第07講“AAS”與“HL”判定三角形全等-2024年新八年級數(shù)學(xué)暑假提升講義（人教版 學(xué)習(xí)新知）

第07講“AAS”與“HL”判定三角形全等（2個(gè)知識點(diǎn)+8個(gè)考點(diǎn)）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“AAS”，“HL”．(重點(diǎn))2．能運(yùn)用“AAS”“HL”判定方法解決有關(guān)問題．(重點(diǎn))3．“AAS”和“HL”判定方法的探究以及適合“角邊角”判定方法的條件的尋找．(難點(diǎn))知識點(diǎn)1.三角形全等的推論：角角邊（重點(diǎn)）1.全等三角形判定——“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)歸納：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.【例1】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于E.AD與BE交于F，若BF＝AC，求證：△ADC≌△BDF.【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．【變式1-2】（2023八年級·浙江湖州·期末）如圖，已知OA=OC，∠B=∠D，∠AOC=∠BOD．求證：△AOB≌△COD．

【變式1-3】（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖,在△ABC中，AD是BC邊上的中線,CE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：CE=BF；(2)若AE+AF＝16,求AD的長．知識點(diǎn)2.直角三角形全等的判定方法：HL（重點(diǎn)）【例2】如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB＝CD，BE＝CF.求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.【變式2-1】（2023八年級·陜西渭南·期末）如圖，在Rt△ABC和Rt△DAB中，AC=DB，判斷Rt△ABC【變式2-2】（2023八年級·山東濟(jì)南·期末）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′【變式2-3】（2023八年級·廣西南寧·期中）已知，如圖，點(diǎn)A、E、F、B在同一條直線上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE=FB，CF=DE

(1)求證：△CAF≌(2)若∠AFC=25°，求∠D的度數(shù)考點(diǎn)1：證明線段相等1.（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，已知在△ABC中，GF∥AC，∠BDE=∠BFG，∠AGH=∠C，BE=AH．求證：2.如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.3.（2023八年級·湖北十堰·期末）已知：如圖，AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC．

(1)若△ABC中，∠B<90°，D為BC上的一點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)F，求證：AD=AB．(2)若△ABC中，∠B>90°，D在CB的延長線上，AE交CB的延長線相交于點(diǎn)E，則（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請完成下圖，并加以證明；若不成立，請說明理由．考點(diǎn)2：證明角相等4.如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2.5.（2023八年級·浙江溫州·期中）已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BE=CF．求證：∠B=∠C．完成下面的證明過程．證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=__________=90°．∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=__________，又∵BE=CF，∴Rt∴∠B=∠C．6．（2023八年級·山東濟(jì)南·期中）如圖，在△ABF與△DCE中，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求證：∠A=∠D．

7．（2023·云南·模擬預(yù)測）如圖，D是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，BD=CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=CF．求證：∠DBE=∠DCF．考點(diǎn)3：證明線段之間的關(guān)系8.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.9.（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB．求證：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE．

10.如圖，四邊形中，，連接對角線，且，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作，垂足為，若．

(1)求證：；(2)求證：．考點(diǎn)4:解決實(shí)際問題11.（2023八年級·安徽·專題練習(xí)）如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小間的關(guān)系是（）A．∠ABC=∠DFE B．∠ABC＞∠DFEC．∠ABC＜∠DFE D．∠ABC+∠DFE=90°12.（2023八年級·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，小明與小敏玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點(diǎn)O（即蹺蹺板的中點(diǎn)）至地面的距離是42cm，當(dāng)小敏從水平位置CD下降16cm時(shí)，小明離地面的高度是13.（2023八年級·河北邢臺·期中）在一次數(shù)學(xué)活動中，為了測一堵墻上點(diǎn)A的高度AM，嘉淇設(shè)計(jì)了如下方案：第一步：找一根長度大于AM的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點(diǎn)A重合，記錄直桿與地面的夾角∠ABM=55°；第二步：使直桿頂端沿墻面豎直緩慢下滑，使得∠MDC=°，標(biāo)記此時(shí)直桿的底端點(diǎn)D；第三步：測量地面上線段的長度，即為點(diǎn)A的高度．若測得BM=5m，DM=7m，直桿下滑的高度AC=14.（2023八年級·陜西西安·期末）數(shù)學(xué)活動課上，小宇帶著組員想要測量學(xué)校博智樓AB的高度．他們的測量方案如下：在大樹DE與博智樓AB之間找到一點(diǎn)C，使得此時(shí)樹的頂端點(diǎn)D處的視線CD與博智樓的頂端A處的視線交于點(diǎn)C，此時(shí)，測量得知∠ACB與∠DCE互余，且BC=DE=10米，BE=28米．請你求出博智樓AB的高度．

15.（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖所示，為了固定電線桿AD，將兩根長均為10m的鋼絲一端同系在電線桿上的點(diǎn)A處，另一端固定在地面上的兩個(gè)針上，那么兩個(gè)錨B,C離電線桿底部D

16.（2023八年級·山東臨沂·期末）張華與爸爸媽媽在公園里蕩秋千，如圖，張華坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1.1m高的B處接住他后用力一推，爸爸在C處接住他．若媽媽與爸爸到OA的水平距離BD、CE分別為1.6m和2m(1)△OBD與△OCE全等嗎？請說明理由；(2)爸爸是在距離地面多高的地方接住張華的？（提示：夾在兩條平行線間的垂直線段都相等．）考點(diǎn)5：巧構(gòu)全等三角形解決問題(1)．作公共邊可構(gòu)造全等三角形：17.如圖：在四邊形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求證：∠B＝∠D.18.在ΔABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C(2)．倍長中線法：19.己知：在ΔABC中，AD為中線.求證：AD＜20、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求證：AB=AC．(3).作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：21、在ΔABC中，AB＞AC.求證：∠B＜∠C(4)．利用截長(或補(bǔ)短)法構(gòu)造全等三角形：22.如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．(5)．巧用“延長法”構(gòu)造全等三角形：23.如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于D，CE⊥BD的延長線于點(diǎn)E，求證：CE=考點(diǎn)6：利用全等三角形解決設(shè)計(jì)測量方案問題24.池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計(jì)方案測量A，B的距離．八年級一班甲，乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接并延長到點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使，，連接，測出的長即可．乙：如圖②，先確定直線，過點(diǎn)作直線，在直線上找可以直接到達(dá)點(diǎn)的一點(diǎn)，連接，作，交直線于點(diǎn)，最后測量的長即可．請分析兩種方案可行的理由．

