人教版高中物理選修3-4教學案：第十一章 第4節(jié) 單 擺含答案

第4節(jié)

■垠步通科溟，課前自主學習，基穩(wěn)才能樓高

一、單擺

組成要求

細線擺線看成是不可伸長，且沒有質(zhì)量的細線

小球擺球看成是沒有太小只有質(zhì)量的質(zhì)點

單擺是理想化模型：忽略在擺動過程中所受到的阻力，實驗中盡量選擇質(zhì)量大、體積

小的小球和盡量細不可伸長的線。

二、單擺的回復力

1.回復力的提供：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力。

2.回復力的特點：在偏角很小時，單擺所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成正比,

方向范指向平衡位置.即尸=-爺0

3.單擺的運動規(guī)律：單擺在偏角很小時做簡諧運動，其振動圖像遵循正弦函數(shù)規(guī)律。

三、單擺的周期

1.定性探究單擺的振幅、質(zhì)量、擺長對周期的影響

(1)探究方法：控制變量法。

(2)實驗結(jié)論

①單擺振動的周期與擺球的質(zhì)量公。

②振幅較小時，周期與振幅無關。

③擺長越長，周期越長；擺長越短，周期越短。

2.定量探究單擺的周期與擺長的關系

⑴周期的測量：用停表測出單擺M30—50)次全振動的時間t,利用7=引■算它的周

期。

(2)擺長的測量：用刻度尺測出細線長度兒用游標卡尺測出小球直徑D,利用1=1。

+棄出擺長。

(3)數(shù)據(jù)處理：改變擺長.測量不同擺長及對應周朗.作出T-1、。/或圖像，得

出結(jié)論。

3.周期公式

(1)公式的提出：周期公式是荷蘭物理學家惠更斯首先提出的。

(2)公式：即7與擺長，的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根

成反比。

4.周期公式的應用

由單擺周期公式可得g=竽，只要測出單擺的擺長，和周期？就可算出當?shù)氐闹亓?/p>

速度。

1.自主思考——判一判

(1)制作單擺的細線彈性越大越好。(X)

(2)制作單擺的細線越短越好。(義)

(3)制作單擺的擺球越大越好。(X)

⑷單擺的周期與擺球的質(zhì)量有關，質(zhì)量越大，周期越小。(X)

(5)單擺的回復力等于擺球所受合力。(X)

2.合作探究——議一議

(1)由于單擺的回復力是由擺球的重力沿切線方向的分力提供的，那么是否擺球的質(zhì)量

越大，回復力越大，單擺擺動得越快，周期越??？

提示：不是。擺球擺動的加速度除了與回復力有關外，還與擺球的質(zhì)量有關，即

所以擺球質(zhì)量增大后，加速度并不增大，其周期由7=2,與擺球的質(zhì)量無關。

(2)多多觀察，寫出生活中你能遇到哪些單擺模型。

提示：坐鐘、牛頓擺、秋千等。

字翔5霞if扁昌初課堂講練設計，舉一能通類題

考點一對單擺回復力及運動特征的理解

0通知識I

1.單擺的回復力

圖11-4-1

(1)單擺受力：如圖1L4-1所示，受細線拉力和重力作用。

(2)向心力來源：細線拉力和重力沿徑向的分力的合力。

(3)回復力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F=mgsin。提供了使擺球振動的回復力。

2.單擺做簡諧運動的推證

在偏角很小時，sin吟又回復力F=mgsin0,所以單擺的回復力為F=心x(式

中x表示擺球偏離平衡位置的位移，，表示單擺的擺長，負號表示回復力尸與位移x的方向

相反)，由此知回復力符合尸=-我，單擺做簡諧運動。

0通題組I

1.下列有關單擺運動過程中的受力，說法正確的是()

A.單擺運動的回復力是重力和擺線拉力的合力

B.單擺運動的回復力是重力沿圓弧切線方向的一個分力

C.單擺經(jīng)過平衡位置時合力為零

D.單擺運動的回復力是擺線拉力的一個分力

解析：選B單擺運動是在一段圓弧上運動，因此單擺運動過程不僅有回復力，而且有

向心力，即單擺的合外力不僅要提供回復力，而且要提供向心力，故選項A錯誤；單擺的

回復力是重力沿圓弧切線方向的一個分力，而不是擺線拉力的分力，故選項B正確，D錯誤;

