，是的一個(gè)外角，，，則（

）A． B． C． D．3．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）在中，如果，那么的外角等于度．4．（22-23七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在中，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，，，則°．

5．（23-24七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，在中，是的平分線，，點(diǎn)D在的延長線上，．求：的度數(shù)．6．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在直角三角形中，是斜邊上的高，．求：（1）的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．(1)（）．（）（等量代換）(2)（等式的性質(zhì)）（已知）（等量代換）．【典型例題十五三角形角平分線的定義】1．（22-23八年級上·河北滄州·期中）如圖，已知，則是三角形的（

）A．角平分線 B．中線 C．高 D．垂直平分線2．（22-23八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上兩點(diǎn)，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列說法中不正確的是（

）A．BE是△ABD的中線 B．BD是△BCE的角平分線C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB3．（22-23八年級上·河北唐山·期中）在畫三角形的三條重要線段：角平分線、中線和高線時(shí)，不一定畫在三角形內(nèi)部的是.4．（22-23八年級上·云南玉溪·期中）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，∠B＝70°，∠C＝34°，則∠DAE=．5．（23-24八年級上·安徽合肥·期中）已知：如圖，中，，為上一點(diǎn)，連接平分，分別交于點(diǎn)，若，求證：

6．（23-24八年級上·云南昆明·期中）如圖，在中，分別為的邊上的中線和高，為的角平分線．(1)若，，求的大小；(2)若的面積為48，，求的長．【典型例題十六利用網(wǎng)格求三角形面積】1．（22-23七年級下·湖北武漢·期中）如圖，在長方形網(wǎng)格中，每個(gè)小長方形的長為2，寬為1，A，B兩點(diǎn)在網(wǎng)格格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在網(wǎng)格格點(diǎn)上，以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形面積為2，則滿足條件的點(diǎn)C個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（22-23七年級下·天津河西·期中）如圖，在長方形網(wǎng)格中，每個(gè)小長方形的長為2，寬為1，A、B兩點(diǎn)在網(wǎng)格格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在網(wǎng)格格點(diǎn)上，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形面積為1，則滿足條件的點(diǎn)C個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（22-23九年級上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，E為BD與正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則CE的長為．4．（22-23七年級下·浙江杭州·期末）如圖，大長方形是由9個(gè)完全相同的小長方形組成，已知小長方形的長，寬分別為，，則圖中連接三個(gè)格點(diǎn)圍成的陰影部分圖形的面積是．（用，的代數(shù)式表示）5．（23-24七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在方格紙內(nèi)將水平向右平移4個(gè)單位得到．(1)補(bǔ)全；利用網(wǎng)格點(diǎn)和直尺畫圖；(2)畫出中邊上的高線；(3)點(diǎn)E為方格紙上的格點(diǎn)（異于點(diǎn)C），若，則圖中的格點(diǎn)E共有個(gè)．6．（23-24七年級下·遼寧大連·期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，，．將三角形先向右平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到三角形．(1)畫出三角形，并寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；(2)求三角形的面積；(3)點(diǎn)在直線上，且，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【典型例題十七銳角互余的三角形是直角三角形】1．（22-23八年級上·山東濟(jì)寧·期中）在下列條件中：①；②；③，能確定是直角三角形的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)2．（22-23八年級上·浙江溫州·階段練習(xí)）根據(jù)下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．∠B=50°，∠C=40° B．∠B=∠C=45°C．∠A，∠B，∠C的度數(shù)比為5：3：2 D．∠A-∠B=90°3．（22-23七年級下·云南文山·期末）在直角三角形中，有一個(gè)銳角是另外一個(gè)銳角的5倍，則這個(gè)銳角的度數(shù)為度．4．（22-23八年級上·全國·單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直線DE與AC，BC分別交于D，E兩點(diǎn)．若∠DEC＝∠A，則△EDC是．5．（22-23八年級上·廣東深圳·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、Q在格點(diǎn)上，請用無刻度的直尺用連線的方法畫出如下圖形（保留畫圖痕跡）．

(1)在圖1中，找一個(gè)格點(diǎn)P，連接，使為直角三角形；(2)在圖2中，找一個(gè)格點(diǎn)H，連接，使．6．（22-23七年級下·江蘇淮安·期末）把下面的證明過程補(bǔ)充完整．已知：如圖，在中，，平分，為邊上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且．求證：．證明：（已知）又（）（等量代換）平分（已知）（）（已知）（）（等量代換）（有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形）（垂直的定義）【變式訓(xùn)練1三角形的識別與有關(guān)概念】1．（23-24八年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）觀察下列圖形，其中是三角形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（23-24八年級上·全國·課堂例題）三角形是（

）A．由在同一平面內(nèi)的三條直線首尾順次相接所組成的圖形B．由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形C．任意連接在同一平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)所得到的封閉圖形D．由在同一平面內(nèi)的三條線段所組成的圖形3．（22-23八年級上·江西南昌·期中）一個(gè)三角形的兩條邊長分別為3，5，周長為11，那么它的第三邊長為．4．（2024七年級·全國·競賽）某有理數(shù)等于它的倒數(shù)的4倍，現(xiàn)在某三角形的兩條邊的長度分別是這個(gè)有理數(shù)和它的倒數(shù)，這個(gè)三角形的面積最大是．5．（2022八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知，△ABC的周長是14cm，求BC的長．6．（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）已知的周長為，(1)若，求的長；(2)若，求三條邊的長．【變式訓(xùn)練2三角形的個(gè)數(shù)問題】1．（22-23七年級上·湖北武漢·開學(xué)考試）如圖，圖中共有（