25.如圖，有一條河流（假設(shè)河流兩岸平行，即），由于河水湍急，無法下水，為了測量河的寬度，林師傅給出了以下方法：

在河岸上確定點(diǎn)A（如圖），利用紅外線光束，在河岸上確定點(diǎn)，使得與河岸垂直；從A點(diǎn)沿河岸向東直走，記為點(diǎn)（如圖），繼續(xù)向東直走，到達(dá)點(diǎn)；從點(diǎn)沿垂直河岸的方向行走，行走過程中，用紅外線光束一直對準(zhǔn)，當(dāng)點(diǎn)剛好出現(xiàn)在紅外線光束上時(shí)，停下，記為點(diǎn)；測得的長為．(1)根據(jù)上述方法，河流的寬度為______m；(2)請你根據(jù)林師傅的方法，利用三角板和刻度尺，在圖中畫出，，的位置，并結(jié)合題意說明林師傅作法的科學(xué)性．26．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）為了解學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用能力，某校老師在七年級數(shù)學(xué)興趣小組活動中，設(shè)置了這樣的問題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計(jì)方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接并延長到點(diǎn)C，連接并延長到點(diǎn)D，使，，連接，測出的長即可．乙：如圖②，先確定直線，過點(diǎn)B作直線，在直線上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接，作，交直線于點(diǎn)C，最后測量的長即可．(1)甲、乙兩同學(xué)的方案哪個(gè)可行？(2)請說明方案可行的理由．考點(diǎn)7：全等三角形的探究題27.已知：如圖，，是的中點(diǎn)，平分．(1)若連接，則是否平分？請你證明你的結(jié)論；(2)線段與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．28.如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．考點(diǎn)8：動點(diǎn)問題29.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AQ上運(yùn)動，問P點(diǎn)運(yùn)動到AC上什么位置時(shí)△ABC才能和△APQ全等？30.（2023八年級·山東淄博·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．點(diǎn)O在BC上，且CO=1，點(diǎn)M是AC上一動點(diǎn)，連接OM，將線段OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OD，要使點(diǎn)D恰好落在AB上，CM的長度為．31.（2023八年級·湖北武漢·期中）如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，直線l經(jīng)過點(diǎn)C．點(diǎn)M以每秒2cm的速度從B點(diǎn)出發(fā)，沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)N以每秒1cm的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動；兩點(diǎn)到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)就分別停止運(yùn)動．分別過M、N作MD⊥l于點(diǎn)D，NE⊥l于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，要使以點(diǎn)M，D，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)N，E，C為頂點(diǎn)的三角形全等，則t的值為32．（2023八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段(1)當(dāng)∠BDA=115°時(shí)，∠EDC=°，∠DEC=(2)當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請說明理由．33.如圖，已知中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

(1)如果點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動．①若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過秒后，與是否全等，請說明理由．②若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動速度為___時(shí)，在某一時(shí)刻也能夠使與全等．(2)若點(diǎn)以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都按逆時(shí)針方向沿的三邊運(yùn)動．求經(jīng)過多少秒后，點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，并寫出第一次相遇點(diǎn)在的哪條邊上？34.已知：中，，，D為直線上一動點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作，且．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，過點(diǎn)E作于H，連接DE，求證：；

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)，連接交的延長線于點(diǎn)M．求證：．

35．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谥校┤鐖D①，，，，．點(diǎn)P在線段AB上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動，它們運(yùn)動的時(shí)間為．

(1)______；（用t的式子表示）(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)時(shí)，與是否全等，請說明理由，并判斷此時(shí)線段和線段的位置關(guān)系；(3)如圖②，將圖①中的“，”改為“”，其他條件不變，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為，是否存在實(shí)數(shù)x，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由．一、單選題1．（23-24八年級上·天津?qū)幒印て谥校┮阎獮榈慕瞧椒志€，作于D，則下列結(jié)論：；；；．其中一定成立的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）在中，，中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（22-23八年級上·福建福州·開學(xué)考試）如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（23-24八年級上·福建廈門·期中）如圖，在四邊形中，，平分，，，，，則的面積是（

）

A． B．6 C．9 D．125．（23-24八年級上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法畫角平分線：如圖擺放使得三角板刻度相同，即，畫射線，則平分．作圖過程用了，那么所用的判定定理是（

），A． B． C． D．6．（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，于，于，，要根據(jù)“”證明，則還要添加一個(gè)條件是（）A． B． C． D．7．（23-24八年級上·重慶渝北·階段練習(xí)）如圖所示，在中，，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)分別向、作垂線段，則能夠說明的理由是（

）A． B． C． D．8．（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，給出下列結(jié)論：；②；③；，其中正確的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9．（22-23八年級上·重慶綦江·期末）如圖所示，在中，，平分，為線段上一動點(diǎn)，為

