人教版八年級上冊數(shù)學(xué)課堂作業(yè)同步期中復(fù)習(xí)：全等三角形訓(xùn)練（二）

人教版八年級上冊數(shù)學(xué)課堂作業(yè)同步期中復(fù)習(xí):

全等三角形訓(xùn)練(二)

1.把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形以。為頂點(diǎn)作

交邊/C、8c于例、N.

(1)若N/C0=3O°,ZMDN=60°,當(dāng)/"ON繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時，AM.MN、BN三

條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)LAC8乙MDN=9C°時，AM.MN、6N三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明

你的結(jié)論；

(3)如圖③，在(2)的結(jié)論下，若將"、"改在C4、8c的延長線上，完成圖3,其

余條件不變，則4用、MN、8A/之間有何數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論，不必證明)

2.探究

問題1已知：如圖1,三角形中，點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，AELBC,BFLAC,垂

足分別為點(diǎn)E,F,AE,8尸交于點(diǎn)M,連接DE,DF.若DE=kDF,則左的值為.

拓展

問題2已知：如圖2,三角形48C中，CB=CA,點(diǎn)。是力8邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角

形48。的內(nèi)部，且/版4C=N例8C,過點(diǎn)例分別作用￡L8C,MFA.AC,垂足分別

為點(diǎn)￡F,連接?！闐F.求證：DE=DF.

推廣

問題3如圖3,若將上面問題2中的條件UCB=CAn變?yōu)?CB#CA",其他條件不

變，試探究上與。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

3.如圖，已知△X8C中，/8=/lC=12厘米，8c=9厘米，點(diǎn)。為的中點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)Q在線段6c上以3厘米/秒的速度由6向。點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在線段C4

上由C點(diǎn)向/點(diǎn)運(yùn)動.

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)戶的運(yùn)動速度相等，1秒鐘時，48叨與△CQQ是否全等，

請說明；

②點(diǎn)。的運(yùn)動速度與點(diǎn)尸的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△

BPD^/\CPGT>

(2)若點(diǎn)Q以②的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)點(diǎn)，戶以原來運(yùn)動速度從點(diǎn)8同時出發(fā)，都逆

時針沿/8C的三邊運(yùn)動，求多長時間點(diǎn)尸與點(diǎn)。第一次在△/SC的哪條邊上相遇？

A

D/\

BP

4.（1）已知，如圖①，在△S8C中，/MC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點(diǎn)4BD

，直線m,CEL直線m,垂足分別為點(diǎn)。、E,求證：DE=B8CE.

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△48C中，AB=AC,D、/、萬三點(diǎn)都在直線

m上，并且有N6以=ZAEC=ZBAC=a,其中。為任意鈍角，請問結(jié)論DE=BD^CE

是否成立？若成立，請你給出證明：若不成立，請說明理由.

5.如圖（1）,△48C中，BC=AC,4CDE中、CE=CD,現(xiàn)把兩個三角形的。點(diǎn)重合，

且使連接AD.求證：BE=AD.

若將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖（2）,（3）所示的情況時，其余條件不變，8E與“。還

相等嗎？利用圖（3）說明理由.

工

B（1）CB（2）CB(3)CD

6.如圖，CA=CB,CD=CE,ZACB-ZDCE=a,AD、8E交于點(diǎn)H,連CH.

（1）求證：4ACD^4BCE、

（2）求證：CH平分乙AHE;

（3）求NC隹的度數(shù).（用含a的式子表示）

AC.

7.如圖，將兩個全等的直角三角形△/8以拼在一起(圖1).不動,

B?EDB

(1)若將△力片繞點(diǎn)片逆時針旋轉(zhuǎn)，連接。￡從是。5的中點(diǎn)，連接用8、(圖

2),證明：MB=MC.

(2)若將圖1中的CE向上平移，NC4E不變，連接?！昀?。萬的中點(diǎn)，連接用8、

例C(圖3),判斷并直接寫出的數(shù)量關(guān)系.

(3)在(2)中，若NC4E的大小改變(圖4),其他條件不變，則(2)中的MB、

的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由.

8.如圖，已知6(-1,0),C(1,0),/為)/軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)。為第二象限一動

點(diǎn)，F(xiàn)在6。的延長線上，CD交AB于F,且N8OC=N8/IC.

