中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題題位訓(xùn)練及押題預(yù)測(cè)專題40中考最值難點(diǎn)突破費(fèi)馬點(diǎn)問題(原卷版+解析)

專題40中考最值難點(diǎn)突破費(fèi)馬點(diǎn)問題（原卷版）模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練費(fèi)馬點(diǎn)問題解題技巧：旋轉(zhuǎn)變換．類型一費(fèi)馬點(diǎn)模型典例1（2023秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的和最小，稱為△ABC的費(fèi)馬距離．（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條高的交點(diǎn)，點(diǎn)P（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．（2）如圖（2），分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（3）若圖（2）中，AB＝5，AC＝4，BC＝a，BD＝b，則△ABC的費(fèi)馬距離＝．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023春?濱?？h期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，2AM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，2AM+BM的值最小，并說明理由．

2．（2023春?歷下區(qū)期末）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．①請(qǐng)按要求畫圖：將ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′；②連接BB′，此時(shí)∠ABB′＝°；【問題解決】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)遇到了如下問題：（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長(zhǎng)．經(jīng)過同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流，對(duì)上述問題形成了如下想法：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABP′，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系．…請(qǐng)參考他們的想法，完成該問題的解答過程；【學(xué)以致用】（3）如圖3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝5，PC＝22，∠BPC＝135°，求PB；【思維拓展】（4）注意：從以下①②中，你任意選擇一道題解答即可．①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若BC＝4，則AP+BP+CP的最小值＝；②如圖4，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA＝3，PB=3，PC=15，求∠

3．（2023春?金水區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．（1）如圖1，連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點(diǎn)B，C，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A，E，連接CE．如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，則CE＝．（2）如圖2，連接PA，PB，PC，當(dāng)AC＝BC＝8時(shí)，求PA+PB+PC的最小值．類型二費(fèi)馬點(diǎn)模型變式典例2（2023春?碑林區(qū)校級(jí)期中）[問題發(fā)現(xiàn)]如圖①，在△OAB中，OB＝3，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△OA′B′，連接BB'．則BB'＝．[問題探究]如圖②，已知△ABC是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q．求PA+PB+PC的最小值．[實(shí)際應(yīng)用]如圖③，在長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，點(diǎn)P是長(zhǎng)方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△PAD＝2S△PBC，點(diǎn)Q為△ADP內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并求出此時(shí)PQ的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由．

針對(duì)訓(xùn)練1．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝53，則△ABC的外接圓的半徑值為．【問題解決】如圖2，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【問題解決】如圖3，正方形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為33cm的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門，點(diǎn)E在邊BC上，CE=3cm，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點(diǎn)A、D為另兩個(gè)固定崗哨．現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個(gè)補(bǔ)水供給點(diǎn)Q，使得Q到A、D、P三個(gè)崗哨的距離和最小，試求QA+QD+QP的最小值．（保留根號(hào)或結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)3≈1.7，10.5

模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)一．選擇題1．(2023秋?義烏市月考）已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF＝（）A．23 B．1+3 C．6 D．32．(2023春?山亭區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠CAB＝65°，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．40° B．30° C．50° D．65°二．填空題3．（2023秋?開福區(qū)校級(jí)月考）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最?。藗兎Q這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為．4．（2023秋?梁溪區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為1+3，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為5．（2023?丹東）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若AB＝AC=7，BC＝23，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC＝；若AB＝23，BC＝2，AC＝4，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC＝6．(2023秋?洪山區(qū)校級(jí)期中）如圖，以等邊△ABC的一邊BC為底邊作等腰△BCD，已知AB＝3，CD=BD=3，且∠BDC＝120°，在△BCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，則PB+PC+PD的最小值為7．(2023秋?大冶市期末）如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，則當(dāng)線段AD的長(zhǎng)度最小時(shí)，①∠BDC＝；②AD的最小值是．三．解答題8．（2009?湖州）自選題：若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，則PB的值為；（2）如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′＝PA+PB+PC．

9．問題探究：（1）如圖1，已知，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，則對(duì)角線AC、BD的位置關(guān)系是．（2）如圖2，已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為2，求AC的長(zhǎng)．問題解決：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（6，0），C（0，43），延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使CD=12AC，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)．若點(diǎn)P在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度為定值v，在y軸上運(yùn)動(dòng)速度為2v，試確定點(diǎn)G的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短，并求此時(shí)點(diǎn)10．(2023?利辛縣一模）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．（2）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；（3）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD交于P點(diǎn)．如圖（2）①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