邊上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°10．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在五邊形中，，，，且，，則五邊形的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題11．如圖，中，，分別過點(diǎn)B、C作過點(diǎn)A的直線的垂線，垂足分別為D、E，若，則．12．（22-23八年級上·湖南益陽·期末）如圖，在四邊形中，，過的中點(diǎn)O，分別交和于點(diǎn)E、F，若，則．13．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，D為中斜邊上的一點(diǎn)，且，過D作BC的垂線，交于E．若，則的長為cm14．（2024·四川成都·二模）要測量河岸相對兩點(diǎn)A、B的距離，已知垂直于河岸，先在上取兩點(diǎn)C、D，使，再過點(diǎn)D作的垂線段，使點(diǎn)A、C、E在一條直線上，如圖．若測出米，則的長為米．15．（23-24八年級下·湖南邵陽·期中）如圖，ABC中，，是上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為，，若，則的值為．16．（23-24八年級上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，，且，，且，，，，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積是．三、解答題17．如圖，已知，、在線段上，與交于點(diǎn)，且，．求證：．18．（21-22八年級上·四川宜賓·期中）如圖，小明坐在秋千的起始位置A處，與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面高的B處接住他后用力一推，爸爸在C處接住他，若媽媽與爸爸到的水平距離分別為和，．(1)與全等嗎？請說明理由；(2)爸爸是在距離地面多高的地方接住小明的？19．（23-24八年級上·新疆喀什·期末）如圖，已知點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且求證：．20．（23-24八年級上·安徽六安·階段練習(xí)）已知：如圖，，，．

(1)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；(2)求證：．21．（22-23八年級上·廣東潮州·階段練習(xí)）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，，，求線段的長．22．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，A、B兩個(gè)建筑分別位于河的兩岸，要測得它們之間距離，可以從B出發(fā)沿河岸畫一條射線，在上截取，過D作，使E、A、C在同一條直線上，則長就是A、B之間的距離，請你說明道理．23．（22-23八年級上·遼寧營口·期中）如圖所示，在中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．

(1)若點(diǎn)與點(diǎn)的速度都是，則經(jīng)過多長時(shí)間與全等？請說明理由．(2)若點(diǎn)的速度比點(diǎn)的速度慢，則經(jīng)過多長時(shí)間與全等？請求出此時(shí)兩點(diǎn)的速度．(3)若點(diǎn)、點(diǎn)分別以（2）中的速度同時(shí)從點(diǎn)，出發(fā)，都按逆時(shí)針方向沿三邊運(yùn)動，則經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇？相遇點(diǎn)在的哪條邊上？請求出相遇點(diǎn)到點(diǎn)B的距離．24．（22-23八年級上·貴州黔東南·期末）【初步探索】（1）如圖1，在四邊形中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小芮同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使，連接，先證明：，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，說明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，滿足，請判斷與的數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論．

第07講“AAS”與“HL”判定三角形全等（2個(gè)知識點(diǎn)+8個(gè)考點(diǎn)）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“AAS”，“HL”．(重點(diǎn))2．能運(yùn)用“AAS”“HL”判定方法解決有關(guān)問題．(重點(diǎn))3．“AAS”和“HL”判定方法的探究以及適合“角邊角”判定方法的條件的尋找．(難點(diǎn))知識點(diǎn)1.三角形全等的推論：角角邊（重點(diǎn)）1.全等三角形判定——“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)歸納：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.【例1】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于E.AD與BE交于F，若BF＝AC，求證：△ADC≌△BDF.解析：先證明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根據(jù)AAS即可得出兩三角形全等．證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠DBF，,∠ADC＝∠BDF，,AC＝BF，))∴△ADC≌△BDF(AAS)．方法總結(jié)：在“AAS”中，“邊”是“其中一個(gè)角的對邊”．【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．【解答】證明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE與△CAB中，∠DAE=∠ACB∠AED=∠B∴△ADE≌△CAB（AAS）．【變式1-2】（2023八年級·浙江湖州·期末）如圖，已知OA=OC，∠B=∠D，∠AOC=∠BOD．求證：△AOB≌△COD．

【答案】見解析【分析】利用AAS，證明△AOB≌△COD即可．【詳解】∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC?∠AOD=∠BOD?∠AOD，即∠COD=∠AOB，又∵OA=OC，∠B=∠D，∴△AOB≌△COD．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理，是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖,在△ABC中，AD是BC邊上的中線,CE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：CE=BF；(2)若AE+AF＝16,求AD的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查了根據(jù)三角形的中線求線段長度、全等三角形(AAS（1）中線可得BD=CD，通過兩個(gè)垂直可以判斷兩個(gè)角都為90°，還有對頂角,通過(AAS（2）通過觀察可發(fā)現(xiàn)AE+AF根據(jù)（1）中的全等可拆分為2AD，從而得出答案．【詳解】（1）證明：∵AD是BC的邊上的中線，∴BD=CD，∵CE⊥AD，∴∠BFD=∠CED=90°．

在△BFD和△CED中,∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDE∴△BFD≌△CED(AAS∴BF=CE．（2）由（1）知△BFD≌△CED，∴DF=DE，∵AE+AF=16，∴AE+AE+DE+DF=2AE+2DE=16，∴2AD=16，∴AD=8．故AD=8．知識點(diǎn)2.直角三角形全等的判定方法：HL（重點(diǎn)）【例2】如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB＝CD，BE＝CF.求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.解析：由題意可得△ABF與△DCE都為直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后運(yùn)用“HL”即可判定Rt△ABF與Rt△DCE全等．證明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝CE，,AB＝CD，))∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．方法總結(jié)：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定這兩個(gè)三角形是直角三角形，然后找出對應(yīng)的斜邊和直角邊相等即可．【變式2-1】（2023八年級·陜西渭南·期末）如圖，在Rt△ABC和Rt△DAB中，AC=DB，判斷Rt△ABC解：在Rt△ABC和RtAC=DB∴Rt△ABC≌上面的解答過程正確嗎？若不正確，請你說明錯誤的原因．【答案】不正確，錯誤原因見解析．【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定定理判定．【詳解】解：不正確，錯誤原因如下：∵AB在Rt△ABC中是斜邊，在Rt∴不滿足斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等的條件，∴解答過程不正確．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的全等判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵【變式2-2】（2023八年級·山東濟(jì)南·期末）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′【答案】見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)三角形中線的定義得到CB=2CD，C′B′=2C′D′，由【詳解】證明：∵AD與A′D′分別為BC∴CB=2CD，C′∵CD=C∴CB=C在Rt△ABC和RtAB=A∴Rt△ABC≌【變式2-3】（2023八年級·廣西南寧·期中）已知，如圖，點(diǎn)A、E、F、B在同一條直線上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE=FB，CF=DE

