2024新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.2對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.2.2對(duì)數(shù)運(yùn)算法則導(dǎo)學(xué)案新人教B版必修第二冊(cè)

.2.2對(duì)數(shù)運(yùn)算法則(老師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.駕馭對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，并能運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值與證明.2.駕馭換底公式，并能運(yùn)用換底公式將一般對(duì)數(shù)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)．教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、換底公式．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及換底公式的應(yīng)用.學(xué)問點(diǎn)一對(duì)數(shù)運(yùn)算法則假如a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么，(1)eq\o(□,\s\up3(01))loga(MN)＝logaM＋logaN；推廣：eq\o(□,\s\up3(02))loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N＋，N1，N2，…，Nk均為正數(shù))；(2)eq\o(□,\s\up3(03))logaMα＝αlogaM；(3)eq\o(□,\s\up3(04))logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.學(xué)問點(diǎn)二對(duì)數(shù)的換底公式(1)logab＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(logcb,logca)，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1.(2)轉(zhuǎn)換成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)logab＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(lnb,lna)＝eq\o(□,\s\up3(03))eq\f(lgb,lga).1．對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)口訣積的對(duì)數(shù)變加法，商的對(duì)數(shù)變減法；冪的乘方取對(duì)數(shù)，要把指數(shù)提到前．2．換底公式的常用推論(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.對(duì)于上述結(jié)論，都可采納換底公式證出，以(4)為例，證明如下：logab·logbc·logcd＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(lgd,lgc)＝eq\f(lgd,lga)＝logad.1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)積、商的對(duì)數(shù)可以化為對(duì)數(shù)的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由換底公式可得logab＝eq\f(log－2b,log－2a).()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)log325－log35＝________.(2)lg8＋lg53＝________.(3)若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.答案(1)log35(2)3(3)eq\f(a,b)題型一對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例1若a>0且a≠1，x>y>0，n∈N*，則下列各式：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)；⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－logaeq\f(1,x)；⑦eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)；⑧l(xiāng)ogaeq\f(x－y,x＋y)＝－logaeq\f(x＋y,x－y).其中式子成立的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6[解析]對(duì)于①，取x＝4，y＝2，a＝2，則log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴l(xiāng)ogax·logay＝loga(x＋y)不成立；對(duì)于②，取x＝8，y＝4，a＝2，則log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴l(xiāng)ogax－logay＝loga(x－y)不成立；對(duì)于③，取x＝4，y＝2，a＝2，則log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴l(xiāng)oga(xy)＝logax·logay不成立；對(duì)于④，取x＝4，y＝2，a＝2，則eq\f(log24,log22)＝2≠log2eq\f(4,2)＝1，∴eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)不成立；對(duì)于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，則(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；⑥成立，由于－logaeq\f(1,x)＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；⑦成立，由于logaeq\r(n,x)＝logaxeq\s\up15(eq\f(1,n))＝eq\f(1,n)logax；⑧成立，由于logaeq\f(x－y,x＋y)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,x－y)))－1＝－logaeq\f(x＋y,x－y).[答案]A例2化簡(jiǎn)：(1)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg1.2)；(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(3)log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3)).[解](1)原式＝eq\f(lg33eq\s\up15(eq\f(1,2))＋lg23－3lg10eq\s\up15(eq\f(1,2)),lg\f(3×22,10))＝eq\f(\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).(2)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.(3)原式＝log2(eq\r(8＋4\r(3))·eq\r(8－4\r(3)))＝log24＝2.點(diǎn)睛利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則解決相關(guān)問題的思路(1)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則解決問題的一般思路：①把困難的真數(shù)化簡(jiǎn)；②正用公式：將式中真數(shù)的積、商、冪、方根運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化為對(duì)數(shù)的和、差、積、商再化簡(jiǎn)；③逆用公式：將式中對(duì)數(shù)的和、差、積、商運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化為真數(shù)的積、商、冪、方根，然后化簡(jiǎn)求值．(2)要留意一些常見的結(jié)論，如lg2＋lg5＝1，lgeq\f(1,a)＝－lga等．