2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第八章　必刷小題16　圓錐曲線

2025數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版第八章必刷小題16圓錐曲線必刷小題16圓錐曲線一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·淄博模擬)雙曲線eq\f(y2,3)－x2＝1的離心率為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(2\r(6),3)答案C解析雙曲線eq\f(y2,3)－x2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，a＝eq\r(3)，b＝1，c＝eq\r(3＋1)＝2，所以離心率為eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).2．(2023·鄭州模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(3,5)，以C的上、下頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為48，則橢圓的長軸長為()A．5B．10C．15D．20答案D解析根據(jù)題意，由橢圓的離心率為eq\f(3,5)可得eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，又eq\f(1,2)×2b×c＝48，即bc＝48，且a2＝b2＋c2，故可得a＝10，b＝8，c＝6，則橢圓的長軸長2a＝20.3．(2024·長春模擬)已知M為拋物線C：x2＝2py(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)M到C的焦點(diǎn)的距離為7，到x軸的距離為5，則p等于()A．3B．4C．5D．6答案B解析拋物線C：x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2)，因?yàn)辄c(diǎn)M到C的焦點(diǎn)的距離為7，到x軸的距離為5，所以eq\f(p,2)＝2，所以p＝4.4．(2023·河北衡水中學(xué)檢測)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓C的離心率為eq\f(\r(7),4)，面積為12π，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,32)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,36)＝1答案A解析由題意，設(shè)橢圓C的方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，因?yàn)闄E圓C的離心率為eq\f(\r(7),4)，面積為12π，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e＝\f(c,a)＝\r(1－\f(b2,a2))＝\f(\r(7),4)，,12π＝abπ，))解得a2＝16，b2＝9，所以橢圓C的方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1.5．(2024·滁州模擬)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的下方，若線段PF2的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，OF2為半徑的圓上，則直線PF2的傾斜角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)答案C解析在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，a＝2，b＝eq\r(3)，c＝eq\r(a2－b2)＝1，設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為M，連接PF1，MF1，如圖所示，則F1F2為圓O的一條直徑，則F1M⊥PF2，因?yàn)镸為PF2的中點(diǎn)，則|PF1|＝|F1F2|＝2c＝2，則|PF2|＝2a－|PF1|＝2，所以△PF1F2為等邊三角形，由圖可知，直線PF2的傾斜角為eq\f(π,3).6．(2023·石家莊模擬)已知，點(diǎn)P是拋物線C：y2＝4x上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足記為點(diǎn)N，點(diǎn)M(3,4)，則|PM|＋|PN|的最小值是()A．2eq\r(5)－1B.eq\r(5)－1C.eq\r(5)＋1D．2eq\r(5)＋1答案A解析由拋物線C：y2＝4x知，焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，如圖，由拋物線定義知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，當(dāng)F，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PN|取得最小值，則最小值為|MF|－1＝eq\r(3－12＋4－02)－1＝2eq\r(5)－1.7．(2023·德州聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，曲線C上一點(diǎn)P到x軸的距離為eq\r(3)c，且∠PF2F1＝120°，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(3)＋1 B.eq\f(\r(3)＋1,2)C.eq\r(5)＋1 D.eq\f(\r(5)＋1,2)答案B解析作PM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖，依題意|PM|＝eq\r(3)c，∠PF2F1＝120°，則∠PF2M＝60°，由題意知F2(c,0)，由sin∠PF2M＝eq\f(|PM|,|PF2|)＝eq\f(\r(3),2)，得|PF2|＝2c，由雙曲線的定義知|PF1|＝2a＋2c，而|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|·cos∠PF2F1，解得2a＋2c＝2eq\r(3)c，即a＝(eq\r(3)－1)c，又離心率e＝eq\f(c,a)，于是有e＝eq\f(\r(3)＋1,2)，所以雙曲線C的離心率為eq\f(\r(3)＋1,2).8．