2021年全國各地中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編：直角三角形與勾股定理

直角三角形與勾股定理

一、挑選題

1.（2021貴州安順，6,3分）如圖所示，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米,

兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）

A.8米B.10米C.12米D.14米

【答案解析】：B.

【試題解答】如圖所示，設(shè)大樹高為AB=10m,小樹高為CD=4m,過C點(diǎn)作CE_LAB

于E,則EBDC是矩形，連接AC,

EB=4m,EC=8m,AE=AB—EB=10—4=6m,

【方法指導(dǎo)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)

鍵.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短“可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最

短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出.

2.[2021山東荷澤，7,3分]如圖所示，邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩

個(gè)小正方形的面積分別為Si、S2,則S1+S2的值為（）

A.16B.17C.18D.19

【答案解析】B.

【試題解答】根據(jù)等腰直角三角形、勾股定理先求出面積分別為Si的邊唱是大正方形對(duì)

角線的錯(cuò)誤!未找到引用源。，S2正方形的邊長組成直角三角形斜邊長是大正方形對(duì)角

線的一半.

滿分解答：邊長為6的大正方形中，對(duì)角線長為錯(cuò)誤!未找到引用源。.

，面積為Si小正方邊長為錯(cuò)誤!未找到引用源。，面積SI=(2V2)2=8；小正方S2=錯(cuò)誤!

，

未找到引用源。，,.SI+S2=8+9=17.故選B.

【方法指導(dǎo)】本題主要考查正方形性質(zhì).熟悉正方形有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2021四川瀘州，12,2分)如圖所示，在等腰直角A48C中，ZACB=9Q°,O

是斜邊A8的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在直角邊AC、BC上，且NOOE=90°,DE交

0c于點(diǎn)P.則下列結(jié)論：

(1)圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；

(2)AABC的面積等于四邊形C0OE面積的2倍；

(3)CD+CE-\f2OA；

(4)AE)2+5E2=2op.oc.其中正確的結(jié)論有()

第12題圖

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案解析】C

【試題解答】結(jié)論（1）錯(cuò)誤，結(jié)論（2）（3）（4）正確.

【方法指導(dǎo)】本題是幾何綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和

勾股定理等重要幾何知識(shí)點(diǎn).難點(diǎn)在于結(jié)論（4）的判斷，其中對(duì)于“OPOC”線段乘

積的形式，可以尋求相似三角形解決問題.

4.（2021年佛山市，7,3分）如圖所示，若NA=60°,AC=20m,則BC大約是（結(jié)果

精確到0.1m）（）

A.34.64mB.34.6mC.28.3mD.17.3m

分析：首先計(jì)算出NB的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB=40m,再利用勾股定第7題圖

理計(jì)算出BC長即可

解：；/人=60°,NC=90°,.*.ZB=30°,；.AB=2AC,；AC=20m,AAB^Om,

，BC=JAB2_AC氣1600_400=業(yè)200=20仔34.6（m）,故選：B.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形

中，30。角所正確的直角邊等于斜邊的一半.在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長

的平方之和一定等于斜邊長的平方

5.（2021貴州安順，6,3分）如圖所示，有兩顆樹，一顆高10米，另一顆高4米，兩

樹相距8米.一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）

堂

A.8米B.10米C.12米D.14米

考點(diǎn)分析：勾股定理的應(yīng)用.

專題分析：應(yīng)用題.

分析：根據(jù)"兩點(diǎn)之間線段最短"可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路

程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出.

解答：解：如圖所示，設(shè)大樹高為AB=10m,

小樹高為CD=4m,

過C點(diǎn)作CE±AB于E,則EBDC是矩形，

連接AC,

EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6m,

在RtAAEC中，AC={AE2+EC'10m,

點(diǎn)評(píng)：本題考查正確運(yùn)用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

6.(2021江蘇南京，3,2分)設(shè)邊長為3的正方形的對(duì)角線長為a,下列關(guān)于a

的四種說法:①。是無理數(shù)；②a可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；③3<a<4；④

。是18的算術(shù)平方根。其中，所有正確說法的序號(hào)是

(A)①④(B)②③(C)①②④(D)①③④

答案:C

解析：由勾股定理，得：。，所以，③錯(cuò)誤，其它都正確。

二、填空題

1.（2021江蘇揚(yáng)州，17,3分）矩形的兩鄰邊長的差為2,對(duì)角線長為4,則矩形

的面積為.

