清華大學2024年強基計劃數(shù)學試題（解析）

第1頁/共1頁清華大學2024年強基計劃筆試1.點．求滿足的整點的個數(shù).【答案】65【解析】【分析】設，直線的方程為，，設，則，把，代入，討論可得答案.【詳解】設，直線的方程為，即，，設，則，代入，化簡得，當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；根據(jù)對稱性，當時，也分別有5個整點，所以共有65個整點.2.均為正數(shù)，則的最大，最小值是否存在？是多少？【答案】存在，的最大值為3，最小值為.【解析】【分析】根據(jù)已知條件進行化簡，構造函數(shù)利用函數(shù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，解出最值，再根據(jù)條件限制范圍；【詳解】由題意知，，令則，且令，則，令，則遞增，遞減；所以，此時，因此所以的最大，最小值存在，的最大值為3，最小值為.3.點集且，則由中的點可以組成多少個不同的三角形？【答案】1056【解析】【分析】利用組合數(shù)的知識結合圖象分析即可.【詳解】總共有種,如圖，三點共線（粗虛線）有8組，四點共線有9組（圖中實線加上5條豎線），五點共線有4組，于是一共能組成種.故答案為：1056.4.拋物線，焦點為．過焦點的直線交于兩點．過作平行于點切線的直線交于點，交軸于點．設，則（）A.．B.的最大值為16．C.D.【答案】CD【解析】【分析】對于，設直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程用韋達定理即可判斷；對于，求導得，則直線的斜率為，進而可得直線的方程，聯(lián)立拋物線方程用韋達定理即可判斷；對于，過作軸平行線交于，結合選項知，的面積等于的2倍，根據(jù)直線的方程可得，可求，進一步可求得，利用基本不等式結合即可判斷．對于，由直線的方程可得坐標，進一步可得，即可判斷；【詳解】如圖所示，切線記為，記為．對于，直線的斜率存在，故設直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，所以，故，故錯誤；對于，因為，所以，則直線的斜率為，故直線方程為，即，聯(lián)立，消去得，故，故正確；對于，不妨設，過作軸平行線交于，根據(jù)選項知，的面積等于的2倍．（下面證明一下）,，，由D選項的證明知道，則直線的方程為，當時，，故，由選項知，故，當且僅當，即時取等號，即，所以，故錯誤．對于，由直線的方程可得，，，所以，故正確；故選：CD.5.非負，則的最大值和最小值是否存在？是多少？【答案】存在最小值，最小值為2，不存在最大值【解析】【分析】由題意，中至多一個數(shù)為0，不妨設，可得，當全不為0時，可得，從而可得有最小值2，由當，可得無最大值.【詳解】由題意，中至多一個數(shù)為0，不妨設，則，當且僅當時取等號，當全不為0時，，當且僅當時取等號，，當且僅當時取等號，，當且僅當時取等號，因為，，，不能同時成立，所以，綜上所述：，所以非負有最小值，最小值為2；當，可得，故非負無最大值.6.．則（）A.若有兩個解，則．B.若有最小值，則．C.若有最小值，則．D.若有兩個解，則．【答案】AD【解析】【分析】求得，得出函數(shù)的單調性和極值，判定A正確；當時，得到取得最小值0，當時，，可判定B、C錯誤；設，令，利用導數(shù)求得在單調遞增，得到，進而轉化為，根據(jù)函數(shù)的單調性，求得，可判定D正確.【詳解】由函數(shù)，可得，當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，且當，，當時，，所以有兩個解，則，所以A正確；當時，方程恒有根，取得最小值0都成立；當時，，所以，即時，恒有最小值，所以B、C都不正確；設，令，可得，當時，且，所以，可得，所以在單調遞增，所以，所以在時，，又由時，，所以，且，在上單調遞增，又因為有兩個解，則，不妨令，則，由，因為，所以，又因為，所以，因為，可得，且，且函數(shù)在為單調遞增函數(shù)，所以，所以，所以D正確.