人教版(新教材)高中物理選擇性必修一學(xué)案：2 4 單擺

人教版（新教材）高中物理選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE1第4節(jié)單擺學(xué)習(xí)目標(biāo)要求核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力1.知道什么是單擺，了解單擺的構(gòu)成。2.掌握單擺振動(dòng)的特點(diǎn)，知道單擺回復(fù)力的來源，理解擺角很小時(shí)單擺的振動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。3.知道單擺的周期跟什么因素有關(guān)，了解單擺的周期公式，并能用來進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。4.知道用單擺可測定重力加速度。1.核心素養(yǎng)(1)利用圖像法分析單擺的運(yùn)動(dòng)。(2)建立簡諧運(yùn)動(dòng)模型。(3)控制變量法探究影響單擺周期的因素。2.關(guān)鍵能力物理建模能力和分析推理能力。一、單擺的回復(fù)力1.單擺(1)用細(xì)線懸掛著小球在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，如果細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，空氣等對(duì)小球的阻力與它受到的重力及繩的拉力相比可以忽略，這樣的裝置就叫作單擺。(2)單擺是實(shí)際擺的理想化模型。實(shí)驗(yàn)時(shí)我們總要盡量選擇質(zhì)量大、體積小的球和盡量細(xì)的線。2.單擺的回復(fù)力(1)單擺的回復(fù)力是由重力沿圓弧切線方向的分力F＝mgsinθ提供的，如圖所示。(2)在最大擺角很小的條件下，sinθ≈eq\f(x,l)，其中x為擺球偏離平衡位置O點(diǎn)的位移。單擺的回復(fù)力F＝－eq\f(mg,l)x，令k＝eq\f(mg,l)，則F＝－kx。(3)在擺角很小的情況下，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總是指向平衡位置，因此單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)?！寂幸慌小?1)單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力。(×)(2)單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力。(√)(3)單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)受到的合力為零。(×)(4)單擺是一個(gè)理想化的模型。(√)二、單擺的周期1.探究單擺的振幅、質(zhì)量、擺長對(duì)周期的影響(1)探究方法：控制變量法。(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)論：①單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)。②周期與振幅無關(guān)。③擺長越長，周期越大；擺長越短，周期越小。2.周期公式(1)提出：由荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出的。(2)公式：T＝2πeq\r(\f(l,g))，即單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期T與擺長l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，而與振幅、擺球質(zhì)量無關(guān)?！枷胍幌搿皆趩螖[做簡諧運(yùn)動(dòng)的情況下，是否單擺的振幅越大，單擺的周期越長呢？〖答案〗單擺的周期與振幅無關(guān)。探究1單擺及單擺的回復(fù)力■情境導(dǎo)入如圖所示，細(xì)線下懸掛一個(gè)去掉柱塞的注射器，注射器內(nèi)裝上墨汁。當(dāng)注射器擺動(dòng)時(shí)，沿著垂直于擺動(dòng)的方向勻速拖動(dòng)木板，觀察噴在木板上的墨汁圖樣。從實(shí)驗(yàn)中觀察到單擺振動(dòng)曲線是一條正弦或余弦曲線，這樣能說明單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)嗎？〖提*示〗通過實(shí)驗(yàn)得到的圖線是正弦函數(shù)圖像，如果以時(shí)間作為橫軸，位移作為縱軸，可得到單擺位移隨時(shí)間變化的圖線是正弦函數(shù)圖像，即單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)?！鰵w納拓展1.單擺的回復(fù)力(1)單擺受力：如圖所示，擺球受細(xì)線拉力和重力作用。(2)向心力來源：細(xì)線拉力和重力沿徑向的分力的合力。(3)回復(fù)力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F＝mgsinθ提供了使擺球振動(dòng)的回復(fù)力。2.