單擺經(jīng)過平衡位置時，回復力為零，向心力最大，故其合外力不為零，所以選項C錯誤。

2.一單擺做小角度擺動，其振動圖像如圖U-4-2所示，以下說法正確的是()

圖11-4-2

A.心時刻擺球速度最大,擺球的回復力最大

B.友時刻擺球速度為零,懸線對它的拉力最小

C.友時刻擺球速度為零,擺球的回復力最小

D.覆時刻擺球速度最大,懸線對它的拉力最大

解析：選D在心時刻和友時刻擺球的位移最大，回復力最大，速度為零，A、C均錯

誤；在友時刻和右時刻擺球在平衡位置，速度最大，懸線拉力最大，回復力為零，故B錯

誤，D正確。

考點二”對單擺周期公式的理解

切1知識|

1.擺長/

(1)實際的單擺擺球不可能是質(zhì)點，所以擺長應是從懸點到擺球球心的長度，即1=L

/為擺線長，"為擺球直徑。

(2)等效擺長。

圖11-4-3(a)中甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為7-sina,

這就是等效擺長，其周期T=2n

圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動時，與丙等

效。

圖11-4-3

2.重力加速度g

若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且處于靜止狀態(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即

式中A為物體到地心的距離，〃為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化。另外，

在不同星球上〃和"也是變化的，所以g也不同，g=9.8m/s，只是在地球表面附近時的取

值。

立通方法

［典例］有一單擺，其擺長7=1.02m,已知單擺做簡諧運動，單擺振動30次用的時

間力=60.8s,試求：

(1)當?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻螅?/p>

(2)如果揩這個單擺改為秒擺，擺長應怎樣改變？改變多少？

［思路點撥］

(1)單擺的周期7與2的關系：7=*

(2)秒擺的周期為2so

［解析］(1)當單擺做簡諧運動時，其周期公式

4jr27f6082

由此可知g=F，只要求出7值代入即可。因為T=-=^-s=2.027s,所以g=4^TT-7

111JU1

4x3.142xl.02,2,2

2

=---2027---皿〃=9.79m/so

(2)秒擺的周期是2s,設其擺長為7o,由于在同一地點重力加速度是不變的，根據(jù)單

擺的振動規(guī)律有：(=*，

”.二代122xl.02

故有：7o="p-=20272m=0.993mo

所以其擺長要縮短A/=/-1o=LO2m-0.993m=0.027mo

［答案］(1)9.79m/s?(2)縮短0.027m

計算單擺的周期的兩種方法

計算單擺的周期有兩種方法，一是依據(jù)二是根據(jù)T.第一種方法利用

了單擺的周期公式，計算的關鍵是正確確定擺長。第二種方法利用了粗測周期的一種方法,

周期的大小雖然不取決于方和可但利用該種方法計算周期，會受到時間力和振動次數(shù)〃測

量的準確性的影響。

旗題組

1.甲、乙兩個單擺擺長相等，將兩個單擺的擺球由平衡位置拉開，使擺角a甲＞。乙（a甲、

az都小于5。），在同一地點由靜止開始同時釋放，貝版）