(2023·連云港模擬)直線l：y＝－x＋1與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，圓M過兩點(diǎn)A，B且與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則圓M的半徑是()A．4 B．10C．4或10 D．4或12答案D解析可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝－x＋1))消去x，可得y2＋4y－4＝0，則y1＋y2＝－4，即y1＋y2＝－x1＋1－x2＋1＝－4，則x1＋x2＝6，可得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為P(3，－2)，易知，直線l過拋物線焦點(diǎn)(1,0)，則|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝8，且AB的垂直平分線方程為y－(－2)＝1×(x－3)，即y＝x－5，則可設(shè)圓M的圓心為M(a，b)，半徑為r，所以b＝a－5，則圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2，又圓心M(a，b)到直線l:y＝－x＋1的距離d＝eq\f(|a＋b－1|,\r(2))＝eq\f(|2a－6|,\r(2))，且滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＋d2＝r2，則16＋2(a－3)2＝r2，①又因?yàn)閳AM與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以|a＋1|＝r，即(a＋1)2＝r2，②①②聯(lián)立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,r＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝11，,r＝12.))二、多項(xiàng)選擇題9．(2023·濟(jì)南模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,m)＝1(m>0)，則下列說法正確的是()A．雙曲線C的實(shí)軸長為2B．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為mC．若(2,0)是雙曲線C的一個焦點(diǎn)，則m＝2D．若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則m＝2答案CD解析由雙曲線C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,m)＝1，得a＝eq\r(2)，b＝eq\r(m)，c＝eq\r(2＋m)，則雙曲線C的實(shí)軸長為2eq\r(2)，故A錯誤；雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2m),2)x，即eq\r(m)x±eq\r(2)y＝0，取右焦點(diǎn)(eq\r(2＋m)，0)和漸近線eq\r(m)x＋eq\r(2)y＝0，則右焦點(diǎn)(eq\r(2＋m)，0)到漸近線eq\r(m)x＋eq\r(2)y＝0的距離為eq\f(|\r(2＋m)·\r(m)|,\r(2＋m))＝eq\r(m)，故B錯誤；因?yàn)?2,0)是雙曲線C的一個焦點(diǎn)，所以c＝eq\r(2＋m)＝2，則m＝2，故C正確；因?yàn)闈u近線y＝eq\f(\r(2m),2)x和y＝－eq\f(\r(2m),2)x垂直，所以eq\f(\r(2m),2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2m),2)))＝－1，解得m＝2，故D正確．10．已知橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上一動點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．橢圓C的離心率為eq\f(1,2)B．|PF1|的最大值為6C．△F1PF2的周長為10D．存在點(diǎn)P，使得△F1PF2為等邊三角形答案ABD解析由橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，可得a＝4，b＝2eq\r(3)，則c＝eq\r(a2－b2)＝2，對于選項(xiàng)A，橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的右頂點(diǎn)時(shí)，可得|PF1|max＝a＋c＝6，故B正確；對于選項(xiàng)C，△F1PF2的周長為2a＋2c＝12，故C錯誤；對于選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的短軸的端點(diǎn)時(shí)，可得|PF1|＝|PF2|＝a＝4，|F1F2|＝2c＝4，此時(shí)△F1PF2為等邊三角形，故D正確．11．(2023·濰坊模擬)已知拋物線x2＝eq\f(1,2)y的焦點(diǎn)為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))B．若直線MN過點(diǎn)F，則x1x2＝－eq\f(1,16)C．若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，則|MN|的最小值為eq\f(1,2)D．若|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為eq\f(5,8)答案BCD解析易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，選項(xiàng)A錯誤；根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，MN過焦點(diǎn)F時(shí)，x1x2＝－p2＝－eq\f(1,16)，選項(xiàng)B正確；若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，則MN過點(diǎn)F，則|MN|的最小值即拋物線通徑的長，為2p，即eq\f(1,2)，選項(xiàng)C正確；拋物線x2＝eq\f(1,2)y的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,8)，過點(diǎn)M，N，P分別作準(zhǔn)線的垂線MM′，NN′，PP′，垂足分別為M′，N′，P′(圖略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，所以線段|PP′|＝eq\f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq\f(3,4)，所以線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為|PP′|－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,8)＝eq\f(5,8)，選項(xiàng)D正確．