故選：AD.【點睛】方法總結：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關系；3、適當放縮構造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；4、構造“形似”函數(shù)，變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).7.圓上7點所成線段中任取兩條，這兩條線段無公共點的概率為？【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出形成多少條線段，然后求出任取兩條線段種數(shù)，再從中求出兩條線段無公共點的種數(shù)，結合古典概型求概率即可.【詳解】圓上7點形成條線段，從中任取兩條線段有種方法，任意四個點對應兩組不相交的線段，故兩條線段無公共點的有種方法，所以任取兩條線段，它們無公共點的概率為.8.復方程的所有復數(shù)根的平方和為？【答案】【解析】【分析】將問題轉化為求方程的所有復數(shù)根的平方和，然后使用韋達定理即可得到答案.【詳解】方程可化為.從而原方程的所有復數(shù)根的平方和等于方程的所有復數(shù)根的平方和.設該方程的個復數(shù)根為，則由韋達定理有，.所以.故原方程的所有復數(shù)根的平方和為.9.已知，則可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用積化和差和輔助角公式得到，即可求解得到或，，可求答案.【詳解】，，，，，，，，或，,，，或，，經(jīng)檢驗，符合，其它都不符合.故選：B.10.在有解，則可能的取值為？【答案】任意實數(shù)【解析】【分析】分和兩種情況討論，當時，將視為關于的二元一次方程，根據(jù)直線與恒相交可得.【詳解】將視為關于的二元一次方程，以為橫坐標，縱坐標，則表示斜率為的直線，當時，；當時，，記，則直線與恒相交，所以，.綜上，可能的取值為一切實數(shù).11.在內(nèi)有三個不等實根，則的取值范圍？【答案】【解析】【分析】根據(jù)在內(nèi)有三個不等實根，不防設，則有，，.代入，則，再結合范圍求解即可.【詳解】設，在內(nèi)有三個不等實根，，，.且，設，，，則，，,，，.12.，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】先利用的單調性證明，然后直接得到，并通過證明，得出，即可驗證C，D正確；然后利用該范圍直接估計出的下界，即可得到A正確，B錯誤.【詳解】對于D，構造，易得在上遞增，而，，所以有唯一的正根，且該根位于區(qū)間，因為，所以，則，故，.所以，故D正確；對于C，而，，故，而，所以有，故C正確；對于AB，由，知.從而，故A正確，B錯誤.故選：ACD.13.已知復數(shù)滿足，，則的最小值為？【答案】【解析】【分析】先對和證明不存在滿足條件的，再對證明滿足條件，即可得到的最小值為.【詳解】若，則，得，矛盾；若，則，解得.故是實數(shù)，從而由知，代入得或，矛盾；以上討論表明，必有.而當時，對，有，且有，故滿足條件.所以的最小值為.14.四面體中，.求與所成角余弦的最值．【答案】無最大值，有最小值為0.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積公式計算兩直線夾角余弦值；【詳解】如圖所示，設與所成角為，,在中，根據(jù)三角形的三邊關系可知,所以則因此與所成角余弦的無最大值，有最小值為0.15.正四面體中，棱長為．點滿足，則的（）A.最小值為．B.最大值為C.最小值為D.最大值為【答案】BC【解析】【分析】由題意，確定點在球上，根據(jù)空間向量的線性運算和數(shù)量積的運算求得的表達式，結合三角函數(shù)的性質即可求解.【詳解】設的中點，則，即，又，所以，即點落在以為球心，以1為半徑的球上.因為，所以.由正四面體的棱長為，得，所以，設，則，又，所以，即的最大值為，最小值為.