《數(shù)字通信》課件第11章

11.1差錯控制的基本概念11.2幾種差錯控制編碼

11.1.1差錯控制的基本方式

按照噪聲或干擾的變化規(guī)律，可將信道分為三類，即隨機信道、突發(fā)信道和混合信道。恒參高斯白噪聲信道是典型的隨機信道，其中差錯的出現(xiàn)是隨機的，而且錯誤之間是統(tǒng)計獨立的。具有脈沖干擾的信道是典型的突發(fā)信道，錯誤是成串成群出現(xiàn)的，即在短時間內出現(xiàn)大量錯誤。11.1差錯控制的基本概念差錯控制的根本目的是發(fā)現(xiàn)傳輸過程中出現(xiàn)的差錯并加以糾正。差錯控制基于兩種思想：一是通過抗干擾編碼，使得系統(tǒng)接收端譯碼器能發(fā)現(xiàn)錯誤，并能準確地判斷錯誤的位置，從而自動糾正它們；二是在系統(tǒng)接收端僅能發(fā)現(xiàn)錯誤，但不知差錯的確切位置，無法自動糾錯，必須通過請求發(fā)送端重發(fā)等方式來達到糾正錯誤的目的。

1.差錯控制編碼概述

差錯控制編碼的作用是使被傳輸?shù)男畔⒕哂袡z錯和糾錯能力，其基本思路就是在被傳送的信息碼序列中按照一定的規(guī)則加入監(jiān)督碼元。

2.差錯控制編碼中的基本術語

1)碼長

編碼碼組的碼元總位數(shù)稱為碼組的長度，簡稱碼長。

2)碼重

碼組中，“1”碼元的數(shù)目稱為碼組的重量，簡稱碼重。

3)碼距

兩個等長碼組之間對應位上碼元不同的數(shù)目稱為這兩個碼組的距離，簡稱碼距。

對碼距有以下幾方面的要求：

(1)為檢測e個錯碼，要求最小碼距為dmax≥e+1,如圖11.1(a)所示。

(2)為糾正t個錯碼，要求最小碼距為dmin≥2t+1，如圖11.1(b)所示。

(3)為糾正t個錯碼，同時檢測e個錯碼(e>t),要求最小碼距為dmin≥t+e+1，如圖11.1(c)所示。圖11.1對碼距的要求

4)漢明距離

在一種編碼中，任意兩個碼組間距離的最小值，稱為這一編碼的最小碼距，或稱為這一編碼的漢明(Hamming)距離，用dmin表示。例如，在3位碼組中，當8種碼組都作為許用碼組時，任意兩碼組間的最小距離為1，記作dmin=1。對于n=3的編碼組，可以在三維空間中說明碼距的幾何意義，如圖11.2所示。圖11.2漢明距離

5)糾檢結合

在某些情況下，要求對于出現(xiàn)較頻繁但錯碼數(shù)很少的碼組，按前向糾錯方式工作；同時對一些錯碼數(shù)較多的碼組，在超過該碼的糾錯能力后，能自動按檢錯重發(fā)方式工作，以降低系統(tǒng)的總誤碼率。這種方式就是“糾檢結合”。

3.差錯控制的基本工作方式

差錯控制的基本工作方式有4種：前向糾錯、檢錯重發(fā)、混合糾錯檢錯和反饋校驗。

常用的差錯控制方式一般有下面4種類型，如圖11.3所示。圖11.3差錯控制的基本工作方式

(a)前向糾錯(FEC)；(b)檢錯重發(fā)(ARQ);(c)混合糾錯檢錯(HEC);(d)反饋校驗

1)前向糾錯方式

前向糾錯方式簡稱FEC。在FEC系統(tǒng)中，發(fā)端將輸入數(shù)據(jù)序列按某種規(guī)則變換成能夠糾正錯誤的碼，接收端則按照商定的譯編碼規(guī)律，在收到信碼后自動檢測錯碼，且能夠確定錯碼的位置并自動糾正，如圖11.3(a)所示，從中可以看出，F(xiàn)EC系統(tǒng)僅有一條單向傳輸線路。

