概率的基本性質(zhì)-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版2019必修第二冊

10.1.4概率的基本性質(zhì)1.事件的關(guān)系與運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含A發(fā)生B一定發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=Φ互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生復(fù)習(xí)引入對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件．2.古典概型的特征是什么？(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.3.古典概型的概率計(jì)算公式：一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率一般而言,給出了一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì).例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等性質(zhì),這些性質(zhì)在解決問題時(shí)可以發(fā)揮很大的作用.類似地，在給出了概率的定義后，我們來研究概率的基本性質(zhì).思考1:你認(rèn)為可以從哪些角度研究概率的性質(zhì)?探究：概率的基本性質(zhì)下面我們從定義出發(fā)，研究概率的性質(zhì)，例如概率的取值范圍；特殊事件的概率；事件有某些特殊關(guān)系時(shí)，它們的概率之間的關(guān)系；等等.由概率的定義可知:任何事件的概率都是非負(fù)的;在每次試驗(yàn)中,必然事件一定發(fā)生,不可能事件一定不會(huì)發(fā)生.一般地，概率有如下性質(zhì):性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2

必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0.思考２：在“事件的關(guān)系和運(yùn)算”中我們研究過事件之間的某些關(guān)系.具有這些關(guān)系的事件，它們的概率之間會(huì)有什么關(guān)系呢?設(shè)事件A與事件B互斥,和事件A∪B的概率與事件A、B的概率之間具有怎樣的關(guān)系?我們用例6來探究.例6：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”．分析：事件R=“兩次都摸到紅球”與事件G=“兩次都摸到綠球”互斥，R∪G=“兩次摸到的球顏色相同”．試驗(yàn)的樣本空間

Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．R

={(1，2)，(2，1)};G={(3，4)，(4，3)}；R∪G={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，因?yàn)閚(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=2+2=4，課本232頁一般地，因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點(diǎn)，所以n(A∪B)=n(A)+n(B)，這等價(jià)于P(A∪B)=P(A)+P(B)，即兩個(gè)互斥事件的和事件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和.所以我們有互斥事件的概率加法公式：性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)3的推論如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).分析：因?yàn)槭录嗀與事件B互為對(duì)立事件，所以事件A與事件B互斥(A∩B=?)，事件A∪B為必然事件(A∪B=Ω)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(A∪B)＝1，所以有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1．思考3：設(shè)事件A和事件B互為對(duì)立事件，它們的概率有什么關(guān)系?性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么

P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).因?yàn)閚(A)≤n(B)，所以

一般地，對(duì)于事件A與事件B，如果A?B，即只要事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A的概率不超過事件B的概率．于是我們有概率的單調(diào)性：思考4：在古典概型中，對(duì)于事件A與事件B，如果A?B，那么P(A)與P(B)有什么關(guān)系？即性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B).性質(zhì)5的推論：對(duì)于任意事件A，0≤P(A)≤1.思考2：對(duì)于任意事件A，P(A)的取值范圍是什么？因?yàn)??A?Ω，所以P(?)≤P(A)≤P(Ω)，即0≤P(A)≤1.思考５：在例6的摸球試驗(yàn)中,R1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,“兩個(gè)球中有紅球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等嗎?如果不相等,請(qǐng)你說明原因,并思考如何計(jì)算P(R1∪R2)？例6：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”．分析：

Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；因?yàn)閚(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，因?yàn)閚(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，即事件不是互斥的.性質(zhì)6：設(shè)A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).顯然，性質(zhì)3是性質(zhì)6的特殊情況．當(dāng)A，B互斥時(shí)，P(A∩B)＝P(?)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－0＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)1

對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2

必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即

P(Ω)=1，P(?)=0；性質(zhì)3

如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4

事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)；性質(zhì)6

設(shè)A，B是一個(gè)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．性質(zhì)5

如果A?B，那么P(A)≤P(B)；對(duì)于任意事件A，0≤P(A)≤1；歸納總結(jié)練習(xí)1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3.(1)如果B?A，那么P(A∪B)=

，P(AB)=

.

(2)A，B互斥，那么P(A∪B)=

，P(AB)=

.

解析：

(1)因?yàn)锽?A，所以P（A∪B）=P（A）=0.5，P（AB）=

P（B）=0.3．(2)因?yàn)锳，B互斥，所以P（A∪B）=

P（A）+P（B）=0.5+0.3=0.8，由于A，B互斥，所以A，B不能同時(shí)發(fā)生，即P（AB）=0．答案：(1)0.5；0.3(2)0.8；0課本242頁2.指出下列表述中的錯(cuò)誤：（1）某地區(qū)明天下雨的概率為0.4，明天不下雨的概率為0.5；(2)如果事件A與事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1.

