2024高考數(shù)學(xué)教材-計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布

2024高考數(shù)學(xué)教材一計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布

目錄

1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理................................1

2.排列與組合..........................................................8

3.二項(xiàng)式定理.........................................................18

4.隨機(jī)事件的概率.....................................................29

5.古典概型...........................................................39

6.離散型隨機(jī)變量的均值與方差........................................49

7.二項(xiàng)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用........................................63

1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

考情分析：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、

分步乘法計(jì)數(shù)原理、兩個(gè)原理的綜合應(yīng)

通過(guò)實(shí)例，了解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、

用是高考的熱點(diǎn)，題型以選擇題為主，

分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.

難度將會(huì)變小.

學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象.

?等分步落實(shí)

精梳理、巧診斷，過(guò)好雙基關(guān)。

V學(xué)生用書(shū)P165

I整知識(shí)I

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

X分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有兩類(lèi)不同方案,在完成一件事需要兩個(gè)步

條

第1類(lèi)方案中有加種不同的方法，在驟，做第1步有機(jī)種不同的方

件

第2類(lèi)方案中有n種不種的方法法，做第2步有〃種不同的方

法

完成這件事共有N=m+n種不同完成這件事共有N=m?〃種

論的方法不同的方法

［注意］分類(lèi)的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”；分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)

分步的程序，即合理分類(lèi)，準(zhǔn)確分步.在分類(lèi)與分步之前要確定題目中是否有特

殊條件限制.

1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類(lèi)，并且只屬于其

中一類(lèi).

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分

步完成”.

I練基礎(chǔ)I...............................>?

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”）

（1）在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，兩類(lèi)不同方案中的方法可以相同.（）

（2）在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，每類(lèi)方案中的方法都能直接完成這件事.（）

（3）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同

的.（）

（4）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步

驟都能完成這件事.（）

答案：（1）義（2）V（3）7（4）X

2.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有（）

A.50個(gè)B.45個(gè)

C.36個(gè)D.35個(gè)

C［根據(jù)題意個(gè)位上的數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9共8種情況，

在每一類(lèi)中滿足題目要求的兩位數(shù)分別有1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè),

7個(gè)，8個(gè)，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有1+2+3+4+5+6

+7+8=36（個(gè)）.］

3.（選修2—3P12T5改編）設(shè)集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8},

a&A,b￡B,則直線ox+b=2021有條.

A.4B.5

C.20D.9

C［分兩個(gè)步驟：第一步確定a,有5種方法，第二步確定兒有4種方法，

所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得直線有5X4=20（條）.］

4.書(shū)架的第1層放有4本不同的語(yǔ)文書(shū)，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，

第3層放有6本不同的體育書(shū).從第1,2,3層分別各取1本書(shū)，則不同的取法

種數(shù)為.

解析：由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，從第1,2,3層分別各取1本書(shū)，不同的

取法共有4X5X6=120（種）.

答案：120

5.若三角形三邊均為正整數(shù)，其中一邊長(zhǎng)為4,另外兩邊長(zhǎng)為小c,且滿

足。W4Wc,則這樣的三角形有個(gè).

解析：當(dāng)b=\時(shí)，c=4；當(dāng)b=2時(shí)，c=4,5；當(dāng)6=3時(shí)，c=4,5,6；

當(dāng)6=4時(shí)，c=4,5,6,7.故共有1+2+3+4=10個(gè)這樣的三角形.

答案：10

v學(xué)生用書(shū)P166

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理

［題組練透］

72

1.已知橢圓，+.=1,若a4{2,4,6,8},b^{\,2,3,4,5,6,7,

8）,這樣的橢圓有（）

A.12個(gè)B.16個(gè)

C.28個(gè)D.32個(gè)

C［若焦點(diǎn)在x軸上，則a>h,a=2時(shí)，有1個(gè)；a=4時(shí)，有3個(gè)；。=6

時(shí)，有5個(gè)；a=8時(shí)，有7個(gè)，共有1+3+5+7=16個(gè).若焦點(diǎn)在y軸上，則

b>a,b=3時(shí)，有1個(gè)；b=4時(shí)，有1個(gè)；b=5時(shí)，有2個(gè)；h=6時(shí)，有2個(gè)；

b=1時(shí)，有3個(gè)；力=8時(shí)，有3個(gè)，共有1+1+2+2+3+3=12個(gè).故共有

16+12=28個(gè).]