【答案解析】6.

【試題解答】分析：設(shè)矩形一條邊長為x,則另一條邊長為x-2,然后根據(jù)勾股定理列出

方程式求出x的值，繼而可求出矩形的面積.

解：設(shè)矩形一條邊長為x,則另一條邊長為無一2.

由勾股定理得，^+（x-2）M2.

整理得，/一2工一6=0.

解得：41+錯(cuò)誤!未找到引用源?；騲=l一錯(cuò)誤!未找到引用源。（不合題意，舍去）.

另一邊為：錯(cuò)誤!未找到引用源。-1.則矩形的面積為：（1+V7）（錯(cuò)誤!未找到引用

源。-1）=6.所以應(yīng)填6.

【方法指導(dǎo)】本題考查了勾股定理及矩形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾

股定理列出等式求處矩形的邊長，要求同學(xué)們掌握矩形面積的求法.

【易錯(cuò)警示】解題時(shí)，用勾股定理可能出錯(cuò)，解一元二次方程可能出錯(cuò).

2.（2021山東濱州，14,4分）在aABC中，ZC=90°,AB=7,BC=5,則邊AC的

長為.

【答案解析】：x=錯(cuò)誤!未找到引用源。.

【試題解答】利用勾股定理，可得錯(cuò)誤!未找到引用源.

【方法指導(dǎo)】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，按照題設(shè)畫出圖形，確定斜邊和直角邊

再計(jì)算即可.

3.（2021湖北荊門，15,3分）如圖所示，在RtAABC中，ZACB=90°,。是AB的中

點(diǎn)，過。點(diǎn)作A8的垂線交AC于點(diǎn)E,BC=6,sinA=|,則。E=

（第15題）

【答案解析】錯(cuò)誤!未找到引用源。.

【試題解答】錯(cuò)誤!未找到引用源。=10,；.AC=J10-6?=8.VD是A8的中

點(diǎn)，錯(cuò)誤!未找到引用源。AB=5.?；NAOE=NC=90。，=A

ACB....錯(cuò)誤!未找到引用源。=錯(cuò)誤!未找到引用源。.，華=錯(cuò)誤!未找到引用源。.即

O

OE=錯(cuò)誤!未找到引用源。.

【方法指導(dǎo)】本題另一解法是利用勾股定理，即連結(jié)BE,則BE=AE.在Rt^BCE中用

勾股定理求出BE的長，然后在Rt^BDE中用勾股定理求出OE的長.

4.（2021山東德州，17,4分）如圖所示，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角

形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：①CE=CF②NAEB=75°③BE+DF

=EF④S正方形ABCD=2+錯(cuò)誤!未找到引用源。，其中正確的序號(hào)是。（把你認(rèn)

為正確的都填上）

【答案解析】①②④

【試題解答】..?在正方形ABCD與等邊三角形AEF中，.*.AB=BC=CD=DA,AE=EF=AF,

AAABE^AADF,DF=BE,有DC-DF=BC-BE,即CE=CF,①正確；；CE=CF,Z

C=90°,AZFEC=45°,而NAEF=60°,ZAEB=180°-60°-45°=75°,②正確;

根據(jù)分析BE+DFHEF,③不正確：在等腰直角三角形CEF中，CE=CF=EF-sin450=錯(cuò)誤!

未找到引用源。.在Rt^ADF中，設(shè)AD=x,則DF=x-錯(cuò)誤!未找到引用源。，根據(jù)勾股

定理可得，錯(cuò)誤!未找到引用源。，解得，x尸注久？，

2

錯(cuò)誤!未找到引用源。(舍去).所以正方形ABCD面積為錯(cuò)誤!未找到引用源。=2+錯(cuò)誤!

未找到引用源。，④正確.

【方法指導(dǎo)】本題考查正方形與等邊三角形.本題涉及正方形、等邊三角形相關(guān)知識(shí)，同

時(shí)應(yīng)用勾股定理、全等三角形等解題.具有一定的綜合性.解題的關(guān)鍵是對(duì)所給命題運(yùn)

用相關(guān)知識(shí)逐一驗(yàn)證.