）個(gè)三角形．

A．3 B．4 C．5 D．62．（23-24八年級上·陜西延安·階段練習(xí)）如圖，在中，，分別為，上的點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．63．（22-23八年級上·廣西百色·期中）如圖所示的三角形共有個(gè)．4．（22-23八年級上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖，一共有個(gè)三角形；從大小判斷，圖中青蛙可以落在個(gè)三角形內(nèi)，則．5．（2023八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知，△ABC的周長是14cm，求BC的長．6．（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）已知的周長為，(1)若，求的長；(2)若，求三條邊的長．【變式訓(xùn)練3三角形的分類】1．（23-24七年級下·四川德陽·期中）已知三個(gè)點(diǎn)，則以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是（

）A．銳角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形2．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）有下列兩種圖示均表示三角形分類，則正確的是（

）

A．①對，②不對 B．②對，①不對 C．①、②都不對 D．①、②都對3．（22-23八年級上·全國·課前預(yù)習(xí)）直角三角形的定義∶有一個(gè)角是的三角形，是直角三角形．4．（22-23七年級下·上?！て谥校┰谥?，，，，那么是三角形．（填“銳角”、“鈍角”或“直角”）5．（22-23七年級下·全國·單元測試）在中，，，且的長為偶數(shù)，求的周長，并判斷其形狀．6．（22-23八年級上·廣東湛江·期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A和點(diǎn)B在小正方形的格點(diǎn)上．(1)在圖①中畫出，使為直角三角形（要求點(diǎn)C在小正方形的格點(diǎn)上，畫一個(gè)即可）．(2)求圖①中的面積．【變式訓(xùn)練4三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用】1．（2024八年級上·廣東潮州·學(xué)業(yè)考試）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A．菱形 B．三角形 C．正方形 D．圓形2．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，一個(gè)六邊形形狀的木框，為使其穩(wěn)定，工人師傅至少需要加固（）根木條A． B． C． D．3．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）按如圖所示的放置可以把手機(jī)放在一個(gè)支架上面，這樣做的數(shù)學(xué)道理是．4．（23-24八年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖,木工師傅在做完門框后為防止變形，常如圖所示那樣釘上兩條斜拉的木板條，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是．5．（22-23七年級上·全國·單元測試）為使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，哥哥準(zhǔn)備如圖①那樣再釘上兩根木條，弟弟準(zhǔn)備如圖②那樣再釘上兩根木條，哪種方法能使木架不變形？為什么？

6．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖是一個(gè)四腿木椅的側(cè)視圖，椅子已經(jīng)變形，請你將椅子修復(fù)加固，并用虛線在圖中標(biāo)明位置．【變式訓(xùn)練5構(gòu)成三角形的條件】1．（23-24七年級下·重慶·階段練習(xí)）下列各組三條線段的長度，能組成三角形的是（

）A． B．C． D．2．（23-24八年級下·廣東廣州·開學(xué)考試）下列長度的線段能組成三角形的是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、3．（23-24八年級上·廣東江門·階段練習(xí)）若一個(gè)兩邊相等的三角形的兩邊分別是和，則其周長是．4．（22-23八年級上·廣東江門·期中）如果三角形的兩邊長分別為5和7，第三邊長為偶數(shù)，那么這個(gè)三角形的周長可以是．5．（22-23八年級·全國·課堂例題）下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？(1)，，；(2)，，；(3)，，．6．（22-23八年級上·山東聊城·期中）已知a，b，c為三角形的三邊，滿足，且，求三角形周長．【變式訓(xùn)練6確定第三邊的取值范圍】1．（23-24七年級下·江蘇無錫·期中）若三角形的三邊長分別為、、，則的值可以是（）A． B． C． D．2．（23-24七年級下·山西臨汾·階段練習(xí)）若長度分別為，，的三條線段恰好可以圍成一個(gè)三角形，則的值不可能是（

）A． B． C． D．故選：A．3．（23-24八年級上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知，三角形的三邊長為3，5，m，則m的取值范圍是．4．（23-24八年級上·甘肅慶陽·期中）三角形的兩邊長分別是和，第三邊長為整數(shù)，則三角形的周長為．5．（22-23八年級上·陜西安康·期末）已知，若第三邊的長是偶數(shù)，求的周長．6．（23-24八年級上·山西大同·階段練習(xí)）已知a、b、c是的三邊長，，設(shè)三角形的周長是．(1)直接寫出c與x的取值范圍；(2)若x是小于18的偶數(shù)，求c的長．【變式訓(xùn)練7三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】1．（2024·廣東河源·一模）在下列長度的四條線段中，能與長5cm，12cm的兩條線段圍成一個(gè)三角形的是（

）A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm2．（23-24七年級下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列各組長度的3條線段，不能構(gòu)成三角形的是（

）A．3cm

5cm

10cm B．5cm

4cm

8cmC．4cm

6cm

9cm D．2cm

3cm

4cm3．（23-24八年級上·新疆和田·期中）長分別為11，8，6，4的四根木條，選其中三根組成三角形種選法．4．（23-24八年級上·天津武清·期中）長度分別為2cm，3cm，7cm的木條（填“能”或“不能”）圍成一個(gè)三角形．5．（23-24八年級上·安徽合肥·期中）在中，，．(1)求的取值范圍；(2)若的周長為偶數(shù)，求的周長為多少？6．（23-24八年級上·陜西渭南·期中）已知三角形的兩邊長分別為1和4，第三邊長為整數(shù)，求該三角形的周長．【變式訓(xùn)練8畫三角形的高】1．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）下列圖中，作邊上的高正確的是（