2)檢錯重發(fā)方式

檢錯重發(fā)簡稱ARQ，是數(shù)據(jù)通信中常用的一種差錯控制方式，有時也稱為自動重發(fā)請求。其示意圖如圖11.3(b)所示。

3)混合糾錯檢錯方式

混合糾錯檢錯方式(HEC)是前向糾錯方式和檢錯重發(fā)方式的結合，如圖11.3(c)所示。

4)反饋校驗

反饋校驗方式又稱回程校驗，如圖11.3(d)所示。

反饋校驗的優(yōu)點是不需要糾錯、檢錯的編解碼器，設備簡單；

缺點是需要有雙向信道，實時性差，且每一信碼都相當于至少傳送了兩次，所以傳輸效率低。11.1.2糾錯編碼分類

數(shù)字信號在傳輸中往往由于各種原因，使得在傳送的數(shù)據(jù)流中產(chǎn)生誤碼。通過信道編碼這一過程，對數(shù)碼流進行相應的處理，使系統(tǒng)具有一定的糾錯能力和抗干擾能力，可極大地避免碼流傳送中誤碼的發(fā)生。所以糾錯檢錯碼亦稱為抗干擾碼?？垢蓴_碼大致有以下幾種分類方式:

(1)按照差錯控制編碼的用途不同，可分為檢錯碼、糾錯碼。

(2)按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的函數(shù)關系，可分為線性碼和非線性碼。

(3)按碼元之間的約束關系，可分為分組碼和卷積碼兩類。

分組碼是將信息序列以每k個碼元分組，通過編碼器在每k個碼元后按照一定的規(guī)則產(chǎn)生r個監(jiān)督碼元，組成長度為n=k+r的碼組，每一碼組中的r個監(jiān)督碼元僅監(jiān)督本碼組中的信息碼元，而與別組無關。分組碼一般用符號(n，k)表示，其結構規(guī)定為圖11.4所示的形式。分組碼又可分為循環(huán)碼和非循環(huán)碼兩類。圖11.4分組碼的結構卷積碼是把信源輸出的信息序列，以每k0個碼元分段，通過編碼器輸出長為n0(n0＞k0)的一段碼。但該段碼的(n0-k0)個監(jiān)督碼元不僅與本段碼信息碼元有關，而且還與前面m-1段的信息碼元有關，前后形成了約束關系。卷積碼一般用(n0，k0，m)表示。

(4)按照信息碼元在編碼前后是否保持原來的形式不變，可分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。

(5)按照糾(檢)錯誤的類型，可分為糾(檢)隨機錯誤碼、糾(檢)突發(fā)錯誤碼和既能糾(檢)隨機錯誤又能糾(檢)突發(fā)錯誤碼。

(6)按照每個碼元的取值可分為二進制碼和多進制碼。11.1.3編碼效率

1.編碼效率

用差錯控制編碼提高通信系統(tǒng)的可靠性，是以降低有效性為代價的?？啥x編碼效率來衡量有效性，編碼效率指一個碼組中信息位所占的比重，用R來表示。

其中，k為信息碼元的數(shù)目(信息位長度)；n為編碼組碼元的總數(shù)(編碼后碼組長度：n=(k+r)；r為監(jiān)督碼元的數(shù)目(監(jiān)督位長度)。

2.常用的幾種簡單編碼

1)奇偶監(jiān)督碼

奇偶監(jiān)督碼是在原信息碼后面附加一個監(jiān)督碼元，使得碼組中“1”的個數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)，或者說，它是含一個監(jiān)督碼元，碼重為奇數(shù)或偶數(shù)的(n，n-1)系統(tǒng)分組碼。

2)行列監(jiān)督碼

奇偶監(jiān)督碼不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)個錯誤。為了改善這種情況，引入行列監(jiān)督碼。