5.(2021四川涼山州，26,5分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形Q鉆C的頂

點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。、錯(cuò)誤!未找到引用源。的坐標(biāo)分別為(10.0),(0,4),點(diǎn)

錯(cuò)誤!未找到引用源。是錯(cuò)誤!未找到引用源。的中點(diǎn)，點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。在BC上運(yùn)

動(dòng)，當(dāng)錯(cuò)誤!未找到引用源。是腰長為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。的坐

標(biāo)為_________________________________________

【解】由題意，矩形錯(cuò)誤!未找到引用源。的頂點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。、

誤!未找到引用源。的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,4),點(diǎn)。是錯(cuò)誤!

未找到引用源。的中點(diǎn)，點(diǎn)P在錯(cuò)誤!未找到引用源。上運(yùn)動(dòng)，???點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。

的坐標(biāo)為(5,0).

故設(shè)點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。的坐標(biāo)為(x,4),

由題意得OD=5,0P=Jf+42,PD錯(cuò)誤!未找到引用源。.

當(dāng)錯(cuò)誤!未找到引用源。是腰長為5的等腰三角形時(shí)，可在分以下兩種情況:

①當(dāng)0P=5時(shí)，即錯(cuò)誤!未找到引用源。=5,解得x=3或x=-3（舍去）；

②當(dāng)PD=5時(shí)，即+4]=5時(shí)，解得x=2或x=8。

所以點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。的坐標(biāo)為（3,4）或（2,4）或（8,4）。

【方法指導(dǎo)】加入一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)，要三種情況考慮，但是本題說明了腰為

長5,所以只分兩種情況即可。

6.（2021廣東省，14,4分）在Rt^ABC中，錯(cuò)誤!未找到引用源。，AB=3,BC=4,

則sinA=.

【答案解析】錯(cuò)誤!未找到引用源。.

【試題解答】畫圖，如答案圖所示：

（第14題答案圖）

入△ABC中，錯(cuò)誤!未找到引用源。，AB=3,BC=4,由勾股定理得AB=5,所以$1叫=錯(cuò)

誤!未找到引用源。=錯(cuò)誤!未找到引用源。.

【方法指導(dǎo)】關(guān)于三角函數(shù)的問題，通常都需要圖形，加入沒有圖形，要自己畫圖.

7.（2021湖南張家界，16,3分）如圖所示，OP=1,過P作PPiLOP,得OPi=J^；

再過Pl作PlP2,OPl且PlP2=l,得OP2=J5；又過P2作P2P3,OP2且P2P3=1,得OP3=2;...

p

考點(diǎn)勾股定理.

分析：

專題規(guī)律型.

分析：

分析：首先根據(jù)勾股定理求出0P4,再由OPl,0P2,0P3的長度找到規(guī)律進(jìn)而求出

OP2021的長.

解答：解：由勾股定理得：OP4=^22+1=V5,

VOPI=V2：得0P2=如;

依此類推可得OPn=y石，

AOP2021=72013.

故答案為：V2013-

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由已知數(shù)據(jù)找到規(guī)律.

8.（2021?濰坊，9,3分）一漁船在海島A南偏東20°方向的B處遇險(xiǎn)，測(cè)得海島

A與B的距離為20海里，漁船將險(xiǎn)情報(bào)告給位于A處的救援船后，沿北偏西80°方向

向海島C靠近.同時(shí)，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10°方向勻速航行.20分鐘后，救

援船在海島C處恰好追上漁船，那么救援船航行的速度為（）

北

A.10J5■海里〃卜時(shí)B.30海里/小時(shí)

C.錯(cuò)誤!未找到引用源。海里〃J、時(shí)D.錯(cuò)誤!未找到引用源。海里/小時(shí)

答案:D

考點(diǎn)分析：方向角，直角三角形的判定和勾股定理.

點(diǎn)評(píng);理解方向角的含義，證明出三角形ABC是直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.

9.(2021?新疆5分)如圖所示，Rt^ABC中，NACB=90°,NABC=60。，BC=2cm,D

為BC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以lcm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A玲B玲A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)

E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(04t<6),連接DE,當(dāng)4BDE是直角三角形時(shí)，t的值為

()

c匕

C力0

A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D,2或3.5或4.5

【答案解析】D.