）A． B． C． D．2．（23-24七年級下·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）中邊的高，表示正確的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024七年級下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，于，那么圖中以為高的三角形共有個(gè)．4．（23-24七年級上·山東淄博·期中）在如圖所示的的三條高中，其中邊上的高是線段5．（23-24七年級下·上?！るA段練習(xí)）分別在第（1）、（2）、（3）圖中，畫出的一條中線，一條角平分線和一條高，并用文字指出你所畫的中線、角平分線和高．6．（23-24八年級上·廣西梧州·階段練習(xí)）如圖，中，(1)畫出邊上的中線；(2)畫出邊上的高【變式訓(xùn)練9與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題】1．（22-23七年級下·河北唐山·期末）如圖，的面積為，如果，那么的面積為（

）

A． B． C． D．2．（22-23七年級下·廣東惠州·期中）如圖，在直角三角形中，，，，，則點(diǎn)到的距離是（

）

A．3 B．4 C．5 D．3．（23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習(xí)）如圖，于點(diǎn)B，則圖中以為高線的三角形有個(gè)4．（23-24八年級上·廣東東莞·期中）如圖，在中，，分別是邊上的高，且，則的長為．

5．（22-23八年級·全國·課堂例題）如圖所示，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且與交于點(diǎn)．若，，，求的長．6．（23-24八年級上·安徽亳州·期末）如圖，在中，，分別是邊上的中線和高，，，求和的長．【變式訓(xùn)練10根據(jù)三角形中線求長度】1．（23-24八年級上·河北滄州·期末）如圖所示，在中，，，是的中線，則與的周長之差為（

）A．4 B．1 C．2 D．72．（23-24八年級上·廣西賀州·期中）若是的中線，已知比的周長大，則與的差為

（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級上·山東煙臺(tái)·期中）如圖，是的中線，，則．

4．（23-24八年級上·安徽滁州·期中）如圖，已知為的中線，，，的周長為，則的周長為．

5．（23-24八年級上·陜西渭南·期中）已知，是邊上的中線，且，若的周長比的周長大5，求的長．6．（23-24八年級下·湖南郴州·階段練習(xí)）如圖，在中，，分別是邊上的中線和高，，．求的長．【變式訓(xùn)練11根據(jù)三角形中線求面積】1．（23-24七年級上·山東煙臺(tái)·期中）能把任意一個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形的線段是（

）A．角平分線 B．中線 C．高線 D．兩邊中點(diǎn)的連線2．（23-24八年級上·山東臨沂·階段練習(xí)）如圖，線段把分為面積相等的兩部分，則線段是（）

A．三角形的角平分線 B．三角形的中線C．三角形的高 D．以上都不對3．（23-24七年級下·福建泉州·期中）如圖，是的一條中線，若的面積是．則的面積為．4．（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在中，D是邊上中點(diǎn)，若，則的值為．

5．（22-23七年級上·廣東·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)D是的邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段的中點(diǎn)，且的面積為，則的面積是多少？6．（22-23七年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）如圖所示，，，已知陰影部分的面積為平方厘米，求四邊形的面積．

【變式訓(xùn)練12三角形的內(nèi)角和定理】1．（23-24七年級下·四川成都·期中）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和，那么這個(gè)三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形2．（23-24八年級上·安徽銅陵·階段練習(xí)）如圖，在中，，，則一定是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．（23-24七年級下·山東濟(jì)南·期中）如圖，中，，，平分，交于點(diǎn)，那么的度數(shù)是．4．（23-24七年級下·河南商丘·期中）如圖所示為一輛嬰兒車的平面示意圖，其中，，，則．5．（23-24七年級下·山東威?！て谥校┤鐖D，在中，平分，交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，，，求的度數(shù)．6．（23-24七年級下·廣東佛山·期中）已知是的平分線，是的平分線，且與相交于點(diǎn)E．請你利用所學(xué)知識成下列問題：(1)如圖①，若，，求的大?。?2)如圖②，求證：；(3)如圖③，請直接寫出與、之間等量關(guān)系．【變式訓(xùn)練13直角三角形的兩個(gè)銳角互余】1．（23-24八年級上·全國·期末）直角三角形的一個(gè)銳角等于，則它的另一個(gè)銳角等于（）A． B．或 C． D．2．（23-24八年級上·廣東肇慶·期末）將一副三角板按如圖所示擺放，其中，，則∠2為（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級下·貴州銅仁·期中）在中，，，則的度數(shù)為．4．（22-23七年級下·重慶沙坪壩·期末）如圖，，，則的度數(shù)為．

5．（23-24八年級上·吉林·階段練習(xí)）如圖，在中．，，平分，．求證：．

6．（23-24八年級上·廣東肇慶·期中）如圖，是的角平分線，是高，，，求的度數(shù)．

【變式訓(xùn)練14三角形的外角的定義及性質(zhì)】1．（2024·湖南長沙·二模）如圖，直線，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2024·河北石家莊·二模）如圖，直線，被直線所截，直線和不平行，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知直線和相交構(gòu)成的銳角為（

）

A． B． C． D．3．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）如圖所示，在中，，，外角．4．（22-23八年級上·浙江溫州·期中）如圖，是的一個(gè)外角，若，，則．5．（23-24八年級上·甘肅定西·階段練習(xí)）如圖，求證：．6．（23-24八年級上·甘肅定西·階段練習(xí)）如圖，和是的外角，若，求的度數(shù)．

【變式訓(xùn)練15三角形角平分線的定義】1．（22-23七年級下·寧夏石嘴山·期末）如圖所示，是的角平分線，是的角平分線．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（22-23八年級上·全國·單元測試）一個(gè)三角形的三條角平分線的交點(diǎn)在（