(1)求證：△CAF≌(2)若∠AFC=25°，求∠D的度數(shù)【答案】(1)見解析(2)65°【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理：（1）先證AF=BE，再證△CAF≌（2）根據(jù)△CAF≌△DBE可得【詳解】（1）證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴△CAF和△DBE是直角三角形，∵AE=FB，∴AE+EF=FB+EF，即AF=BE，在Rt△CAF和RtAF=BECF=DE∴△CAF≌（2）解：∵△CAF≌∴∠BED=∠AFC=25°，∵DB⊥AB，∴∠B=90°，∴∠D=180°?∠B?∠BED=180°?90°?25°=65°．考點(diǎn)1：證明線段相等1.（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，已知在△ABC中，GF∥AC，∠BDE=∠BFG，∠AGH=∠C，BE=AH．求證：【答案】見解析【分析】本題考查了平行線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行同位角相等，得到∠BFG=∠C，結(jié)合題意以及三角形內(nèi)角和可得∠B=∠AHG，利用AAS證明△BDE≌△HGA，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵GF∥∴∠BFG=∠C，∵∠BDE=∠BFG，∴∠BDE=∠C，∵∠AGH=∠C，∴∠BDE=∠AGH，∵∠B+∠A+∠C=∠AGH+∠A+∠AHG=180°，∴∠B=∠AHG，在△BDE和△HGA中，∠BDE=∠HGA∠B=∠AHG∴△BDE≌△HGAAAS∴BD=GH．2.如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.解析：根據(jù)“HL”證Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根據(jù)“HL”證Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后證明BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法總結(jié)：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．3.（2023八年級·湖北十堰·期末）已知：如圖，AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC．

(1)若△ABC中，∠B<90°，D為BC上的一點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)F，求證：AD=AB．(2)若△ABC中，∠B>90°，D在CB的延長線上，AE交CB的延長線相交于點(diǎn)E，則（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請完成下圖，并加以證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)結(jié)論成立，見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識圖，找出角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）求出∠BAC=∠DAE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠B=∠ADE，然后利用“角角邊”證明△ABC和△ADE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；（2）作出圖形，與（1）的證明思路相同進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）解：證明：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，∵∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC，∴∠B=∠ADE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE∠B=∠ADE∴△ABC≌△ADEAAS∴AD=AB；（2）明：結(jié)論AD=AB成立．證明如下：如圖，

∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD?∠BAE=∠EAC?∠BAE，即∠BAC=∠DAE，∵∠BAD+∠ADB=∠ABC，∠ADB+∠EDC=∠ADE，∵∠BAD=∠EDC∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE∠ABC=∠ADE∴△ABC≌△ADEAAS∴AD=AB．考點(diǎn)2：證明角相等4.如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2.解析：要證角相等，可先證明全等．即證Rt△ABC≌Rt△ADC，進(jìn)而得出角相等．證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC與△ACD為直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,AC＝AC，))∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.方法總結(jié)：證明角相等可通過證明三角形全等解決．5.（2023八年級·浙江溫州·期中）已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BE=CF．求證：∠B=∠C．完成下面的證明過程．證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=__________=90°．∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=__________，又∵BE=CF，∴Rt∴∠B=∠C．【答案】∠CFD，CD，HL【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)知識；證明Rt△BDE≌Rt△CDF【詳解】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD又∵BE=CF，∴∴∠B=∠C．6．（2023八年級·山東濟(jì)南·期中）如圖，在△ABF與△DCE中，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求證：∠A=∠D．

【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．由“HL”可證Rt△ABF≌【詳解】證明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在Rt△ABF和RtAF=DEBF=CE∴Rt∴∠A=∠D．7．（2023·云南·模擬預(yù)測）如圖，D是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，BD=CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=CF．求證：∠DBE=∠DCF．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．根據(jù)HL可證明Rt△DBE≌【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE和RtBE=CFBD=CD∴Rt∴∠DBE=∠DCF．考點(diǎn)3：證明線段之間的關(guān)系8.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.解析：(1)由垂直的關(guān)系可以得到一對直角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由AB＝AC，利用AAS即可得證；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根據(jù)DE＝DA＋AE等量代換即可得證．證明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠CEA＝90°，,∠ABD＝∠CAE，,AB＝AC，))∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化．9.（2023八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB．求證：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE．

【答案】詳見解析【分析】過點(diǎn)C向OB作垂線，構(gòu)建全等三角形，繼而根據(jù)平角定義以及線段的和差即可證得結(jié)論．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CF⊥OB與點(diǎn)F，則∠F=∵∠1=∠2，OC=OC，∴△FOC?△EOC，∴CE=CF，OE=OF，∵CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，∴Rt∴∠4=∠CBF，AE=BF，∵∠3+∠CBF=180°，∴∠3+∠4=180°，∴OA+OB=OE+AE

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．10.如圖，四邊形中，，連接對角線，且，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作，垂足為，若．