A.甲先到達平衡位置B.乙先到達平衡位置

C.甲、乙同時到達平衡位置D.無法判斷

解析：選C由單擺的周期公式可知周期7與1、g有關，與質(zhì)量、擺動

的幅度無關，當在同一地點釋放時，周期只與擺長有關，故同時釋放，同時到達平衡位置。

2.一個單擺，在第一個行星上的周期為北，在第二個行星上的周期為&若這兩個行

星的質(zhì)量之比為腸：弱=4：1,半徑之比用：是=2：1,貝（|（）

A.北：。=1：1B.71：2=4：1

C.R：2=2：1D.刀：2=1：2

解析：選A單擺的周期公式為同一單擺即有隼方，又據(jù)萬有引力定律

Mm-GMmu笈.屈父/4X1“

儂=%，有3=不，因此7t3c故刀：就后=\/荻1=1：1，故A正確。

3.一個單擺的擺長為1,在其懸點。的正下方0.191處有一釘子戶（如圖11-4-4所示），

現(xiàn)將擺球向左拉開到4使擺線偏角，＜5。，放手后使其擺動，擺動到6的過程中擺角也小

于5。，求出單擺的振動周期。

圖11-4-4

解析：釋放后擺球到達右邊最高點5處，由機械能守恒可知5和4等高，則擺球始終

做簡諧運動。單擺做簡諧運動的擺長有所變化，它的周期為兩個不同單擺的半周期的和。

小球在左邊的周期為

小球在右邊的周期為2=2九

北Ti

則整個單擺的周期為7=3+三

0通知識I

1.實驗原理

單擺在偏角很小(小于5。)時的擺動，可以看成是簡諧運動。其固有周期為

由此可得名=竽。據(jù)此，只要測出擺長，和周期4即可計算出當?shù)氐闹亓铀俣戎怠?/p>

2.實驗器材

擺球1個(穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或鋼卷尺、游標卡尺、細線等。

3.實驗步驟

(1)做單擺：將線的一端穿過小球的小孔，并打一比孔大的結(jié)。然后把線的上端用鐵夾

固定于鐵架臺上，在平街位置處做上標記。

(2)測擺長：用毫米刻度尺測出擺線長度/線，用游標卡尺測量出擺球的直徑4則單擺

d

的擺長/=/線+,

(3)測周期：將單擺從平衡位置拉開一個小于5。的角，然后釋放擺球，當單擺振動穩(wěn)

定后，過最低位置時開始用秒表計時，測量〃次(一般取30—50次)全振動的時間人則周

期

(4)變擺長：將單擺的擺長變短(或變長)，重復實驗三次，測出相應的擺長/和周期To

4.數(shù)據(jù)處理

(1)平均值法：每改變一次擺長，將相應的1和7代入公式中求出g值，最后求出g的

平均值。

設計如下所示實驗表格

重力加速度重力加速度g的

實驗次數(shù)擺長〃m周期T/s

g/(m-s-2)平均值/(m?s-z)

1g+4+芻

83

2

3

⑵圖像法：由得/=菅］，作出涔，圖像，即以『為縱軸，以1為橫軸。

其斜率A=?,由圖像的斜率即可求出重力加速度g°

T2/s2

Ol/m

圖11-4-5

5.誤差分析

(1)系統(tǒng)誤差：主要來源于單擺模型本身是否符合要求。即：懸點是否固定，擺球是否

可看做質(zhì)點，球、線是否符合要求，擺動是圓錐擺還是在同一豎直平面內(nèi)振動以及測量哪

段長度作為擺長等。只要注意了上面這些問題，就可以使系統(tǒng)誤差減小到遠小于偶然誤差

而達到忽略不計的程度。

(2)偶然誤差：主要來自時間(即單擺周期)的測量上。因此，要注意測準時間(周期)。

要從擺球通過平衡位置開始計時，并采用倒計時計數(shù)的方法，即4,3,2,1,0,1,2,…在數(shù)