12．(2023·湖北四地聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，長軸長為4，點(diǎn)P(eq\r(2)，1)在橢圓C外，點(diǎn)Q在橢圓C上，則()A．橢圓C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B．當(dāng)橢圓C的離心率為eq\f(\r(3),2)時(shí)，|QF1|的取值范圍是[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]C．存在點(diǎn)Q使得eq\o(QF1,\s\up6(→))·eq\o(QF2,\s\up6(→))＝0D.eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)的最小值為1答案BCD解析由題意得a＝2，又點(diǎn)P(eq\r(2)，1)在橢圓C外，則eq\f(2,4)＋eq\f(1,b2)>1，解得b<eq\r(2)，所以橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－b2),2)>eq\f(\r(2),2)，即橢圓C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，故A不正確；當(dāng)e＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，c＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1，所以|QF1|的取值范圍是[a－c，a＋c]，即[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]，故B正確；設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，由于eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝b2－c2＝2b2－a2<0，所以存在點(diǎn)Q使得eq\o(QF1,\s\up6(→))·eq\o(QF2,\s\up6(→))＝0，故C正確；(|QF1|＋|QF2|)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|QF1|)＋\f(1,|QF2|)))＝2＋eq\f(|QF2|,|QF1|)＋eq\f(|QF1|,|QF2|)≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)|QF1|＝|QF2|＝2時(shí)，等號成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，所以eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)≥1，故D正確．三、填空題13．(2023·煙臺模擬)寫出一個滿足以下三個條件的橢圓的方程________________．①中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；②焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；③離心率為eq\f(1,3).答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1(答案不唯一)解析只要橢圓方程形如eq\f(x2,9m)＋eq\f(y2,8m)＝1(m>0)或eq\f(y2,9m)＋eq\f(x2,8m)＝1(m>0)即可．14．(2023·衡水中學(xué)模擬)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角為________．答案eq\f(π,3)解析∵eq\f(c,a)＝2，∴eq\f(c2,a2)＝4，故eq\f(a2＋b2,a2)＝4，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴兩條漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，∴兩條漸近線所成的銳角為eq\f(π,3).15．(2024·海東模擬)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”．事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：與eq\r(x－a2＋y－b2)相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A(x，y)與點(diǎn)B(a，b)之間距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程eq\r(x2＋4x＋8)＋eq\r(x2－4x＋8)＝4eq\r(3)的解是________．答案x＝±eq\r(6)解析因?yàn)閑q\r(x2＋4x＋8)＋eq\r(x2－4x＋8)＝4eq\r(3)，所以eq\r(x＋22＋22)＋eq\r(x－22＋22)＝4eq\r(3)，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,2)到點(diǎn)(－2,0)和點(diǎn)(2,0)的距離之和為4eq\r(3)，所以點(diǎn)(x,2)在橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1上，則eq\f(x2,12)＋eq\f(22,8)＝1，解得x＝±eq\r(6).16．(2023·永州模擬)已知點(diǎn)N(a,2eq\r(3))(a>0)在拋物線C：y2＝2px(0<p<2a)上，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，圓N與直線x＝eq\f(p,2)交于A，B兩點(diǎn)，與線段NF交于點(diǎn)R，且|AB|＝2eq\r(5)|RF|.若R是線段NF上靠近F的四等分點(diǎn)，則拋物線C的方程為________________．