清華大學2024年強基計劃數(shù)學試題(解析)_第1頁
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第1頁/共1頁清華大學2024年強基計劃筆試1.點.求滿足的整點的個數(shù).【答案】65【解析】【分析】設,直線的方程為,,設,則,把,代入,討論可得答案.【詳解】設,直線的方程為,即,,設,則,代入,化簡得,當時,,,有5個整點;當時,,,有5個整點;當時,,,有5個整點;當時,,,有5個整點;當時,,,有5個整點;當時,,,有5個整點;當時,,,有5個整點;根據(jù)對稱性,當時,也分別有5個整點,所以共有65個整點.2.均為正數(shù),則的最大,最小值是否存在?是多少?【答案】存在,的最大值為3,最小值為.【解析】【分析】根據(jù)已知條件進行化簡,構造函數(shù)利用函數(shù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性,解出最值,再根據(jù)條件限制范圍;【詳解】由題意知,,令則,且令,則,令,則遞增,遞減;所以,此時,因此所以的最大,最小值存在,的最大值為3,最小值為.3.點集且,則由中的點可以組成多少個不同的三角形?【答案】1056【解析】【分析】利用組合數(shù)的知識結合圖象分析即可.【詳解】總共有種,如圖,三點共線(粗虛線)有8組,四點共線有9組(圖中實線加上5條豎線),五點共線有4組,于是一共能組成種.故答案為:1056.4.拋物線,焦點為.過焦點的直線交于兩點.過作平行于點切線的直線交于點,交軸于點.設,則()A..B.的最大值為16.C.D.【答案】CD【解析】【分析】對于,設直線的方程為,聯(lián)立拋物線方程用韋達定理即可判斷;對于,求導得,則直線的斜率為,進而可得直線的方程,聯(lián)立拋物線方程用韋達定理即可判斷;對于,過作軸平行線交于,結合選項知,的面積等于的2倍,根據(jù)直線的方程可得,可求,進一步可求得,利用基本不等式結合即可判斷.對于,由直線的方程可得坐標,進一步可得,即可判斷;【詳解】如圖所示,切線記為,記為.對于,直線的斜率存在,故設直線的方程為,聯(lián)立,消去得,,所以,故,故錯誤;對于,因為,所以,則直線的斜率為,故直線方程為,即,聯(lián)立,消去得,故,故正確;對于,不妨設,過作軸平行線交于,根據(jù)選項知,的面積等于的2倍.(下面證明一下),,,由D選項的證明知道,則直線的方程為,當時,,故,由選項知,故,當且僅當,即時取等號,即,所以,故錯誤.對于,由直線的方程可得,,,所以,故正確;故選:CD.5.非負,則的最大值和最小值是否存在?是多少?【答案】存在最小值,最小值為2,不存在最大值【解析】【分析】由題意,中至多一個數(shù)為0,不妨設,可得,當全不為0時,可得,從而可得有最小值2,由當,可得無最大值.【詳解】由題意,中至多一個數(shù)為0,不妨設,則,當且僅當時取等號,當全不為0時,,當且僅當時取等號,,當且僅當時取等號,,當且僅當時取等號,因為,,,不能同時成立,所以,綜上所述:,所以非負有最小值,最小值為2;當,可得,故非負無最大值.6..則()A.若有兩個解,則.B.若有最小值,則.C.若有最小值,則.D.若有兩個解,則.【答案】AD【解析】【分析】求得,得出函數(shù)的單調性和極值,判定A正確;當時,得到取得最小值0,當時,,可判定B、C錯誤;設,令,利用導數(shù)求得在單調遞增,得到,進而轉化為,根據(jù)函數(shù)的單調性,求得,可判定D正確.【詳解】由函數(shù),可得,當時,;當時,,所以在單調遞增,在單調遞減,當時,函數(shù)取得極大值,極大值為,且當,,當時,,所以有兩個解,則,所以A正確;當時,方程恒有根,取得最小值0都成立;當時,,所以,即時,恒有最小值,所以B、C都不正確;設,令,可得,當時,且,所以,可得,所以在單調遞增,所以,所以在時,,又由時,,所以,且,在上單調遞增,又因為有兩個解,則,不妨令,則,由,因為,所以,又因為,所以,因為,可得,且,且函數(shù)在為單調遞增函數(shù),所以,所以,所以D正確.故選:AD.