2.滿足a,b&{~\,0,1},且關(guān)于x的方程af+2x+Z?=0有實(shí)數(shù)解的有

序數(shù)對(duì)(a,加有個(gè).

解析：當(dāng)a=0時(shí)，方程變?yōu)?x+b=0,b任取方程均有解，故有3種有

序數(shù)對(duì).

當(dāng)aWO時(shí)，方程a?+2x+/?=0有實(shí)數(shù)解0/=22—4出?=4(1一")20,即

abWT,此時(shí)。=一1,1,可能的實(shí)數(shù)對(duì)有(一1,-1),(-1,0),(-1,1),(1,

-1),(1,0),(1,1),共6個(gè).

綜上知，滿足條件的3,與共有3+6=9.

答案：9

3.我們把中間位數(shù)上的數(shù)字最大，而兩邊依次減小的多位數(shù)稱(chēng)為“凸

數(shù)”.如132,341等，那么由1,2,3,4,5可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位“凸

數(shù)”的個(gè)數(shù)是.

解析：根據(jù)“凸數(shù)”的特點(diǎn)，中間的數(shù)字只能是3,4,5,故分三類(lèi)，第

一類(lèi)，當(dāng)中間數(shù)字為“3”時(shí)，此時(shí)有2種(132,231)；

第二類(lèi)，當(dāng)中間數(shù)字為“4”時(shí)，從1,2,3中任取兩個(gè)放在4的兩邊，故有

6種；

第三類(lèi)，當(dāng)中間數(shù)字為“5”時(shí)，從1,2,3,4中任取兩個(gè)放在5的兩邊，故

有12種；

根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得到由1,2,3,4,5可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位

“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)是2+6+12=20.

答案：20

應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的三個(gè)步驟

分步乘法計(jì)數(shù)原理自練型

［題組練透］

1.已知集合M={—3,-2,—1,0,1,2},P（a,b）{a,bWM）表示平面

上的點(diǎn)，則P表示坐標(biāo)平面上第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.12

C.24D.36

A［確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：

第一步確定。，由于。<0,所以有3種方法；

第二步確定乩由于">0,所以有2種方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3X2=61

2.將3張不同的電影票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同的分法

種數(shù)是（）

A.2160B.720

C.240D.120

B［分步來(lái)完成此事，第1張電影票有10種分法；第2張電影票有9種分

法；第3張電影票有8種分法，共有10X9X8=720種分法.］

3.如圖，現(xiàn)有4種不同顏色給圖中5個(gè)區(qū)域涂色，要求任意兩個(gè)相鄰區(qū)域

不同色，共有種不同涂色的方法；若要求4種顏色都用上且任意兩個(gè)相

鄰區(qū)域不同色，共有種不同涂色方法.

14

25

解析：（1）如圖，區(qū)域1有4種選法，區(qū)域2有3種選法，區(qū)域3有幾中

選法，區(qū)域4可選剩下的一種和區(qū)域1,2所選的顏色，有3種選法，區(qū)域5和

區(qū)域4、區(qū)域3的顏色不同，有2種選法，共有4X3X2X3X2=144種.

（2）區(qū)域3有4種選法，區(qū)域1有3種選法，區(qū)域2有2種選法，區(qū)域4從

區(qū)域1,2所選顏色中選有2種選法，區(qū)域5可選剩下的一種和區(qū)域1,2所選被

區(qū)域4選剩下的一種，有2種選法，共有4X3X2X2X2=96種.

答案：144；96

多練后悟通

用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的三個(gè)步驟

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

(1)現(xiàn)有5種不同顏色的染料,要對(duì)如圖所示的四個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行涂色,

要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是

()

A.120B.140

C.240D.260

(2)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)

數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個(gè).(用數(shù)字作答)

解析：(1)由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，然后

涂。處，若。處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，。處有4種涂法；

若C處與A處所涂顏色不同，則。處有3種涂法，。處有3種涂法，由此可得

不同的涂色方法有5X4X(1X4+3X3)=26O(種).故選D.

(2)分兩種情況：第一種：四位數(shù)都不是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為：5X4X3X2=120,

第二種：四位數(shù)中有一位為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為4X4X5X4X3=960,則共有1080

個(gè).

答案：(1)D⑵1080

利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的注意點(diǎn)

(1)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確是分類(lèi)還是分步.

(2)分類(lèi)要做到“不重不漏”，正確把握分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵.

(3)分步要做到“步驟完整”，步步相連才能將事件完成.