(1)求證：AABD=AACD-,

(2)求證：4。平分NC0E

(3)若在。點(diǎn)運(yùn)動的過程中，始終有。C=04+08,在此過程中，NMC的度數(shù)是否

變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出N&4c的度數(shù)？

9.如圖：在△48C中，^ACB=9Q°,AC=BC,過點(diǎn)C在△S8C外作直線例/V,AM

_LMN于M,BNLMN=^N.

(1)求證：MN=AM+BN.

(2)若過點(diǎn)C在△48C內(nèi)作直線/WN,/VKLM/V于例，BNLMN干N,貝ij/何、BN

與例M之間有什么關(guān)系？請說明理由.

10.如圖1所示，在△S8C中，AB=AC,N94C=90°,點(diǎn)。為射線8C上一動點(diǎn)，連

接AD,以5。為直角邊，工為直角頂點(diǎn)，在4。左側(cè)作等腰直角三角形ADF,連接CF.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在線段8c上時(不與點(diǎn)8重合)，線段C尸和8。的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系

分別是什么？請給予證明.

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長線上時，(1)的結(jié)論是否仍然成立？請?jiān)趫D2中畫出相

應(yīng)的圖形，并說明理由.

11.已知：如圖1,點(diǎn)力是線段?；厣弦稽c(diǎn)，NMC=90°,AB=AC,BDLDE,CEL

DE,

(1)求證：DE=BACE.

(2)如果是如圖2這個圖形，我們能得到什么結(jié)論？并證明.

12.(1)如圖1,乙MAN=90°,射線/IE在這個角的內(nèi)部，點(diǎn)8、C分別在/例/IN的

邊AM.AN上,且AB=AC,C尸1/萬于點(diǎn)F,6O1/IE于點(diǎn)D.求證：XABD^XCAF、

(2)如圖2,點(diǎn)6、C分別在N/W/IN的邊AM、/W上，點(diǎn)6廠都在NW/V內(nèi)部的射

線片。上，ZRN2分別是A/IS公2X04廠的外角.已知/I8=ZC,且N1=/2=N

BAC.求證：XABEXCAF、，

(3)如圖3,在△48C中，AB^AC,8C.點(diǎn)。在邊8c上，8=28。，點(diǎn)6

尸在線段5。上，Z1=ABAC.若△Z8C的面積為15,求尸與△8OE的面

積之和.

圖①圖②圖③

13.把下面的推理過程補(bǔ)充完整，并在括號內(nèi)注明理由?如圖，點(diǎn)從°在線段上，BC

IIEF,AD=BE,BC=EF,試說明：(1)NC=N尸；(2)ACIIDF.

解：⑴■.?力。=8三(已知)

：.Al>DB=DB+BE()

BPAB=DE

■：BCIIEF(已知)

??.ZABC=Z()

又■「8C=&(已知)

:.4AB84DEF()

ZC=ZA,AA=AFDE()

.-.ACIIDF()

14.如圖，點(diǎn)F在△/8C外部，點(diǎn)。在8c邊上，OF交/IC于點(diǎn)尸，若Nl=N2=/3,

AC=AE.求證：

(1)△ABgXADE、

(2)AB=AD.

15.在△/SC中，58=/C,點(diǎn)。是射線C8上的一動點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合)，以

為一邊在AD的右側(cè)作使AD=AE,/DAE=ZBAC,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段。8上，且/必。=90°時，那么/。6=度；

(2)設(shè)NMC=a,(DCE=&

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上，/84c片90°時，請你探究。與B之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明你的結(jié)論；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長線上，N8ZCK90°時，請將圖3補(bǔ)充完整，并直

接寫出此時。與B之間的數(shù)量關(guān)系(不需證明)

參考答案

②③

(1)AM^BN=MN,

證明：延長C8至ij￡使維=4W,

?:/_A=LCBD=90°,

：./.A=AEBD=9Q°,

在△。工用和AOS萬中

'AM=BE

<ZA=ZDBE,

AD=BD

：.^DAM^^DBE,

：.Z.BDE=/_MDA,DM=DE、

,:/_MDN=/_ADC=60",

:.￡ADM=/_NDC,

ZBDE=ZNDC,

.1.ZMDN=ZNDE,

在AMDN和AEDN中

fDM=DE

<ZMDN=ZNDE.

DN=DN

:AMD24EDN,

:.MN=NE,

NE—B&BN=AM+BN,

：.AM+BN=MN.

