2020高中數(shù)學(xué) 第六章 平面向量初步 1

6.1.2向量的加法

目段國國

考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

理解并掌握向量加法的概念，

向量加法的概念了解向量加法的幾何意義及數(shù)學(xué)抽象

其運(yùn)算律

向量加法的運(yùn)算掌握向量加法運(yùn)算法則，能熟

數(shù)學(xué)運(yùn)算

法則練地進(jìn)行加法運(yùn)算

數(shù)的加法與向量的加法的聯(lián)

數(shù)與向量的類比邏輯推理

系與區(qū)別

?問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P137—P141的內(nèi)容，思考以下問題：

1.兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加嗎？

2.向量的加法如何定義？

3.在求兩向量和的運(yùn)算叱通常使用哪兩個(gè)法則？

?薪知祈探》

1.向量加法的三角形法則

一般地，平面上任意給定兩個(gè)向量處6,在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)

A,作錯(cuò)誤!=a,錯(cuò)誤!=b,作出向量錯(cuò)誤!，則向量錯(cuò)誤!稱為向量a與b的和

（也稱錯(cuò)誤!為向量a與6的和向量），向量a與6的和向量記作a+b,

因止匕錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！.

C

AaD

這種求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的三角形法則.

對(duì)任意向量N,有一+0錯(cuò)誤!O+N=N.

向量a,b的模與a+6的模之間滿足不等式||z|—|61|W|z+

614I/+I6].

2.向量加法的平行四邊形法則

'一'般地，平面上任意給定兩個(gè)不共線的向量在該平面內(nèi)任取

一點(diǎn)4,作錯(cuò)誤!=a,錯(cuò)誤!=6,以力瓦4c為鄰邊作一個(gè)平行四邊形

ABDC,作出向量為），因?yàn)殄e(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，因此錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!.

這種求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的平行四邊形法

則.

由向量加法的平行四邊形法則不難看出，向量的加法運(yùn)算滿足

交換律，即對(duì)于任意的向量a,b,都有z+6=6+a.

3.多個(gè)向量相加

結(jié)合律：（a+6）+c—a+（6+。.

因?yàn)橄蛄康募臃M足交換律和結(jié)合律，所以有限個(gè)向量相加的

結(jié)果是唯一的，我們可以任意調(diào)換其中向量的位置，也可以任意決定

相加的順序.例如

(z+Z^+(c+cO=a+[(6+?+d=[(d+?+a]+瓦

C其至通測(cè)?

11判斷正誤(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)a+(6+?=(a+6)+c.()

(2)錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=0。()

(3)求任意兩個(gè)非零向量的和都可以用平行四邊形法則.()

答案：(1)V(2)V(3)X

@錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!等于()

Ao錯(cuò)誤！Bo錯(cuò)誤！

C.錯(cuò)誤！Do錯(cuò)誤！

解析:選Co錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

?邊長為1的正方形/石。中，|錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤！|=()

A.2B.錯(cuò)誤！

C.1D.2田

答案：B

面如圖，在平行四邊形40。中，錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=

/7fl

RC

解析:由平行四邊形法則可知錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.

答案：錯(cuò)誤！

探究案，盼翁每⑧

探究點(diǎn)包

向量加法運(yùn)算法則的應(yīng)用

m（1）如圖，在△/8C中，D,后分別是為8,40上的點(diǎn)，F(xiàn)

為線段?！暄娱L線上一點(diǎn)，DEIIBC,ABIICF,連接。，那么（在

橫線上只填上一個(gè)向量）：

▲7

RC

①錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=；

②錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=；

③錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=.

（2）①如圖甲所示，求作向量和a+b

②如圖乙所示，求作向量和a+6+c.

【解】（1）如題圖，由已知得四邊形。尸（力為平行四邊形,

由向量加法的運(yùn)算法則可知:

①錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！。

②錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

③錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！。

故填①錯(cuò)誤！,②錯(cuò)誤!，③錯(cuò)誤!.

(2)①首先作向量錯(cuò)誤!=N,然后作向量錯(cuò)誤!=6,則向量錯(cuò)誤!=a+6。

如圖所示.

一abr

OrAR

②法一(三角形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)

作向量錯(cuò)誤!=&再作向量錯(cuò)誤!=6,則得向量錯(cuò)誤!=a+6,然后作向量錯(cuò)誤!

—c,則向量錯(cuò)誤!=(a+6)+c=a+6+c即為所求.

法二(平行四邊形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。,

作向量錯(cuò)誤!=a,錯(cuò)誤!=6,錯(cuò)誤!=c,以O(shè)A,為鄰邊作口OADB,

連接則錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=a+6.再以為鄰邊作口ODEC,

連接。石，則錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=a+b+c即為所求.