(4)較復(fù)雜的問(wèn)題可借助圖表來(lái)完成.

（5）對(duì)于涂色問(wèn)題：①分清元素的數(shù)目以及在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用

同類(lèi)元素；②注意對(duì)每個(gè)區(qū)域逐一進(jìn)行分步處理.

1.用0到9這10個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的三位數(shù)的個(gè)數(shù)

為.

解析：由題意，末尾是?；?,

末尾是0時(shí)，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的三位數(shù)有8X9=72（個(gè)）；

末尾是5時(shí)，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的三位數(shù)有8X8=64（個(gè)）.

根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得，用0到9這10個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且

能被5整除的三位數(shù)有72+64=136（個(gè)）.

答案：136

2.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交

線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成

的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是.

解析：分兩種情況討論：（1）對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正

交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)“有2X12=24（個(gè)）.

（2）對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣

的“正交線面對(duì)”有12個(gè).

所以正方體中“正交線面對(duì)“共有36個(gè).

答案：36

「友情提示］每道習(xí)題都是一個(gè)高考點(diǎn)，每項(xiàng)訓(xùn)練都是對(duì)能力的檢驗(yàn)，認(rèn)真

對(duì)待它們吧！進(jìn)入“課時(shí)作業(yè)（五十五）”，去收獲希望，體驗(yàn)成功！本欄目?jī)?nèi)容

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2.排列與組合

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

1.通過(guò)實(shí)例，理解排列、組合的概考情分析：排列組合的綜合問(wèn)題

念.仍是高考的重點(diǎn)，近幾年難度降低，單

2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公獨(dú)考查較少.

式、組合數(shù)公式.學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

?嫌分步落實(shí)

精梳理、巧診斷，過(guò)好雙基關(guān)C

V學(xué)生用書(shū)P167

I整知識(shí)I

1.排列與組合的概念

名稱(chēng)定義

排列從n個(gè)不同元素按照一定的順序排成一列

中取出個(gè)元

組合合成一組

素

［注意］區(qū)分一個(gè)問(wèn)題屬于排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵在于是否與順序有

關(guān)，如果與順序有關(guān)，則是排列；如果與順序無(wú)關(guān)，則是組合.

2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出從n個(gè)不同元素中取出

定

機(jī)個(gè)元素的所有不同排列的機(jī)(mW〃)個(gè)元素的所有不同組合的

義

個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)

A：=n（n-1）（〃一2）…（八一m

公

K—A/n—

n!A??

式

+1）一（幾一m）\?!錯(cuò)誤！

性zi/n1Aim-1___

A；0!=1

質(zhì)

?常用結(jié)論

正確理解組合數(shù)的性質(zhì)

(l)C；；1=C；；F：從〃個(gè)不同元素中取出相個(gè)元素的方法數(shù)等于取出剩余“

一加個(gè)元素的方法數(shù).

(2)c；r+c；；,_|=c；；3：從〃+1個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素可分以下兩種

情況：①不含特殊元素A有C；種方法；②含特殊元素A有種方法.

I練基礎(chǔ)I................................................?

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”)

(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.()

(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序.()

(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()

(4)若組合式C；=C：,貝成立.()

(5)A；=〃(〃一1)(〃一2)…(〃—根).()

答案：(1)X(2)X(3)V(4)X(5)x

2.從4人中選出2人，安排周六、周日值班，每天一人，則不同的安排方

法種數(shù)為()

A.4B.6

C.8D.12

D[安排周六、周日值班是有序問(wèn)題，故有A；=12種安排方法.]

3.某校開(kāi)設(shè)A類(lèi)選修課2門(mén)，8類(lèi)選修課3門(mén)，一位同學(xué)從中選3門(mén).若

要求兩類(lèi)課程中各至少選一門(mén)，則不同的選法共有()

A.3種B.6種

C.9種D.18種

C[C；C；+C2C；=2X34-1X3=9.]

4.若Cio7=Go，則x=.

解析：由2x—1~x或—7+尤=20,得%--7或x—9.

答案：7或9

5.5個(gè)人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有種.(用數(shù)字

作答)

解析：先排甲、乙之外的3人，有A1種排法，然后將甲、乙兩人插入形

成的4個(gè)空中，有與種排法，故共有A)-Ai=72(種)排法.

答案：72

6?分類(lèi)突破微點(diǎn)撥、多維練，研透命題點(diǎn)

V學(xué)生用書(shū)P168

排列應(yīng)用題講練型

3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方

法種數(shù).