【試題解答】VRtAABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,

AB=2BC=4(cm),

VBC=2cm,D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E以lcm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，

.\BD=BC=1(cm),BE=AB-AE=4-t(cm),

若NDBE=90。，

當(dāng)A玲B時(shí)，VZABC=60°,

ZBDE=30",

BE=BD=(cm),

t=3.5,

當(dāng)B玲A時(shí)，t=4+0.5=4.5.

若NEDB=90°時(shí)，

當(dāng)A玲B時(shí)，ZABC=60°,

.,.ZBED=30°,

；.BE=2BD=2（cm）,

.?.t=4-2=2,

當(dāng)B玲A時(shí)，t=4+2=6（舍去）.

綜上可得：t的值為2或3.5或4.5.

【方法指導(dǎo)】此題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì).此題屬于動(dòng)點(diǎn)問題，難度適中,

注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

10.（2021?衢州）將一個(gè)有45。角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊

沿上.另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的

直線成30。角，如圖所示，則三角板的最大邊的長為（）

A.3cmB.6cmC.3\[2cmD.6V^cm

【答案解析】D.

【試題解答】過點(diǎn)C作CD1AD,；.CD=3,

在直角三角形ADC中,

ZCAD=30°,

；.AC=2CD=2x3=6,

又三角板是有45。角的三角板,

AB=AC=6,

BC2=AB2+AC2=62+62=72,

，BC=6退,

【方法指導(dǎo)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是含30。角的直角三角形及等腰直角三角形問題，關(guān)鍵

是先由求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊

11.（2021四川巴中，9,3分）如圖所示，菱形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O,若

AC=6,BD=4,則菱形ABCD的周長是（）

D

A.24B.16C.4^/13D.2M

考點(diǎn)菱形的性質(zhì)；勾股定理.

分析：

分析：由菱形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O,AC=6,BD=4,即可得AC_LBD,求得

OA與OB的長，然后利用勾股定理，求得AB的長，繼而求得答案.

解答：解：；四邊形ABCD是菱形，AC=6,BD=4,

AC±BD,OA=AC=3,OB=BD=2,AB=BC=CD=AD,

在RSAOB中，

AB=^OA2+OB2=V13,

二菱形的周長是：4AB=4萬.

故選C.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

12.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)是（3,m）,且OP

與x軸正半軸的夾角a的正切值是，則錯(cuò)誤!未找到引用源。的值

錯(cuò)誤!未找到引用源。

是【】

?zyR3,m）

A.—B.C.—D.

5錯(cuò)誤!未找到引用源。5錯(cuò)誤!未找到引用源。

【答案】&

【考點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)，銳角三角函數(shù)定義,勾股定理.

IyR3,m）

【分析】如圖，過點(diǎn)？作？H_Lx輸于點(diǎn)則

.OH-3.

又丁。？與x軸正半軸的夾角cx的正切值是"BPtana-,\Aa!

0H30r』一

?m4一）

??—?—nm?q?

33

根據(jù)勾股定理，*0?-5.

.-PH4如.。

??sina■————?HA13Ow

OP5

13.（2021貴州省黔西南州,54分）一直角三角形的兩邊長分別為3和4.則第三邊

的長為（）

A.5B.WC.V5D.5或W

考點(diǎn)勾股定理.

分析：

專題分類討論.

分析:

分析：本題中沒有指明哪個(gè)是直角邊哪個(gè)是斜邊，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析.

解答：解：（1）當(dāng)兩邊均為直角邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為5,

（2）當(dāng)4為斜邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為行，

故選D.

點(diǎn)評(píng)：題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理的運(yùn)用，注意分情況進(jìn)行分析.

14.（2021湖北省鄂州市，4,3分）一副三角板有兩個(gè)直角三角形，如圖疊放在一起,

則Na的度數(shù)是（）

A.165°B.120°C.150°D.135°

考點(diǎn)三角形的外角性質(zhì).

分析：

分析：利用直角三角形的性質(zhì)求得Z2=60°；則由三角形外角的性質(zhì)知N2=N1+45。=60。,

所以易求N1=15。；然后由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)來求Na的度數(shù).

解答：解：如圖所示,?.?N2=90°-30°=60°,

/.Z1=Z2-45°=15°,

Za=180°-Z1=165°.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外角性質(zhì).解題時(shí)，注意利用題干中隱含的已知條件：

Zl+a=180".