故選：BC16.已知正方體，初始時與重合，每一步都等可能得移動到相鄰頂點，記移動步后仍在面上的概率為，則（）A.移動步后，仍在點的概率為B.C.D.與的遞推式為【答案】BCD【解析】【分析】首先將問題轉化為關于的展開式問題，然后將仍在點轉化為各個字母的指數(shù)均為偶數(shù)，將仍在面上轉化為的指數(shù)為偶數(shù)，研究相應的項的系數(shù)和，再逐一驗證每個選項即可.【詳解】可以注意到，在運動次后，點的位置只取決于：點沿著的方向或反方向運動的次數(shù).我們考慮的展開式，該式展開時，相當于從個中各選取一項并作乘積，遍歷所有種選法并相加.每個選法恰好也對應唯一一組點沿著的方向或反方向運動的次數(shù)，它們相乘后得到.再將所有項相加，我們就得到了若干個形如的項之和，這里是點沿著的方向或反方向運動的次數(shù)分別為的概率.對于A，由于移動步后，仍在點就相當于滿足都是偶數(shù)，故所求概率即為的展開式中，三個字母的指數(shù)均為偶數(shù)的項的系數(shù)和.設，則三個字母的指數(shù)均為偶數(shù)的項的系數(shù)和就是.代入得到該表達式的值為，這即為所求的概率，故A錯誤；對于B，C，D，由于移動步后，仍在面上當且僅當滿足是偶數(shù)，故即為的展開式中，的指數(shù)為偶數(shù)的項的系數(shù)和.設，則的指數(shù)為偶數(shù)的項的系數(shù)和就是.代入得到，所以.故，，故B，C正確.同時由有，故，所以，故D正確.故選：BCD.17.，，則（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】通過裂項及導數(shù)方法證明，然后確定和的大致范圍，即可判斷A，C；先證明數(shù)列無界，然后利用并結合遞推式得到，然后利用極限的平均數(shù)性質得到，最后使用極限的四則運算即可得到，，從而判斷B，D.【詳解】由已知有，故數(shù)列單調遞增.對于A，C，由于，且.故對，有，從而歸納即知.故，所以對有.從而.設，則對有，所以在上遞增，從而對有，即.對，在中令，得，即.所以.綜上，對，有.這就得到，.從而由，，知，從而，故A錯誤；再由，，知，從而，故C正確；對于B，D，假設數(shù)列有界，則存在，設.則，且，從而，矛盾.所以數(shù)列無界，這就得到，故.而，故.所以由極限的平均數(shù)性質得到，即.而，故.從而，故B正確；而，故D錯誤；故選：BC.18.復數(shù)列，且，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】對遞推式進行處理，求出的表達式，然后使用幾何意義及圓的方程求解最大值.【詳解】由已知有，且.故，得.設，則.解得.由于對，有.而由可知，復數(shù)在復平面上位于區(qū)域內(nèi)，即圓內(nèi)部或其邊界上.從而.故.所以.而當，且復數(shù)位于圓上，且在圓心與的連線上時，等號成立.所以的最大值是.故答案為：.19.某區(qū)域僅有東西向或南北向道路，某人從區(qū)域中心出發(fā)后又回到起點，且路途中不經(jīng)過重復區(qū)域，已知此人左轉次，則其右轉次數(shù)可以是（）A.BC.D.【答案】BD【解析】【分析】分析該人面向方向的角度在整個路途中的轉動情況，再結合左轉和右轉的幾何意義，得到可能的次數(shù)，最后給出例子驗證.【詳解】如果原點處不同時出現(xiàn)東西向和南北向道路，則由于該人路途中不經(jīng)過任何區(qū)域，故該人面向的方向從出發(fā)到回到起點總共旋轉了.而每次左轉時，面向的方向逆時針旋轉了，每次右轉時，面向的方向順時針旋轉了.故左轉次數(shù)與右轉次數(shù)之差一定是或.所以右轉次數(shù)只可能是或.而對于下列路徑：左轉次數(shù)和右轉次數(shù)分別是和；對于下列路徑：左轉次數(shù)和右轉次數(shù)分別是和.故右轉次數(shù)的所有可能值就是和.如果原點處同時出現(xiàn)東西向和南北向道路，則將路線進行輕微平移，然后利用上一種情況的結論可知，在原點之外進行的右轉次數(shù)一定是奇數(shù)，沒有選項符合該條件.