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])計(jì)算：(1)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；(2)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8.解(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.題型二換底公式的應(yīng)用例3(1)用logab表示loganbn和logambn(m≠0，n≠0)；(2)計(jì)算：(log85＋log25)×(log54＋log258)；(3)已知lg2＝a，lg7＝b，用a，b表示log89.8的值．[解](1)loganbn＝eq\f(lgbn,lgan)＝eq\f(nlgb,nlga)＝eq\f(lgb,lga)＝logab；logambn＝eq\f(lgbn,lgam)＝eq\f(nlgb,mlga)＝eq\f(n,m)logab.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg5,lg8)＋\f(lg5,lg2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg4,lg5)＋\f(lg8,lg25)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg5,3lg2)＋\f(lg5,lg2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2lg2,lg5)＋\f(3lg2,2lg5)))＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)＋2＋eq\f(3,2)＝eq\f(14,3).(3)log89.8＝eq\f(lg9.8,lg8)＝eq\f(lg\f(72×2,10),lg23)＝eq\f(2lg7＋lg2－1,3lg2)＝eq\f(2b＋a－1,3a).點(diǎn)睛換底公式的作用換底公式的作用是將不同底數(shù)的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)式，將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)來運(yùn)算，要留意換底公式的正用、逆用及變形運(yùn)用.留意：在運(yùn)用換底公式時(shí)，通常依據(jù)須要和從簡(jiǎn)的原則進(jìn)行換底，一般換成以10或e為底的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù).eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])(1)計(jì)算：(log43＋log83)×eq\f(lg2,lg3)；(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.解(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))×eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(lg3,2lg2)×eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg3,3lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).(2)解法一：∵18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b.又∵log189＝a，于是log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,log1818×2)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－a).解法二：∵18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b.又∵log189＝a，于是log3645＝eq\f(log189×5,log18\f(182,9))＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).解法三：∵log189＝a,18b＝5，∴l(xiāng)g9＝alg18，lg5＝blg18.∴l(xiāng)og3645＝eq\f(lg45,lg36)＝eq\f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).題型三與對(duì)數(shù)有關(guān)的條件求值例4(1)設(shè)3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值；(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿意xy＝y(tǒng)x，且logxy＝2，求xy的值．[解](1)對(duì)等式3x＝4y＝36各邊都取以6為底的對(duì)數(shù)，得log63x＝log64y＝log636，即xlog63＝y(tǒng)log64＝2，∴eq\f(2,x)＝log63，eq\f(1,y)＝log62，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝log63＋log62＝log66＝1，即eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1.(2)∵xy＝y(tǒng)x，且logxy＝2，∴ylgx＝xlgy，eq\f(lgy,lgx)＝2，∴ylgx＝x·2lgx，∴2x＝y(tǒng)，∴l(xiāng)ogx2x＝2，則2x＝x2，∵x>0且x≠1，∴x＝2，y＝4，∴xy＝8.點(diǎn)睛與對(duì)數(shù)有關(guān)的條件求值問題的解題技巧1通過指數(shù)式化對(duì)數(shù)式求出x，y，再代入所求式子中進(jìn)行運(yùn)算.2對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)，是一種常用的技巧，一般地給出的等式以指數(shù)形式出現(xiàn)時(shí)，常用此法，值得一提的是，在取對(duì)數(shù)時(shí)，要留意對(duì)底數(shù)的合理選取.eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練3])已知a，b，c是不等于1的正數(shù)，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．解解法一：設(shè)ax＝by＝cz＝t，∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,logat)＋eq\f(1,logbt)＋eq\f(1,logct)＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.解法二：∵a，b，c是不等于1的正數(shù)，且ax＝by＝cz，∴令ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝eq\f(lgt,lga)，y＝eq\f(lgt,lgb)，z＝eq\f(lgt,lgc)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(lga,lgt)＋eq\f(lgb,lgt)＋eq\f(lgc,lgt)＝eq\f(lga＋lgb＋lgc,lgt).∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，且lgt≠0，∴l(xiāng)ga＋lgb＋lgc＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.1．計(jì)算log916×log881的值為()A．18B.eq\f(1,18)C.eq\f(8,3)D.eq\f(3,8)答案C解析log916×log881＝eq\f(lg16,lg9)×eq\f(lg81,lg8)＝eq\f(4lg2,2lg3)×eq\f(4lg3,3lg2)＝eq\f(8,3)，故選C.2．已知lg2＝a，lg3＝b，則log36＝()A.eq\f(a＋b,a)B.eq\f(a＋b,b)C.eq\f(a,a＋b)D.eq\f(b,a＋b)答案B解析log36＝eq\f(lg6,lg3)＝eq\f(lg2＋lg3,lg3)＝eq\f(a＋b,b)，故選B.3．(多選)若a>0且a≠1，x∈R，y∈R且xy>0，則下列各式恒成立的是()A．logax2＝2logaxB．logax2＝2loga|x|C．loga(xy)＝logax＋logayD．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|答案BD解析∵xy>0，∴A中若x<0則不成立；C中若x<0，y<0也不成立；B，D恒成立．故選BD.4．已知loga2＝m，loga3＝n，則loga18＝________(用m，n表示)．