15.(2021湖北省鄂州市，10,3分)如圖所示，已知直線allb,且a與b之間的距離

為4,點(diǎn)A到直線a的距離為2,點(diǎn)B到直線b的距離為3,AB=2A/30.試在直線a

上找一點(diǎn)M,在直線b上找一點(diǎn)N,滿足MN_La且AM+MN+NB的長度和最短，則

此時(shí)AM+NB=()

A

A.6B.8C.10D.12

考點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；平行線之間的距離.

分析：

分析：MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可,

作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A；連接"B交直線b與點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NMJ_直線

a,連接AM,則可判斷四邊形AA，NM是平行四邊形，得到AM=A，N,由兩點(diǎn)之

間線段最短，可得此時(shí)AM+NB的值最小.過點(diǎn)B作BEJLAA1交AA，于點(diǎn)E,在

RtAABE中求出BE,在RtAA，BE中求出A，B即可得到AM+NB.

解答：解：作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A；連接A-B交直線b與點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NM±

直線a,連接AM,

A到直線a的距離為2,a與b之間的距離為4,

AA'=MN=4,

四邊形AA，NM是平行四邊形，

AM+NB=A'N+NB=A'B,

過點(diǎn)B作BEJLAA，，交AA吁點(diǎn)E,

易得AE=2+4+3=9,AB=2j否，A'E=2+3=5,

在RtAAEB中，BE1AB2-

在RSA，EB中，A，B=[A，E2+BE±8.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用、平行線之間的距離，解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)M、

點(diǎn)N的位置，難度較大，注意掌握兩點(diǎn)之間線段最短.

三、解答題

1.(2021山東德州，23,10分)

(1)如圖1,已知△ABC,以AB、AC為邊向aABC外做等邊4ABD和等邊AACE,

連接BE,CD。請(qǐng)你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）

第23題圖1第23題圖2第23題圖3

（2）如圖2,已知AABC,以AB、AC為邊向外做正方形ABFD和正方形ACGE。連

接BE,CD。BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡單說明理由；

（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖3,要測(cè)量池塘兩岸相正確的兩點(diǎn)B,E的距離，已經(jīng)測(cè)得NABC=45°,Z

CAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE。求BE的長。

【思路分析】（1）根據(jù)題目要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，并加以證明其它結(jié)論：（2）用三角形全

等分析BE與CD相等關(guān)系；（3）構(gòu)件建幾何模型解（添加輔助線、運(yùn)用勾股定理）決實(shí)

際問題.

【解】（1）完成作圖，字母標(biāo)注正確。

證明：???△ABD和4ACE都是等邊三角形。

；.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°?

NBAD+NBAC=NCAE+NBAC

即NCAD=NEAB

AACAD^AEAB

ABE=CD

（2）BE=CD

理由同（1）:

?.,四邊形ABFD和ACGE均為正方形，

，AD=AB,AC=AE,NBAD=NCAE=90°

ZCAD=ZEAB

AACAD^AEAB

BE=CD

（3）由（1）（2）的解題經(jīng)驗(yàn)可知，過A作等腰直角三角形ABD,NBAD=90°,則

AD=AB=1000,ZABD=45°,

.-.BD=100V2

連接CD,則由⑵可得BE=CD。

VZABC=45°,

/DBC=90°,

在RtaDBC中，BC=100,BD=100錯(cuò)誤!未找到引用源。

...CD=錯(cuò)誤!未找到引用源。=100錯(cuò)誤!未找到引用源。

；.BE的長為100招米

【方法指導(dǎo)】本題考查了與等邊三角形、正方形的全等應(yīng)用實(shí)踐操作、探究題.圖形與

幾何的實(shí)踐、探究題，是新中考比較熱點(diǎn)的命題方向.

2.（2021四川涼山州，24,8分）小亮和小紅在公園放風(fēng)箏，不小心讓風(fēng)箏掛在樹梢

上，風(fēng)箏固定在錯(cuò)誤!未找到引用源。處（如圖），為測(cè)量此時(shí)風(fēng)箏的高度，他倆按如

下步驟操作：

第一步：小亮在測(cè)點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。處用測(cè)角儀測(cè)得仰角=

第二步：小紅量得測(cè)點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。處到樹底部錯(cuò)誤!未找到引用源。的水

