人教版高中數(shù)學全冊教案-09-直線、平面、簡單幾何體-21

兩個平面垂直的判定和性質（-）

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1.兩個平面垂直的定義、畫法.

2.兩個平面垂直的判定定理.

（二）能力訓練點

1.應用演繹的數(shù)學方法理解并掌握兩個平面垂直的定義.

2.掌握兩個平面垂直的判定定理的證明過程，培養(yǎng)學生嚴格的邏輯推理，

增強學生分析、解決問題的能力.

3.利用轉化的方法掌握和應用兩個平面垂直的判定定理.

（三）德育滲透點

1.理解并掌握兩個平面垂直定義的過程是培養(yǎng)學生從一般到特殊的思維方

法的過程.

2.讓學生認識到掌握兩個平面垂直的判定定理是人類生產實踐的需要，并

且應用于實踐，進一步培養(yǎng)學生理論與實踐相結合的觀點.

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1.教學重點：掌握兩個平面垂直的判定.

2.教學難點：掌握兩個平面垂直的判定及應用.

三、課時安排

本課題安排2課時.本節(jié)課為第一課時：主要講解兩個平面垂直的判定.

四、教與學的過程設計

（一）復習平面角的有關知識

師：什么是二面角的平面角？

生：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩

條射線所成的角叫做二面角的平面角.

師：一般地，作二面角的平面角有哪幾種方法？

生：三種.一是利用定義；二是利用三垂線（逆）定理；三是利用棱的垂面.

師：下面我們來做道練習（幻燈顯示）.

己知：二面角a-AB-P等于45°,CD<a,DGAB,ZCDB=45°.

求：CD與平面8所成的角.

生證明：作COJLB交B于點0,連結D0,則NCD0為DC與B所成的角.

過點0作0ELAB于E,連結CE,則CELAB,，NCE0為二面角a-AB-B的

平面角，即NCE0=45°.

圖1-127

設CD=a,?CE=^a.

2

VC0±0E,OC=OE,

.".00=-a.

2

VCOlDO,

an^CDO==—

CD2

.\ZCD0=30°.

即DC與B成30°角.

師點評：本題涉及到直線與平面所成角的范圍［0°,90°］以及利用三垂線定理尋

找二面角的平面角.事實上，利用三垂線定理作二面角的平面角是最常用，也是

最有效的--種方法.

（二）兩個平面垂直的定義、畫法

師：兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況，II常我們見到的墻面和地面、以及一

個長方體中，相鄰的兩個面都是互相垂直的.那么，什么是兩個平面互相垂直呢？

生：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

師：回答得很好.這個定義與平面幾何里的兩條直線互相垂直的定義相類似，也是用

它們所成的角是直角來定義.知道了兩個平面互相垂直的概念.如何畫它們呢？

生：如圖1T28,把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直.記作a_L

練習：（P.45中練習1）

畫互相垂直的兩個平面、兩兩垂直的三個平面.

如圖1-129.

a±p

p±y

a±V

O

（三）兩個平面垂直的判定

師：判定兩個平面互相垂直，除了定義外，還有下面的判定定理.

兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平

面互相垂直.

已知，AB1B,ABAPABca.

求證：a6.

師提示：要證明兩個平面互相垂直，只有根據(jù)兩個平面互相垂直的定義，證明由它們

組成的二面角是直二面角，因此必須作出它的一個平面角，并證明這個平面角是直角.如何

作平面角呢？根據(jù)平面角的定義，可以作BE_LCD,使NABE為二面角a-CD-B的平面

角.

圖1-130

讓學生獨自寫出證明過程.

證明：設anB=CD,則BeCD.

?/ABiB,CDcP,

.,.ABICD.

在平面B內過點B作直線BE±CD,則NABE是二面角a-CD-P的平面角，又

AB1BE,即二面角a-CD-B是直二面角.

a10.

師：兩個平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂

直于一個平面的另一個平面的依據(jù).如：建筑工人在砌墻時，常用一端系有鉛錘的線來檢查

所砌的墻面是否和水平面垂直（圖見課本P.43中圖1-49）,實際上，就是依據(jù)這個

原理.

另外，這個定理說明要證明面面垂直，實質上是轉化為線面垂直來證明.下面我們來

做一道練習.

練習：（P.45中練習2）

如圖1-131,檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在

工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉動一下，觀察尺邊是否和這個面

密合就可以了.為什么？如果不轉動呢？

圖1-131

答.JKCfll-132,因為OAJ_OB.OA1OC,OBaP,OCcP,

且OBnOC=。，根據(jù)紋面垂直的列定定理，可得OAJ.B,又OAu

a,根據(jù)面面垂直的列定定理，可將a1P.

圖1-132

如果不轉動，只能確定兩條直線OA±OB,無法確定0A±B,從而無法確定a±

B.

（四）練習

例：。。在平面a內，AB是。。的直徑，PAIa,C為圓周上不同于A、B的

任意一點.

求證：平面PAC,平面PBC.

圖1-133

證明：在。0內.

VAB為90的直徑,

.\BC±AC.

又PALBC,

.?.BC_L平面PAC.

：BCu平面PBC,

平面PAC，平