(1)選其中5人排成一排；

(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；

(3)全體站成一排，男、女各站在一起；

(4)全體站成一排，男生不能站在一起.

解析：(1)從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，有A，=2520種排法.

(2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有A；=5040種排法.

(3)相鄰問(wèn)題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有A：種排法；

女生必須站在一起，是女生的全排列，有A1種排法；全體男生、女生各視為一

個(gè)元素，有A9種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有N=A：=288(種).

(4)不相鄰問(wèn)題(插空法)：先安排女生共有蜀種排法，男生在4個(gè)女生隔成

的五個(gè)空中安排共有A1種排法，故N=A1-=1440(種).

慟歸納升華

1.求解排列應(yīng)用題的主要方法

選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個(gè)類(lèi)

分

型，分別計(jì)算每個(gè)類(lèi)型中的排列數(shù)，再由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得

直類(lèi)法

出總數(shù)

接法

分選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，分別

步法計(jì)算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)

相鄰問(wèn)題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其

捆綁法

他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列(如本例(3))

插空法不相鄰問(wèn)題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，

再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中(如本例(4))

間接法對(duì)于分類(lèi)過(guò)多的問(wèn)題，按正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法

2.解決有限制條件排列問(wèn)題的策略

(1)根據(jù)特殊元素(位置)優(yōu)先安排進(jìn)行分步，即先安排特殊元素或特殊位置.

(2)根據(jù)特殊元素當(dāng)選數(shù)量或特殊位置由誰(shuí)來(lái)占進(jìn)行分類(lèi).

1.(多選)A、B、C、D、E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有()

A.若4、8兩人站在一起有24種方法

B.若A、8不相鄰共有72種方法

C.若A在8左邊有60種排法

D.若A不站在最左邊，B不站最右邊,有78種方法

BCD[對(duì)于A,先將A,B排列，再看成一個(gè)元素，和剩余的3人，一共4

個(gè)元素進(jìn)行全排列，由分步原理可知共有A；=48種，所以A不正確；對(duì)于

B,先將A,B之外的3人全排列，產(chǎn)生4個(gè)空，再將A,8兩元素插空，所以

共有A1A；=72種，所以B正確；對(duì)于C,5人全排列，而其中A在8的左邊

和A在B的右邊是等可能的，所以A在8的左邊的排法有g(shù)Ai=60種，所以C

正確；對(duì)于D,對(duì)A分兩種情況：一是若A站在最右邊，則剩下的4人全排列

有用種，另一個(gè)是A不在最左也不在最右邊，則A從中間的3個(gè)位置中任選1

個(gè)，然后8從除最右邊的3個(gè)位置中任選1個(gè)，最后剩下3人全排列即可，由

分類(lèi)加法原理可知共有A：+A；A10=78種，所以D正確，故選BCD.]

2.(變?cè)O(shè)問(wèn))在本例條件下，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)：

(1)甲不在中間也不在兩端；

(2)甲、乙兩人必須排在兩端.

解析：(1)先排甲有4種，其余有AS種，

故共有4.A￡=2880種排法.

(2)先排甲、乙，再排其余5人，

共有A；?As=240種排法.

組合應(yīng)用題講練型

要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少

種不同的選法？

(1)至少有1名女生入選；

(2)男生甲和女生乙入選；

(3)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選.

解析：(1)法一：至少有1名女生入選包括以下幾種情況：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女.

由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為

C；C7+C5C7+C5C7+C5C；+C5=771種.

法二：“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”，可用間接法求

解.從12人中任選5人有C'種選法，其中全是男代表的選法有C1種.

所以“至少有1名女生入選”的選法有C?2—C=771種.

(2)男生甲和女生乙入選，即只要再?gòu)某猩缀团彝獾?0人任選3名

即可，共有C；Cfo=120種選法；

(3)間接法：“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的反面是“兩人都不入

選”，即從其余10人中任選5人有C：o種選法，所以“男生甲、女生乙至少有

一個(gè)人入選”的選法數(shù)為C；2—C：o=540種.

用歸納升華

兩類(lèi)含有附加條件的組合問(wèn)題的解法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含"，則先將這些元

素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑?/p>

素中去選取.

(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類(lèi)題目必須十分重

視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法或間接

法都可以求解，通常用直接法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，用間接法求解.