平距離錯(cuò)誤!未找到引用源。。

第三步：量出測(cè)角儀的高度8=匕。

之后，他倆又將每個(gè)步驟都測(cè)量了三次，把三次測(cè)得的數(shù)據(jù)繪制成如下的條形

統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖。

請(qǐng)你根據(jù)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答下列問題。

（1）把統(tǒng)計(jì)圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)填入相應(yīng)的表格中:

錯(cuò)誤!未找到b錯(cuò)誤!未找到

引用源。引用源。

第一次

第二次

第三次

平均值

(2)根據(jù)表中得到的樣本平均值計(jì)算出風(fēng)箏的高度錯(cuò)誤!未找到引用源。(參考

數(shù)據(jù)：1.732,錯(cuò)誤!未找到引用源。，結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字)。

【思路分析】(1)要根據(jù)題中所給的條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖很容易完成下列表格；

(2)利用解直角三角形的知識(shí)即可求出風(fēng)箏的高度。

【解】(1)

錯(cuò)誤!未找到錯(cuò)誤!未找到

引用源。引用源。

第一次15.711.3129.5°

第二次15.831.3330.8°

第三次15.891.3229.7°

平均值15.811.3230°

(2)由題意得：四邊形BDCE為矩形，，EC=BD=15。8,BE=CD=1。32,Z

AEC=90°,

在RtZ\AEC中，ZAEC=90°,/錯(cuò)誤!未找到引用源。=30°,

???錯(cuò)誤!未找到引用源。.；.AE=EC錯(cuò)誤!未找到引用源。

，AB=AE+BE=9.128+1.32=10.4(m).

，風(fēng)箏的高度AB約為10.4m.

【方法指導(dǎo)】本題考查統(tǒng)計(jì)圖及解直角三角形.在解直角三角形時(shí)，加入有直角三

角形直接利用邊角關(guān)系直接求出，加入沒有直角三角形可以構(gòu)造直角三角形再利用邊角關(guān)

系去解.

3.(2021四川南充，21,8分)如圖所示，公路A8為東西走向，在點(diǎn)A北偏東36.5。

方向上，距離5千米處是村莊M；在點(diǎn)A北偏東53.5。方向上，距離10千米處是村

莊N(參考數(shù)據(jù)：sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.75).

(1)求M,N兩村之間的距離；

(2)要在公路AB旁修建一個(gè)土特產(chǎn)收購站P,使得何，N兩村到站P的距離之和最

短，求這個(gè)最短距離.

【答案解析】：解：(1)如圖所示，過點(diǎn)M作C力〃4B,NELAB.

在RtZ\ACM中，ZCAM=36.5°,AM=5,

，sin36.5。=錯(cuò)誤!未找到引用源。=0.6,

：.CM=3,4c=4.

在RtZXANE中，ZAME=90°-53.5°=36.5°,AN=10,

/.sin36.5。=錯(cuò)誤!未找到引用源。=0.6,

:?NE=6,AE=8.

在RtZXMNC中，MO=5,ND=2,

：.MN=A/52+22=V29(km).

(2)作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,連接MG交AB于點(diǎn)P.

點(diǎn)戶即為站點(diǎn).

PM+PN=PM+PG=MG.

在RtaMOG中，MG=錯(cuò)誤!未找到引用源。(km).

???最短距離為錯(cuò)誤!未找到引用源。km.

【試題解答】(1)過點(diǎn)M作CD〃A8,NE±AB,在心AACM中求出CM,AC,在Rt

△4VE中求出NE,AE,繼而得到例DND的長度，在Rt/SMND中利用勾股定理

可得到MN的長度.

(2)作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,連接MG交AB于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為站點(diǎn)，求出MG

的長度即可.

【方法指導(dǎo)】本題考查了解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利

用三角函數(shù)值求解相關(guān)線段的長度，難度較大.

4.(2021?鞍山，16,2分)如圖所示，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD±CD,AD=6,BD

=4,CD=3,E、F、G、H分別為AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH

的周長是

A

考點(diǎn)分析：三角形中位線定理；勾股定理.

分析：利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于

第三邊的一半求出EH=FG=AD,EF=GH=BC,然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.

解答：解:??,BDJLCD,BD=4,CD=3,

BC=VBD2+CD2=A/42+32=5,

???E、F、G、H分別為AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，

EH=FG=AD,EF=GH=BC,

四邊形EFGH的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC,

又,.?AD=6,r.四邊形EFGH的周長=6+5=11.故答案為：11.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行

于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?泰安，23,3分）如圖所示，在RfAABC中，ZACB=90°,AB的垂直平

分線OE交AC于E,交2c的延長線于F,若NF=30。，DE=\,則BE的長

是

B

/\

AF

考點(diǎn)分析：含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì).