(2)AM+BN=MN、

證明：延長C8到上使連接。g

,:/_A=/_CBD=9b,

:./_A=/_DBE=90°,

vZCDz4+Z/CZ?=90°,Z.MDN+AACD=9G°,

:./_MDN=/_CDA、

???NMDN=ZBDC,

：.￡MDA:/.CDN、乙CDM=/_NDB,

在和△Z?8F中

'AM=BE

<NA=NDBE，

AD=BD

:.XDA2XDBE、

/.ZBDE^ZMDA=ZCDN,DM=DE、

'：/_MDN+/_ACD=9Q°,/_ACt>AADC=9G0,

ZNDM=ZADC=ZCDB,

ZADM=ZCDN=ZBDE,

/_CDM=/_NDB

ZMDN=ZNDE,

在叢MDN和AEDN中

'DM=DE

<ZMDN=ZNDE,

DN=DN

:.XMD2XEDN、

:.MN=NE、

NE=B&BN=AM+BN,

，AM+BN=MN.

(3)BN—AM=MN,

證明：在C8截取BE=AM,連接DE,

vZC￡?/4+Z/CZ9=90°,2MDN+2ACD=90°,

zMDN=zCDA,

■：ZADN=ZADN,

：.ZMDA=ZCDN,

-：AB=/_CAD=9QQ,

：.AB=^DAM=90°,

在△。4例和△OSE中

'AM=BE

<ZDAM=ZDBE>

AD=BD

:ADAM^ADBE,

ZBDE=ZADM=ZCDN,DM=DE,

■：ZADC=ZBDC=ZMDN,

ZMDN=ZEDN,

在/\MDN和4EDN中

rDM=DE

<ZMDN=ZNDE.

DN=DN

.-.^MDN^^EDN,

:.MN=NE,

-：NE=BN-BE=BN-AM,

：.BN-AM=MN.

2.解：(1)'：AELBC,BFLAC

，△/(砥和啰都是直角三角形

???。是的中點(diǎn)

DEJ^\。尸分別為Rt△/房和RtZX力用的斜邊中線

：QE*AB,DF=^AB(直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半)

DE=DF

■：DE=kDF

:.k=1;

(2)-：CB=CA

/.zCBA=zCAB

?:乙MAC=/_MBE

/.ZCBA-ZMBC=ZCAB-/.MAC

即/HI用

:.AM=BM

?：ME1BC,MF\_AC

:./_MEB=/_MFA=9b

又,：/_MBE=(MAF

:.XMEB9l\MFA{AAS)

：.BE=AF

.??。是的中點(diǎn)，即8。=/。

又,：/_DBE=/_DAF

:ADB恒XDAF(SAS)

DE=DF\

(3)DE=DF

如圖1,作/用的中點(diǎn)G8例的中點(diǎn)”

.?.點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)

:.DGIIBM,DG=—BM

2

同理可得：DHHAM,DH=LAM

2

???/M￡L8C于夕"是員W的中點(diǎn)

?,.在中，HE=LBM=BH

2

...ZHBE=ZHEB

zMHE=zHBMHEB=1/.MBC

又,：DG=LBM,HE=—BM

22

DG=HE

同理可得：DH=FG,乙MGF=2（MAC

?：DGWBM,DHHGM

四邊形。從"G是平行四邊形

ZDGM=ZDHM

■：ZMGF=2/.MAC,ZMHE=2ZMBC

又,：乙MBC=/_MAC

：.ZMGF=ZMHE

ZDGM+ZMGF=ZDHM+ZMHE

：.ZDGF=ZDHE

在△。隹與△廠GO中

'DG=HE

-ZDGF=ZDHE,

DH=FG

:.XDHE4FGD（弘$,

DE=DF.

3.解：（1）①"=1（秒），

,-.BP=CQ=3（厘米）

??->45=12,。為4?中點(diǎn)，

：.BD=6（厘米）

又、：PC=BC-BP=q-3=6（厘米）

PC=BD

■；AB^AC,

??.N8=NC,

在ABPD與ACQP0,

fBP=CQ

<ZB=ZC,

BD=PC

:.XBPD^XCQP（5/15）,

②；行%

BP豐CQ,

又,."5=NC,

要使△8/型4CPQ,只能BP=CP=4.5,

yt\BPg.4CPQ、

CQ=BD=6.