單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的條件在擺角很小時(shí)，sinθ≈eq\f(x,l)，又因?yàn)榛貜?fù)力F＝mgsinθ，所以單擺的回復(fù)力為F＝－eq\f(mg,l)x，令k＝eq\f(mg,l)，則回復(fù)力符合F＝－kx，由此可見單擺在擺角很小的情況下做簡諧運(yùn)動(dòng)。3.證明一個(gè)振動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)的兩種方法(1)動(dòng)力學(xué)角度：回復(fù)力與位移關(guān)系滿足F＝－kx。(2)運(yùn)動(dòng)學(xué)角度：位移與時(shí)間的關(guān)系滿足x＝Asin(ωt＋φ0)，x－t圖像為正弦曲線?！祭?〗(多選)關(guān)于單擺，下列說法中正確的是()A.單擺擺球的回復(fù)力指向平衡位置B.擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)加速度為零C.擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，所受回復(fù)力等于零D.擺角很小時(shí)，擺球所受合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小成正比〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)回復(fù)力的特點(diǎn)可知擺球受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置，故A正確；擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)，由于做圓周運(yùn)動(dòng)，故存在向心加速度，故B錯(cuò)誤；擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力等于零，故C正確；擺角很小時(shí)，擺球所受回復(fù)力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小成正比，而不是合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小成正比，故D錯(cuò)誤?！坚槍?duì)訓(xùn)練1〗關(guān)于單擺擺球在運(yùn)動(dòng)過程中的受力，下列結(jié)論正確的是()A.擺球受重力、擺線的張力、回復(fù)力、向心力作用B.擺球受的回復(fù)力最大時(shí)，向心力為零；回復(fù)力為零時(shí)，向心力最大C.擺球受的回復(fù)力最大時(shí)，擺線中的張力比擺球的重力大D.擺球受的向心力最大時(shí)，擺球的加速度方向沿?cái)[球的運(yùn)動(dòng)方向〖答案〗B〖解析〗擺球只受重力和擺線的張力作用，回復(fù)力和向心力都是按作用效果命名的力，受力分析不予考慮，A錯(cuò)誤；擺球在最大位移處受的回復(fù)力最大，擺球的速度為0，向心力為0，此時(shí)擺線中的張力與重力沿?cái)[線方向的分力大小相等(即擺線張力小于重力)，回復(fù)力在平衡位置處(擺球在最低點(diǎn))為0，此時(shí)擺球速度最大，由F向＝eq\f(mv2,l)知此時(shí)向心力最大，加速度為向心加速度，方向指向圓心，B正確，C、D錯(cuò)誤。探究2單擺的周期及公式1.伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，惠更斯得出了單擺的周期公式并發(fā)明了擺鐘。2.對(duì)周期公式的理解由公式T＝2πeq\r(\f(l,g))知，某單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)(擺角小于5°)的周期只與其擺長l和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭有關(guān)，而與振幅和擺球質(zhì)量無關(guān)，故又叫作單擺的固有周期。(1)擺長l①實(shí)際的單擺擺球不可能是質(zhì)點(diǎn)，所以擺長應(yīng)是從懸點(diǎn)到擺球球心的長度：即l＝L＋eq\f(d,2)，L為擺線長，d為擺球直徑。②等效擺長：圖(a)中甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為lsinα，這就是等效擺長。其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g))。圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動(dòng)時(shí)，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，與丙等效。(2)重力加速度g若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝eq\f(GM,R2)，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化。另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近時(shí)的取值。不同地點(diǎn)g的取值不同。