3)恒比碼

碼字中“1”的數(shù)目與“0”的數(shù)目保持恒定比例的碼稱為恒比碼。由于恒比碼中，每個碼組均含有相同數(shù)目的“1”和“0”，因此恒比碼又稱為等重碼或定“1”碼。

4)群計數(shù)碼

群計數(shù)碼是將信息碼元分組后，計算每組碼元中“1”的個數(shù)，然后將這個數(shù)目的二進制表示作為監(jiān)督碼元，一起送往發(fā)送端。11.2.1奇偶校驗碼

1.奇偶校驗碼的編碼規(guī)則

奇偶校驗碼(監(jiān)督碼)是一種檢錯碼，屬于分組碼。

校驗碼的構成是在n-1位信息位后加入1位校驗位，形成n位傳輸碼。

校驗碼的編碼規(guī)則是：最后加入的校驗碼應該使n位傳輸碼中“1”的個數(shù)為偶數(shù)(稱為偶校驗)或奇數(shù)(稱為奇校驗)。11.2幾種差錯控制編碼在偶校驗時，應滿足以下條件：

an-1an-2

an-3

…

a1

a0=0

在奇校驗時，應滿足以下條件：

an-1

an-2

an-3

…

a1

a0=1

例如，用2位二進制數(shù)來表示晴天、多云、陰天、下雨四種天氣現(xiàn)象。同時，按照偶校驗規(guī)則插入監(jiān)督位，形成表格如表11.1所示。表11.1偶校驗監(jiān)督碼

2.垂直奇偶校驗碼

垂直奇偶校驗碼是在b7位表示字符的數(shù)據(jù)位后再附加第b8位校驗位，表11.2以ASCII碼的數(shù)字0～9為例說明垂直奇偶校驗碼的編碼。接收端根據(jù)收到的b1～b7重新計算奇偶校驗碼元，將其與收到的b8相比較。如相同則無錯，否則存在錯誤。

表11.2垂直奇偶校驗

3.水平奇偶校驗碼

將要進行奇偶校驗的碼元序列按行排成方陣，每行為一組奇偶校驗碼(見表11.3)，但發(fā)送時則按列的順序傳輸，接收端仍將碼元排成發(fā)送時的方陣形式，然后按行進行奇偶校驗。水平奇偶校驗碼可發(fā)現(xiàn)某一行上所有奇數(shù)個錯誤及所有長度小于等于方陣中行數(shù)的突發(fā)錯。

表11.3水平奇偶校驗碼

4.二維奇偶校驗碼

二維奇偶校驗碼又稱行列校驗碼或方陣碼，其方法是在水平監(jiān)督的基礎上對表11.3所列方陣中每一列再進行奇偶校驗，就可得到表11.4所示的方陣。發(fā)送是按列順序傳輸?shù)摹１?1.4二維奇偶校驗碼二維奇偶校驗碼的功能如下：

(1)能發(fā)現(xiàn)某行或某列上的奇數(shù)個錯誤和長度不大于行數(shù)(或列數(shù))的突發(fā)錯誤。

(2)有可能檢測出偶數(shù)個錯碼。

(3)可以糾正一些錯誤。

(4)檢錯能力強，又有一定糾錯能力，且實現(xiàn)容易，因此得到廣泛應用。11.2.2漢明碼及線性分組碼

1.由奇偶校驗碼想到的問題

奇偶校驗碼事實上是一種簡單而常用的線性分組碼，分為奇校驗和偶校驗。其特點是：無論信息碼元有多少，監(jiān)督碼元只有一位。在偶校驗中，監(jiān)督碼元的加入使得每個碼字中“1”的數(shù)目為偶數(shù)；在奇校驗中，監(jiān)督碼元的加入使得每個碼字中“1”的數(shù)目為奇數(shù)。比如偶校驗，由于使用了一位監(jiān)督位a0，故它就能和信息an-1an-2an-3…a1