【點睛】方法總結:利用導數(shù)證明或判定不等式問題:1、通常要構造新函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值(最值),從而得出不等關系;2、利用可分離變量,構造新函數(shù),直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題,從而判定不等關系;3、適當放縮構造法:根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結論,從而判定不等關系;4、構造“形似”函數(shù),變形再構造,對原不等式同解變形,根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).7.圓上7點所成線段中任取兩條,這兩條線段無公共點的概率為?【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意,先求出形成多少條線段,然后求出任取兩條線段種數(shù),再從中求出兩條線段無公共點的種數(shù),結合古典概型求概率即可.【詳解】圓上7點形成條線段,從中任取兩條線段有種方法,任意四個點對應兩組不相交的線段,故兩條線段無公共點的有種方法,所以任取兩條線段,它們無公共點的概率為.8.復方程的所有復數(shù)根的平方和為?【答案】【解析】【分析】將問題轉化為求方程的所有復數(shù)根的平方和,然后使用韋達定理即可得到答案.【詳解】方程可化為.從而原方程的所有復數(shù)根的平方和等于方程的所有復數(shù)根的平方和.設該方程的個復數(shù)根為,則由韋達定理有,.所以.故原方程的所有復數(shù)根的平方和為.9.已知,則可以是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用積化和差和輔助角公式得到,即可求解得到或,,可求答案.【詳解】,,,,,,,,或,,,,或,,經(jīng)檢驗,符合,其它都不符合.故選:B.10.在有解,則可能的取值為?【答案】任意實數(shù)【解析】【分析】分和兩種情況討論,當時,將視為關于的二元一次方程,根據(jù)直線與恒相交可得.【詳解】將視為關于的二元一次方程,以為橫坐標,縱坐標,則表示斜率為的直線,當時,;當時,,記,則直線與恒相交,所以,.綜上,可能的取值為一切實數(shù).11.在內(nèi)有三個不等實根,則的取值范圍?【答案】【解析】【分析】根據(jù)在內(nèi)有三個不等實根,不防設,則有,,.代入,則,再結合范圍求解即可.【詳解】設,在內(nèi)有三個不等實根,,,.且,設,,,則,,,,,.12.,則()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】先利用的單調性證明,然后直接得到,并通過證明,得出,即可驗證C,D正確;然后利用該范圍直接估計出的下界,即可得到A正確,B錯誤.【詳解】對于D,構造,易得在上遞增,而,,所以有唯一的正根,且該根位于區(qū)間,因為,所以,則,故,.所以,故D正確;對于C,而,,故,而,所以有,故C正確;對于AB,由,知.從而,故A正確,B錯誤.故選:ACD.13.已知復數(shù)滿足,,則的最小值為?【答案】【解析】【分析】先對和證明不存在滿足條件的,再對證明滿足條件,即可得到的最小值為.【詳解】若,則,得,矛盾;若,則,解得.故是實數(shù),從而由知,代入得或,矛盾;以上討論表明,必有.而當時,對,有,且有,故滿足條件.所以的最小值為.14.四面體中,.求與所成角余弦的最值.【答案】無最大值,有最小值為0.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積公式計算兩直線夾角余弦值;【詳解】如圖所示,設與所成角為,,在中,根據(jù)三角形的三邊關系可知,所以則因此與所成角余弦的無最大值,有最小值為0.15.正四面體中,棱長為.點滿足,則的()A.最小值為.B.最大值為C.最小值為D.最大值為【答案】BC【解析】【分析】由題意,確定點在球上,根據(jù)空間向量的線性運算和數(shù)量積的運算求得的表達式,結合三角函數(shù)的性質即可求解.