特別提醒(1)擺長l并不等于繩長，而是等于擺球球心(質(zhì)量均勻)到擺動(dòng)圓弧的圓心的距離。(2)公式中的g不一定等于9.8m/s2，尤其是單擺在復(fù)合場中或斜面上擺動(dòng)時(shí)，g值往往因情境而異。〖例2〗(2021·陜西洛南中學(xué)高二月考)一單擺由甲地移到乙地后，發(fā)現(xiàn)走時(shí)變快了，其變快的原因及調(diào)整的方法是()A.g甲>g乙，將擺長縮短 B.g甲<g乙，將擺長放長C.g甲<g乙，將擺長縮短 D.g甲>g乙，將擺長放長〖答案〗B〖解析〗根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，知擺鐘變快了，則周期變短了，說明乙地的重力加速度大于甲地的重力加速度，即g乙>g甲，為了增大周期，可以增大擺長，B正確?！祭?〗(多選)(2020·攀枝花市十五中高二月考)圖甲是一個(gè)單擺振動(dòng)的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置，設(shè)擺球向右運(yùn)動(dòng)為正方向，圖乙是這個(gè)單擺的振動(dòng)圖像，同此可知()A.單擺振動(dòng)的頻率1.25HzB.t＝0時(shí)擺球位于B點(diǎn)C.t＝0.2s時(shí)擺球位于平衡位置O，加速度為零D.若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝π2，則這個(gè)單擺的擺長是0.16m〖答案〗ABD〖解析〗由振動(dòng)圖像可判斷，該單擺的周期為0.8s，頻率為f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,0.8s)＝1.25Hz，故A正確；由于規(guī)定擺球向右運(yùn)動(dòng)為正方向，且B點(diǎn)為擺球所能到達(dá)的左邊最遠(yuǎn)位置，由振動(dòng)圖像可判斷，t＝0時(shí)擺球位于B點(diǎn)，故B正確；由振動(dòng)圖像可判斷，t＝0.2s時(shí)擺球位于平衡位置O，但擺球受到的合力不為零，所以加速度不為零，故C錯(cuò)誤；根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可得l＝eq\f(gT2,4π2)，把T＝0.8s，g＝π2，代入計(jì)算得l＝0.16m，故D正確?！坚槍?duì)訓(xùn)練2〗(多選)(2020·襄陽市一中高二月考)如圖是同一地點(diǎn)質(zhì)量相同的兩單擺甲、乙的振動(dòng)圖像，下列說法中正確的是()A.甲、乙兩單擺的擺長相等B.甲擺的機(jī)械能比乙擺大C.在t＝1.2s時(shí)，乙擺在做減速運(yùn)動(dòng)，甲擺在做加速運(yùn)動(dòng)D.由圖像可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取即鸢浮紸BC〖解析〗由圖看出，兩個(gè)單擺的周期相同，同一地點(diǎn)g相同，由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))得知，甲、乙兩單擺的擺長l相等，故A正確；甲擺的振幅比乙擺大，兩擺的擺長相等，質(zhì)量也相等，可知甲擺的機(jī)械能比乙擺大，故B正確；在t＝1.2s時(shí)，乙擺向位移最大位置處運(yùn)動(dòng)，則在做減速運(yùn)動(dòng)，甲擺向平衡位置運(yùn)動(dòng)，則在做加速運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)C正確；根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，知道單擺的振動(dòng)周期，但是擺長未知，則無法求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，故D錯(cuò)誤。〖題型分類〖示例1〗如圖所示，先讓單擺在垂直于紙平面內(nèi)擺動(dòng)，然后讓單擺在紙平面內(nèi)擺動(dòng)，求這兩種情況下單擺的周期(已知條件如圖所示)?！即鸢浮揭姟冀馕觥健冀馕觥?1)先看在垂直于紙平面內(nèi)擺動(dòng)的情形：如圖甲所示，此時(shí)單擺的懸點(diǎn)相當(dāng)于O′點(diǎn)，單擺的等效擺長l′＝l1sinθ＋l2所以這種情況下的單擺的周期為T＝2πeq\r(\f(l1sinθ＋l2,g))圖甲圖乙(2)再來看在紙平面內(nèi)擺動(dòng)的情形：如圖乙所示，此時(shí)單擺的懸點(diǎn)就是O點(diǎn)，因此單擺的等效擺長為l′＝l2所以該情況下的單擺的周期為T＝2πeq\r(\f(l2,g))?！际纠?〗如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上，將一擺長為l的單擺上端固定在O點(diǎn)，平衡位置在O′點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期為多少？〖答案〗2πeq\r(\f(l,gsinθ))〖解析〗分析擺球在斜面上不擺動(dòng)時(shí)，擺線的拉力F＝mgsinθ則單擺的“等效重力加速度”g′＝eq\f(F,m)＝gsinθ單擺的周期為T＝2πeq\r(\f(l,gsinθ))?！