答案y2＝4x解析由拋物線C：y2＝2px(0<p<2a)可知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設(shè)|NF|＝4t(t>0)，則|RF|＝t，|AB|＝2eq\r(5)|RF|＝2eq\r(5)t，則|NR|＝3t，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(p,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＝|NB|2＝|NR|2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(p,2)))2＋(eq\r(5)t)2＝9t2；①又點(diǎn)N(a,2eq\r(3))(a>0)在拋物線C：y2＝2px(0<p<2a)上，故|NF|＝a＋eq\f(p,2)＝4t，②且12＝2pa，即pa＝6，③①②聯(lián)立得12a2－20ap＋3p2＝0，得2a＝3p或6a＝p，由于0<p<2a，故2a＝3p，結(jié)合③，解得p＝2，故拋物線方程為y2＝4x.培優(yōu)點(diǎn)10阿波羅尼斯圓與蒙日圓在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及隱圓、蒙日圓，這些問題聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔．題型一阿波羅尼斯圓“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A(－a,0)，B(a,0)(a>0)的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))為圓心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2aλ,λ2－1)))為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓．例1(1)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓T：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B為橢圓T長軸的端點(diǎn)，C，D為橢圓T短軸的端點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為橢圓T的左、右焦點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足eq\f(|ME|,|MF|)＝2，△MAB面積的最大值為4eq\r(6)，△MCD面積的最小值為eq\r(2)，則橢圓T的離心率為()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案A解析設(shè)M(x，y)，E(－c,0)，F(xiàn)(c,0)，由eq\f(|ME|,|MF|)＝2，可得eq\r(x＋c2＋y2)＝2eq\r(x－c2＋y2)，化簡得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5c,3)))2＋y2＝eq\f(16c2,9).∵△MAB面積的最大值為4eq\r(6)，△MCD面積的最小值為eq\r(2)，∴eq\f(1,2)×2a×eq\f(4,3)c＝4eq\r(6)，eq\f(1,2)×2b×eq\f(1,3)c＝eq\r(2)，∴b2＝eq\f(1,3)a2＝a2－c2，即c2＝eq\f(2,3)a2，∴e＝eq\f(\r(6),3).(2)已知點(diǎn)P是圓(x－4)2＋(y－4)2＝8上的動點(diǎn)，A(6，－1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|PO|＋2|PA|的最小值為________．答案10解析假設(shè)A′(m，n)，使得|PO|＝2|PA′|，設(shè)P(x，y)，則eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(x－m2＋y－n2)，從而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，從而可知圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4m,3)，\f(4n,3)))，由題意得圓3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0與圓(x－4)2＋(y－4)2＝8是同一個圓，所以eq\f(4m,3)＝4，eq\f(4n,3)＝4，解得m＝n＝3，即A′(3,3)．所以|PO|＋2|PA|＝2(|PA′|＋|PA|)≥2|A′A|＝2eq\r(6－32＋－1－32)＝10.即|PO|＋2|PA|的最小值為10.思維升華阿波羅尼斯圓的逆用當(dāng)題目給了一個圓的方程和一個定點(diǎn)，我們可以假設(shè)另一個定點(diǎn)，構(gòu)造相同的阿氏圓，利用兩圓是同一個圓，便可以求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．跟蹤訓(xùn)練1(1)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)A，B的距離之比為λ(λ>0，且λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動點(diǎn)P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(3)，則|PA|2＋|PB|2的最大值為()A．16＋8eq\r(3) B．8＋4eq\r(3)C．7＋4eq\r(3) D．3＋eq\r(3)答案A解析由題意，設(shè)A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，因?yàn)閑q\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(3)，所以eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq\r(3)，即(x－2)2＋y2＝3，所以點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為圓心，半徑為eq\r(3)的圓，因?yàn)閨PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，其中x2＋y2可看作圓(x－2)2＋y2＝3上的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)(0,0)的距離的平方，所以(x2＋y2)max＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋8eq\r(3)，即|PA|2＋|PB|2的最大值為16＋8eq\r(3).