新教材2024年秋高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.2三角函數(shù)的概念5.2.1三角函數(shù)的概念第2課時三角函數(shù)值的符號及公式一教師用書含答案新人教A版必修第一冊

第2課時三角函數(shù)值的符號及公式一1．能利用三角函數(shù)的定義，推斷正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號．(邏輯推理)2．通過隨意角的三角函數(shù)的定義，理解終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(數(shù)學(xué)運算)從定義與實例都可以看出，隨意角的正弦、余弦與正切，都既有可能是正數(shù)，也有可能是負數(shù)，還可能為0．它們的符號與什么有關(guān)？試總結(jié)出隨意角的正弦、余弦與正切符號的規(guī)律．學(xué)問點1正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(1)圖示：(2)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．學(xué)問點2誘導(dǎo)公式一1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)已知α是三角形的內(nèi)角，則必有sinα>0． ()(2)若sinα>0，則α是第一或其次象限角． ()[答案](1)√(2)×2．求值：(1)sin390°＝________；(2)cos(－330°)＝________；(3)tan750°＝________．(1)12(2)32(3)33[(1)sin390°＝sin(360°＋30°)＝sin30°(2)cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos30°＝32(3)tan750°＝tan(720°＋30°)＝tan30°＝33．類型1推斷三角函數(shù)值的符號【例1】(源自人教B版教材)確定下列各值的符號．(1)cos260°；(2)sin-π3；(3)tan(－672°20′)；(4)tan[解](1)因為260°是第三象限角，所以cos260°<0．(2)因為－π3是第四象限角，所以sin-π(3)由－672°20′＝47°40′＋(－2)×360°，可知－672°20′是第一象限角，所以tan(－672°20′)>0．(4)由10π3＝4π3＋2π，可知推斷三角函數(shù)值符號的兩個步驟(1)定象限：確定角α所在的象限．(2)定符號：利用三角函數(shù)值的符號規(guī)律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”來推斷．[跟進訓(xùn)練]1．推斷下列各式的符號：(1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5．[解](1)∵145°是其次象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是其次象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0．(2)∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0．類型2三角函數(shù)值符號的應(yīng)用【例2】(源自湘教版教材)設(shè)sinθ<0且tanθ>0，試確定θ是第幾象限角．[解]因為sinθ<0，所以θ的終邊在第三、四象限，或y軸負半軸上；又因為tanθ>0，所以θ的終邊在第一、三象限．因此滿意sinθ<0且tanθ>0的θ是第三象限角．由三角函數(shù)值的符號確定α角的終邊所在象限問題，應(yīng)首先依據(jù)題目中全部三角函數(shù)值的符號來確定角α的終邊所在的象限，則它們的公共象限即為所求．[跟進訓(xùn)練]2．(1)已知點P(tanα，cosα)在第四象限，則角α終邊在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限(2)已知角α的終邊過點(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα＞0，則實數(shù)a的取值范圍是________．(1)C(2)－2＜a≤3[(1)因為點P在第四象限，所以有tanα>0，cos(2)因為cosα≤0，sinα＞0，所以角α的終邊在其次象限或y軸非負半軸上，因為α終邊過(3a－9，a＋2)，所以3a-9≤0，a+2類型3誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用【例3】求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sin7π3cos-23π6＋[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32(2)原式＝sin2π+π3cos-4＝sinπ3cosπ6＋tanπ4cosπ3＝32×3利用誘導(dǎo)公式一進行化簡求值的步驟(1)定形：將已知的隨意角寫成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．(2)轉(zhuǎn)化：依據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角α的某個三角函數(shù)值．(3)求值：若角為特別角，可干脆求出該角的三角函數(shù)值．[跟進訓(xùn)練]3．化簡下列各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sin-11π6＋cos125[解](1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．(2)sin-116π＋cos12＝sin-2π+π6＋＝sinπ6＋0＝11．已知sinα＞0，cosα＜0，則角α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角B[由正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號知，角α是其次象限角．故選B．]2．sin(－315°)的值是()A．－22B．－12C．22C[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22．故選C．3．(多選)下列選項中，符號為負的是()A．sin(－100°) B．cos(－220°)C．tan10 D．cosπABD[－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在其次象限，故cos(－220°)<0；10∈3π，7π2在第三象限，故tan10>0；4．計算：sin25π6＋cos-17π3＋2[原式＝sin4π+π6＋cos-6π+π3＋tan2π+π4＝sinπ6回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．三角函數(shù)值的符號有何規(guī)律？[提示]“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．2．誘導(dǎo)公式一的實質(zhì)、結(jié)構(gòu)特征及作用是什么？[提示](1)公式一的實質(zhì)是終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．(2)公式一的結(jié)構(gòu)特征：①左、右為同一三角函數(shù)；②公式左邊的角為α＋2kπ，右邊的角為α．(3)公式一的作用：把求隨意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0～2π(或0°～360°)角的三角函數(shù)值．三角函數(shù)在單位圓中的幾何表示及應(yīng)用設(shè)角α的頂點在原點O，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，如圖(1)，過點P作PM垂直x軸于點M，作PN垂直y軸于點N，則點P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝ON，即角α的余弦和正弦分別等于角α的終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．以