）A．三角形內(nèi) B．三角形外C．三角形的某邊上 D．以上三種情形都有可能3．（23-24八年級上·河南周口·階段練習(xí)）如圖，在中，為兩條角平分線，，則圖中與相等的角有個(gè)．4．（22-23八年級·全國·假期作業(yè)）一個(gè)三角形三條角平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)．()5．（21-22八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，是的角平分線．，交于點(diǎn)E，，交于點(diǎn)F，圖中與有什么關(guān)系？為什么？6．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知．(1)用刻度尺畫邊上的中線．(2)用量角器畫以點(diǎn)C為一個(gè)端點(diǎn)的的角平分線．【變式訓(xùn)練16利用網(wǎng)格求三角形面積】1．（23-24九年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．在格點(diǎn)上確定點(diǎn)C，使為直角三角形，且面積為4，則這樣的點(diǎn)C的共有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（22-23七年級下·湖北武漢·期中）如圖，在長方形網(wǎng)格中，每個(gè)小長方形的長為2，寬為1，A，B兩點(diǎn)在網(wǎng)格格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在網(wǎng)格格點(diǎn)上，以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形面積為2，則滿足條件的點(diǎn)C個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，三角形的面積為．4．（22-23七年級上·湖南婁底·期末）下圖中每個(gè)小方格的邊長為1個(gè)單位長，則格點(diǎn)四邊形（四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上）的面積為．

5．（23-24八年級下·廣西貴港·期中）如圖所示方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)畫出中邊上的高：(2)畫出中邊上的中線；(3)求的面積．6．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖在每個(gè)正方形的邊長都是1的方格紙中，有滿足大于，并且頂點(diǎn)A、B、C都在小正方形各格點(diǎn)上（請按照以下要求畫出所求線段，要求所畫線段的端點(diǎn)都落在格點(diǎn)上）．(1)在邊上取一點(diǎn)D，連接，使．(2)畫邊上的高線．(3)直接寫出的面積是__________．【變式訓(xùn)練17銳角互余的三角形是直角三角形】1．（23-24八年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）具備下列條件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．2．（22-23八年級上·山東濟(jì)寧·期中）在下列條件中：①；②；③，能確定是直角三角形的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)3．（22-23八年級·全國·假期作業(yè)）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．()4．（22-23八年級上·浙江臺(tái)州·期中）有兩個(gè)角的三角形是直角三角形．5．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）已知：如圖，在中，D是AB上一點(diǎn)，，．求證：是直角三角形．6．（22-23八年級上·江西吉安·期中）如圖，在中，D為上一點(diǎn)，，．(1)判斷的形狀；(2)判斷是否與垂直．1．（22-23七年級下·江西南昌·階段練習(xí)）關(guān)于三角形的三個(gè)內(nèi)角，下面說法錯(cuò)誤的是（

）A．必須有一個(gè)內(nèi)角不大于60° B．必須有一個(gè)內(nèi)角不小于60°C．最少有兩個(gè)銳角 D．最多有兩個(gè)銳角2．（2022九年級·陜西·專題練習(xí)）如圖所示的圖形中，三角形的個(gè)數(shù)共有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（22-23八年級下·廣東河源·階段練習(xí)）為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門背面加釘了一根木條，這樣做的道理是（）

A．三角形具有穩(wěn)定性 B．三角形兩邊之和大于第三邊C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．兩點(diǎn)之間線段最短4．（23-24八年級上·重慶銅梁·期中）如圖，在中，，D，E是上兩點(diǎn)，且，平分，那么下列說法中不正確的是（

）A．是的角平分線 B．C．是的邊的高 D．5．（23-24七年級下·湖南衡陽·期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在處，并測得，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（22-23七年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）長度為2cm、3cm、6cm、7cm、8cm的五條線段，若以其中的三條線段為邊構(gòu)成三角形，可以構(gòu)成不同的三角形共有個(gè)．7．（22-23八年級上·湖南株洲·期中）有下面四根長度為3厘米，4厘米，5厘米，7厘米的木棒，選取其中3根組成三角形，則可以組成三角形共有個(gè)．8．（23-24八年級上·青海西寧·期中）如圖，在直角三角形中，，是邊上的高，，，．則的面積為，的長．9．（23-24七年級下·福建寧德·期中）如圖，在中，平分，是高線，，，則的度數(shù)是．10．（22-23八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，（1）若AM是△ABC的中線，，則cm；（2）若AD是△ABC的角平分線，則；若，則；（3）若AH是△ABC的高，則△ABH是三角形．11．（22-23七年級下·全國·單元測試）在△ABC中，已知∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B，求∠A，∠B，∠C的度數(shù)，并判斷這個(gè)三角形的形狀．12．（22-23八年級上·浙江湖州·階段練習(xí)）現(xiàn)有三條線段，它們的長分別是9cm，18cm，26cm．這三條線段能構(gòu)成三角形的三邊嗎？為什么？13．（22-23八年級上·湖北荊州·期中）已知三角形的三條邊長為6、10和x．(1)若6是最短邊長，求x的取值范圍；(2)若x為整數(shù)，求三角形周長的最大值．14．（22-23八年級上·吉林白城·階段練習(xí)）圖①、圖②均是44的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△OABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．(1)在圖①中畫△ABC的角平分線BD，標(biāo)出點(diǎn)D；(2)在圖②中的邊BC上找到格點(diǎn)E，連接AE，使AE平分△ABC的面積15．（23-24八年級上·河北保定·期末）閱讀材料：我們知道，探索多邊形內(nèi)角和的方法是將其轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角形內(nèi)角和獲得結(jié)論，這一方法也可以用來解決其他求角度的問題，如圖，四邊形是凸四邊形，探究其內(nèi)角和的方法是：連接對角線．則四邊形內(nèi)角和就轉(zhuǎn)化為和內(nèi)角和的和，為．(1)解決問題：如圖1，四邊形是凹四邊形，請?zhí)骄浚ǎ┡c，，三個(gè)角之間的等量關(guān)系．小明得出的結(jié)論是：，他證明如下．請你將小明的證明過程補(bǔ)充完整．證明：連接并延長到點(diǎn)．(2)聯(lián)系拓廣：下面圖的五角星和圖的六角星都是一筆畫成的（即從圖形上的某一頂點(diǎn)出發(fā)，找出一條路線，用筆不離開紙，連續(xù)不斷又不重復(fù)經(jīng)過圖形上所有部分畫成的）．請你根據(jù)上述解決問題的思路，解答下列問題：①圖中，的度數(shù)為______．②圖中，的度數(shù)為______．