(2)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，M，N是x軸上兩定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，且滿足|PM|＝2|PN|，則|MN|＝________.答案eq\f(3,2)解析如圖所示，設(shè)M(m,0)，N(n,0)，P(x，y)，∵|PM|＝2|PN|，∴|PM|2＝4|PN|2，∴(x－m)2＋y2＝4[(x－n)2＋y2]，即x2－2mx＋m2＋y2＝4x2－8nx＋4n2＋4y2，即3x2＋(2m－8n)x＋3y2＋4n2－m2＝0，由題意得，x2＋y2＋eq\f(2m－8n,3)x＋eq\f(4n2－m2,3)＝0與x2＋y2＝1表示同一個圓．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2m－8n,3)＝0，,\f(m2－4n2,3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝－\f(1,2)，))∴|MN|＝|m－n|＝eq\f(3,2).題型二蒙日圓在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓．設(shè)P為蒙日圓上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A，B，O為原點(diǎn)．性質(zhì)1PA⊥PB.性質(zhì)2kOP·kAB＝－eq\f(b2,a2).性質(zhì)3kOA·kPA＝－eq\f(b2,a2)，kOB·kPB＝－eq\f(b2,a2)(垂徑定理的推廣)．性質(zhì)4PO平分橢圓的切點(diǎn)弦AB.性質(zhì)5延長PA，PB交蒙日圓O于兩點(diǎn)C，D，則CD∥AB.性質(zhì)6S△AOB的最大值為eq\f(ab,2)，S△AOB的最小值為eq\f(a2b2,a2＋b2).性質(zhì)7S△APB的最大值為eq\f(a4,a2＋b2)，S△APB的最小值為eq\f(b4,a2＋b2).例2(1)(2023·撫松模擬)蒙日圓涉及的是幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓，若橢圓C：eq\f(x2,a＋2)＋eq\f(y2,a)＝1(a>0)的蒙日圓的方程為x2＋y2＝4，則a等于()A．1B．2C．3D．4答案A解析∵橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個與橢圓同心的圓上，找兩個特殊點(diǎn)分別為(0，eq\r(a))，(eq\r(2＋a)，0)，則兩條切線分別是x＝eq\r(2＋a)，y＝eq\r(a)，這兩條切線互相垂直，且兩條直線的交點(diǎn)為P(eq\r(2＋a)，eq\r(a))，而P在蒙日圓上，∴(eq\r(2＋a))2＋(eq\r(a))2＝4，解得a＝1.(2)(2023·合肥模擬)已知A是圓x2＋y2＝4上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作兩條直線l1，l2，它們與橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1都只有一個公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn)M，N.①求證：對于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)1⊥l2成立；②求△AMN面積的取值范圍．①證明當(dāng)直線l1，l2有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)l1的斜率不存在，∵l1與橢圓只有一個公共點(diǎn)，∴其方程為x＝±eq\r(3)，當(dāng)l1的方程為x＝eq\r(3)時(shí)，此時(shí)l1與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，±1))，∴l(xiāng)2的方程為y＝1或y＝－1，故l1⊥l2成立，同理可證，當(dāng)l1的方程為x＝－eq\r(3)時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)直線l1，l2的斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)A(m，n)且m2＋n2＝4，設(shè)過點(diǎn)A的直線方程為y＝k(x－m)＋n，代入橢圓方程，可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，由Δ＝0化簡整理得(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，∵m2＋n2＝4，∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，∴k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2成立，綜上，對于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)1⊥l2成立．②解記原點(diǎn)到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，∵M(jìn)A⊥NA，∴MN是圓的直徑，∴|MA|＝2d2，|NA|＝2d1，deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝|OA|2＝4，則△AMN的面積為S＝eq\f(1,2)|MA|·|NA|＝2d1d2，則S2＝4deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2)＝4deq\o\al(2,1)(4－deq\o\al(2,1))＝－4(deq\o\al(2,1)－2)2＋16，∵d1∈[1，eq\r(3)]，即deq\o\al(2,1)∈[1,3]，∴S2∈[12,16]，∴S∈[2eq\r(3)，4]，故△AMN的面積的取值范圍為[2eq\r(3)，4]．思維升華蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日圓：x2＋y2＝a2－b2(只有當(dāng)a>b時(shí)才有蒙日圓)．拋物線y2＝2px(p>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線：x＝－eq\f(p,2)(可以看作半徑無窮大的圓)．