，點(diǎn)尸的運(yùn)動時間/=粵=粵=1.5（秒），

O0

此時&=四=旦=4（厘米/秒）.

t5

（2）因?yàn)椋?>%>,只能是點(diǎn)。追上點(diǎn)戶，即點(diǎn)Q比點(diǎn)尸多走力8+工。的路程

設(shè)經(jīng)過x秒后尸與Q第一次相遇，依題意得4x=3刈2x12,

解得x=24（秒）

此時戶運(yùn)動了24X3=72（厘米）

又,.■△48。的周長為33厘米，72=33x2+6,

，點(diǎn)尸、。在8。邊上相遇，即經(jīng)過了24秒，點(diǎn)戶與點(diǎn)。第一次在8c邊上相遇.

4.證明：（1）???8。1直線;77,CE1直線m,

"54=90°,

■：ABAC=9Q°,

/_CAE=90°,

必￡>/力8。=90°,

/_CAE—/_ABD、

???在和△CE4中

，ZABD=ZCAE

'ZBDA=ZCEA,

AB=AC

:,4ADB9XCEA{AAS）,

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE^AD=BD^CE\

（2）結(jié)論。三=比開。?仍然成立，理由是:

ZBDA—/_BAC=a,

ZDBA+ZBAD=ZBAl>/_CAE=180°-a,

ZCAE-ZABD,

???在△408和△054中

"ZABD=ZCAE

-ZBDA=ZCEA,

AB=AC

:.4ADB9XCEAkAAS],

；.AE=BD,AD=CE,

圖①圖②

5.證明：-1?ZBCA=ZECD,

ZBCA-ZECA=ZECD-ZECA,

：./_BCE=/.ACD,

在和△工8中，

"BC=AC

-ZBCE=ZACD,

EC=CD

：.t\BCE^l\ACD（5/15）,

BE=AD.

解：圖（2）,圖（3）中，8三和還相等，

理由是:如圖（3）；/8C4=180°,EC[>/_BCE=180°,

ZBCE—NACD,

在△6C5和△4。。中，

fBC=AC

<ZBCE=ZACDS

CE=CD

:.XBC匹XACD（SAS）,

：,BE=AD.

6.(1)證明：?.?NZC8=NOCT=a,

Z.ACD=Z.BCE,

在△48和中，

'CA=CB

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

:AACD^XBCE〈SAS);

(2)證明：過點(diǎn)C作。Wl/。于用，CNLBE千N,

,:XACgXBCE,

ZCAM=ZCBN,

在△/CM和△8CR中，

rZCAM=ZCBN

-ZAMC=ZBNC=900.

AC=BC

:AACM9XBCN<AAS),

：.CM=CN,

:?CH平分乙AHE;

(3)■：IXACD^^BCE,

ZCAD=ZCBE,

■：AAMC=AAMC,

Z_AHB=/_ACB=a,

:./_AHE=180°-a,

:.LCHE=三LAHE=90°--1a.

7.證明：（1）如圖2,連接力從，由已知得

：.AD=AE,AB=AC,ZBAD=ZCAE,

■：MD=ME,

：./.MAD=/.MAE,

/MAD-ZBAD=ZMAE-ZCAE,

即ZCAM,

'AB=AC

在△AS例和中，.ZBAM=ZCAM,

AM=AM

:.XABM^XACM(SAS),

：.MB=MC-

(2)MB=MC.

理由如下：如圖3,延長。8、相交于F,延長公交于廠,

BD=BE,CE=CF,

.??用是中的中點(diǎn)，B是DF的中點(diǎn)，

：.MBIIAP,

/MBC=ZCAE,

同理：MCIIAD,

：.ZBCM=ZBAD,

NBAD=ZCAE,

：.ZMBC=ZBCM,

：.MB=MC-

(3)例8=還成立.

如圖4,延長8例交CF于尸，

CEIIBD,

：.ZMDB=ZMEF,/_MBD=/_MFE,

又???用是。5的中點(diǎn)，

：.MD=ME,

rZMDB=ZMEF

在△例。6和中，，ZMBD=ZMFE,

HD=ME

:./XMDBSXMEF<AAS),

:.MB=MF,

?：^ACE=90°,

:.^BCF=90°,

MB=MC.