(1)求證：；(2)求證：．【詳解】（1）證明：，，，，在和中，．（2）連接，由證明可得，，在和中，．，，．

考點(diǎn)4:解決實(shí)際問題11.（2023八年級·安徽·專題練習(xí)）如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小間的關(guān)系是（）A．∠ABC=∠DFE B．∠ABC＞∠DFEC．∠ABC＜∠DFE D．∠ABC+∠DFE=90°【答案】D【分析】由題意易證Rt△ABC≌Rt△DEF，從而可得∠BCA=∠DFE，再利用直角三角形兩銳角互余即可得正確結(jié)論．【詳解】∵∠CAB=∠FDE=90°在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EFAC=DF∴△ABC≌△DEF∴∠BCA=∠DFE又∵在Rt△ABC中,∴∠ABC+∠DFE=90°故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，問題簡單．12.（2023八年級·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，小明與小敏玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點(diǎn)O（即蹺蹺板的中點(diǎn)）至地面的距離是42cm，當(dāng)小敏從水平位置CD下降16cm時(shí)，小明離地面的高度是【答案】58【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，將實(shí)際生活與全等三角形的知識結(jié)合是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：OC=OD，∠FCO=∠GDO=90°，DG=16∵∠FOC=∠GOD，∴△FOC≌△GOD∴CF=DG=16∵支點(diǎn)O（即蹺蹺板的中點(diǎn)）至地面的距離是42cm∴小明離地面的高度是：42+16=58故答案為：5813.（2023八年級·河北邢臺·期中）在一次數(shù)學(xué)活動中，為了測一堵墻上點(diǎn)A的高度AM，嘉淇設(shè)計(jì)了如下方案：第一步：找一根長度大于AM的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點(diǎn)A重合，記錄直桿與地面的夾角∠ABM=55°；第二步：使直桿頂端沿墻面豎直緩慢下滑，使得∠MDC=°，標(biāo)記此時(shí)直桿的底端點(diǎn)D；第三步：測量地面上線段的長度，即為點(diǎn)A的高度．若測得BM=5m，DM=7m，直桿下滑的高度AC=【答案】35°DM2【分析】測一堵墻上點(diǎn)A的高度AM，可構(gòu)造Rt△AMB≌Rt△DMC，則DM=AM，即DM的長度就是點(diǎn)A【詳解】解：根據(jù)題意得，∠ABM=55°，AM⊥DM，通過構(gòu)造直角三角形DMC與直角三角形AMB全等，∴∠MDC=90°?55°=35°，∵利用“角角邊”構(gòu)造Rt△AMB≌∴AM=DM，∴測量DM的長即為墻上點(diǎn)A的高度AM，∵Rt△AMB≌∴BM=MC=5m，DM=AM=7m，AC=AM?MC，∴AC=7?5=2m．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．14.（2023八年級·陜西西安·期末）數(shù)學(xué)活動課上，小宇帶著組員想要測量學(xué)校博智樓AB的高度．他們的測量方案如下：在大樹DE與博智樓AB之間找到一點(diǎn)C，使得此時(shí)樹的頂端點(diǎn)D處的視線CD與博智樓的頂端A處的視線交于點(diǎn)C，此時(shí)，測量得知∠ACB與∠DCE互余，且BC=DE=10米，BE=28米．請你求出博智樓AB的高度．

【答案】博智樓AB的高度是18米【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)∠B=∠E=90°，得出∠A+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，結(jié)合角的等量代換得出∠A=∠DCE，即可證明△ABC≌△CEDAAS【詳解】解：由題意，得∠B=∠E=90°．∵∠A+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，∴∠A=∠DCE．在△ABC與△CED中，∠A=∠DCE,∴△ABC≌△CEDAAS∴AB=CE．∵BE=28，BC=10，∴CE=28?10=18，即AB=18．答：博智樓AB的高度是18米．15.（2023八年級·湖北孝感·期中）如圖所示，為了固定電線桿AD，將兩根長均為10m的鋼絲一端同系在電線桿上的點(diǎn)A處，另一端固定在地面上的兩個(gè)針上，那么兩個(gè)錨B,C離電線桿底部D