分析：根據(jù)同角的余角相等、等腰AABE的性質(zhì)推知NDBE=30。，則在直角AOBE中

由“30度角所正確的直角邊是斜邊的一半”即可求得線段BE的長度.

解答：解：：ZACB=90°,FDA.AB,ZZACB=NFOB=90°,

ZF=30°,NA=N尸=30。（同角的余角相等）.

又48的垂直平分線OE交AC1于E,：.ZEBA=Z4=30。，

直角△DBE中，BE=2DE=2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形.解題的難點(diǎn)是推

知NEBA=30°.

6.（2021四川巴中，19,3分）若直角三角形的兩直角邊長為a、b,且滿足

7a2-6a+9+|b-4|=0＞則該直角三角形的斜邊長為5.

考點(diǎn)勾股定理；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根.

分析：

分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得該直角三角形的

斜邊長.

解答：解:丫7a2-6a+9+|b-41=0，

a2-6a+9=0,b-4=0,

解得a=3,b=4,

V直角三角形的兩直角邊長為a、b,

???該直角三角形的斜邊長二^^^石弓不^.

故答案是：5.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)-絕對(duì)值、算術(shù)平方根.任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)

值（二次根式）都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則其中的

每一項(xiàng)都必須等于0.

7.（2021河南省，10,3分）將一副直角三角板錯(cuò)誤!未找到引用源。和。石戶如圖放

置（其中錯(cuò)誤!未找到引用源。），使點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。落在錯(cuò)誤!未找到引用源。

邊上，且￡￡>〃BC,則錯(cuò)誤!未找到引用源。的度數(shù)為

【試題解答】由圖形可知：錯(cuò)誤!未找到引用源。。因?yàn)镋D//BC.

所以錯(cuò)誤!未找到引用源。，???錯(cuò)誤!未找到引用源。

【答案解析】15

8.（2021黑龍江省哈爾濱市，19）在△ABC中，AB=錯(cuò)誤!未找到引用源。，

BC=1,ZABC=45°,以AB為一邊作等腰直角三角形ABD,使NABD=90°,連接CD,

則線段CD的長為

考點(diǎn)分析：解直角三角形，鈍角三角形的高

分析：雙解問題，畫等腰直角三角形ABD,使/ABD=90°,分兩種情況，點(diǎn)D與C在

AB同側(cè)，D與C在AB異側(cè)，考慮要全面；

解答：當(dāng)點(diǎn)D與C在AB同側(cè)，BD=AB=2&，作CE±BD于E,CD=BD=錯(cuò)誤味找到引

用源。，

ED=錯(cuò)誤!未找到引用源。，由勾股定理CD=錯(cuò)誤!未找到引用源。當(dāng)點(diǎn)D與C在AB異

側(cè)，BD=AB=2后，NBDC=135°,作DEJ_BC于E,BE=ED=2,EC=3,由勾股定理

CD=錯(cuò)誤!未找到引用源。

故填錯(cuò)誤!未找到引用源?；蝈e(cuò)誤!未找到引用源。

9.（2021湖北省鄂州市，15,3分）著名畫家達(dá)芬奇不僅畫藝超群，同時(shí)還是一個(gè)數(shù)學(xué)

家、發(fā)明家.他曾經(jīng)設(shè)計(jì)過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略

不計(jì)），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內(nèi)自由滑動(dòng)，將筆插入位于木棒

中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來.若AB=20cm,則畫出的圓

考點(diǎn)直角三角形斜邊上的中線.

分析:

分析：連接OP,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得0P的長，畫出的

圓的半徑就是0P長.

解答:解：連接0P,

△AOB是直角三角形，P為斜邊AB的中點(diǎn),

OP=AB,

AB=20cm,

0P=1Ocm,

關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

10.（2021湖北省鄂州市，16,3分）如圖所示，AAOB中，NAOB=90。，AO=3,

BO=6,△AOB繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A，OB，處，此時(shí)線段A，B，與BO的交點(diǎn)E為BO

的中點(diǎn)，則線段B，E的長度為2近.