一起構成一個代數(shù)式

S=an-1

an-2

…

a1

a0

上式稱為監(jiān)督關系式,S稱為校正子。在接收端解碼時，實際上就是在計算S的值。若S=0，就認為無錯；若S=1，則認為有錯。一個S只有0和1兩種取值，只能代表有錯和無錯兩種信息，而不能指出錯碼的位置。如果監(jiān)督位增加一位，即變成兩位，則將會增加一個監(jiān)督關系式，接收時按照兩個監(jiān)督關系式就可計算出兩個校正子，記作S1和S2。S1，S2共有四種組合，即00，01，10，10，故能表示四種不同的信息。若用其中一種表示無錯，則其余三種就有可能被用來指示一位錯碼的3處不同位置。

同理，r個校正子有2r種組合，可以用其中一種表示無錯，其余(2r-1)種指示一個錯碼的(2r-1)個可能的位置。一般來說，若碼長為n，信息位數(shù)為k，則監(jiān)督位數(shù)r=n-k。若用r個監(jiān)督位構造出r個監(jiān)督關系式來指示一位錯碼的n種可能位置，則要求

2r-1≥n

或2r≥k+r+1

該式稱為漢明碼必要條件。

2.漢明碼

漢明碼是1950年由Hamming提出的一種能糾正單個錯誤而且編碼效率較高的線性分組碼，是一種(n,k)線性分組碼，它的最小碼距dmin=3。關于線性分組碼的分析方法全部適用于漢明碼。它不僅性能好，而且編譯碼電路非常簡單，易于工程實現(xiàn)，因此是工程中常用的一種糾錯碼。

前面已經(jīng)指出，如果希望用r個監(jiān)督碼元構造的(n,k)線性分組碼能夠糾正一位錯碼，則要求2r-1≥n。設(n,k)線性分組碼中k=4，為了糾正一位錯碼，則要求監(jiān)督位數(shù)r≥3，碼組為漢明碼時取等號,則碼字長度n=k+r=7。

(7，4)漢明碼的許用碼組如表11.5所示。表11.5(7，4)漢明碼的許用碼組

【例11.1】

設分組碼(n,k)中k=4。為了糾正一位錯碼，要求監(jiān)督位數(shù)r≥3，取等號，則n=k+r=7。用a6a5a4a3a2a1a0表示這7個碼元，用S1S2S3表示3個監(jiān)督關系式中的校正子，則S1S2S3對錯碼位置的編碼如表11.6所示。表11.6校正子與錯碼的位置由表11.6可知，僅當發(fā)生一個錯碼，其位置在a2、a4、a5或a6，校正子S1為1，否則為0。這就意味著a2、a4、a5和a6四個碼元構成偶數(shù)監(jiān)督關系，即構成以下公式：同理a1、a3、a5和a6及a0、a3、a4和a6也分別構成偶數(shù)監(jiān)督關系：(11－1)(11－2)(11－3)發(fā)送端編碼時，監(jiān)督位應使(11－1)~式(11－3)式中的S1,S2，S3均為0，于是有

已知信息位，就可算出監(jiān)督位。解出監(jiān)督位的值為

3.線性分組碼

所謂線性碼，是指信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關系可以用一組線性方程來表示。而分組碼則表示將k個信息碼元劃分為一組，然后根據(jù)一定的編碼規(guī)則由這k個信息碼元產(chǎn)生r個監(jiān)督碼元，構成由n=k+r個碼元組成的碼字。

線性分組碼(n,k)為系統(tǒng)碼的結構如圖11.5所示，碼字的前k位為信息碼元，與編碼前原樣不變，后r位為監(jiān)督碼元。一個n長的碼字可以用矢量c來表示。圖11.5(n，k)線性分組碼為系統(tǒng)碼的結構

