2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)-第一講-不等式和絕對(duì)值不等式達(dá)標(biāo)檢測(cè)課時(shí)作業(yè)（含解析）新人教A版選修

PAGE第一講不等式和絕對(duì)值不等式達(dá)標(biāo)檢測(cè)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若a>b>c，則eq\f(1,b－c)－eq\f(1,a－c)()A．大于0 B．小于0C．小于等于0 D．大于等于0解析：∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，∴eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)，∴eq\f(1,b－c)－eq\f(1,a－c)>0.故選A.答案：A2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>－b>－a B．a(chǎn)>－b>－a>bC．a(chǎn)>－b>b>－a D．a(chǎn)>b>－a>－b解析：∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0,0>b>－a，∴a>－b>b>－a.答案：C3．若logxy＝－2，則x＋y的最小值是()A.eq\f(3\r(3,2),2) B．eq\f(2\r(3,3),3)C.eq\f(3,2)eq\r(3) D．eq\f(2,3)eq\r(2)解析：由logxy＝－2得y＝eq\f(1,x2)，而x＋y＝x＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(1,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(1,x2))＝3eq\r(3,\f(1,4))＝eq\f(3,2)eq\r(3,2).答案：A4．已知|x－a|<b的解集為{x|2<x<4}，則實(shí)數(shù)a等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：由|x－a|<b得，a－b<x<a＋b，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝2，,a＋b＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))答案：C5．函數(shù)y＝|x－4|＋|x－6|的最小值為()A．2 B．eq\r(2)C．4 D．6解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.答案：A6．若x∈(－∞，1)，則函數(shù)y＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)有()A．最小值1 B．最大值1C．最大值－1 D．最小值－1解析：y＝eq\f(x－12,2x－2)＋eq\f(1,2x－2)＝eq\f(x－1,2)＋eq\f(1,2x－1)≤－2eq\r(\f(1－x,2)·\f(1,21－x))＝－1.答案：C7．若對(duì)任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)＜－1 B．|a|≤1C．|a|＜1 D．a(chǎn)≥1解析：取a＝0時(shí)，|x|≥0恒成立，所以a＝0符合，可以排除A，D.取a＝1時(shí)，|x|≥x恒成立，所以a＝1符合，從而排除C，所以正確答案為B.答案：B8．使eq\r(\f(3－|x|,|2x＋1|－4))有意義的x所滿足的條件是()A．－3≤x<eq\f(3,2)B．－eq\f(5,2)<x≤3C．－3≤x<－eq\f(5,2)或eq\f(3,2)<x≤3D．－3≤x≤3解析：使式子有意義的x所滿足的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－|x|≥0，,|2x＋1|－4>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－|x|≤0，,|2x＋1|－4<0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤3，,|2x＋1|>4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤3，,2x＋1>4或2x＋1<－4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤3，,x>\f(3,2)或x<－\f(5,2).))∴－3≤x<－eq\f(5,2)或eq\f(3,2)<x≤3.故選C.答案：C9．一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為a，b，c且a＋b＋c＝9，當(dāng)長(zhǎng)方體體積最大時(shí)，長(zhǎng)方體的表面積為()A．27 B．54C．52 D．56解析：∵9＝a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝3時(shí)取得最大值27∴abc≤27，此時(shí)其表面積為6×32＝54.故選B.答案：B10．若a>0，b>0，a＋b＝1，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－1))的最小值是()A．6 B．7C．8 D．9解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－1))＝eq\f(1－a1＋a1－b1＋b,a2b2)＝eq\f(1＋a1＋b,ab)＝eq\f(2,ab)＋1，∵a＋b＝1，∴2eq\r(ab)≤1.∴ab≤eq\f(1,4)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－1))≥9.答案：D11．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)aA．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：因?yàn)椋?≤|x＋3|－|x－1|≤4，且|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對(duì)任意x恒成立，所以a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0，解得a≥4，或a≤－1.答案：A12．設(shè)0<x<1，a，b都為大于零的常數(shù)，若eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)≥m恒成立，則m的最大值是()A．(a－b)2 B．(a＋b)2C．a(chǎn)2b2 D．a(chǎn)2解析：∵eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)＝[eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)][x＋(1－x)]＝a2＋b2＋eq\f(a21－x,x)＋eq\f(b2x,1－x)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a21－x,x)＝eq\f(b2x,1－x)時(shí)等號(hào)成立．所以m≤(a＋b)2，m的最大值為(a＋b)2，選B.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)13．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集為_(kāi)_______．解析：法一：當(dāng)x>eq\f(1,2)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為4x≤6?x≤eq\f(3,2)；當(dāng)－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為2≤6，恒成立；當(dāng)x<－eq\f(1,2)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為－4x≤6?x≥－eq\f(3,2).