【答案】相等，見解析【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法即可得．【詳解】相等．理由如下：解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt∴BD=CD，即兩個(gè)針B,C離電線桿底部D的距離相等．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握全等三角形的判定．16.（2023八年級·山東臨沂·期末）張華與爸爸媽媽在公園里蕩秋千，如圖，張華坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1.1m高的B處接住他后用力一推，爸爸在C處接住他．若媽媽與爸爸到OA的水平距離BD、CE分別為1.6m和2m(1)△OBD與△OCE全等嗎？請說明理由；(2)爸爸是在距離地面多高的地方接住張華的？（提示：夾在兩條平行線間的垂直線段都相等．）【答案】(1)全等，見解析(2)1.5【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．（1）根據(jù)AAS證明△COE與△OBD全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE=OD，OE=BD，求出DE=OD?OE=CE?BD=2?1.6=0.4，根據(jù)AE=AD+DE求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：△COE≌△OBD．理由如下：由題意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，∵∠BOC=90°，∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°．∴∠COE=∠OBD．在△COE和△OBD中，∠COE=∠OBD∠CEO=∠ODB∴△COE≌△OBDAAS（2）解：∵△COE≌△OBD，∴CE=OD，OE=BD．∵BD=1.6，CE=2，∴DE=OD?OE=CE?BD=2?1.6=0.4．∵AD=1.1，∴AE=AD+DE=1.5m答：爸爸是在距離地面1.5m的地方接住張華的．考點(diǎn)5：巧構(gòu)全等三角形解決問題(1)．作公共邊可構(gòu)造全等三角形：17.如圖：在四邊形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求證：∠B＝∠D.【思路點(diǎn)撥】∠B與∠D不包含在任何兩個(gè)三角形中，只有添加輔助線AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可構(gòu)造出全等三角形.【答案與解析】證明：連接AC，∵AD∥CB，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC與△CDA中∴△ABC≌△CDA（ASA）∴∠B＝∠D【總結(jié)升華】添加公共邊作為輔助線的時(shí)候不能割裂所給的條件，如果證∠A＝∠C，則連接對角線BD.18.在ΔABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C【答案】證明：過點(diǎn)A作AD⊥BC在Rt△ABD與Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.(2)．倍長中線法：19.己知：在ΔABC中，AD為中線.求證：AD＜【答案與解析】證明：延長AD至E，使DE＝AD，∵AD為中線，∴BD＝CD在△ADC與△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜.【總結(jié)升華】用倍長中線法可將線段AC，2AD，AB轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，把分散的條件集中起來.倍長中線法實(shí)際上是繞著中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°.20、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求證：AB=AC．方法1：如圖，延長AD到E，使DE=AD，連接BE在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）∴AC=BE，∠E=∠2∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC方法2：如圖，過點(diǎn)B作BE∥AC，交AD的延長線于點(diǎn)E∵BE∥AC∴∠E=∠2在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（AAS）∴BE=AC∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC(3).作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：21、在ΔABC中，AB＞AC.求證：∠B＜∠C【答案與解析】證明：作∠A的平分線，交BC于D，把△ADC沿著AD折疊，使C點(diǎn)與E點(diǎn)重合.在△ADC與△ADE中∴△ADC≌△ADE（SAS）∴∠AED＝∠C∵∠AED是△BED的外角，∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.【總結(jié)升華】作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形.(4)．利用截長(或補(bǔ)短)法構(gòu)造全等三角形：22.如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．【思路點(diǎn)撥】因?yàn)锳B＞AC，所以可在AB上截取線段AE＝AC，這時(shí)BE＝AB－AC，如果連接EM，在△BME中，顯然有MB－ME＜BE．這表明只要證明ME＝MC，則結(jié)論成立．【答案與解析】證明：∵AB＞AC，則在AB上截取AE＝AC，連接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．【總結(jié)升華】充分利用角平分線的對稱性，截長補(bǔ)短是關(guān)鍵.(5)．巧用“延長法”構(gòu)造全等三角形：23.如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于D，CE⊥BD的延長線于點(diǎn)E，求證：CE=【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先證明△ABD≌△ACF(ASA)，得出BD=CF，證明△BCE【詳解】證明：如圖所示，延長CE、BA相交于點(diǎn)F．∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF．又∵AB=AC，∠BAC=∠CAF∴△ABD∴BD=CF，在△BCE和△BFE中∠EBF=∠CBE∴△BCE∴CE=EF，∴CE=12CF=12考點(diǎn)6：利用全等三角形解決設(shè)計(jì)測量方案問題24.池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計(jì)方案測量A，B的距離．八年級一班甲，乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接并延長到點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使，，連接，測出的長即可．乙：如圖②，先確定直線，過點(diǎn)作直線，在直線上找可以直接到達(dá)點(diǎn)的一點(diǎn)，連接，作，交直線于點(diǎn)，最后測量的長即可．請分析兩種方案可行的理由．

【詳解】解：甲同學(xué)方案：在和中，，，，，；乙同學(xué)方案：在和中，，，，，．25.如圖，有一條河流（假設(shè)河流兩岸平行，即），由于河水湍急，無法下水，為了測量河的寬度，林師傅給出了以下方法：

在河岸上確定點(diǎn)A（如圖），利用紅外線光束，在河岸上確定點(diǎn)，使得與河岸垂直；從A點(diǎn)沿河岸向東直走，記為點(diǎn)（如圖），繼續(xù)向東直走，到達(dá)點(diǎn)；從點(diǎn)沿垂直河岸的方向行走，行走過程中，用紅外線光束一直對準(zhǔn)，當(dāng)點(diǎn)剛好出現(xiàn)在紅外線光束上時(shí)，停下，記為點(diǎn)；測得的長為．(1)根據(jù)上述方法，河流的寬度為______m；(2)請你根據(jù)林師傅的方法，利用三角板和刻度尺，在圖中畫出，，的位置，并結(jié)合題意說明林師傅作法的科學(xué)性．【答案】(1)8(2)見解析【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，河流的寬度為，故答案為：；（2）解：畫出圖形如下：