第07講三角形中的邊角關(guān)系（3大知識點(diǎn)+17大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測）題型一三角形的識別與有關(guān)概念題型二三角形的個(gè)數(shù)問題題型三三角形的分類題型四三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用題型五構(gòu)成三角形的條件題型六確定第三邊的取值范圍題型七三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用題型八畫三角形的高題型九與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題題型十根據(jù)三角形中線求長度題型十一根據(jù)三角形中線求面積題型十二三角形的內(nèi)角和定理題型十三直角三角形的兩個(gè)銳角互余題型十四三角形的外角的定義及性質(zhì)題型十五三角形角平分線的定義題型十六利用網(wǎng)格求三角形面積題型十七銳角互余的三角形是直角三角形知識點(diǎn)01三角形的分類1、按邊分類： 2、按角分類： 不等邊三角形 直角三角形三角形 三角形銳角三角形 等腰三角形（等邊三角形是特例）斜三角形 鈍角三角形知識點(diǎn)02三角形的性質(zhì)1、三角形的三邊關(guān)系：三角形中任何兩邊的和大于第三邊；任何兩邊的差小于第三邊。2、三角形的三角關(guān)系：三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。三角形外角和定理：三角形的三個(gè)外角的和等于360°。三角形的外角性質(zhì)（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（2）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。知識點(diǎn)03三角形的角平分線、中線和高【典型例題一三角形的識別與有關(guān)概念】1．（2023河北石家莊·一模）叫做三角形A．連接任意三點(diǎn)組成的圖形B．由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形C．由三條線段組成的圖形D．以上說法均不對【答案】B【分析】根據(jù)三角形的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】因?yàn)槿切蔚亩x是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的定義，屬于概念題，正確并熟練掌握三角形的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級上·遼寧撫順·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)完三角形的概念后，小強(qiáng)同學(xué)用火柴拼成的圖形如下，其中符合三角形概念的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的概念一一辨析可得正確解答．【詳解】解：三角形指的是不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，而A、B、D圖形的三根火柴都全部沒有或者部分沒有首尾相接，所以A、B、D都不符合題意，只有C圖形是由三根火柴首尾順次相接而成的，所以C符合三角形概念．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的定義，正確理解三角形是不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形是解題關(guān)鍵．3．（22-23七年級下·全國·單元測試）如圖所示，圖中共有個(gè)三角形，其中以AB為邊的三角形有個(gè)，以∠A為內(nèi)角的三角形有個(gè)．【答案】522【分析】由三角形的定義即可得出結(jié)論．【詳解】由圖可知，圖中共有5個(gè)三角形：ABC、ABE、EBC、DBC、DEC，其中以AB為邊的三角形有2個(gè)：ABC、ABE，以∠A為內(nèi)角的三角形有2個(gè)：ABC、ABE．故答案為

5.

2.

2.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的概念，需要注意仔細(xì)觀察，不要漏寫4．（22-23八年級上·北京朝陽·期末）如圖，圖中以BC為邊的三角形的個(gè)數(shù)為．

【答案】4．【分析】根據(jù)三角形的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵以BC為公共邊的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，∴以BC為公共邊的三角形的個(gè)數(shù)是4個(gè)．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了學(xué)生對三角形的認(rèn)識．注意要審清題意，按題目要求解題．5．（2023八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知，△ABC的周長是14cm，求BC的長．【答案】4【分析】根據(jù)比值和周長解答即可．【詳解】解：∵，設(shè)AB為5x，BD為2x，AC為5y，CD為2y，∵△ABC的周長是14cm，∴5x+2x+5y+2y＝14，解得：x+y＝2，所以BC＝2（x+y）＝4．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的問題，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的周長解答．6．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，分別是，上的點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．（1）圖中共有多少個(gè)三角形？并把它們表示出來．（2）的三個(gè)頂點(diǎn)是什么？三條邊是什么？（3）以為邊的三角形有哪些？（4）以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有哪些？（5）所對的邊是什么？【答案】（1）圖中共有8個(gè)三角形，分別是，，，，，，，；（2）;；（3）；（4）；（5）BE，AD或AB【分析】（1）由題意觀察圖形，結(jié)合三角形的特征進(jìn)行計(jì)數(shù)即可；（2）由題意依據(jù)三角形頂點(diǎn)以及邊的表示方法進(jìn)行表示即可；（3）由題意觀察圖形，結(jié)合三角形的特征尋找以為邊的三角形即可；（4）由題意依據(jù)三角形頂點(diǎn)為結(jié)合圖形進(jìn)行觀察即可；（5）根據(jù)題意對所對的邊分情況進(jìn)行討論可得.【詳解】解：（1）圖中共有8個(gè)三角形，分別是，，，，，，，；（2）的三個(gè)頂點(diǎn)是；三條邊是；（3）觀察圖形可得以為邊的三角形有；（4）觀察圖形可得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有；（5）在中，所對的邊為AD;在中，所對的邊為AB；在中，所對的邊為BE.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的角和邊的概念進(jìn)行解答．【典型例題二三角形的個(gè)數(shù)問題】1．（22-23七年級下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，以BC為邊的三角形共有（