解：(1)因?yàn)槊魈煜掠昱c明天不下雨是對(duì)立事件，且明天下雨的概率為0.4，所以明天不下雨的概率為0.6．(2)當(dāng)事件A與事件B互斥且不對(duì)立時(shí)，P(A)+P(B)＜1；當(dāng)事件A與事件B對(duì)立時(shí)，P(A)

+P(B)=

1．所以“如果事件A與事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=

1”，這句表述是錯(cuò)誤的．課本242頁解：（1）因?yàn)镃=A∪B，且A與B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以A與B是互斥事件.根據(jù)根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=

（2）因?yàn)镃與D是互斥事件，又因?yàn)镃∪D為必然事件，所以C與D互為對(duì)立事件.因此P(D)=1－P(C)=

例題例1：從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=，那么(1)C=“抽到紅花色”，求P(C)；(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).課本241頁練習(xí)課本243頁例2：為了推廣一種飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng):將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少?解法１：設(shè)事件A=“中獎(jiǎng)”，事件A1=“第一罐中獎(jiǎng)”，事件A2=“第二罐中獎(jiǎng)”，那么事件AlA2=“兩罐都中獎(jiǎng)”，

=“第一罐中獎(jiǎng),第二罐不中獎(jiǎng)”,=“第一罐不中獎(jiǎng)，第二罐中獎(jiǎng)”，且A=A1A2∪∪.因?yàn)锳1A2，，兩兩互斥，所以P(A)=P(A1A2)+P(

)+P(

).課本241頁第一罐第二罐可能結(jié)果不中獎(jiǎng)中獎(jiǎng)中獎(jiǎng)不中獎(jiǎng)中獎(jiǎng)不中獎(jiǎng)我們借助樹狀圖來求相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù).P(A)=P(A1A2)+P(

)+P(

).可以得到，n(Ω)=6×5=30，且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的.因?yàn)閚(A1A2)=2，n()=8，n()=8，所以P(A)=241423樹狀圖法例2：為了推廣一種飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng):將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少?解法２：事件A的對(duì)立事件是“不中獎(jiǎng)”，即“兩罐都不中獎(jiǎng)”.由于

=“兩罐都不中獎(jiǎng)”，而n(

)=4×3=12，正難則反此解法說明什么？所以課本241頁解法３：設(shè)不中獎(jiǎng)的4罐記為1，2，3，4，中獎(jiǎng)的2罐記為a，b，隨機(jī)抽2罐中有一罐中獎(jiǎng)，就表示能中獎(jiǎng)，其樣本空間為：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，a)，(1，b)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，a)，(2，b)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，a)，(3，b)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，a)，(4，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，b)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，a)，而能中獎(jiǎng)的樣本點(diǎn)數(shù)為18個(gè)，所求概率P（A）=

例2：為了推廣一種飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng):將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少?列表法課本241頁例2：為了推廣一種飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng):將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少?解法4：前推法課本241頁袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為4,5.從這五張卡片中任取兩張，如果五張卡片被抽取的機(jī)會(huì)相等，分別計(jì)算下列事件的概率：(1)事件A＝“這兩張卡片顏色不同”；練習(xí)解：從五張卡片中任取兩張，對(duì)應(yīng)的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共有10個(gè)樣本點(diǎn).A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，共有6個(gè)樣本點(diǎn)，前推法(2)事件B＝“這兩張卡片標(biāo)號(hào)之和小于7”；解:B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)}，共有6個(gè)樣本點(diǎn)，(3)事件C＝“這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于7”.解:C＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)}，共有3個(gè)樣本點(diǎn)，從五張卡片中任取兩張，對(duì)應(yīng)的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共有10個(gè)樣本點(diǎn).(4)事件D＝“這兩張卡片標(biāo)號(hào)之和不小于7”.解：由題意得，事件D與事件B是對(duì)立事件，從五張卡片中任取兩張，對(duì)應(yīng)的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共有10個(gè)樣本點(diǎn).解析：設(shè)事件A={甲獲勝}，B={和棋}，C={乙獲勝}，D={甲不輸}.事件A是“B∪C”的對(duì)立事件，因?yàn)椤笆录﨎”與“事件C”是互斥事件，所以甲獲勝的概率為：P(A)=1－P(B∪C)=1－(0.5+0.3)=0.2.隨堂檢測事件D=A∪B,因?yàn)椤笆录嗀”與”事件B”是互斥事件，由概率的加法公式得：P(D)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7.答案：0.2，0.7解析：由題意知4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，有16種不同的選法，周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)有16－2＝14(種)不同的選法，3.備戰(zhàn)奧運(yùn)會(huì)射擊隊(duì)的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次，(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率.(2)至少命中8環(huán)的概率.(3)命中不足8環(huán)的概率.解：設(shè)Ak＝“射擊一次，命中k環(huán)”(k＝7，8，9，10).(1)因?yàn)锳9與A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)設(shè)B＝“至少命中8環(huán)”.B＝A8∪A9∪A10.又A8，A9，A10兩兩互斥，故P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)設(shè)C＝“命中不足8環(huán)”.則事件C與事件B是對(duì)立事件.所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.4.甲、乙兩人參加普法知識(shí)競賽，共有5個(gè)不同題目，選擇題3個(gè)，判斷題2個(gè)，甲、乙兩人各抽一題.(1)甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題的概率是多少？解：把3個(gè)選擇題記為x1，x2，x3,2個(gè)判斷題記為p1，p2.“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的樣本點(diǎn)為：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)共6個(gè)；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的樣本