1)監(jiān)督矩陣

線性分組碼是指分組碼中信息碼元和監(jiān)督碼元是用線性方程聯(lián)系起來的一種差錯控制碼。類似于例11.1中的

漢明碼，其校正子公式就是一組線性方程?，F(xiàn)將它改寫為再寫成矩陣形式為可以看出，H的行數(shù)就是監(jiān)督關系式的數(shù)目，它等于監(jiān)督碼元的數(shù)目r，而H的列數(shù)就是碼長n，這樣H為r×n階矩陣。AT

即為編碼器輸出的碼元組(an-1an-2…a1a0)。

矩陣H可以分成兩部分H=[P

Ir]

2)生成矩陣

我們也可以把類似于例11.1中的監(jiān)督位線性方程組寫成矩陣形式：可以看出，公式右邊第一個矩陣即為P。對上式兩側做矩陣轉置，得要得到整個碼組，將Q的左邊加上一個k×k階單位方陣，就構成一個新的矩陣G，即G=[IkQ]=

G稱為生成矩陣，因為由它可以產(chǎn)生碼組，即有

A=［a6a5…a1a0］=［a6a5a4a3］G

式(11－4)表明，如果找到了碼的生成矩陣G，則編碼的方法就完全確定了。具有［IkQ］形式的生成矩陣稱為典型生成矩陣。

【例11.2】

設(7，4)線性碼的生成矩陣為G＝

解：根據(jù)G=［IkQ］可知：Q=所以當信息位為0001時，其監(jiān)督位為010。

4.線性分組碼的主要性質

(1)封閉性。

(2)碼的最小距離等于非零碼的最小重量。

(3)監(jiān)督關系。

11.2.3循環(huán)碼

循環(huán)碼是另一種線性分組碼，所以，它具有線性碼的一般性質，另外還具有循環(huán)性。碼組中任一碼組循環(huán)移位(左移或右移)所得的碼組仍為該循環(huán)碼中的一個許用碼組。

從表11.7中可以直觀地看出這種碼組的循環(huán)性。表11.7(7,3)循環(huán)碼的一種碼組

1.碼多項式

循環(huán)碼可用多種方式進行描述。在代數(shù)編碼理論中，通常用多項式去描述循環(huán)碼，它把碼字中各碼元當做是一個多項式的系數(shù)，即把一個長為n的碼字A=(an-1,an-2,…,a1,a0)用一個多項式表示為A(X)=(an-1xn-1,an-2xn-2,…,a1x1,a0x0)，稱A(X)為碼字A的碼多項式。其中，x僅是碼元位置的標記。例如，表中的第5碼組可以表示為

A(X)=(0x6+1x5+0x4+1x3+1x2+0x1+0x0)

2.碼多項式的按模運算

整數(shù)運算中有模運算，若一整數(shù)可以表示為

式中,Q為整數(shù)。在模運算下，有

m≡p(模n)

比如，在模2運算中，有

1+1=10≡0

1+10=10≡1

若一任意多項式F(X)被一個n次多項式N(X)除，得到商式Q(X)和一個次數(shù)小于n的余式R(X)，即

或

F(X)=Q(X)N(X)+R(X)

則寫為

F(X)≡R(X)(模N(X))如表11.7中，碼組6的多項式為x6+x4+x3+x2，其碼長n=7，假定j=2，

則

x2(x6+x4+x3+x2)=x8+x6+x5+x4=x4+x2+x+1

而x4+x2+x+1正是碼組2的多項式，其值為0010101。

可見，一個長為n的(n,k)循環(huán)碼，它必是按模(xn+1)運算的一個余式。

3.循環(huán)碼的生成多項式和生成矩陣

1)生成多項式

一個(n,k)循環(huán)碼有2k個不同的碼組，若所有碼多項式都是多項式g(x)的倍式，則稱g(x)為該碼的生成多項式，或者說g(x)是所有碼多項式個許用碼組，即為所要求的碼組。如表11.7中的10100即為最基本的碼組，通過它的移位，可以得到所有碼組。