跟蹤訓(xùn)練2(多選)(2023·泰州模擬)畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B為橢圓上兩個動點(diǎn)．直線l的方程為bx＋ay－a2－b2＝0.下列說法正確的是()A．橢圓C的蒙日圓的方程為x2＋y2＝3b2B．對直線l上任意一點(diǎn)P，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))>0C．記點(diǎn)A到直線l的距離為d，則d－|AF2|的最小值為eq\f(4\r(3),3)bD．若矩形MNGH的四條邊均與橢圓C相切，則矩形MNGH面積的最大值為6b2答案AD解析對于A，過點(diǎn)Q(a，b)可作橢圓的兩條互相垂直的切線x＝a，y＝b，∴點(diǎn)Q(a，b)在蒙日圓上，∴蒙日圓方程為x2＋y2＝a2＋b2，由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)得a2＝2b2，∴橢圓C的蒙日圓方程為x2＋y2＝3b2，A正確；對于B，由l方程知，l過點(diǎn)P(b，a)，又點(diǎn)P滿足蒙日圓方程，∴點(diǎn)P(b，a)在圓x2＋y2＝3b2上，當(dāng)A，B恰為過點(diǎn)P所作橢圓兩條互相垂直的切線的切點(diǎn)時(shí)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，B錯誤；對于C，∵點(diǎn)A在橢圓上，∴|AF1|＋|AF2|＝2a，∴d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)＝d＋|AF1|－2a，當(dāng)F1A⊥l時(shí)，d＋|AF1|取得最小值，最小值為F1到直線l的距離，由A知，a2＝2b2，則c2＝a2－b2＝b2，即c＝b，∴F1到直線l的距離d′＝eq\f(|－bc－a2－b2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|－b2－2b2－b2|,\r(3)b)＝eq\f(4\r(3),3)b，∴(d－|AF2|)min＝eq\f(4\r(3),3)b－2a，C錯誤；對于D，當(dāng)矩形MNGH的四條邊均與橢圓C相切時(shí)，蒙日圓為矩形MNGH的外接圓，∴矩形MNGH的對角線為蒙日圓的直徑，設(shè)矩形MNGH的長和寬分別為x，y，則x2＋y2＝12b2，∴矩形MNGH的面積S＝xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝6b2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\r(6)b時(shí)取等號)，即矩形MNGH面積的最大值為6b2，D正確．1．“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓．若橢圓C：eq\f(x2,a＋1)＋eq\f(y2,a)＝1(a>0)的離心率為eq\f(1,2)，則橢圓C的蒙日圓方程為()A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝4答案B解析因?yàn)闄E圓C：eq\f(x2,a＋1)＋eq\f(y2,a)＝1(a>0)的離心率為eq\f(1,2)，所以eq\f(1,\r(a＋1))＝eq\f(1,2)，解得a＝3，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，根據(jù)蒙日圓的定義知，蒙日圓的半徑r＝eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7)，所以橢圓C的蒙日圓方程為x2＋y2＝7.2．在圓(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上總存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P能作橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的兩條互相垂直的切線，則r的取值范圍是()A．(3,7)B．[3,7]C．(1,9)D．[1,9]答案B解析根據(jù)蒙日圓的定義得橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的蒙日圓方程為x2＋y2＝4，其圓心為(0,0)，半徑為2，依題意，點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，又點(diǎn)P在圓(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，且其圓心為(3,4)，所以|2－r|≤eq\r(3－02＋4－02)≤2＋r，即|2－r|≤5≤2＋r，所以r∈[3,7]．3．阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有△ABC，AC＝6，sinC＝2sinA，則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，|BC|等于()A．12B．20C．2eq\r(5)D．5eq\r(2)答案C解析如圖所示，以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AC邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閨AC|＝6，所以A(－3,0)，C(3,0)，設(shè)B(x，y)，因?yàn)閟inC＝2sinA，由正弦定理可得|AB|＝2|BC|，所以(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，化簡得(x－5)2＋y2＝16，且x≠1，x≠9，圓的位置如圖所示，圓心為(5,0)，半徑r＝4，觀察可得，在三角形底邊長|AC|不變的情況下，當(dāng)B點(diǎn)位于圓心D的正上方或正下方時(shí)，高最大，此時(shí)△ABC的面積最大，B點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4)或(5，－4)，所以|BC|＝eq\r(5－32＋42)＝2eq\r(5).4．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)A(1,0)，B(4,0)，若直線x－y＋m＝0上存在點(diǎn)P使得|PA|＝eq\f(1,2)|PB|，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(－∞，－2eq\r(2)]∪[2eq\r(2)，＋∞)D．