【詳解】設的中點,則,即,又,所以,即點落在以為球心,以1為半徑的球上.因為,所以.由正四面體的棱長為,得,所以,設,則,又,所以,即的最大值為,最小值為.故選:BC16.已知正方體,初始時與重合,每一步都等可能得移動到相鄰頂點,記移動步后仍在面上的概率為,則()A.移動步后,仍在點的概率為B.C.D.與的遞推式為【答案】BCD【解析】【分析】首先將問題轉化為關于的展開式問題,然后將仍在點轉化為各個字母的指數(shù)均為偶數(shù),將仍在面上轉化為的指數(shù)為偶數(shù),研究相應的項的系數(shù)和,再逐一驗證每個選項即可.【詳解】可以注意到,在運動次后,點的位置只取決于:點沿著的方向或反方向運動的次數(shù).我們考慮的展開式,該式展開時,相當于從個中各選取一項并作乘積,遍歷所有種選法并相加.每個選法恰好也對應唯一一組點沿著的方向或反方向運動的次數(shù),它們相乘后得到.再將所有項相加,我們就得到了若干個形如的項之和,這里是點沿著的方向或反方向運動的次數(shù)分別為的概率.對于A,由于移動步后,仍在點就相當于滿足都是偶數(shù),故所求概率即為的展開式中,三個字母的指數(shù)均為偶數(shù)的項的系數(shù)和.設,則三個字母的指數(shù)均為偶數(shù)的項的系數(shù)和就是.代入得到該表達式的值為,這即為所求的概率,故A錯誤;對于B,C,D,由于移動步后,仍在面上當且僅當滿足是偶數(shù),故即為的展開式中,的指數(shù)為偶數(shù)的項的系數(shù)和.設,則的指數(shù)為偶數(shù)的項的系數(shù)和就是.代入得到,所以.故,,故B,C正確.同時由有,故,所以,故D正確.故選:BCD.17.,,則()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】通過裂項及導數(shù)方法證明,然后確定和的大致范圍,即可判斷A,C;先證明數(shù)列無界,然后利用并結合遞推式得到,然后利用極限的平均數(shù)性質得到,最后使用極限的四則運算即可得到,,從而判斷B,D.【詳解】由已知有,故數(shù)列單調遞增.對于A,C,由于,且.故對,有,從而歸納即知.故,所以對有.從而.設,則對有,所以在上遞增,從而對有,即.對,在中令,得,即.所以.綜上,對,有.這就得到,.從而由,,知,從而,故A錯誤;再由,,知,從而,故C正確;對于B,D,假設數(shù)列有界,則存在,設.則,且,從而,矛盾.所以數(shù)列無界,這就得到,故.而,故.所以由極限的平均數(shù)性質得到,即.而,故.從而,故B正確;而,故D錯誤;故選:BC.18.復數(shù)列,且,則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】對遞推式進行處理,求出的表達式,然后使用幾何意義及圓的方程求解最大值.【詳解】由已知有,且.故,得.設,則.解得.由于對,有.而由可知,復數(shù)在復平面上位于區(qū)域內(nèi),即圓內(nèi)部或其邊界上.從而.故.所以.而當,且復數(shù)位于圓上,且在圓心與的連線上時,等號成立.所以的最大值是.故答案為:.19.某區(qū)域僅有東西向或南北向道路,某人從區(qū)域中心出發(fā)后又回到起點,且路途中不經(jīng)過重復區(qū)域,已知此人左轉次,則其右轉次數(shù)可以是()A.BC.D.【答案】BD【解析】【分析】分析該人面向方向的角度在整個路途中的轉動情況,再結合左轉和右轉的幾何意義,得到可能的次數(shù),最后給出例子驗證.【詳解】如果原點處不同時出現(xiàn)東西向和南北向道路,則由于該人路途中不經(jīng)過任何區(qū)域,故該人面向的方向從出發(fā)到回到起點總共旋轉了.而每次左轉時,面向的方向逆時針旋轉了,每次右轉時,面向的方向順時針旋轉了.故左轉次數(shù)與右轉次數(shù)之差一定是或.所以右轉次數(shù)只可能是或.而對于下列路徑:左轉次數(shù)和右轉次數(shù)分別是和;對于下列路徑:左轉次數(shù)和右轉次數(shù)分別是和.故右轉次數(shù)的所有可能值就是和.如果原點處同時出現(xiàn)東西向和南北向道路,則將路線進行輕微平移,然后利用上一種情況的結論可知,在原點之外進行的右轉次數(shù)一定是奇數(shù),沒有選項符合該條件.以上表明B,D正確,且A,C錯誤.故選:BD.20.正整數(shù)均不大于,且滿足.求滿足這樣條件的的組數(shù).【答案】【解析】【分析】對和的大小關系分類討論,當時,容易得到共有組解;而當時,經(jīng)過分類及不重不漏的討論可以最終得到共有組解;同理當時也有組解,這樣便能得到總共的解有組.【詳解】分三種情況討論:情況1:.此時有,故,也容易驗證時原方程一定成立.所以此種情況下原方程的解有,總共組解;情況2:.此時有,,故.由方程也可直接得到.從而,故由可得.從而當取定后,和可以選取的值就是的一對乘積為的不等因數(shù).記,,這里是正整數(shù),由,知.同時,由表達式可知和的奇偶性均與的奇偶性相同,故和的奇偶性相同.還可由得到,即.至此,我們的目標就確定為:當取定后,確定的所有滿足,且使得和的奇偶性相同的正因數(shù)的個數(shù)(根據(jù)前面的證明,所求的恰對應每組,這里為此處所述).換元,則命題等價于尋找所有滿足的正整數(shù),使得和的奇偶性相同,且整除.若是奇數(shù),則和必然都是奇數(shù),從而和的奇偶性必定相同,故只需要考慮其它條件.若直接對每個計算的個數(shù)再相加,則問題很繁瑣,因此這里反過來,對每個可能的,我們計算對應的的個數(shù).當確定時,我們需要,且是的倍數(shù).如果不包含任何平方因子,則由,且是的倍數(shù),知,且是的倍數(shù),這不可能.所以除非,否則都有.直接計算剩余的數(shù),得到,,,,,,,,,,,,,,.故所有的之和為.而當是偶數(shù)時,也是偶數(shù),我們?nèi)匀挥妙愃频姆椒ㄓ嬎銓γ總€可能的,相應的的個數(shù).:當確定時,我們需要計算的個數(shù),使得,且是的偶數(shù)倍.如果,是奇數(shù)且不含任何平方因子,則由,且是的偶數(shù)倍,知,且是的倍數(shù),從而只可能是.如果不包含任何平方因子,則由,且是的倍數(shù),知,且是的倍數(shù),這不可能.所以除非,或,否則都有.直接計算剩余的數(shù),得到,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.故所有的之和為.所以,此種情況下的解共有組;情況3:.與情況2同理,此時的解共有組.綜上,原方程的解共有組.21.的所有極值點依次為的,則______.【答案】【解析】【分析】先證明的所有極值點恰為其導函數(shù)的零點,然后研究在上的零點的性質,即可得到結果.【詳解】由于,而當時,所以的極值點都不小于.同時,由于當時,有,即.假設,則,得.但,矛盾,所以,故.這表明,的全體極值點就是的全體零點.由于題目所求的是,而在有限區(qū)間上只有有限個零點,故我們可以只考慮在上的零點.此時,若,則由,知,從而由,知.而對有,,其符號總是恒定,所以在上單調.結合,,知.這表明,當時,的零點均落入某個,且在每個上恰有一個零點.設上的零點為,則.而,,故.而,故.同理有.所以.這就得到,所以.故答案為:.22.有零點,則的最小值為多少.【答案】【解析】【分析】將方程看成關于的二元一次方程,轉化為原點到直線的距離的平方,再結合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意可知,方程有實數(shù)根,將關于的方程看成關于的直線方程,則可視為直線上的點到原點的距離的平方,其最小值即為原點到直線的距離的平方,所以,,令,則,因為,所以,則,由對勾函數(shù)的單調性可知,在上單調遞增,所以.所以的最小值為.【點睛】關鍵點點睛:本題的關鍵是方程主次元的轉化,構造的幾何意義.23.1.是在上的連續(xù)函數(shù),設,則().A. B. C. D..【答案】A【解析】【分析】舉反例即可反駁BCD,利用絕對值不等式即可判斷A正確.【詳解】對CD,取,則有,則,則,故C錯誤,,則,故D錯誤;對B,取,則.此時,則B選項錯誤;由絕對值不等式得,.因

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