）個(gè)A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)三角形的定義（由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形）找出圖中的三角形．【詳解】解：以BC為邊的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的定義．注意：題目要求找“以BC為邊的三角形的個(gè)數(shù)”，而不是找“圖中三角形的個(gè)數(shù)”．2．（22-23七年級下·河南洛陽·期末）圖中三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．10個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)三角形的定義即可得．【詳解】圖中的三角形是，共8個(gè)故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的定義，掌握理解三角形的概念是解題關(guān)鍵．3．（22-23八年級上·廣東江門·階段練習(xí)）如圖，共有個(gè)三角形．【答案】6【分析】根據(jù)三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形數(shù)出三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：圖中有：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，共6個(gè)．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形，關(guān)鍵是掌握三角形的定義，數(shù)三角形時(shí)，要不重不漏．4．（22-23八年級下·全國·期末）如圖所示，圖中有個(gè)三角形．

【答案】8【分析】直接根據(jù)三角形的定義即可得出答案．【詳解】圖中有8個(gè)三角形，分別是．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的定義，做到不重不漏是關(guān)鍵．5．（22-23八年級上·全國·單元測試）（1）如圖1，D1是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，則圖中有哪幾個(gè)三角形？（2）如圖2，D1，D2是△ABC的邊AB上的兩點(diǎn)，則圖中有哪幾個(gè)三角形？（3）如圖3，D1，D2，…，D10是△ABC的邊AB上的10個(gè)點(diǎn)，則圖中共有多少個(gè)三角形？【答案】（1）3；（2）6；（3）66．【分析】（1）根據(jù)三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形進(jìn)行分析即可；（2）根據(jù)三角形的定義結(jié)合圖形進(jìn)行分析即可得；（3）根據(jù)直線AB上有幾條線段就有幾個(gè)三角形，由線段的計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)算即可得答案.【詳解】（1）圖中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3個(gè)；（2）圖中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6個(gè)；（3）∵直線AB上有12個(gè)點(diǎn)，∴直線AB上的線段共有：=66（條），即圖中共有66個(gè)三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形，規(guī)律題，關(guān)鍵在數(shù)三角形個(gè)數(shù)時(shí)要做到不重不漏.6．（22-23八年級上·新疆吐魯番·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個(gè)不同的三角形，……

（1）完成下表：連接個(gè)數(shù)123456出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)36（2）若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連接了_____個(gè)點(diǎn)?若一直連接到An，則圖中共有______個(gè)三角形．【答案】（1），，，；（2）8，.【分析】（1）根據(jù)圖形，可以分析：數(shù)三角形的個(gè)數(shù)，其實(shí)就是數(shù)AC上線段的個(gè)數(shù)，當(dāng)1個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有三角形數(shù)為，當(dāng)2個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有三角形數(shù)為，由此可找出規(guī)律，據(jù)此即可得答案；（2）由（1）繼續(xù)推導(dǎo)可解得若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，若一直連接到An，由個(gè)分點(diǎn)，三角形數(shù)量為前一個(gè)分點(diǎn)數(shù)的三角形總數(shù)加個(gè)，可知個(gè)分點(diǎn)，則有個(gè)三角形．【詳解】（1）由圖形可得：數(shù)三角形的個(gè)數(shù)，其實(shí)就是數(shù)AC上線段的個(gè)數(shù)．所以當(dāng)1個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有三角形數(shù)為；2個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有三角形數(shù)為；3個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有；4個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有；5個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有；6個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有；（2）若出現(xiàn)45=1+2+3+4+5+6+7+8+9個(gè)三角形，根據(jù)上述規(guī)律，則有8個(gè)分點(diǎn)；若有個(gè)分點(diǎn)，則有．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的擴(kuò)展知識，需要注意此題數(shù)三角形的個(gè)數(shù)實(shí)際上就是數(shù)線段的條數(shù)，能夠正確計(jì)算，解這類數(shù)列需要先設(shè)他們之和為，再重構(gòu)一組倒序相同的數(shù)列，正序與倒序兩式相加，合并可解．【典型例題三三角形的分類】1．（22-23七年級下·江蘇常州·期中）如圖所示，方格中有A、B、C、D、E五個(gè)格點(diǎn)，以這5個(gè)格點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，其中直角三角形有(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的概念求解即可．【詳解】如圖所示，連接AB，AD，AE，DE，直角三角形有，，，∴直角三角形有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的概念和網(wǎng)格的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的概念．有一個(gè)角為直角的三角形為直角三角形．2．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖所示的三角形有一部分被遮擋，通過觀察，判斷三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上都有可能【答案】C【分析】根據(jù)三角形的分類：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：觀察圖形得：露出的角是鈍角，所以三角形是是鈍角三角形；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形，關(guān)鍵是掌握三角形的分類：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形．3．（22-23八年級下·全國·課前預(yù)習(xí)）三角形按角分類可分為：、、．【答案】銳角三角形直角三角形鈍角三角形【解析】略4．（22-23八年級下·全國·課前預(yù)習(xí)）三角形按邊分類可分為、；等腰三角形可分為、．【答案】三邊都不相等的三角形等腰三角形等邊三角形底邊和腰不相等的等腰三角形【解析】略5．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）根據(jù)下列所給條件，判斷的形狀．（1），，；（2）；（3）；（4），．【答案】（1）銳角三角形（2）鈍角三角形（3）直角三角形（4）等腰三角形【分析】（1）通過最大角小于90°即可判斷；（2）通過最大角大于90°即可判斷；（3）通過最大角等于90°即可判斷；（4）通過等腰三角形的定義即可判斷．【詳解】（1）通過最大角小于90°所以此三角形為銳角三角形；（2）通過最大角大于90°所以此三角形為鈍角三角形；（3）通過最大角等于90°所以此三角形為直角三角形；（4）通過三角形中有兩條邊相等可知此三角形為等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的分類,知道通過角和邊去區(qū)分三角形是解題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級上·江西南昌·階段練習(xí)）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．請僅用無刻度的直尺，按下列要求作圖．