多點(diǎn)變式

1.(2020.新高考卷)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只

去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安

排方法共有()

A.120種B.90種

C.60種D.30種

C[從6名同學(xué)中任選1名同學(xué)去甲場(chǎng)館，有CB種選法，然后從剩下的5

名同學(xué)中任選2名同學(xué)去乙場(chǎng)館，有點(diǎn)種選法，最后直接安排剩下的3名同學(xué)

去丙場(chǎng)館，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的安排方法共有C：=60種.故

選C.]

2.(變?cè)O(shè)問(wèn))在本例條件下，求：

(1)至多有2名女生入選；

(2)男生甲和女生乙不能同時(shí)入選.

解析：(1)至多有2名女生入選包括如下幾種情況：

0女5男，1女4男，2女3男，

由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為C]+&C?+CgC9=546種.

(2)法一：男生甲和女生乙不能同時(shí)入選包括以下幾種情況：

男生甲入選女生乙不入選；男生甲不入選女生乙入選；男生甲和女生乙都不

入選.

由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為C%+Cfo+C；o=672種.

法二：間接法：從12人中選出5人，有C；2種選法，從除去男生甲和女生

乙外的10人中任選3人有種選法，所以“男生甲和女生乙不能同時(shí)入選”

的選法有C%-ClC?o=672種.

排歹J、組合的綜合應(yīng)用講練型

(1)(多選)為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利

用暑期開(kāi)設(shè)“禮”“樂(lè)”“射”“御”“書(shū)”“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每周一門(mén)，連續(xù)

開(kāi)設(shè)六周.貝女)

A.某學(xué)生從中選3門(mén)，共有30種選法

B.課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法

C.課程“禮”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法

D.課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排

法

(2)(2020?四省八校第二次質(zhì)量檢測(cè))某中學(xué)《同唱華夏情，共圓中國(guó)夢(mèng)》文藝

演出于2019年11月20日在學(xué)校演藝大廳開(kāi)幕，開(kāi)幕式文藝表演共由6個(gè)節(jié)目

組成，若考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目《文明之光》必須排

在前三位，且節(jié)目《一帶一路》、《命運(yùn)與共》必須排在一起，則開(kāi)幕式文藝表演

演出順序的編排方案共有()

A.120種B.156種

C.188種D.240種

(1)CD(2)A[(1)根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,某學(xué)生從中選3門(mén)，6門(mén)中選3門(mén)共有C1=20種，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,課程“射”“御”排在不相鄰兩周，先排好其他的4門(mén)課程，有5

個(gè)空位可選，在其中任選2個(gè)，安排“射”“御”，共有A：&=480種排法，

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,課程''禮”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰三周，由捆綁法分析：將

“禮”“書(shū)”“數(shù)”看成一個(gè)整體，與其他3門(mén)課程全排列，共有A1A1=144

種排法，故C正確；

對(duì)于D,課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，分2種情

況討論，若課程“樂(lè)”排在最后一周，有A?種排法，若課程“樂(lè)”不排在最后

一周，有C：C：A：種排法，則共有忘+C1C：A1=504種排法，故D正確.故

選CD.

(2)將《一帶一路》、《命運(yùn)與共》兩個(gè)節(jié)目捆綁在一起有種編排方案，當(dāng)

《文明之光》排在第一位時(shí)，有A]A1種編排方案.當(dāng)《文明之光》排在第二

位時(shí)，有C；A；A]種編排方案.當(dāng)《文明之光》排在第三位時(shí)，若《一帶一路》、

《命運(yùn)與共》兩個(gè)節(jié)目排在前二位，則有A：A1種編排方案；若《一帶一路》、

《命運(yùn)與共》兩個(gè)節(jié)目不排在前二位，則有A1晝A?種編排方案，所以編排方

案共有A9A：+C|A2A)+A5Al+A3A2A?=48+36+12+24=120(種).]

?歸納升華

解排列、組合綜合應(yīng)用題的思路

變式訓(xùn)練

1.從A,B,C,D,E5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外

語(yǔ)競(jìng)賽，其中A不參加物理、化學(xué)競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（）

A.24B.48

C.72D.120

C［因?yàn)锳參加時(shí)參賽方案有ciA；A1=48（種）；A不參加時(shí)參賽方案有

A：=24（種），所以不同的參賽方案共72種.］

2.2019年10月1日是中華人民共和國(guó)成立70周年國(guó)慶日，將2,0,1,9,

10按照任意次序排成一行，拼成一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為

（）

A.96B.84

C.120D.360

B［根據(jù)題意，將2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，“10”是一個(gè)整

體，有A?=120種情況.