2)生成矩陣

循環(huán)碼的生成矩陣可以很容易地由生成多項式得到，常用矩陣的形式表示。根據(jù)循環(huán)碼的特性，可由一個碼字的循環(huán)移位得到其他非“0”碼字。取前(k-1)位皆為“0”的碼多項式g(x)，經(jīng)過(k-1)次循環(huán)，得到k個多項式：

g(x),x1g(x),x2g(x),x3g(x),…,xk-1g(x)這些多項式顯然是互相獨立的，將其寫成矩陣形式：G(x)=

4.循環(huán)碼的編碼方法

循環(huán)碼引人注目的特點一是由于循環(huán)碼固有的代數(shù)結構，從而可以找到各種簡單實用的譯碼方法，二是可以很容易地用移位寄存器實現(xiàn)編碼。

設碼多項式A(x)=mn-1xn-1+mn-2xn-2+…+m1x+m0，其中系數(shù)mi∈{0,1}。

其中，在典型的碼多項式中，信息位占n-1到n-k位的高k位；而從冪次n-k-1位到0位的系數(shù)均為0。信息位的碼多項式為

mk-1xn-1+mk-2xn-2+…+m1x+m0=mk(x)

若用g(x)除信息位的碼多項式，可得式中，r(x)為冪次小于(n-k)的余式。

式(11－5)可改寫成

mk(x)+r(x)=Q(x)g(x)(11－6)

式(11－6)表明，多項式mk(x)+r(x)為g(x)的倍式，則mk(x)+r(x)必定是由g(x)生成的循環(huán)碼中的碼字，而r(x)為該碼字的監(jiān)督碼元所對應的多項式。由此，可得到循環(huán)碼的編碼原則如下:

(1)根據(jù)給定的(n,k)值選定生成多項式g(x)。

(2)典型的碼多項式實際上就是在信息碼后附上(n-k)個“0”。

(3)用g(x)除mk(x)，得到商Q(x)和余式r(x)，即可編出碼組：

A(x)=mk(x)+r(x)

【例11.3】

用生成多項式g(x)=x4+x3+1產(chǎn)生m(x)=x7+x6+x5+x2+x

對應的循環(huán)碼組。

解

(1)用xn-k乘m(x),得

xn-km(x)=x4(x7+x6+x5+x2+x)=x11+x10+x9+x6+x5

(2)用g(x)除xn-km(x)，得余式r(x),即

(3)聯(lián)合xn-km(x)和r(x),得到系統(tǒng)碼多項式A(x)為

A(x)=x11+x10+x9+x6+x5+x2+x

得到碼組A=111001100110。

5.解碼方法在接收端可以將接收碼組R(x)用原生成多項式g(x)去除，當余項r(x)為零時，無錯碼，當r(x)不為零時，有錯碼。循環(huán)碼解碼示意圖如圖11.6所示。圖11.6循環(huán)碼解碼示意圖11.2.4卷積碼

卷積碼(連環(huán)碼)是一種非分組碼，由埃里亞斯(Elias)于1955年最早提出，主要應用于前向糾錯(FEC)數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)中。

1.卷積碼的基本概念

在分組碼中，監(jiān)督碼元僅與本組的信息碼元有關。卷積碼常用符號(n，k，m)表示。其中，n為碼長，k為碼組中信息碼元的個數(shù)，m為相互關聯(lián)的碼組的個數(shù)。其編碼效率為R=k/n。卷積碼的編碼器是由一個有k個輸入位(端)、n個輸出位(端)，且具有m節(jié)移位寄存器所構成的有限狀態(tài)的有記憶系統(tǒng)，通常稱它為時序網(wǎng)絡。