A

8.證明：(1),：￡BDC=/_BAC、/_DFB=/_AFC、

又,：乙ABA乙BDC+/_DFB=/_BAC+/_ACa/_AFC=\80°,

：,/_ABD=/_ACD\

(2)過點(diǎn)/作4WJ_C。于點(diǎn)用，作/ML8F于點(diǎn)N.

則N/N8=90°.

'：OB=OC.CM_18c

AB—AC,

?：/_ABD=Z.ACD,

RACMSRABN{AAS)

：.AM=AN.

???/。平分/CDE.(到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)；

(3)NMC的度數(shù)不變化.

在C。上截取CP=BD,連接AP.

CD-AD^-BD,

??,AD=PD.

?：AB=ACt乙ABD=/_ACD,BD=CP,

:.XABD^XACP.

:.AD=AP\ZBAD=ZCAP.

.,.AD=AP=PD,即△4。尸是等邊三角形，

:.ADAP=60°.

/.ZBAC=ZBAP^/_CAP=ZBAF^Z_BAD=60°.

:./_AMC=ZCNB=90°,

'：^ACB=90°,

:.^MAC+AACM=90°,LNCB+/_ACM=9G°,

MAC=/_NCB,

在△/何。和△C7V8中，

/_AMC=/_CNB,

/_MAC=/_NCB,

AC=CB,

4AM8ACNB{AAS),

AM=CN,MC=NB,

\'MN=NC+CMf

：.MN=AM^BN;

(2)結(jié)論：MN=BN-AM.

■：AMMN,BNIMN,

：./_AMC=ZCA/5=90°,

???N/IC6=90°,

：.^MAC+^ZACM=90°,^NCB+Z.ACM=900,

：./.MAC=Z.NCB,

在△4V/C和△CW8中，

ZAMC=ZCNB,

Z.MAC=/.NCB,

/4C=CB,

4AMe94CNB(A45),

AM=CN,MC=NB,

■：MN=CM-CN,

：.MN=BN-AM.

10.解：(1)CF=BD,且CFLBD,證明如下：

■：/_FAD=ZCAB=9Q°,

：./_FAC=/.DAB.

'AB=AC

在△AC廠和△/8。中，，ZCAF=ZBAD-

AD=AF

:.XAC24ABD

：.CF=BD,/_FCA=/.DBA,

:.乙FCD=LFCA+乙ACD=/_DBA+/_ACD=90°,

FC]_CB,

故。尸=8。，且。廠ISO.

(2)(1)的結(jié)論仍然成立，如圖2,?.?/。48=/。力尸=90°,

ZCAB+/.CAD=ZDA8乙CAD,

即NC4尸=N84。，

，AB=AC

在△4C廠和△48。中，，NCAF=NBAD，

AD=AF

:AAC2XABD{SAS),

OF—BD,Z.ACF-NB,

'：AB=ACiABAC=90°,

.?.N8=N/C8=45°,

/.ZBCF=ZACF^/_ACB=45°+45°=90°,

:.CFVBD\

CF=BD,且C尸162

11.證明：(1),:BDLDE,CELDE.

.?./2?=“=90。,

ADBA+Z.DAB=90°,

?'284c=90°,

:./_DAB+/_CAE=90°,

??.NDBA=ZCAE,

\'AB=AC,

:.XADBSXCEA,

:,BD=AE,CE=AD,

；.DE=AgAE=CB-BD;

(2)BD=DHCE,理由是：

?:BDLDE,CELDEt

:./_ADB=/_AEC=qb°,

:.Z.ABLXABAD=90°,

'：^BAC=90°,

：,/_ABA2EAC=9。。,

ZBAD—ZEAC,

\'AB=AC,

:.t\ADB9XCEA、

；.BD二AE,CE=AD,

,:AE=AADE,

：.BD=CB-DE.

12.解：(1)如圖①，

圖①C"

\'CFVAE,BDLAE,/_MAN=90°,

:./_BDA^/_AFC=90°,

:.￡ABg￡BAD=90°,/_AB[>/_CAF^90°,

/_ABD=/_CAF、

在△48。和△d尸中，

"ZADB=ZCFA

,ZABD=ZCAF，

AB=AC

:./\ABD^/\CAF{AAS);

(2).../1=N2=/8/IC,Z1=/_BAE+/.ABE,/.BAC=Z.BAB-/.CAF,Z2=Z

FCA+/LCAF,

r.NABE=ZCAF,ZBAE=ZFCA,

在和尸中，

，ZABE=Z