一5一

R'

考點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

分析：

分析：利用勾股定理列式求出AB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO=A-O,A，B，=AB,再求出

0E,從而得到OE=A，O,過點(diǎn)O作OF_LAB于F,利用三角形的面積求出OF,

利用勾股定理列式求出EF,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得A，E=2EF,然

后根據(jù)B，E=A，B，-AT代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.

解答：解:ZAOB=90",A0=3,B0=6,

AB=yAO2+B032+6詆

???△AOB繞頂點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A，OB，處，

AO=A（O=3,AB=AB=3泥，

■.?點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，

OE=BO=x6=3,

OE=A,O,

過點(diǎn)0作OF_LA，B，于F,

SAA，OB=X3泥?OF=X3X6,

解得OF=.,

5

在RSEOF中，EF^OE2_OF2=^32_（誓）

5'

,/OE=A/O,OFXA'B；

A，E=2EF=2x?近=￡近（等腰三角形三線合一），

55

B'E=A'B'-A'E=3泥-色后=區(qū)反.

55

故答案為：也

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及

三角形面積，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解

題的關(guān)鍵.

11.（2021上海市，23,12分）如圖8,在/XABC中，ZABC=90°,

ZB>ZA,點(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,

C廣〃A8交。E的延長線于點(diǎn)尸.

（1）求證：DE=EF；

（2）聯(lián)結(jié)CD,過點(diǎn)。作。。的垂線交的

延長線于點(diǎn)G,求證：ZB^ZA+ZDGC.

圖8

【答塞】史明,《1）???在AA3c中.ZAC3-^.與D為近3的中點(diǎn).

.,.□C-DA（五曲三角外科2Lt卬援壽干斜邊的TM?

???H〃BG/.Ar-CZ（平行蛉等分線餐的性質(zhì)），ZA-ZFCH（平行線的內(nèi)箱角招等）.

XVZAED-ZCET/.△AED?ACBF（A$A>.

/.DE-EF（金等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

（2）如圖.???在AABC中,ZAC3-9.點(diǎn)D為ftA3的中點(diǎn).

/.□C-D3(直角三角形斜邊上中或等于新邊的一半).,G

AZ3?Z4(等邊對(duì)等角八

又丁工〃%.???/2-N3，ZB-ZADE.

VDGXDC.AZ2+Z3-90:.即NI+ND-好.

VZACB-9Ci：./.ZA-FZ>903.AZ2-ZA.

B

VCF/7AB.AZDGC-ZL

AZ3-ZADE-Z2+Z1-ZA+^DGC.

【考點(diǎn)】直龜三角形斜邊上中線性腦，平行線的性腦，全等三角形的判定和性規(guī)，等腰三角形的性腦，直角三角形

兩銳角的關(guān)系，轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.

【分析】（D通過由ASA證明△AEDsZkCEF得出結(jié)論.

（2）如圖，經(jīng)過轉(zhuǎn)換，將NB轉(zhuǎn)換成NADE,從而通過證明NDGON1和N〉NA得出結(jié)論.

12.（2021上海市，24,12分）如圖9,在平面直角坐標(biāo)系xoy中，頂點(diǎn)為M

的拋物線>=0?+法3>0）經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B,AO=OB=2,

ZACB=120°.

（1）求這條拋物線的表達(dá)式：

（2）聯(lián)結(jié)。M,求ZAOM的大??；

（3）加入點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】解，（t）如網(wǎng).過點(diǎn)AfTAD<Ly*F點(diǎn)d'

VAO-OB-2,AB（2.0）.‘一°/

VZAOB-1203.AZAOD-303.0D-6?___\_______/_

-----

AA<-i.6）?

13.（2021四川巴中，29,10分）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作

AE±BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點(diǎn)，且NAFE=ZB

(1)求證:△ADF~△DEC；

(2)若AB=8,AD=6?,AF=4?,求AE的長.

AD

考點(diǎn)相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì).

分析：

分析：(1)利用對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似△ADF"△DEC；

(2)利用AADFs△DEC,可以求出線段DE的長度；然后在在RQADE中,

利用勾股定理求出線段AE的長度.

解答：(1)證明:,?,0ABCD,ABHCD,ADIIBC,

ZC+ZB=180°,ZADF=ZDEC.

ZAFD+ZAFE=180\ZAFE=ZB,