以上表明B，D正確，且A，C錯誤.故選：BD.20.正整數(shù)均不大于，且滿足．求滿足這樣條件的的組數(shù)．【答案】【解析】【分析】對和的大小關系分類討論，當時，容易得到共有組解；而當時，經(jīng)過分類及不重不漏的討論可以最終得到共有組解；同理當時也有組解，這樣便能得到總共的解有組.【詳解】分三種情況討論：情況1：.此時有，故，也容易驗證時原方程一定成立.所以此種情況下原方程的解有，總共組解；情況2：.此時有，，故.由方程也可直接得到.從而，故由可得.從而當取定后，和可以選取的值就是的一對乘積為的不等因數(shù).記，，這里是正整數(shù)，由，知.同時，由表達式可知和的奇偶性均與的奇偶性相同，故和的奇偶性相同.還可由得到，即.至此，我們的目標就確定為：當取定后，確定的所有滿足，且使得和的奇偶性相同的正因數(shù)的個數(shù)（根據(jù)前面的證明，所求的恰對應每組，這里為此處所述）.換元，則命題等價于尋找所有滿足的正整數(shù)，使得和的奇偶性相同，且整除.若是奇數(shù)，則和必然都是奇數(shù)，從而和的奇偶性必定相同，故只需要考慮其它條件.若直接對每個計算的個數(shù)再相加，則問題很繁瑣，因此這里反過來，對每個可能的，我們計算對應的的個數(shù).當確定時，我們需要，且是的倍數(shù).如果不包含任何平方因子，則由，且是的倍數(shù)，知，且是的倍數(shù)，這不可能.所以除非，否則都有.直接計算剩余的數(shù)，得到，，，，，，，，，，，，，，.故所有的之和為.而當是偶數(shù)時，也是偶數(shù)，我們?nèi)匀挥妙愃频姆椒ㄓ嬎銓γ總€可能的，相應的的個數(shù).：當確定時，我們需要計算的個數(shù)，使得，且是的偶數(shù)倍.如果，是奇數(shù)且不含任何平方因子，則由，且是的偶數(shù)倍，知，且是的倍數(shù)，從而只可能是.如果不包含任何平方因子，則由，且是的倍數(shù)，知，且是的倍數(shù)，這不可能.所以除非，或，否則都有.直接計算剩余的數(shù)，得到，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.故所有的之和為.所以，此種情況下的解共有組；情況3：.與情況2同理，此時的解共有組.綜上，原方程的解共有組.21.的所有極值點依次為的，則______．【答案】【解析】【分析】先證明的所有極值點恰為其導函數(shù)的零點，然后研究在上的零點的性質，即可得到結果.【詳解】由于，而當時，所以的極值點都不小于.同時，由于當時，有，即.假設，則，得.但，矛盾，所以，故.這表明，的全體極值點就是的全體零點.由于題目所求的是，而在有限區(qū)間上只有有限個零點，故我們可以只考慮在上的零點.此時，若，則由，知，從而由，知.而對有，，其符號總是恒定，所以在上單調.結合，，知.這表明，當時，的零點均落入某個，且在每個上恰有一個零點.設上的零點為，則.而，，故.而，故.同理有.所以.這就得到，所以.故答案為：.22.有零點，則的最小值為多少.【答案】【解析】【分析】將方程看成關于的二元一次方程，轉化為原點到直線的距離的平方，再結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意可知，方程有實數(shù)根，將關于的方程看成關于的直線方程，則可視為直線上的點到原點的距離的平方，其最小值即為原點到直線的距離的平方，所以，，令，則，因為，所以，則，由對勾函數(shù)的單調性可知，在上單調遞增，所以.所以的最小值為.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是方程主次元的轉化，構造的幾何意義.23.1.是在上的連續(xù)函數(shù),設,則（）.A. B. C. D..【答案】A【解析】【分析】舉反例即可反駁BCD，利用絕對值不等式即可判斷A正確.【詳解】對CD，取,則有，則，則，故C錯誤，，則，故D錯誤；對B，取,則.此時,則B選項錯誤；由絕對值不等式得,.因