1.3無窮小量與無窮大量

第1章函數(shù)極限與連續(xù)

021.3無窮小量與無窮大量無窮小量無窮大量無窮小量與無窮大量的關(guān)系基本要求一、無窮小量1．無窮小量的概念在實際問題中，我們經(jīng)常會遇到極限為零的變量，例如，產(chǎn)品的庫存會隨著銷量的增加而趨近于零；

電容器放電時，電壓會隨時間的增加而逐漸減小并趨

近于零．

這些趨近于零的變量，在微積分中有著特殊的含

義，我們稱之為無窮小量．

中以零為極限，則稱為在該變化中的無窮小量．簡稱定義1．7

若函數(shù)在自變量的某個變化過程無窮小．常以、、等表示．

例如，當時，都是無窮小量；時，是無窮小量等．當在常量中，惟有數(shù)0是無窮小量．

時，是無窮小量；當2．無窮小量的性質(zhì)（1）有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量；

（2）有限個無窮小量的積是無窮小量；（3）有界變量與無窮小量的積是無窮小量．解（1）因為，是時的無窮小量，又即是有界變量，由無窮小量的性質(zhì)（3）

，

．（2）．3．函數(shù)極限與無窮小量的關(guān)系定理1．5

函數(shù)以常數(shù)為極限的充分必要條件是

可以表示為極限值與一個無窮小量之和．即

，其中．

例如，．其中．4．無窮小量階的比較同樣是無窮小量，但趨于零的速度有快有慢，為了比較兩個無窮小量趨于零的速度，我們給出無窮小量階的概念．速度卻不一樣．列表比較如下：例如，當時，都是無窮小量，但它們趨于零的顯然，

比趨于的速度快得多．

設(shè)、是在自變量的同一變化過程中(設(shè)為)的無窮小量，即；．是比低階無窮小量，記為；（1)如果，則稱是比高階的無窮小量，或稱（2)如果，則稱是比低階的無窮小量；（3）如果，則稱與是同階的無窮小量；特別地，如果，則稱與是等價無窮小量，記作．

等價無窮小量在求極限過程中可以起到簡化計算的效果．例如，因為

，所以當，與是等價的無窮小量．定理1．6(等價無窮小代換定理)若均為自變量的同一變化過程中的無窮小

量，且，，存在，則也存在，并且有

=．

下面是幾個常用的等價無窮小量:當時，；；；

；；～；；例3．2

求極限．例3．3

求身顯然是等價的，所以

解當時，，無窮小與它本解因為當時，，所以，．，所以二、無窮大量定義1．8

在自變量的某一變化過程中，變量的絕對值無限增大，則稱變量為在該變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大．記作或．例如，當時，無限增大，所以是時的無窮大，即．例3．4

求．解當時，分母的極限是0，不能直接運用極限的例3．5

求解當時，分子、分母都沒有極限，不能直接運用商的極限運算法則．如果分子、

分母都除以，所得到的利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系可得：．

．

所以分子、分母都有極限，就可以用商的極限運算法則計算．

運算法則．但是，

例3．6求，得:

解類同于例4，分子、分母都除以一般地，有下面的結(jié)論：、為非負整數(shù)，、都不等于零．思考與練習1．判斷：（1）無窮多個無窮小的和還是無窮小．