圖11.7所示為卷積碼編碼器原理框圖。若輸入信息序列為u=u0u1u2…，則對應輸出的兩個碼字序列為

c1=c10c11c12…

c2=c20c21c22…

其相應的編碼方程可寫為

c1=u*g1

c2=u*g2

其中“*”表示卷積運算，g1、g2表示編碼器的兩個脈沖沖激響應。圖11.7卷積碼編碼器原理框圖

2.卷積碼編碼器

圖11.8所示是碼長為3、信息碼元為1、相互關聯(lián)的碼組數(shù)為2的(3,1,2)卷積碼編碼器。圖11.8(3,1,2)卷積碼編碼器每一個單位時間，輸入一個信息碼元mi，且移位寄存器內的數(shù)據(jù)往右移一位。編碼器有3個輸出:一個輸出是輸入信息碼元mi的直接輸出；另外兩個輸出為監(jiān)督碼元pi1、pi2是輸入mi與前兩個單位時間送入的信息元mi-1、mi-2按照一定規(guī)則通過運算得到的。

卷積碼碼字中的每一個子碼ci=(mi,pi1,pi2)最左邊k0(這里k0=1)個碼元是輸入的信息碼元，其余的是監(jiān)督碼元，這是系統(tǒng)碼的形式。

3.卷積碼的圖形描述

卷積碼不是分組碼，但仍屬于線性碼，同樣可以用矩陣的方法描述，但較抽象。常采用圖解的方法直觀描述其編碼過程，常用的圖解法有3種，即樹狀圖、狀態(tài)圖和網(wǎng)格圖。1)卷積碼的樹狀圖描述

以上圖所示的(3,1,2)卷積碼編碼器為例來說明其工作過程。圖11.9給出了卷積碼的樹狀圖。已知輸入信息序列，由樹狀圖就可以得到輸出序列。當輸入碼元是“0”時，則由節(jié)點出發(fā)走上支路；當輸入碼元是“1”時，則由節(jié)點出發(fā)走下支路。例如當輸入編碼器的信息序列為0100…時，輸出的序列為000101101010…。圖11.9卷積碼的樹狀圖

2)卷積碼的狀態(tài)圖描述

卷積碼編碼器是一個有限狀態(tài)機，因此可以用狀態(tài)轉移圖來描述。圖11.10所示的是該(2，1，2)卷積編碼器的狀態(tài)圖。圖11.10(2,1,2)卷積碼對應的狀態(tài)轉移圖

3)卷積碼的網(wǎng)格圖描述

網(wǎng)格圖也稱網(wǎng)絡圖或籬笆圖，它由狀態(tài)圖在時間上展開而得到。

由于樹狀圖隨路徑長度L的增加，終端分支數(shù)呈指數(shù)增長，故對于大的L不可能畫出編碼樹。把樹的每一層上同類節(jié)點歸并壓縮，可得到網(wǎng)格圖。(2,1,2)卷積碼對應的網(wǎng)格圖如圖11.11所示。圖11.11(2,1,2)卷積碼對應的網(wǎng)格圖11.2.5網(wǎng)格編碼調制(TCM)

采用編碼和調制相結合統(tǒng)一進行設計的方法，就是網(wǎng)絡編碼調制技術(TrellisCodedModulation，TCM)。它是利用編碼效率為n/(n+1)的卷積碼，將每一碼段映射為2n+1個調制信號集中的一個信號，使信號點之間相互依賴。它有以下兩個基本特點。

(1)在信號空間中的信號點數(shù)目比無編碼的調制情況下對應的信號點數(shù)目要多，這些增加的信號點使編碼有了冗余，而不犧牲帶寬。

(2)采用卷積碼的編碼規(guī)則，使信號點之間引入相互依賴關系。在接收端采用維特比算法執(zhí)行最大似然檢測。編碼網(wǎng)格狀圖中的每一條支路對應于一個子集，而不是一個信號點。檢測的第一步是確定每個子集中的信號點，在歐氏距離意義下，這個子集是最靠近接收信號的子集。

圖11.12描述了最簡單的傳輸2比特碼字的8PSK四狀態(tài)TCM編碼方案。它采用了效率為1/2的卷積碼編碼器，對應的格圖如圖11.13所示。圖11.128PSK四狀態(tài)TCM編碼方案圖11.138PSK四狀態(tài)TCM編碼格圖