其中數(shù)字“0”在首位的情況有A：=24種.

數(shù)字“1”和“0”相鄰且“1”在“0”之前的排法有A：=24種.

則可以產(chǎn)生120—24—24+12=84個(gè)不同的6位數(shù)，故選B.］

微專(zhuān)題系列39［思想方法］

分類(lèi)討論思想——排列、組合問(wèn)題求解

用數(shù)字0,2,4,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中大于420

789的正整數(shù)個(gè)數(shù)為（）

A.479B.480

C.455D.456

C［當(dāng)首位為7,8,9時(shí)，六位數(shù)共有3Ag=3X5X4X3X2X1=360（個(gè)）；

當(dāng)首位為4,第二位為7,8,9時(shí)，六位數(shù)共有3A：=3X4X3X2X1=72（4"）;

當(dāng)首位為4,第二位為2,第三位為7,8,9時(shí)，六位數(shù)共有3Al=3X3X2X1

=18（個(gè)）;

當(dāng)首位為4,第二位為2,第三位為0,第四位為8,9時(shí)，六位數(shù)共有2A；

=2X2X1=4（個(gè)）；

當(dāng)首位為4,第二位2,第三位為0,第四位為7,第五位為9時(shí)，六位數(shù)共

有1（個(gè)）.

所以大于42789的正整數(shù)共有360+72+18+4+1=455（個(gè)）.］

（1）解決排列組合問(wèn)題經(jīng)常用到分類(lèi)討論思想，其分類(lèi)原則：一是按元素的

性質(zhì)分類(lèi)；二是按事件發(fā)生的過(guò)程分類(lèi)，本例是按元素的性質(zhì)分類(lèi).

（2）由于排列、組合問(wèn)題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查

結(jié)果時(shí)，應(yīng)著重檢查所設(shè)計(jì)的解決問(wèn)題的方案是否完備，有無(wú)重復(fù)或遺漏，也可

采用多種不同的方法求解，看結(jié)果是否相同.

變式訓(xùn)練

1.旅游體驗(yàn)師小明受某網(wǎng)站邀請(qǐng)，決定對(duì)甲、乙、丙、丁這四個(gè)景區(qū)進(jìn)行

體驗(yàn)式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小

明可選的旅游路線數(shù)為（）

A.24B.18

C.16D.10

D［分兩種情況，第一種：最后體驗(yàn)甲景區(qū)，則有A：種可選的路線；第二

種：不在最后體驗(yàn)甲景區(qū)，則有C；?A9種可選的路線.所以小明可選的旅游

路線數(shù)為Al+C；?A；=10.故選D.］

2.為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國(guó)夢(mèng)”，某大學(xué)派遣甲、

乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加A、8、C三個(gè)貧困縣的調(diào)研工作，每個(gè)縣至少去

1人，且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣，則不同的派遣方案共有（）

A.24種B.36種

C.48種D.64種

B［根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①先將5人分成3組，要求甲、乙在同一組，

若甲、乙兩人一組，將其他三人分成2組即可，有瑪種分組方法，

若甲、乙兩人與另外一人在同一組，有C；種分組方法，

則有C：=6種分組方法；

②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)A,B,C三個(gè)貧困縣，有A,=6種情況，則

有6X6=36種不同的派遣方案，故選B.］

［友情提示］每道習(xí)題都是一個(gè)高考點(diǎn)，每項(xiàng)訓(xùn)練都是對(duì)能力的檢驗(yàn)，認(rèn)真

對(duì)待它們吧！進(jìn)入“課時(shí)作業(yè)（五十六）”，去收獲希望，體驗(yàn)成功！本欄目?jī)?nèi)容

以活頁(yè)形式分冊(cè)裝訂！

3.二項(xiàng)式定理

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

考情分析：二項(xiàng)式定理的正用和

1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理逆用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)的和，

證明二項(xiàng)式定理.尤其是二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用仍

2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題

式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.與填空題.