根據(jù)題意可得：，，，，∴．26．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）為了解學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用能力，某校老師在七年級數(shù)學(xué)興趣小組活動中，設(shè)置了這樣的問題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計(jì)方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接并延長到點(diǎn)C，連接并延長到點(diǎn)D，使，，連接，測出的長即可．乙：如圖②，先確定直線，過點(diǎn)B作直線，在直線上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接，作，交直線于點(diǎn)C，最后測量的長即可．(1)甲、乙兩同學(xué)的方案哪個(gè)可行？(2)請說明方案可行的理由．【答案】(1)甲同學(xué)的方案可行(2)見解析【詳解】（1）解：甲同學(xué)的方案可行；乙同學(xué)方案不可行；（2）甲同學(xué)方案：在和中，，∴，∴；乙同學(xué)方案：在和中，只能知道，，不能判定與全等，故方案不可行．考點(diǎn)7：全等三角形的探究題27.已知：如圖，，是的中點(diǎn)，平分．(1)若連接，則是否平分？請你證明你的結(jié)論；(2)線段與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．【詳解】（1）平分，理由為：證明：過點(diǎn)作，垂足為，∵平分，∴，∵，∴（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），又∵，∴，∵，，∴平分（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）．（2），理由如下：∵，∴，∴（垂直于同一條直線的兩條直線平行），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又∵（角平分線定義）∴，∴，∴．即．28.如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．考點(diǎn)8：動點(diǎn)問題29.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AQ上運(yùn)動，問P點(diǎn)運(yùn)動到AC上什么位置時(shí)△ABC才能和△APQ全等？解析：本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝5cm，可據(jù)此求出P點(diǎn)的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC，P、C重合．解：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知：(1)當(dāng)P運(yùn)動到AP＝BC時(shí)，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝BC，,PQ＝AB，))∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)當(dāng)P運(yùn)動到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝AC，,PQ＝AB，))∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴當(dāng)AP＝5cm或10cm時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．方法總結(jié)：判定三角形全等的關(guān)鍵是找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．30.（2023八年級·山東淄博·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．點(diǎn)O在BC上，且CO=1，點(diǎn)M是AC上一動點(diǎn)，連接OM，將線段OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OD，要使點(diǎn)D恰好落在AB上，CM的長度為．【答案】5【分析】如圖，作輔助線；首先證明ΔDOE?ΔOMC，得到OC=DE，CM=OE；其次證明BE=DE，求出OE，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥OB于點(diǎn)E；∵∠DEO=∠DOM=∠C，∴∠DOE+∠COM=∠COM+∠CMO，∴∠DOE=∠OMC；由題意得：OD=OM；在ΔDOE與ΔOMC中，∠DOE=∠OMC∠DEO=∠OCM∴ΔDOE?ΔOMC(AAS)，∴DE=OC=1，CM=OE；∵ΔABC為等腰直角三角形，∴∠B=45°，∠BDE=45°，∴BE=DE=1，OE=7?1?1=5，∴CM=OE=5，故答案為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，構(gòu)造全等三角形；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答.31.（2023八年級·湖北武漢·期中）如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，直線l經(jīng)過點(diǎn)C．點(diǎn)M以每秒2cm的速度從B點(diǎn)出發(fā)，沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)N以每秒1cm的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動；兩點(diǎn)到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)就分別停止運(yùn)動．分別過M、N作MD⊥l于點(diǎn)D，NE⊥l于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，要使以點(diǎn)M，D，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)N，E，C為頂點(diǎn)的三角形全等，則t的值為【答案】173【分析】分0≤t≤5，5<t≤6，6<t≤8.5以及8.5<t≤17四種情況進(jìn)行討論，利用全等三角形的判定，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵AC=5cm，BC=12M從B運(yùn)動到C需要：12÷2=6s，從C運(yùn)動到A需要：5÷2=2.5∴M運(yùn)動的總時(shí)間為：8.5sN從A運(yùn)動到C需要：5÷1=5s，從C運(yùn)動到B需要：12÷1=12∴N運(yùn)動的總時(shí)間為：17s∴當(dāng)0≤t≤5時(shí)：MC=12?2t，CN=5?t，∵M(jìn)D⊥l，NE⊥l，∴∠MDC=∠NEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠MCD+∠NCE=∠MCD+∠CMD，∴∠NCE=∠CMD，∴當(dāng)MC=NC時(shí)：△MDC≌△CENAAS即：12?2t=5?t，∴t=7（不合題意，舍去）；當(dāng)：5<t≤6時(shí)，MC=12?2t，CN=t?5，當(dāng)M,N重合時(shí)，，即：CM=CN，△MDC≌△CEN，∴12?2t=t?5，解得：t=17當(dāng)：6<t≤8.5時(shí)，MC=2t?12，CN=t?5，∵∠MDC=∠NEC=90°，∠NCE=∠CMD=90°?∠MCD，∴當(dāng)MC=NC時(shí)：△MDC≌△CENAAS即：2t?12=t?5，解得：t=7；當(dāng)：8.5<t≤17時(shí)，MC=5，CN=t?5，∵∠MDC=∠NEC=90°，∠NCE=∠CMD=90°?∠MCD，∴當(dāng)MC=NC時(shí)：△MDC≌△CENAAS即：5=t?5，解得：t=10；綜上：當(dāng)t的值為173故答案為：173【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形中的動點(diǎn)問題．熟練掌握全等三角形的判定，根據(jù)動點(diǎn)的位置，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵．32．（2023八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段(1)當(dāng)∠BDA=115°時(shí)，∠EDC=°，∠DEC=(2)當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請說明理由．【答案】(1)25，115(2)2【分析】此題主要考查三角形綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．（1）利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌【詳解】（1）解：∵∠ADE=40°，∠∴∠EDC=180°?∴∠AED=∴∠DEC=180°?（2）解：當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，在△ABD和△DCE中，∠ADB=∠DEC∠B=∠C∴△ABD≌△DCEAAS33.如圖，已知中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

(1)如果點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動．①若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過秒后，與是否全等，請說明理由．②若點(diǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動速度為___時(shí)，在某一時(shí)刻也能夠使與全等．(2)若點(diǎn)以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都按逆時(shí)針方向沿的三邊運(yùn)動．求經(jīng)過多少秒后，點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，并寫出第一次相遇點(diǎn)在的哪條邊上？【答案】(1)①全等，理由見詳解；②(2)經(jīng)過后，點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇【詳解】（1）解：①全等，理由如下，∵，∴，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴；②假設(shè)，且，∴，∵，，∴，，∴點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間，∴點(diǎn)的速度為：，∴當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動速度為時(shí)，與全等，故答案為：．（2）解：設(shè)經(jīng)過后點(diǎn)相遇，∴，解得，，∴點(diǎn)共運(yùn)動了，∵，∴點(diǎn)，點(diǎn)在邊上相遇，∴經(jīng)過后，點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇．34.已知：中，，，D為直線上一動點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作，且．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，過點(diǎn)E作于H，連接DE，求證：；

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時(shí)，連接交的延長線于點(diǎn)M．求證：．

【詳解】（1）∵，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．（2）如圖，作交的延長線于點(diǎn)F，

∵，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∵．35．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谥校┤鐖D①，，，，．點(diǎn)P在線段AB上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動，它們運(yùn)動的時(shí)間為．