由上綜合知，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x≤\f(3,2))).法二：原不等式可化為|x－eq\f(1,2)|＋|x＋eq\f(1,2)|≤3，其幾何意義為數(shù)軸上到eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)3的點(diǎn)的集合．?dāng)?shù)形結(jié)合知，當(dāng)x＝eq\f(3,2)或x＝－eq\f(3,2)時(shí)，到eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)兩點(diǎn)的距離之和恰好為3，故當(dāng)－eq\f(3,2)≤x≤eq\f(3,2)時(shí)，滿足題意，則原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x≤\f(3,2))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x≤\f(3,2)))14．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是________．解析：因?yàn)閤，a，b，y成等差數(shù)列，所以x＋y＝a＋b，又x，c，d，y成等比數(shù)列，所以xy＝cd，eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋2≥2eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取等號(hào)．答案：415．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_______．解析：(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(xa,y)≥1＋a＋2eq\r(a)，∴1＋a＋2eq\r(a)≥9，即a＋2eq\r(a)－8≥0，故a≥4.答案：416.下面四個(gè)命題：①若a>b，c>1，則algc>blgc；②若a>b，c>0，則algc>blgc；③若a>b，則a·2c>b·2c；④若a<b<0，c>0，則eq\f(c,a)>eq\f(c,b).其中正確命題有________．(填序號(hào))解析：②不正確，因?yàn)?<c<1時(shí)，lgc<0.①③④正確．答案：①③④三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(12分)設(shè)x、y、z>0，且x＋3y＋4z＝6，求x2y3z的最大值．解析：∵6＝x＋3y＋4z＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋y＋y＋y＋4z≥6eq\r(6,x2y3z)，∴x2y3z≤1(當(dāng)eq\f(x,2)＝y(tǒng)＝4z時(shí)，取“＝”)．∴x＝2，y＝1，z＝eq\f(1,4)時(shí)，x2y3z取得最大值1.18．(12分)已知ab≠0，且a>b，試比較eq\f(1,a)與eq\f(1,b)的大?。馕觯篹q\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)，∵ab≠0，a>b，∴b－a<0，如果ab<0，eq\f(b－a,ab)>0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，如果ab>0，eq\f(b－a,ab)<0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b).19．(12分)解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.解析：①當(dāng)x>2時(shí)，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2,2x－4－3x＋9<1))?x>2.②當(dāng)－3≤x≤2時(shí)，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤2,－2x－4－3x＋9<1))?－eq\f(6,5)<x≤2.③當(dāng)x<－3時(shí)，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－3,－2x－4＋3x＋9<1))?x<－12.綜上所述知不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>－\f(6,5)或x<－12)).20．(12分)已知a>0，b>0，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,b)＋\f(1,a2)))≥9.證明：因?yàn)閍>0，b>0，所以a＋b＋eq\f(1,a)≥3eq\r(3,a·b·\f(1,a))＝3eq\r(3,b)>0. ①同理可證a2＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,a2)≥3eq\r(3,\f(1,b))>0. ②由①，②結(jié)合不等式的性質(zhì)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,b)＋\f(1,a2)))≥3eq\r(3,b)×3eq\r(3,\f(1,b))＝9，當(dāng)a＝b＝1時(shí)，取等號(hào)．21．(13分)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|－1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|－1≤x≤5}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3＝－1，,a＋3＝5，))解得a＝2.(2)法一：當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝|x－2|.設(shè)g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－1，x<－3；,5，－3≤x≤2；,2x＋1，x>2.))所以當(dāng)x<－3時(shí)，g(x)>5；當(dāng)－3≤x≤2時(shí)，g(x)＝5；當(dāng)x>2時(shí)，g(x)>5.綜上所述，g(x)的最小值為5.從而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．則m的取值范圍為(－∞，5]．法二：當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝|x－2|.設(shè)g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(當(dāng)且僅當(dāng)－3≤x≤2時(shí)等號(hào)成立)得，g(x)的最小值為5.從而，若f(x)＋f(x＋5)≥m即g(x)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(－∞，5]．22．(13分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”．如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”．某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)處．現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x(1)寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明)；(2)若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保