學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

?啜分步落實(shí)

精梳理、巧診斷，過(guò)好雙基關(guān)-

V學(xué)生用書(shū)P170

I整知識(shí)I

1.二項(xiàng)式定理

(a+b)n=或夕咿+C]-----F最廢一方+…+瑪

二項(xiàng)式定理

烈”WN*)

二項(xiàng)展開(kāi)式

77」」=C：K0,它表示第「十1項(xiàng)

的通項(xiàng)公式

二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為C2,C,C：

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)描述

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CL

對(duì)稱(chēng)性

__Qn-m

〃+1

當(dāng)〃時(shí)，是遞增的

二項(xiàng)式系數(shù)2<2_(GN")

增減性

〃+1

d當(dāng)心2_(〃CN*)時(shí)，是遞減的

最大值當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)C：取得最大值

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)c/和取得最大值

各二項(xiàng)式系數(shù)

和C2+C：+甫+-+C；=22

常用結(jié)論

1.伍十與”的展開(kāi)式的三個(gè)重要特征

(1)項(xiàng)數(shù)：項(xiàng)數(shù)為“+L

(2)各項(xiàng)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的基指數(shù)〃，即。與〃的指數(shù)和為

n.

(3)順序：字母。按降辱排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由〃逐項(xiàng)減1直到0；字

母b按升基排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由0逐項(xiàng)增1直到n.

2.各二項(xiàng)式系數(shù)的和

(1)(。+與”的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)和等于2",即C：+C,1,+-+

C；=2".

(2)(a+加"的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

的和,都等于都-1,即C?+e+C+…=C：+a+C：+…=2"-i.

I練基礎(chǔ)I................................................

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(l)Cf優(yōu)力〃是二項(xiàng)展開(kāi)式的第4項(xiàng).()

(2)在二項(xiàng)展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng).()

(3)(a+b)"的展開(kāi)式中，每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a,6無(wú)關(guān).()

(4)(。+與"某項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與該項(xiàng)的二

項(xiàng)式系數(shù)不同.()

答案：(1)X(2)X(3)V(4)V

2.已知(無(wú)一1)7展開(kāi)式的第4項(xiàng)等于5,則x等于()

11

--

A.7B.-7

3.二項(xiàng)式（2尤’的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)的值是（）

A.240B.60

C.192D.180

A［二項(xiàng)式，展開(kāi)式的通項(xiàng)為77+1=0（2x）6-{g|，=26-（%f-3r,

令6-3r=0,得r=2,所以常數(shù)項(xiàng)的值為26-2點(diǎn)=16X^|=240.］

Z/X1

4.（2020.天津卷）在（x+3’的展開(kāi)式中，f的系數(shù)是.

解析：（尤+：|）’展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+,=C；/￡!）'=禺令5—

3r=2,得r=l,所以展開(kāi)式中f的系數(shù)為2Cg=10.

答案：10

5.已知（如+1）”的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為32,各項(xiàng)系數(shù)和為243,則a

等于.

解析：由二項(xiàng)式系數(shù)和為2"=32,得〃=5,

又令尤=1得各項(xiàng)系數(shù)和為（a+l）5=243,

所以a+l=3,故Q=2.

答案：2

微點(diǎn)撥、多維練，研透命題點(diǎn)

V學(xué)生用書(shū)P171

考點(diǎn)□二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)

角度一求解形如（a+b）"（〃eN*）的展開(kāi)式中的量

ETT（1）若（5—土尸的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)〃的最小值是

（）

A.3B.4

C.5D.6

（2）（多選）（2020?山東模擬）已知二項(xiàng)式上工一十］"（〃SN*）的展開(kāi)式中第2項(xiàng)

與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2：5,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1

B.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為一1

C.含4的項(xiàng)的系數(shù)為240

D.含好的項(xiàng)的系數(shù)為一240

I幾一5r

(DC(2)AC[(1)(5—衣)”的展開(kāi)式的通項(xiàng)。+i=C：(—1)『￡^一

n-5r

r=0,1,2,3,…，〃.令-2一=。，可得〃=5r「.?展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，二〃

=5「能成立，則正整數(shù)〃的最小值為5,故選C.

(2)由二項(xiàng)式(2龍一由n(〃GN*)的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為7；+i=C；?(—

3

1),?2")?爐4’，

它第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2:5,

：.C；,:甫=2：5,求得〃=6,

3

故通項(xiàng)公式為。+1=禺?(-l)r-26-r?x6-r.

令6T=3,求得r=2,故V的系數(shù)為C看?24=240,

令x=l代入(2x—/)=1；

故所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1;故選AC.]