1.TCM提出的背景

為了適應電信工程中在模擬電話線上高速撥號上網(wǎng)傳送數(shù)據(jù)的需求，即研究限帶(0～4kHz)高速數(shù)據(jù)傳輸?shù)囊?，Ungerboeck提出了網(wǎng)絡編碼調制(TCM)的新概念。

(1)信號的抗干擾性能主要取決于調制后信號在歐氏空間的距離大小。

(2)一維調制MASK抗干擾性不如二維調制的MPSK和MQAM，因為在二維歐氏空間中信號點的距離比在一維歐氏空間中的大。

(3)在不增加總信號平均功率的條件下，信號點間的歐氏距離越來越密，這時要想進一步增加抗干擾性能，必須利用信道糾錯碼增大信號空間的維數(shù)，以進一步擴大信號點間的歐氏距離。

2.兩類距離的概念

根據(jù)上面的分析，在調制中其抗干擾性主要取決于調制后信號點在歐氏空間中距離的大小，即被調信號在歐氏空間中的距離越大，其抗干擾性也就越強。

3.Ungerboeck子集劃分理論

1982年，Ungerboeck對多進制情況下的兩類距離的不一致性進行了深入的研究，并在此基礎上提出了“子集劃分”理論。

4.TCM的實現(xiàn)

從上面的討論可以看出，TCM是通過擴展信號的星座圖的大小，而不是利用傳統(tǒng)的擴展頻帶來獲取編碼增益的，故其頻譜效率高，稱為高效編碼調制。

這類最佳分割具有以下兩個特點：

(1)星座中的所有信號點數(shù)大于未編碼同類調制所需的信號點數(shù)，通常是信號點擴大1倍，擴大后多余的信號點為糾錯編碼提供了冗余度。

(2)采用卷積碼在信號點之間引入某種依賴性，只有某些信號點序列是允許出現(xiàn)的，這些允許信號點序列可以模型化為網(wǎng)格結構，故稱為網(wǎng)格編碼調制。

5.TCM的應用

基于Ungerboeck對高效TCM的研究成果，很快將這一技術應用于模擬電話線(0～4kHz)的限帶高速、高效數(shù)據(jù)傳輸中。1986年ITU－T通過了以Wei提出的8狀態(tài)(3，2，4)非線性二維碼為基礎的V.32和V.33標準，后來又通過了仍以Wei提出的另一種以16狀態(tài)(3，2，5)線性四維碼為基礎的V.34標準。11.2.6滑窗協(xié)議

現(xiàn)在需要解決的問題是：數(shù)據(jù)信息在信道上傳輸一旦檢測出錯誤，如何糾正。在數(shù)字通信的許多場合經(jīng)常采用的是自動重發(fā)方案，簡稱ARQ。

1.停等式ARQ

停等式ARQ的工作原理如圖11.14所示。圖11.14停等式ARQ的工作原理發(fā)送端利用正向信道發(fā)送碼組1，當接收端收到后，經(jīng)檢驗未發(fā)生錯誤，則在規(guī)定的停留時間TD內利用反向信道向發(fā)端發(fā)回確認信號ACK，表明已經(jīng)接收完畢并無誤。若接收端收到的碼組經(jīng)檢驗是錯誤碼組(比如碼組2接收錯)，發(fā)送端收到NAK后重發(fā)碼組2。

停等式ARQ因為在發(fā)送碼組之間有停留時間TD，所以信道利用率低，但工作原理相對簡單，因此在數(shù)字通信中仍有應用。

2.退回N步ARQ

在退回N步ARQ方式中，發(fā)送端可不等待應答信號到達而連續(xù)發(fā)送N幀數(shù)據(jù)，且每發(fā)完一幀后，都啟動超時定時器，若發(fā)送方收到第一幀的確認幀，則繼續(xù)發(fā)送第N+1幀，若接收到一否認幀或超時定時器到時仍未收到對方應答，則重發(fā)自該幀起的所有數(shù)據(jù)幀，即重發(fā)前N幀。有10幀數(shù)據(jù)需要傳