互動(dòng)探究

1.［變問法］在例1(1)條件下，求錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!。

解：因?yàn)锽C/IDF,BDIICF,所以四邊形8CFD是平行四邊形,

所以錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

2.［變問法］在例1(1)圖形中求作向量錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!。

解:過4作工G//AF,且ZG=。尸交CF的延長線于點(diǎn)G,

則錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！。作錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!，連接錯(cuò)誤！，

則錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！，如圖所示.

錯(cuò)誤！

(1)三角形法則可以推廣到n個(gè)向量求和，作圖時(shí)要求“首尾

相連”，即方個(gè)首尾相連的向量的和對(duì)應(yīng)的向量是第一個(gè)向量的起

點(diǎn)指向第n個(gè)向量的終點(diǎn)的向量.

(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時(shí)要求

兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合.

(3)求作三個(gè)或三個(gè)以上的向量的和時(shí)，用三角形法則更簡單.

跟蹤訓(xùn)練;如圖，在正六邊形408石尸中，。是其中心.

ED

AR

則（1）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=；

（2）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=；

（3）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=.

解析：（1）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤?。?/p>

（2）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤??；

（3）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

答案：⑴錯(cuò)誤?。?）錯(cuò)誤?。?）錯(cuò)誤！

探究點(diǎn)團(tuán)__________________________

向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用

麗（1）設(shè)a=（錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!）+（錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!），b是一個(gè)非零向量,

則下列結(jié)論正確的有.（將正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上）

①a//6;②a+6=z;③a+6=6;④|a+6|<|0十|6|。

（2）如圖，旦尸，G,4分別是梯形力慶刀的邊40,BC,CD,

DA的中點(diǎn)，化簡下列各式：

D

①錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤?。?/p>

②錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!.

【解】（1）由條件得，（錯(cuò)誤!十錯(cuò)誤!）十（錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!）=0=2,故①③

正確.

（2）①錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤??；

②錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!

=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=0。

錯(cuò)誤！

向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則

⑴意義

向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利

用向量加法法則運(yùn)算的目的.實(shí)際上，由于向量的加法滿足交換律和

結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來

進(jìn)行.

（2）應(yīng)用原則

利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，

通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.

跟蹤訓(xùn)練已知正方形48a9的邊長等于1,則I錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!十

錯(cuò)誤!

解析：|刁方+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！|=|（錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！）+（錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!）|

=|AC,—+錯(cuò)誤！|=2|錯(cuò)誤！|=2錯(cuò)誤！。

答案：26

搽究點(diǎn)團(tuán)____________________________

向量加法的實(shí)際應(yīng)用

哂如圖，用兩根繩子把重10N的物體即吊在水平桿子力刀上,

^ACW=15Q°,/8CW=120°,求4和8處所受力的大?。ɡK子

的重量忽略不計(jì)）.

【解】如圖所示，設(shè)錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!分別表示4,8所受的力,10N的

重力用錯(cuò)誤!表示，則錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!。

易得/石CG=180°-150°=30°,

/戶CG=180°-120°=60°o

所以I錯(cuò)誤！I=I錯(cuò)誤！I?COS30°

=10X錯(cuò)誤！=5錯(cuò)誤!,

|C^7!—|錯(cuò)誤！|cos600=10X錯(cuò)誤！=5。

所以4處所受的力為5、6N乃處所受的力為5N.

錯(cuò)誤！

利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟

如圖所示，一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行

800km到達(dá)刀地接到受傷人員，然后又從8地按南偏東55°的方向

飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和.

解：設(shè)錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行

800km,從萬地按南偏東55°的方向飛行800km,則飛機(jī)飛行的路

程指的是|錯(cuò)誤！|+|錯(cuò)誤！|；

兩次飛行的位移的和指的是錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.

依題意，有I錯(cuò)誤！|+|錯(cuò)誤！|=800+800=1600(kni),

又y=35°,夕=55°,AABC=35°+55°=90°,

所以I錯(cuò)誤！I=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！

=800錯(cuò)誤!（km）.

其中/民4c=45°,所以方向?yàn)楸逼珫|35°+45°=80°.

所以飛機(jī)飛行的路程是1600km,兩次飛行的位移和的大小為

800錯(cuò)誤！km,方向?yàn)楸逼珫|80°。

測(cè)評(píng)案，也偈o蟀驗(yàn)證?反饋?達(dá)標(biāo)?

1.化簡錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!十錯(cuò)誤!等于（）

A.錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!

Co錯(cuò)誤！D。錯(cuò)誤！

解析:選C。錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

2.對(duì)于任意一個(gè)四邊形ABCD,下列式子不能化簡為錯(cuò)誤!的是

I）

Ao錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！Bo錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！

Co錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！D.錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！

解析：選C.在A中錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤?。辉贐中錯(cuò)誤!

十錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！；在C中錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=

錯(cuò)誤!;在D中錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！。

3.在菱形48。中，^DAB=60',|錯(cuò)誤！|=1,則|錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤！|

解析：在菱形力刀。中，連接刀。（圖略）,

因?yàn)?D48=60°,所以△A4。為等邊三角形,

又因?yàn)閨錯(cuò)誤！|=1,所以|錯(cuò)誤！|=1,

|錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！|=|錯(cuò)誤！|=1。

答案：1

4.若z表示“向東走8km”,6表示“向北走8km"，則|z+6|

,N+6的方向是.

解析：如圖所示，作。X=錯(cuò)誤!=6,

則a+6=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！。

所以|=|錯(cuò)誤！|

=錯(cuò)誤！=8錯(cuò)誤！(km),

因?yàn)?力。8=45°,

所以a+6的方向是東北方向.

答案:8錯(cuò)誤！km東北方向

強(qiáng)化?培優(yōu)?通關(guān)上[A基

礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.下列等式不正確的是(

①z+S+c）=（N+?+6；②錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=0；③錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！十

錯(cuò)誤!.

A.②③B.②

C.①D.③

解析:選B。②錯(cuò)誤，錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=0,①③正確.

2.已知向量a//6,且|aI>|b\>0,則向量a+b的方向（）

A.與向量N方向相同B.與向量N方向相反

C.與向量6方向相同D.與向量6方向相反

解析：選A。因?yàn)镹//6,且||6|>0,由三角形法則知

向量a+6與a同向.

3.如圖E,尸分別是△48。的邊48乃G的中點(diǎn)，則

下列等式中錯(cuò)誤的是（）

A.錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=0

B.錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=0

C.錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!

Do錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！

解析：選D。A、B、C正確；D錯(cuò)誤.

由題意知CTO石是平行四邊形,

所以戌?=%

錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

4.如圖所示的方格中有定點(diǎn)。，P,Q,E,F,G,H,則錯(cuò)誤!十錯(cuò)誤!

)

A.錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤！

C.錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!

解析：選C-殳2=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!，以O(shè)P,OQ為鄰邊作平行四邊形（圖

略），則夾在OROQ之間的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量即為向量a=錯(cuò)誤!十

錯(cuò)誤!，則N與錯(cuò)誤!長度相等，方向相同，所以2=錯(cuò)誤!.

5.a,6為非零向量，且|2十6|=|0+|6|,則（）

A.z//6,且z與6方向相同

B.是共線向量且方向相反

C.a=b

D.當(dāng)6無論什么關(guān)系均可

解析：選A。根據(jù)三角形法則可知///6,且n與6方向相同.

6.向量（錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!）+（錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!）+錯(cuò)誤!化簡后等于.

解析：（錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!）+（錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!）+錯(cuò)誤！

=（錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!）+（錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!）

=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

答案：錯(cuò)誤！

7.如圖,在平行四邊形48a9中，。是4c和即的交點(diǎn).

DC

AR

（1）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=；

（2）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=；

（3）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=；

（4）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=.

解析：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以錯(cuò)誤!十錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.

（2）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！。

（3）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！。

（4）錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=（錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤?。?錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=0.

答案：（1）錯(cuò)誤?。?）錯(cuò)誤！（3）錯(cuò)誤?。?）0

8.設(shè)正六邊形ABCDEF,若AB,m,錯(cuò)誤！=A,則錯(cuò)誤！=

解析：如圖，錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=3,

所以錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=力+3。

答案：n+m

9.如圖所示，試用幾何法分別作出向量錯(cuò)誤！十錯(cuò)誤！,

錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！。

解:以4age為鄰邊作口48CE,根據(jù)平行四邊形法則，可知亂就

是錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!。以CB,C4為鄰邊作口/。尸，根據(jù)平行四邊形法則，

可次口錯(cuò)誤！就是錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!.

10.如圖所示，,，Q是的邊8c上兩點(diǎn)，且錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=0.

求證：錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！。

證明：因?yàn)殄e(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!,

所以錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!.

又因?yàn)殄e(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=0,所以錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!.

[B能力提升]

11.已知是正三角形，給出下列等式：

①|(zhì)錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！|=|錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！|；

②|錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！|=|錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！|；

（3）|錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！|=|錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！|；

④|錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！|=|錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！|.

其中正確的等式有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：選C。對(duì)于①，|錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤！|=|錯(cuò)誤！|,|錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤！|=|

錯(cuò)誤!|,因?yàn)椤?8。是等邊三角形可得①對(duì)；對(duì)于②，設(shè)4c的中點(diǎn)

O,由平行四邊形法則可知I錯(cuò)誤!十錯(cuò)誤！I=2I錯(cuò)誤！I豐I錯(cuò)誤！I=I

錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤！故②不對(duì)；對(duì)于③，與②中|錯(cuò)