，歸納升華

求形如(a+")"(〃GN*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量

(常數(shù)項(xiàng)、參數(shù)值'特定項(xiàng)等)的步驟

(1)利用二項(xiàng)式定理寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式5+1=C,a"-"常把字母和

系數(shù)分離開(kāi)來(lái)(注意符號(hào)不要出錯(cuò))；

(2)根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項(xiàng)要求指數(shù)為零，有理項(xiàng)要求指數(shù)為整數(shù))

先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，解出r；

(3)把/■代入通項(xiàng)公式中，即可求出有時(shí)還需要先求“，再求「，才能求

出。+|或者其他量.

角度二求解形如3+。)"賓+e"(加，〃GN*)

的展開(kāi)式中的量121(1)(2020.全國(guó)卷I)(九+?)(x+y)5的展開(kāi)式中xY的

系數(shù)為()

A.5B.10

C.15D.20

(2)(2020.成都市診斷性檢測(cè)X*+2)(x—:葉的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.25B.-25

C.5D.-5

(DC(2)B[(1)因?yàn)?尤+y)5的展開(kāi)式的第廠+1項(xiàng)77+i=CgV-y,所以(無(wú)

+￡)(x+y)5的展開(kāi)式中的系數(shù)為eg+c!=15.故選C.

(2)因?yàn)?x-J卜的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)與2的乘積為2或V(一1)3=—2或=

一40,)6的展開(kāi)式中含于2的項(xiàng)與f的乘積為C]以一；)4義/=或=15.

所以(f+2)(x—；)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-40+15=-25.]

，歸納升華

求形如(a+0)"'(c+①"(m,nGN*)的展開(kāi)式中

與特定項(xiàng)相關(guān)的量的步驟

(1)根據(jù)二項(xiàng)式定理把(。+人產(chǎn)與(c+4”分別展開(kāi)，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；

(2)根據(jù)特定項(xiàng)的次數(shù)，分析特定項(xiàng)可由(a+?，"與(c+①”的展開(kāi)式中的哪些

項(xiàng)相乘得到；

(3)把相乘后的項(xiàng)合并即可得到所求特定項(xiàng)或相關(guān)量.

角度三求形如3+b+c)"(〃6N*)的展開(kāi)式中的量

031⑴4+x+y)5的展開(kāi)式中xy的系數(shù)為()

A.10B.20

C.30D.60

(2)將Q+；—4)3展開(kāi)后，常數(shù)項(xiàng)是.

解析：(l)(f+x+y)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為7；+i=Cg(/+幻5-，?y，令r=2,

則73=d(f+xpy2,又a2+尤＞的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，+i=csa2)3fM=心—

令6—&=5,則仁1,所以(f+x+yp的展開(kāi)式中，的系數(shù)為C]?=30.

(2)(x+：—4)3=(也一劃6展開(kāi)式的通項(xiàng)是Ck(點(diǎn))6".[-君左=

(-2/?鹿”

令3—女=0,得左=3.

所以常數(shù)項(xiàng)是C&(—2>=—160.

答案：(1)C⑵T60

口歸納升華

求形如5+0+4^6川^的展開(kāi)式中

與特定項(xiàng)相關(guān)的量的步驟

(1)把三項(xiàng)的和a+b+c看成是(a+b)與c兩項(xiàng)的和；

(2)根據(jù)二項(xiàng)式定理寫(xiě)出[(a+b)+c]"的展開(kāi)式的通項(xiàng)；

(3)對(duì)特定項(xiàng)的次數(shù)進(jìn)行分析，弄清特定項(xiàng)是由(a+與"丁的展開(kāi)式中的哪些項(xiàng)

和cr相乘得到的；

(4)把相乘后的項(xiàng)合并即可得到所求特定項(xiàng)或相關(guān)量.

變式訓(xùn)練

1.(正一:^的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.-15B.20

C.15D.-20

L1I-6-r16-r

c[(也)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+i=c^(代)),=￡(-iyxT一

由三一r=0得r=2,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為73=樂(lè)X(—1)2=6]

2.(2x—y)(x+2y＞展開(kāi)式中的系數(shù)為()

A.-40B.120

C.160D.200

B[(2x—y)(x+2y)5展開(kāi)式中x^y3的項(xiàng)為2x.Cgx2?(2?+(—y)C：?x3?(2y)2

=160%y—40x3y3=120A3yi,則展開(kāi)式中x3/3的系數(shù)為120.故選B.]

3.(x+；—2)6(心＞0)的展開(kāi)式中含JC3項(xiàng)的系數(shù)為.

解析：法一：因?yàn)?x+；—2)6=?—古嚴(yán)，所以其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式

為T(mén)r+l=C：2(正為丁(一右)r=Ci2(T)M