(1)______；（用t的式子表示）(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)時(shí)，與是否全等，請說明理由，并判斷此時(shí)線段和線段的位置關(guān)系；(3)如圖②，將圖①中的“，”改為“”，其他條件不變，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為，是否存在實(shí)數(shù)x，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)；；理由見解析(3)存在，或，使得與全等【詳解】（1）解：∵點(diǎn)P在線段AB上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，∴，∵，∴，故答案為：．（2）解：，，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，又，在和中，∵，，，，，∴．（3）解：由題意可得：，，，，①若，則，，則，，解得：，；②若，則，，則，解得：，；綜上所述，存在，或，使得與全等．一、單選題1．（23-24八年級上·天津?qū)幒印て谥校┮阎獮榈慕瞧椒志€，作于D，則下列結(jié)論：；；；．其中一定成立的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；先證得，，，則①②③成立，再由直角三角形的性質(zhì)得，，當(dāng)時(shí)，，則④不一定成立，即可得出結(jié)論．【詳解】∵為的角平分線，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，，故①②③成立，∵，∴，，當(dāng)時(shí)，，故④不一定成立，一定成立的有3個(gè)，故選：C．2．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）在中，，中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，作輔助線（延長至，使，連接）構(gòu)建全等三角形，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等知；而三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，據(jù)此可以求得的取值范圍．【詳解】解：延長至，使，連接，則，∵是邊上的中線，是中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，由三角形三邊關(guān)系，得，即，∴．故選：B．3．（22-23八年級上·福建福州·開學(xué)考試）如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】此題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．先根據(jù)得到，根據(jù)“”對①進(jìn)行判斷；根據(jù)“”對③進(jìn)行判斷；根據(jù)“”對④進(jìn)行判斷；根據(jù)全等三角形的判定方法對②進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，∴，即，當(dāng)時(shí)，在和中，，∴；當(dāng)時(shí)，不能判斷．當(dāng)時(shí)，在和中，，∴；當(dāng)時(shí)，在和中，，∴；綜上分析可知，能使的條件有3個(gè)．故選：C．4．（23-24八年級上·福建廈門·期中）如圖，在四邊形中，，平分，，，，，則的面積是（

）

A． B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義和三角形的面積，利用全等三角形的性質(zhì)求出是解此題的關(guān)鍵．可以過D作，交的延長線于F，證明得出，，再證明，得出，求出，求出的面積即可．【詳解】解：過D作，交的延長線于F，

∵平分，∴，在和中，，∴∴，，在和中，∴，∴，∴∴的面積為，故選：A．5．（23-24八年級上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法畫角平分線：如圖擺放使得三角板刻度相同，即，畫射線，則平分．作圖過程用了，那么所用的判定定理是（

），A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判斷和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件得出得出答案．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴．故選：C．6．（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，于，于，，要根據(jù)“”證明，則還要添加一個(gè)條件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查的是直角三角形的全等的判定，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“”）．直接根據(jù)直角三角形的全等的判定方法可得答案．【詳解】解：在和中，，，故選：B．7．（23-24八年級上·重慶渝北·階段練習(xí)）如圖所示，在中，，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)分別向、作垂線段，則能夠說明的理由是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)證明即可，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握全等三角形的判定方法，，，，．【詳解】∵為中點(diǎn)，∴，∵由點(diǎn)分別向、作垂線段、，∴，在與中，，∴，故選：．8．（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，給出下列結(jié)論：；②；③；，其中正確的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，證明得出，即可判斷①②；證明即可判斷③；證明得出，即可判斷④，從而得出答案．【詳解】解：，，，，，，故②正確，符合題意；，即，故①正確，符合題意；，，，，，故③正確，符合題意；，，，，，，，，，和不一定相等，故④錯誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①②③，故選：A．9．（22-23八年級上·重慶綦江·期末）如圖所示，在中，，平分，為線段上一動點(diǎn)，為

邊上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D【分析】先在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在上截取，連接，如圖：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，如圖：∵，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最小時(shí)點(diǎn)P的位置．10．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在五邊形中，，，，且，，則五邊形的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三點(diǎn)共線，解題的關(guān)鍵是利用全等的性質(zhì)將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，首先證明點(diǎn)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，證明，得到，，再將所求面積轉(zhuǎn)化為進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，，則，，，即點(diǎn)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，，，即，在和中，，，，五邊形的面積為：，，．故選：D．二、填空題11．如圖，中，，分別過點(diǎn)B、C作過點(diǎn)A的直線的垂線，垂足分別為D、E，若，則．【答案】5【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理．首先證明，然后再根據(jù)定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：，，，，，，，，在和中，，，，．故答案為：5．12．（22-23八年級上·湖南益陽·期末）如圖，在四邊形中，，過的中點(diǎn)O，分別交和于點(diǎn)E、F，若，則．【答案】2【分析】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，可得，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在中，，，∴，∴，故答案為：．13．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，D為中斜邊上的一點(diǎn)，且，過D作BC的垂線，交于E．若，則的長為cm【答案】6【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，先連接，再根據(jù)“”證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】連接．在和中，，∴，∴．故答案為：6．14．（2024·四川成都·二模）要測量河岸相對兩點(diǎn)A、B的距離，已知垂直于河岸，先在上取兩點(diǎn)C、D，使，再過點(diǎn)D作的垂線段，使點(diǎn)A、C、E在一條直線上，如圖．若測出米，則的長為米．【答案】20【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，熟練掌握全等三角形的判定定理是關(guān)鍵．由、均垂直于，即可得出，結(jié)合、即可證出，由此即可得出，此題得解．【詳解】解：，，，在和中，，，．故答案為：20．15．（23-24八年級下·湖南邵陽·期中）如圖，ABC中，，是上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為，，若，則的值為．【答案】/14厘米【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】解：在和中