寄Ｐ头诸?1)等效擺長類：圓弧擺，雙線擺突破口：等效擺長為小球球心到等效懸點(diǎn)間的距離等效擺圓弧半徑R遠(yuǎn)大于小球半徑(θ≤5°)雙線擺1雙線擺2圖示等效擺長l′＝Rl′＝lsinθl′＝l1sinθ＋l2(2)等效重力加速度類：斜面擺、電單擺突破口：等效重力等于小球靜止時(shí)所受拉力；等效重力加速度等于等效重力與小球的質(zhì)量之比。等效擺斜面擺電單擺1電單擺2圖示等效重力G′＝F＝mgsinθG′＝F＝mg＋qEG′＝F＝mg－qE等效重力加速度g′＝gsinθ帶負(fù)電g′＝g＋eq\f(qE,m)帶正電g′＝g－eq\f(qE,m)〖方法感悟物理學(xué)中，對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，常用等效的方法將其簡化。復(fù)雜單擺運(yùn)動(dòng)簡化分為運(yùn)動(dòng)簡化和受力簡化。運(yùn)動(dòng)簡化的關(guān)鍵是找到等效懸點(diǎn)，等效擺長等于小球球心到等效懸點(diǎn)間的距離，有時(shí)小球的半徑不能忽略，受力簡化的關(guān)鍵是找到等效重力，思考一下電單擺模型中，如果電場水平向右，等效重力和等效加速度又該如何表達(dá)？〖針對(duì)訓(xùn)練〗(2020·浙江慈溪高二期末)如圖所示的圓弧軌道，A為圓心，O為最低點(diǎn)，OB為一光滑弦軌道，OC為一段圓弧軌道，C點(diǎn)很靠近O點(diǎn)。將小球甲、乙、丙(都可視為質(zhì)點(diǎn))分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)由靜止釋放，最后都到達(dá)O點(diǎn)。如果忽略一切阻力，那么下列說法正確的是()A.乙球最先到達(dá)O點(diǎn)，甲球最后到達(dá)O點(diǎn)B.乙、丙兩球同時(shí)到達(dá)O點(diǎn)，甲球比乙、丙兩球后到達(dá)O點(diǎn)C.乙球最先到達(dá)O點(diǎn)，甲球最后到達(dá)O點(diǎn)D.甲球最先到達(dá)O點(diǎn)，乙球最后到達(dá)O點(diǎn)〖答案〗D〖解析〗對(duì)甲球從A點(diǎn)釋放，AO距離為r，加速度為g，時(shí)間t1＝eq\r(\f(2r,g))對(duì)乙球從B點(diǎn)釋放，設(shè)∠AOB＝θ，BO距離為s＝2rcosθ加速度為a＝eq\f(mgcosθ,m)＝gcosθ時(shí)間t2＝eq\r(\f(2s,a))＝eq\r(\f(2×2rcosθ,gcosθ))＝2eq\r(\f(r,g))對(duì)丙球從C點(diǎn)釋放，簡諧振動(dòng)，周期T＝2πeq\r(\f(r,g))時(shí)間t3＝eq\f(T,4)＝eq\f(π,2)eq\r(\f(r,g))很明顯t2＞t3＞t1知乙球最后到達(dá)O點(diǎn)，甲球最先到達(dá)O點(diǎn)。故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。1.(單擺及單擺的回復(fù)力)(2020·海南?？诟叨谥?對(duì)單擺在豎直面內(nèi)做簡諧運(yùn)動(dòng)，下面說法中正確的是()A.擺球所受向心力處處相同B.擺球的回復(fù)力是它所受的合力C.擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)所受回復(fù)力為零D.擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)所受合外力為零〖答案〗C〖解析〗單擺在豎直面內(nèi)做簡諧運(yùn)動(dòng)，拉力和重力的分量提供向心力，所以向心力不是處處相等；重力的另外一個(gè)沿圓弧切線方向分量提供回復(fù)力，所以在經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)只有向心力，回復(fù)力為零，因此選項(xiàng)C正確，A、B、D錯(cuò)誤。2.(單擺周期公式及應(yīng)用)(2021·北京西城高二期末)一個(gè)單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期為T，如果將其擺長增加為原來的2倍，振幅變?yōu)樵瓉淼亩种?，則其周期變?yōu)?)A.eq\f(1,2)T B.eq\f(\r(2)T,2)C.eq\r(2)T D.2T〖答案〗C〖解析〗根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，單擺的周期與振幅無關(guān)，將其擺長增加為原來的2倍，則T′＝2πeq\r(\f(2l,g))＝eq\r(2)T，選項(xiàng)C正確。3.(單擺周期公式與圖像的結(jié)合)(2020·湖北十堰期末)一單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像如圖所示，下列說法正確的是()A.該單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅為4cmB.在t＝2s時(shí)，擺球的速度為零C.在t＝0.5s和t＝3.5s時(shí)，擺球質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移大小相等、方向相反D.取重力加速度大小g＝10m/s2，π2＝10，則該單擺的擺長為2m〖答案〗C〖解析〗振幅為離開平衡位置的最大距離，由圖可知，該