（1）在圖1中作一直角，使得的面積為4．（2）在圖2中作一鈍角，使得的面積為4．【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析．【分析】（1）AB的長度為2，故以AB為直角邊，作另一條直角邊BC=4即可；（2）AB的長度為2，故以AB為底，作高為4的鈍角三角形即可；【詳解】解：（1）如下圖所示，直角，面積為4；（2）如下圖所示，鈍角，面積為4．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的分類，熟記三角形的面積等于底乘高是解題關(guān)鍵．【典型例題四三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用】1．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（

）A．正方形 B．長方形 C．五邊形 D．直角三角形【答案】D【分析】本題考查了三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會(huì)改變．【詳解】解：∵三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，∴形具有穩(wěn)定性的是直角三角形．故選：D．2．（23-24八年級上·廣東中山·期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（

）A．四邊形 B．三角形 C．長方形 D．正方形【答案】B【分析】此題考查的是對三角形穩(wěn)定性，三角形不容易產(chǎn)生變形，因此三角形是最穩(wěn)定的；四邊形沒有穩(wěn)定性．【詳解】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性．故選：B．3．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）生活中，自行車的車架大多設(shè)計(jì)成如圖所示的三角形，這是因?yàn)槿切尉哂校敬鸢浮糠€(wěn)定性【分析】本題考查的是三角形的性質(zhì)，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．【詳解】解：因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，故答案為：穩(wěn)定性．4．（22-23七年級下·江蘇南京·期末）如圖，工人師傅制作門時(shí)，常用木條固定長方形門框，使其不變形，這樣做的根據(jù)是．

【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可求解．熟知三角形的穩(wěn)定性是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，工人師傅在砌門時(shí)，常用木條固定長方形門框，使其不變形，這樣做的根據(jù)是三角形具有穩(wěn)定性．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．5．（22-23七年級下·廣東惠州·期中）如圖，是一個(gè)用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)固性、美觀性、實(shí)用性等因素，需再加竹條與其頂點(diǎn)連接．要求：（1）在圖（1）、（2）中分別加適當(dāng)根竹條，設(shè)計(jì)出兩種不同的連接方案．（2）通過上面的設(shè)計(jì)，可以看出至少需再加根竹條，才能保證風(fēng)箏骨架穩(wěn)固、美觀和實(shí)用．（3）在上面的方案設(shè)計(jì)過程中，你所應(yīng)用的數(shù)學(xué)道理是．【答案】（1）答案見解析；（2）三；（3）三角形的穩(wěn)定性．【詳解】解：（1）如圖所示（答案不唯一）（2）至少要三根故答案為：三；（3）三角形的穩(wěn)定性．6．（22-23七年級下·山西·階段練習(xí)）被外界贊譽(yù)為世界奇跡的港珠澳大橋(下圖)，是連接香港、珠海、澳門的超大型跨海通道，全長55公里，無論從施工難度，還是從施工的復(fù)雜度，甚至從施工周期的長短來看，都足以配得上這樣的稱贊．(1)觀察大橋圖形，有好多的拉線，這些拉線和大橋的其他部位組成的圖形形狀是三角形，這樣設(shè)計(jì)是利用了三角形的；(2)用八根木條釘成的如圖所示的八邊形木架，要使它不變形，至少要再釘根木條，在圖上畫出來．【答案】（1）穩(wěn)定性；（2）5，圖見解析【分析】（1）根據(jù)三角形穩(wěn)定性，即可回答；（2）通過添加輔助線，構(gòu)造三角形，再確定答案即可．【詳解】（1）穩(wěn)定性；（2）5，答案不唯一：參考答案如圖【點(diǎn)睛】三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)生活中具有廣泛應(yīng)用，要善于觀察，體會(huì)．【典型例題五構(gòu)成三角形的條件】1．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（

）A．正方形 B．長方形 C．五邊形 D．直角三角形【答案】D【分析】本題考查了三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會(huì)改變．【詳解】解：∵三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，∴形具有穩(wěn)定性的是直角三角形．故選：D．2．（23-24八年級上·廣東中山·期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（

）A．四邊形 B．三角形 C．長方形 D．正方形【答案】B【分析】此題考查的是對三角形穩(wěn)定性，三角形不容易產(chǎn)生變形，因此三角形是最穩(wěn)定的；四邊形沒有穩(wěn)定性．【詳解】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性．故選：B．3．（22-23七年級下·湖南長沙·期末）已知三條線段長度分別為1、2、4，能否組成三角形？（填“能”或“不能”）．【答案】不能．【分析】由三角形三邊的關(guān)系：任意兩邊的和大于第三邊，從而可得結(jié)論．【詳解】解：＜，為邊不能組成三角形．故答案為：不能．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形三邊的關(guān)系，掌握三角形的任意兩邊的和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．4．（22-23七年級下·上?！ふn后作業(yè)）如果三角形的兩邊長分別是3cm和6cm，第三邊長是奇數(shù)，那么這個(gè)三角形的第三邊長為cm．【答案】5cm或7cm；【分析】可以構(gòu)成三角形的三條線段必須滿足兩邊和大于第三邊，兩邊差小于第三邊.【詳解】第三邊長必須大于3cm小于9cm，又因?yàn)榈谌呴L是奇數(shù)，所以第三邊長可取5cm,或7cm.【點(diǎn)睛】本題考查三角形三條邊的關(guān)系.5．（22-23八年級上·浙江湖州·階段練習(xí)）已知三條線段，，，以這三條線段為邊能構(gòu)成三角形嗎？請說明理由．【答案】能，理由見解析【分析】根據(jù)三線段構(gòu)成三角形的條件即可判斷．【詳解】∵是最長線段，而∴以這三條線段為邊能構(gòu)成三角形【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)成三角形的條件，一般地：由于最長線段與任一線段的和總是大于第三邊的，因此只要考慮兩條短線段的和是否大于最長線段，即可判斷三線段是否構(gòu)成三角形．6．（22-23七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在一個(gè)四邊形各邊上任意取一點(diǎn)，并順次連接它們．想一想，你得到的圖形周長與原四邊形周長哪一個(gè)大？為什么？如果是一個(gè)五邊形呢？六邊形呢？【答案】得到的圖形周長小于原四邊形的周長，見解析；如果是一個(gè)五邊形或是個(gè)六邊形，結(jié)論仍然成立【分析】任意兩邊上的點(diǎn)和兩點(diǎn)間的頂點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)三角形，利用三角形的三邊關(guān)系可以得出結(jié)論．【詳解】解：得到的圖形周長小于原四邊形的周長．理由：如圖，，，，四邊形的周長＜四邊形的周長．如果是一個(gè)五邊形或是個(gè)六邊形，結(jié)論仍然成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【典型例題六確定第三邊的取值范圍】1．（23-24八年級上·河南漯河·期中）一個(gè)三角形的兩條邊分別為2和6，則這個(gè)三角形的第三邊的長可以是（

）A．2 B．4 C．5 D．8【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，三角形第三邊的長度大于兩邊之差，且小于兩邊之和．根據(jù)已知邊長求第三邊長度的取值范圍，即可獲得答案．解題關(guān)鍵是理解并掌握三角形的三邊關(guān)系．【詳解】解：設(shè)第三邊的長為，則，故．故選：C．2．（23-24八年級上·廣西玉林·期中）小芳有兩根長度為和的木條，她想釘一個(gè)三角形木框，桌上有下列長度的幾根木條，她應(yīng)該選擇的木條長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，已知兩邊長求出第三邊的范圍即可求解，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)木條的長度為，則，即，符合的數(shù)值為．故選D．3．（22-23七年級下·山西臨汾·期末）一個(gè)三角形的兩邊長分別為2和14，第三邊長為偶數(shù)，則第三邊長為．【答案】14【分析】已知兩邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍；又知道第三邊長為偶數(shù)，就可以知道第三邊的長度．【詳解】解：設(shè)第三邊長為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得，即．又∵第三邊長是偶數(shù)，則，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，需要理解的是如何根據(jù)已知的兩條邊求第三邊的范圍．同時(shí)注意第三邊長為偶數(shù)這一條件．4．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）一個(gè)三角形的兩邊長分別是2和5，則第三邊長可以是．（寫出一個(gè)即可）【答案】5【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得，再解即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長為x，由題意得：，則，故答案可為：5（答案不唯一，大于3且小于7之間的數(shù)均可）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．5．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）兩根木棒的長分別是和．要選擇第三根木棒，將它們首尾相接釘成一個(gè)三角形．若第三根木棒的長為偶數(shù)，則第三根木棒長的取值情況有幾種?【答案】第三根木棒長的取值情況有4種．【分析】設(shè)第三根木棒長度為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，可得到的取值范圍，即可求解．【詳解】解：設(shè)第三根木棒長度為，根據(jù)題意得：，即，∵第三根木棒的長為偶數(shù)，∴可取4，6，8，10，有4種情況．答：第三根木棒長的取值情況有4種．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級上·云南昭通·期中）某市木材市場上的木棒規(guī)格與價(jià)格如下表：規(guī)格價(jià)格/（元/根）小明的爺爺要做一個(gè)三角形的支架用來養(yǎng)兔子，在木材市場上已經(jīng)購買了兩根長度分別為和的木棒，還需要購買一根．(1)有幾根規(guī)格的木棒可供小明的爺爺選擇？(2)在能做成三角形支架的情況下，要求做成的三角形支架的周長為偶數(shù)，則小明的爺爺做三角形支架，買木棒一共花了多少元？【答案】(1)種(2)元【分析】（1）做一個(gè)三角形的支架，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，由此即可求解；（2）做成的三角形支架的周長為偶數(shù)，根據(jù)（1）中可選的結(jié)果，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)第三根木棒的長度為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，解得，∵是整數(shù)，∴，共種，∴有種規(guī)格木棒可供選擇．（2）解：三角形支架的周長為偶數(shù)，，∴，三角形支架的第三根木棒長為，∴（元）．∴買木棒一共花了95元．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的實(shí)際運(yùn)用，理解和掌握三角形三邊關(guān)系，結(jié)合實(shí)際情況選擇方案是解題的關(guān)鍵．【典型例題七三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】1．（23-24八年級上·重慶開州·期末）以下長度的三條線段，能組成三角形的是（

）A．2，3，5 B．5，5，8 C．3，2，7 D．3，5，9【答案】B【分析】本題主要考查對三角形三邊關(guān)系的理解應(yīng)用．由題意根據(jù)三角形的三條邊必須滿足：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、，不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；B、，能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；C、，不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；D、，不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（23-24八年級上·遼寧大連·期末）已知的兩邊長分別為2和5，則第三邊長可能是（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】C【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)的第三邊長為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，，解得，符合條件的只有選項(xiàng)C，故選：C．3．（22-23九年級上·廣東茂名·期末）已知三角形三邊長分別為1，3，，若為奇數(shù)，則值為．【答案】3【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊”和x是奇數(shù)，即可得．【詳解】解：∵三角形三邊長為1，，3，x，∴，∵x是奇數(shù)，∴故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記三角形的三邊關(guān)系．4．（22-23七年級上·廣東深圳·期末）邊長為1的小正方形組成如圖所示的6×6網(wǎng)格，點(diǎn)A