“零”的同時按下秒表開始計時。不能多計或漏計振動次數(shù)。為了減小偶然誤差，應進行

多次測量后取平均值。

6.注意事項

(1)選擇材料時應選擇細、輕又不易伸長的線，長度一般在1m左右，小球應選用密度

較大的金屬球，直徑應較小，最好不超過2cm。

(2)單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應夾緊在鐵夾中，以免擺動時發(fā)生擺線

下滑、擺長改變的現(xiàn)象。

(3)注意擺動時控制擺線偏離豎直方向不超過10°?？赏ㄟ^估算振幅的辦法掌握。

(4)擺球振動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺。

(5)計算單擺的振動次數(shù)時，應從擺球通過最低位置時開始計時，為便于計時，可在擺

球平衡位置的正下方作一標記。以后擺球每次從同一方向通過最低位置時進行計數(shù)，且在

數(shù)“零”的同時按下秒表，開始計時計數(shù)。

0通方法

［典例］在做“用單擺測定重力加速度”的實驗時，用擺長，和周期7計算重力加速

度的公式是g=o若已知擺球直徑為2.00c叫讓刻度尺的零點對準擺線的懸點，擺

線豎直下垂，如圖11-4-6所示，則單擺擺長是________mo若測定了40次全振動的時間為

75.2s,單擺擺動周期是________o

為了提高測量精度，需多次改變/值，并測得相應的7值?，F(xiàn)將測得的六組數(shù)據(jù)標示

在以，為橫坐標，以/為縱坐標的坐標系上，即圖11-4-7中用“?”表示的點，貝U：

圖11-4-7

(1)單擺做簡諧運動應滿足的條件是o

(2)試根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)點作出7和1的關系圖線，根據(jù)圖線可求出g=

m/s2o(結(jié)果取兩位有效數(shù)字)

［思路點撥］

(1)擺長等于擺線的長度與小球半徑之和。

(2)用直線連接各點時要使不在直線上的點均勻分布在直線兩側(cè)，離線較遠的點舍棄不

用。

4元2

(3)九1圖線的斜率A與g的關系：k=-

go

R4n27一

［解析］由T=2TT\可知g=7-。由圖可知：擺長1=(88.50-1.00)cm=87.50cm

t

=0.8750mo7=-=1.88so

(1)單擺做簡諧運動的條件是擺角小于5。。

(2)把在一條直線上的點連在一起，誤差較大的點平均分布在直線的兩側(cè)，則直線斜率

k=%。由￥=駕,可得g=9.8m/s2(9.9m/s?也正確)。

ZXJ.ZX1K

［答案］見解析

0通題組

1.某實驗小組在利用單擺測定當?shù)刂亓铀俣鹊膶嶒炛?

(1)用游標卡尺測定擺球的直徑，測量結(jié)果如圖11-4-8所示，則該擺球的直徑為

________cmo

(2)小組成員在實驗過程中有如下說法，其中正確的是o(填選項前的字母)