[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]答案D解析設(shè)P(x，y)，則|PA|＝eq\r(x－12＋y－02)，|PB|＝eq\r(x－42＋y－02)，因?yàn)閨PA|＝eq\f(1,2)|PB|，所以eq\r(x－12＋y－02)＝eq\f(1,2)eq\r(x－42＋y－02)，同時(shí)平方，化簡得x2＋y2＝4，故點(diǎn)P的軌跡為圓心為(0,0)，半徑為2的圓，又點(diǎn)P在直線x－y＋m＝0上，故圓x2＋y2＝4與直線x－y＋m＝0必須有公共點(diǎn)，所以eq\f(|m|,\r(1＋1))≤2，解得－2eq\r(2)≤m≤2eq\r(2).5．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的蒙日圓方程為x2＋y2＝a2＋b2，M為蒙日圓上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，若△MPQ面積的最大值為4b2，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),3)答案A解析由已知條件可得MP⊥MQ，則PQ為圓x2＋y2＝a2＋b2的一條直徑，則|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝4(a2＋b2)，所以S△MPQ＝eq\f(1,2)|MP|·|MQ|≤eq\f(|MP|2＋|MQ|2,4)＝a2＋b2，當(dāng)且僅當(dāng)|MP|＝|MQ|時(shí)，等號成立．所以a2＋b2＝4b2，所以a2＝3b2＝3(a2－c2)，即2a2＝3c2，所以e＝eq\f(\r(6),3).6．阿波羅尼斯圓指的是：已知動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為λ(λ>0，且λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓O：x2＋y2＝1，點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))和點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，M為圓O上的動點(diǎn)，則2|MA|－|MB|的最大值為()A.eq\f(5,2)B.eq\f(\r(17),2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(2),2)答案B解析設(shè)點(diǎn)M(x，y)，令2|MA|＝|MC|，則eq\f(|MA|,|MC|)＝eq\f(1,2)，由題知圓x2＋y2＝1是關(guān)于點(diǎn)A，C的阿波羅尼斯圓，且λ＝eq\f(1,2)，設(shè)點(diǎn)C(m，n)，則eq\f(|MA|,|MC|)＝eq\f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋y2),\r(x－m2＋y－n2))＝eq\f(1,2)，整理得x2＋y2＋eq\f(2m＋4,3)x＋eq\f(2n,3)y＝eq\f(m2＋n2－1,3)，比較兩方程可得eq\f(2m＋4,3)＝0，eq\f(2n,3)＝0，eq\f(m2＋n2－1,3)＝1，即m＝－2，n＝0，點(diǎn)C(－2,0)，當(dāng)點(diǎn)M位于圖中M1的位置時(shí)，2|MA|－|MB|＝|M1C|－|M1B|，此時(shí)取得最大值，最大值為|BC|＝eq\f(\r(17),2).7．(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，A(－1,0)，B(2,0)，動點(diǎn)C滿足eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(1,2)，直線l：mx－y＋m＋1＝0，則()A．動點(diǎn)C的軌跡方程為(x＋2)2＋y2＝4B．直線l與動點(diǎn)C的軌跡一定相交C．動點(diǎn)C到直線l距離的最大值為eq\r(2)＋1D．若直線l與動點(diǎn)C的軌跡交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|＝2eq\r(2)，則m＝－1答案ABD解析對于A選項(xiàng)，設(shè)C(x，y)．因?yàn)閑q\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq\f(1,2)，整理得x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，所以動點(diǎn)C的軌跡為以N(－2,0)為圓心，2為半徑的圓，軌跡方程為(x＋2)2＋y2＝4，故A正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)M(－1,1)，而點(diǎn)M(－1,1)在圓N內(nèi)，所以直線l與圓N相交，故B正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)直線l與NM垂直時(shí)，動點(diǎn)C到直線l的距離最大，且最大值為r＋|NM|＝2＋eq\r(2)，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，記圓心N到直線l的距離為d，則d＝eq\f(|m－1|,\r(m2＋1)).因?yàn)閨PQ|2＝4(r2－d2)＝8.又r＝2，所以d＝eq\r(2).由eq\f(m－12,m2＋1)＝2，得m＝－1，故D正確．8．(多選)法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的蒙日圓方程為C：x2＋y2＝eq\f(3,2)a2，過C上的動點(diǎn)M作Γ的兩條互相垂直的切線，分別與C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PQ交Γ于A，B兩點(diǎn)，則()A．橢圓Γ的離心率為eq\f(\r(2),2)B．△MPQ面積的最大值為eq\f(3,2)a2C．M到Γ的左焦點(diǎn)的距離的最小值為(2－eq\r(2))aD．若動點(diǎn)D在Γ上，將直線DA，DB的斜率分別記為k1，k2，則k1k2＝－eq\f(1,2)答案ABD解析依題意，過橢圓Γ的上頂點(diǎn)作y軸的垂線，過橢圓Γ的右頂點(diǎn)作x軸的垂線(圖略)，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓C上，所以a2＋b2＝eq\f(3,2)a2，即a2＝2b2，所以橢圓Γ的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝e