2024年高考數(shù)學第一輪復(fù)習講義第九章9.3　圓的方程(學生版+解析)

§9.3圓的方程考試要求1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題．知識梳理1．圓的定義和圓的方程定義平面上到________的距離等于______的點的集合叫做圓方程標準(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C________半徑為________一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心C__________半徑r＝______________2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．常用結(jié)論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圓心在過切點且與切線垂直的直線上．3．圓心在任一弦的垂直平分線上．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)為圓心，a為半徑的圓．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.()教材改編題1．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝22．若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)3．下列各點中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的內(nèi)部的是()A．(0,3) B．(3,3)C．(－2,2) D．(4,1)題型一圓的方程例1(1)(2022·全國乙卷)過四點(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三點的一個圓的方程為______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.(2)(2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________________________．聽課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．跟蹤訓練1(1)圓心在y軸上，半徑長為1，且過點A(1,2)的圓的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4(2)若圓C經(jīng)過坐標原點，且圓心在直線y＝－2x＋3上運動，當半徑最小時，圓的方程為________．題型二與圓有關(guān)的軌跡問題例2已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式．跟蹤訓練2(2023·宜昌模擬)已知定點M(1,0)，N(2,0)，動點P滿足|PN|＝eq\r(2)|PM|.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)已知點B(6,0)，點A在軌跡C上運動，求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三與圓有關(guān)的最值問題命題點1利用幾何性質(zhì)求最值例3(2022·泉州模擬)已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2利用函數(shù)求最值例4(2023·湘潭質(zhì)檢)設(shè)點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0)．則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________．，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值為________．思維升華與圓有關(guān)的最值問題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題．(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．跟蹤訓練3(1)設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是()A．6B．25C．26D．36(2)若點P(x，y)在圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，則eq\f(y,x＋1)的最大值為________．§9.3圓的方程考試要求1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題．知識梳理1．圓的定義和圓的方程定義平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓方程標準(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．常用結(jié)論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圓心在過切點且與切線垂直的直線上．3．圓心在任一弦的垂直平分線上．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(√)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)為圓心，a為半徑的圓．(×)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)教材改編題1．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析因為圓心為(1,1)且過原點，所以該圓的半徑r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，則該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.2．若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)答案B解析由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由該曲線表示圓，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.3．下列各點中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的內(nèi)部的是()A．(0,3)B．(3,3)C．(－2,2)D．(4,1)答案D解析由(0－1)2＋(3＋2)2>25知(0,3)在圓外；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3,3)在圓外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圓上；由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4,1)在圓內(nèi).題型一圓的方程例1(1)(2022·全國乙卷)過四點(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三點的一個圓的方程為_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝eq\f(65,9)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq\f(169,25)解析依題意設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.若過(0,0)，(4,0)，(－1,1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－4，,E＝－6，))滿足D2＋E2－4F>0，所以圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；若過(0,0)，(4,0)，(4,2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－4，,E＝－2，))滿足D2＋E2－4F>0，所以圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；若過(0,0)，(4,2)，(－1,1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－\f(8,3)，,E＝－\f(14,3)，))滿足D2＋E2－4F>0，所以圓的方程為x2＋y2－eq\f(8,3)x－eq\f(14,3)y＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝eq\f(65,9)；若過(－1,1)，(4,0)，(4,2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋1－D＋E＋F＝0，,16＋4D＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝－\f(16,5)，,D＝－\f(16,5)，,E＝－2，))滿足D2＋E2－4F>0，所以圓的方程為x2＋y2－eq\f(16,5)x－2y－eq\f(16,5)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq\f(169,25).(2)(2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析方法一設(shè)⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b－1＝0，,3－a2＋b2＝r2，,a2＋1－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r2＝5，))∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法二設(shè)⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－1＝0，,9＋3D＋F＝0，,1＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－3，))∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三設(shè)A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半徑為r，則kAB＝eq\f(1－0,0－3)＝－eq\f(1,3)，AB的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，∴AB的垂直平分線方程為y－eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，即3x－y－4＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－4＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.思維升華求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．跟蹤訓練1(1)圓心在y軸上，半徑長為1，且過點A(1,2)的圓的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4答案A解析根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為x2＋(y－b)2＝1，因為圓過點A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.(2)若圓C經(jīng)過坐標原點，且圓心在直線y＝－2x＋3上運動，當半徑最小時，圓的方程為____________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(6,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,5)))2＝eq\f(9,5)解析設(shè)圓心坐標為(a，－2a＋3)，則圓的半徑r＝eq\r(a－02＋－2a＋3－02)＝eq\r(5a2－12a＋9)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(6,5)))2＋\f(9,5)).當a＝eq\f(6,5)時，rmin＝eq\f(3\r(5),5).故所求圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(6,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,5)))2＝eq\f(9,5).題型二與圓有關(guān)的軌跡問題例2已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．解(1)方法一設(shè)C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二設(shè)AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點)．所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3,0)，且M是線段BC的中點，所以由中點坐標公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式．跟蹤訓練2(2023·宜昌模擬)已知定點M(1,0)，N(2,0)，動點P滿足|PN|＝eq\r(2)|PM|.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)已知點B(6,0)，點A在軌跡C上運動，求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程．解(1)設(shè)動點P的坐標為(x，y)，因為M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝eq\r(2)|PM|，所以eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(2)·eq\r(x－12＋y2)，整理得x2＋y2＝2，所以動點P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2.(2)設(shè)點Q的坐標為(x，y)，點A的坐標為(xA，yA)，因為Q是線段AB上靠近點B的三等分點，所以eq\o(AQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QB,\s\up6(→))，即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xA＝3x－12，,yA＝3y，))又點A在軌跡C上運動，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，化簡得(x－4)2＋y2＝eq\f(2,9)，即點Q的軌跡方程為(x－4)2＋y2＝eq\f(2,9).題型三與圓有關(guān)的最值問題命題點1利用幾何性質(zhì)求最值例3(2022·泉州模擬)已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解(1)如圖，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx，則圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．由eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，解得k2＝3，∴kmax＝eq\r(3)，kmin＝－eq\r(3).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\r(3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))min＝－eq\r(3).(2)設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，當且僅當直線y＝x＋b與圓相切于第四象限時，截距b取最小值，由點到直線的距離公式，得eq\f(|2＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，即b＝－2±eq\r(6)，故(y－x)min＝－2－eq\r(6).(3)x2＋y2是圓上點與原點的距離的平方，設(shè)圓與x軸相交于點B和C′(點B在點C′左側(cè))，則(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).命題點2利用函數(shù)求最值例4(2023·湘潭質(zhì)檢)設(shè)點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0)．則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________．答案12解析由題意，得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以當y＝4時，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值為6×4－12＝12.，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值為________．答案10解析由題意，知eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x,2－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(4x2＋4y2)＝2eq\r(6x－5).由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以當x＝5時，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值為2×eq\r(6×5－5)＝10.思維升華與圓有關(guān)的最值問題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題．(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．跟蹤訓練3(1)設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是()A．6B．25C．26D．36答案D解析(x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到(5，－4)的距離的平方，∵P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為圓心(2,0)到(5，－4)的距離與半徑之和的平方，即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[eq\r(2－52＋0＋42)＋1]2＝36.(2)若點P(x，y)在圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，則eq\f(y,x＋1)的最大值為________．答案eq\f(4,3)解析圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1，eq\f(y,x＋1)表示圓上的點(x，y)與點(－1,0)連線的斜率，設(shè)過點(－1,0)的圓的切線斜率為k，則圓的切線方程為y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圓心到切線的距離等于半徑，可得eq\f(|k－1＋k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝eq\f(4,3)，所以0≤k≤eq\f(4,3)，即eq\f(y,x＋1)的最大值為eq\f(4,3).課時精練1．(2023·六安模擬)圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案D解析因為圓心為(1，－2)，半徑為3，所以圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2．(2023·寧德模擬)已知點M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為()A．－6<k<eq\f(1,2) B．k<－6或k>eq\f(1,2)C．k>－6 D．k<eq\f(1,2)答案A解析∵圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，∴圓心坐標為(1，－2)，半徑r＝eq\r(1－2k).若點M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則滿足eq\r(3－12＋1＋22)>eq\r(1－2k)，且1－2k>0，即13>1－2k且k<eq\f(1,2)，即－6<k<eq\f(1,2).3．若△AOB的三個頂點坐標分別為A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，則△AOB外接圓的圓心坐標為()A．(1，－1) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(－2,1)答案C解析由題意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.所以△AOB的外接圓的圓心就是線段AB的中點，設(shè)圓心坐標為(x，y)，由中點坐標公式得x＝eq\f(2＋0,2)＝1，y＝eq\f(0－4,2)＝－2.故所求圓心坐標為(1，－2)．4．圓C：x2＋y2－2x－3＝0關(guān)于直線l：y＝x對稱的圓的方程為()A．x2＋y2－2y－3＝0 B．x2＋y2－2y－15＝0C．x2＋y2＋2y－3＝0 D．x2＋y2＋2y－15＝0答案A解析由題意，得圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為(1,0)，半徑為2，故其關(guān)于直線l：y＝x對稱的圓的圓心為(0,1)，半徑為2，故對稱圓的方程為x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.5．點M，N是圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同兩點，且點M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于()A.2eq\r(2)B.eq\r(2)C．3D．9答案C解析圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的標準方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝5＋eq\f(k2,4)，則圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，－1))，半徑為r＝eq\r(5＋\f(k2,4))，因為點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，所以－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，解得k＝4.所以圓的半徑r＝eq\r(5＋\f(k2,4))＝3.6．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為()A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0答案D解析由題意得，圓心C的坐標為(3，－4)，半徑r＝2，如圖所示．設(shè)P(x0，y0)，由題意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x0－8y0－21＝0，結(jié)合選項知D符合題意．7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標為________，半徑為________．答案(－2，－4)5解析由圓的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.當a＝2時，該方程可化為x2＋y2＋x＋2y＋eq\f(5,2)＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×eq\f(5,2)＜0，∴a＝2不符合題意；當a＝－1時，方程可化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圓心坐標為(－2，－4)，半徑為5.8．已知等腰△ABC，其中頂點A的坐標為(0,0)，底邊的一個端點B的坐標為(1,1)，則另一個端點C的軌跡方程為______________________.答案x2＋y2＝2(除去點(1,1)和點(－1，－1))解析設(shè)C(x，y)，根據(jù)在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考慮到A，B，C三點要構(gòu)成三角形，因此點C不能為(1,1)和(－1，－1)．所以點C的軌跡方程為x2＋y2＝2(除去點(1,1)和點(－1，－1))．9．已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和點B(2，－2)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上．線段PQ的端點P的坐標是(5,0)，端點Q在圓C上運動，求線段PQ的中點M的軌跡方程．解設(shè)點D為線段AB的中點，直線m為線段AB的垂直平分線，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2))).又kAB＝－3，所以km＝eq\f(1,3)，所以直線m的方程為x－3y－3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y－3＝0，,x－y＋1＝0，))得圓心C(－3，－2)，則半徑r＝|CA|＝eq\r(－3－12＋－2－12)＝5，所以圓C的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.設(shè)點M(x，y)，Q(x0，y0)．因為點P的坐標為(5,0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋5,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－5，,y0＝2y.))又點Q(x0，y0)在圓C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上運動，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝eq\f(25,4).即所求線段PQ的中點M的軌跡方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝eq\f(25,4).10．已知圓C1經(jīng)過點A(1,3)和B(2,4)，圓心在直線2x－y－1＝0上．(1)求圓C1的方程；(2)若M，N分別是圓C1和圓C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的點，點P是直線x＋y＝0上的點，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此時點P的坐標．解(1)由題意知AB的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,2)))，kAB＝eq\f(4－3,2－1)＝1，∴線段AB的垂直平分線為y＝5－x，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝5－x，,y＝2x－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即圓C1的圓心坐標為(2,3)，半徑r＝1，其方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1.(2)注意到點C1(2,3)和點C2(－3，－4)在直線x＋y＝0的兩側(cè)，直線x＋y＝0與兩圓分別相離，如圖所示．∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝eq\r(74)－4，當且僅當M，N，P在線段C1C2上時取等號，∴|PM|＋|PN|的最小值為eq\r(74)－4.此時點P為直線C1C2與x＋y＝0的交點，過C1，C2的直線方程為7x－5y＋1＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,7x－5y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,12)，,y＝\f(1,12)，))∴點P的坐標為