A.把單擺從平衡位置拉開30°的擺角，并在釋放擺球的同時開始計時

B.測量擺球通過最低點100次的時間力則單擺周期襦

C.用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，代入單擺周期公式計算得到的重力加速度值

偏大

D.選擇密度較小的擺球，測得的重力加速度值誤差較小

解析：⑴主尺讀數(shù)加游標尺讀數(shù)的總和等于最后讀數(shù)，0.9cm+7X，mm=0.97cm,

不需要估讀。

(2)單擺符合簡諧運動的條件是最大偏角不超過5。，并從平衡位置計時，故A錯誤；

若第一次過平衡位置計為“0”則周期7=看,若第一次過平衡位置計為“1”，則周期7=彘,

ou21y.u

B錯誤；由？=27^，|得€=竽，其中/為擺長，即懸線長加擺球半徑，若為懸線長加擺

球直徑，由公式知g偏大，故C正確；為了能將擺球視為質(zhì)點和減少空氣阻力引起的相對

誤差，應選密度較大體積較小的擺球，故D錯誤。

答案：(1)0.97(2)C

2.用單擺測定重力加速度的實驗裝置如圖11-4-9所示。

(1)(多選)組裝單擺時，應在下列器材中選用(選填選項前的字母)。

A.長度為1m左右的細線

B.長度為30cm左右的細線

C.直徑為1.8cm的塑料球

D.直徑為1.8cm的鐵球

(2)測出懸點。到小球球心的距離(擺長)2及單擺完成Z?次全振動所用的時間t,則重

力加速度無=(用2、仄方表示)。

(3)下表是某同學記錄的3組實驗數(shù)據(jù)，并做了部分計算處理。

組次123

擺長Z/cm80.0090.00100.00

50次全振動時間t/s90.095.5100.5

振動周期T/s1.801.91

重力加速度g!(m-s-2)9.749.73

2

請計算出第3組實驗中的7=s,g=m/so

(4)用多組實驗數(shù)據(jù)作出圖像,也可以求出重力加速度已知三位同學作出的f-L

圖線的示意圖如圖1L4-10中的a、b、c所示，其中a和6平行，b和c都過原點，圖線6

對應的g值最接近當?shù)刂亓铀俣鹊闹?。則相對于圖線瓦下列分析正確的是(選

填選項前的字母)。

圖11-4-10

A.出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點到小球下端的距離記為擺長L

B.出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動記為50次

C.圖線c對應的g值小于圖線6對應的g值

解析：(1)組裝單擺時，應選用1m左右的細線，擺球應選擇體積小、密度大的球，選

項A、D正確。

(2)單擺的振動周期7=5

ggR,=4n2Z4nnL

根據(jù)T=2TT\I%得g=7-=―廠。

/o

(3)7；=—=2.01So

ggL/=4nL.2

根據(jù)7=2TFA/3得g=7-29.76m/so

（4）根據(jù)7=2口^|,得/=空/,即當2=0時，7=0。

出現(xiàn)圖線a的原因是計算擺長時過短，可能是誤將懸點。到小球上端的距離記為擺長,

選項A錯誤；對于圖線c,其斜率A變小了，根據(jù)A=],可能是7變小了或/變大了。選

4n24n2

項B中誤將49次全振動記為50次，貝!]周期7變小，選項B正確；由覆7=A得g=~^,則k

變小，重力加速度g變大，選項C錯誤。

答案：⑴AD⑵竺^Tt巖nL（3）2.019.76（4）B

課后層級訓練，步步提升能力

一、基礎題畬熟

1.在如圖所示的裝置中，可視為單擺的是（）

解析：選A單擺是由不可伸長的細線和金屬小球組成的，其懸點應在擺球擺動過程中

固定不變，故只有A項正確。

2.在月球上周期相等的彈簧振子和單擺，把它們放到地球上后，彈簧振子的周期為71,

單擺的周期為&則石和石的關系為（）

A.71＞冗B.T=T2

C.￡＜￡D.無法確定

解析：選A彈簧振子的周期由振動系統(tǒng)本身決定，與重力加速度無關，故北=7月，

對單擺來說，由可知，其周期與單擺所處位置的重力加速度g有關，因gQg月,

故爾7月，所以刀＞&A正確，B,C、D均錯誤。

3.如圖1所示，光滑糟的半徑A遠大于小球運動的弧長，今有兩個小球（視為質(zhì)點）同

時由靜止釋放，其中甲球開始時離槽最低點。遠些，則它們第一次相遇的地點在（）

甲

乙

圖1

A.。點B.。點偏左

C.。點偏右D.無法確定，因為兩小球質(zhì)量關系未定

解析：選A由于半徑火遠大于運動的弧長，所以小球做簡諧運動，其周期都為T=

與位移的大小無關，故同時到達。點，A正確。

4.如圖2是甲、乙兩個單擺做簡諧運動的圖像，以向右的方向作為擺球偏離平衡位移

的正方向，從方=0時刻起，當甲第一次到達右方最大位移處時，乙在平衡位置的（）

A.左方，向右運動B,左方，向左運動

C.右方，向右運動D.右方，向左運動

解析：選D甲第一次到達右方最大位移處時，t=1.5s,此時乙的位移為正值，且正

在減小，故乙此時在平衡位置右側(cè)，且向左運動，D正確。

5.（多選）在用單擺測重力加速度的實驗中，測得單擺偏角小于5。，實驗中某學生所

測g值偏大，其原因可能是（）

A.實驗室離海平面太高

B.擺球太重

C.測出〃次全振動時間為t,誤作為5+1）次全振動時間進行計算

D.以擺線長與擺球直徑之和作為擺長來計算

解析：選CD由單擺的周期公式g值偏大，可能是周期算小了或是擺長算

長了，選c、Do

二、能力題⑥通

6.正在修建的房頂上固定的一根不可伸長的細線垂到三樓窗沿下，某同學應用單擺原

理測量窗的上沿到房頂?shù)母叨龋葘⒕€的下端系上一個小球，發(fā)現(xiàn)當小球靜止時，細線恰

好與窗子上沿接觸且保持豎直，他打開窗子，讓小球在垂直于墻的豎直平面內(nèi)擺動，如圖3

所示，從小球第1次通過圖中的6點開始計腳，第21次通