答案m＋2n解析loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.5．(1)計(jì)算：2(lgeq\r(2))2＋lgeq\r(2)×lg5＋eq\r(lg\r(2)2－lg2＋1)；(2)已知log35＝m,3n＝7，用m，n表示log3245.解(1)原式＝lgeq\r(2)×(2lgeq\r(2)＋lg5)＋eq\r(lg\r(2)－12)＝lgeq\r(2)×(lg2＋lg5)＋1－lgeq\r(2)＝lgeq\r(2)＋1－lgeq\r(2)＝1.(2)由3n＝7，得log37＝n，∴l(xiāng)og3245＝log3(5×49)＝log35＋log372＝log35＋2log37＝m＋2n.一、選擇題1．2log510＋log50.25＝()A．0 B．1C．2 D．4答案C解析2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.2．假如lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么()A．x＝eq\f(ab3,c5) B．x＝eq\f(3ab,5c)C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3答案A解析∵lgx＝lga＋3lgb－5lgc＝lga＋lgb3－lgc5＝lgeq\f(ab3,c5)，∴x＝eq\f(ab3,c5).3．化簡(jiǎn)log2eq\f(1,2)＋log2eq\f(2,3)＋log2eq\f(3,4)＋…＋log2eq\f(31,32)等于()A．5 B．4C．－5 D．－4答案C解析原式＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(31,32)))＝log2eq\f(1,32)＝－5.4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，則eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝()A.eq\f(1,3) B．3C．－eq\f(1,3) D．－3答案A解析∵x＝log2.51000＝eq\f(3,lg2.5)，y＝log0.251000＝eq\f(3,lg0.25)，∴eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝eq\f(1,3)×(lg2.5－lg0.25)＝eq\f(1,3)×lgeq\f(2.5,0.25)＝eq\f(1,3)×lg10＝eq\f(1,3).5．(多選)設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a＝6b＝9c，那么()A．a(chǎn)b＋bc＝2acB.eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)C.eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)D.eq\f(2,c)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)答案AC解析由題意，設(shè)4a＝6b＝9c＝k(k>0)，則a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，對(duì)于A，由ab＋bc＝2ac可得eq\f(b,c)＋eq\f(b,a)＝2，因?yàn)閑q\f(b,c)＋eq\f(b,a)＝eq\f(log6k,log9k)＋eq\f(log6k,log4k)＝eq\f(logk9,logk6)＋eq\f(logk4,logk6)＝log69＋log64＝log636＝2，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閑q\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,log4k)＋eq\f(1,log6k)＝2logk4＋logk6＝logk96，eq\f(2,c)＝eq\f(2,log9k)＝2logk9＝logk81，故eq\f(2,c)≠eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閑q\f(2,b)－eq\f(1,a)＝eq\f(2,log6k)－eq\f(1,log4k)＝2logk6－logk4＝logk9，eq\f(1,c)＝eq\f(1,log9k)＝logk9，故eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(1,log4k)＋eq\f(2,log6k)＝logk4＋2logk6＝logk144，eq\f(2,c)＝eq\f(2,log9k)＝2logk9＝logk81，故eq\f(2,c)≠eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)，故D錯(cuò)誤．故選AC.二、填空題6．log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7log72＝________.答案eq\f(15,4)解析原式＝log3eq\f(3eq\s\up15(eq\f(3,4)),3)＋lg(25×4)＋2＝log33eq\s\up15(－eq\f(1,4))＋lg102＋2＝－eq\f(1,4)＋2＋2＝eq\f(15,4).7．化簡(jiǎn)(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.答案eq\f(5,4)解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log23,log24)＋\f(log23,log28)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,log23)＋\f(1,log232)))＝eq\f(5,6)log23×eq\f(3,2log23)＝eq\f(5,4).8．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的兩個(gè)根，則ab＝________，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))2＝________.答案1002解析由根與系數(shù)的關(guān)系，得lga＋lgb＝2，則lgab＝2，ab＝102＝100.又lga·lgb＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×eq\f(1,2)＝2.三、解答題9．計(jì)算：(1)logeq\s\do10(eq\r(3))27＋lg4＋lg25；(2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2eq\s\up15(eq\r(3)))2＋lgeq\f(1,6)＋lg0.06；(3)2eq\s\up15(log2eq\f(1,4))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))eq\s\up15(－eq\f(1,2))＋lg20－lg2－(log32)×(log23)＋(eq\r(2)－1)lg1.解(1)原式＝logeq\s\do10(eq\r(3))(eq\r(3))6＋2lg2＋2lg5＝6＋2(lg2＋lg5)＝8.(2)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2＝3lg5×lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.(3)原式＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2))eq\s\up15(－eq\f(1,2))＋lgeq\f(20,2)－eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg3,lg2)＋1＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－1＋lg10－1＋1＝2.10．解下列方程：(1)eq\f(1,2)(lgx－lg3)＝lg5－eq\f(1,2)lg(x－10)；(2)lgx＋2log(10x)x＝2.解(1)由已知方程知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－10>0.))故x>10.原方程可化為lgeq\r(\f(x,3))＝lgeq\f(5,\r(x－10))，所以eq\r(\f(x,3))＝eq\f(5,\r(x－10))，即x2－10x－75＝0.解得x＝15或x＝－5(舍去)，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原方程的解．(2)由已知方程知10x>0且10x≠1，即x>0且x≠eq\f(1,10).原方程可化為lgx＋eq\f(2lgx,1＋lgx)＝2，即lg2x＋lgx－2＝0.令t＝lgx，則t2＋t－2＝0，解得t＝1