12．(2023春?蘭溪市校級(jí)月考）定義：在一個(gè)等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)等腰三角形的“近點(diǎn)”，“近點(diǎn)”到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和叫做這個(gè)等腰三角形的“最近值”．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點(diǎn)E滿足∠DEC＝60°，AC=46，求AE+BE+CE＝【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為43，E為高線AD上的點(diǎn)，將三角形AEC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG，連接EF，請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，過AB的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．專題40中考最值難點(diǎn)突破費(fèi)馬點(diǎn)問題（解析版）模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練費(fèi)馬點(diǎn)問題解題技巧：旋轉(zhuǎn)變換．類型一費(fèi)馬點(diǎn)模型典例1（2023秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的和最小，稱為△ABC的費(fèi)馬距離．（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條高的交點(diǎn)，點(diǎn)P是（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．（2）如圖（2），分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（3）若圖（2）中，AB＝5，AC＝4，BC＝a，BD＝b，則△ABC的費(fèi)馬距離＝b．思路引領(lǐng)：（1）依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知：MB平分∠ABC，則∠ABP＝30°，同理∠BAP＝30°，則∠APB＝120°，同理可求得∠APC，∠BPC的度數(shù)，然后可作出判斷；（2）如圖2所示：首先證明△ACE≌△ABD，則∠1＝∠2，由∠3＝∠4可得到∠CPD＝∠5，由∠CPD＝60°可證明∠BPC＝120°，然后證明△ADF∽△CFP，由相似三角形的性質(zhì)和判定定理再證明△AFP∽△CDF，故此可得到∠APF＝∠ACD＝60°，然后可求得∠APC＝120°，接下來可求得∠APB＝120°．（3）如圖2﹣1中，在PD上取一點(diǎn)T，使得PT＝CP．利用全等三角形的性質(zhì)證明PA+PC＝PD的，再證明PA+PB+PC＝BD即可．解：（1）如圖1所示：∵AB＝BC，BM是AC的中線，∴MB平分∠ABC．同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．∴∠APB＝120°．同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．∴P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．故答案為：是．（2）設(shè)AC交BD于點(diǎn)F，如圖2所示：∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，AC=AD∠EAC=∠BAD∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；．∵△ADF∽△CPF，∴AF?PF＝DF?CF，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（3）如圖2﹣1中，在PD上取一點(diǎn)T，使得PT＝CP．∵∠CPT＝60°，PT＝CP，∴△CPT是等邊三角形，∴CP＝PT，∠PCT＝60°，∵CA＝CD，∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠PCT，∴∠ACP＝∠DCT，∴△ACP≌△DCT（SAS），∴PA＝DT，∵PD＝PT+DT，∴PD＝PA+PC，∴PA+PB+PC＝PB+PD＝BD＝b，故答案為：B．總結(jié)提升：本題屬于三角形專題，主要考查的是相似三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，證得∠5＝∠6、△AFP∽△CDF是解答本題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023春?濱?？h期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，2AM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，2AM+BM的值最小，并說明理由．思路引領(lǐng)：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB＝NB，∠MBN＝60°＝∠ABE，由“SAS”可證△AMB≌△ENB；（2）由“SAS”可證△ABM≌△CBM，可得AM＝CM，即AM+CM＝2AM，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得：當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，2AM的值最??；（3）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，2AM+BM的值最小．（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．∵將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，∴∠MBN＝60°＝∠ABE，BM＝BN，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE．在△AMB和△ENB中，AB=BE∠ABM=∠NBE∴△AMB≌△ENB（SAS）；（2）解：當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，2AM的值最小，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM＝45°，又∵BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SAS），∴AM＝CM，∴AM+CM＝2AM，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)M在BD的中點(diǎn)時(shí)，2AM的值最小；（3）解：如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，2AM+BM的值最?。碛扇缦拢哼B接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等邊三角形．∴BM＝MN．∴2AM+BM＝EN+MN+CM．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，當(dāng)E、N、M、C在同一條直線上時(shí)，EN+MN+CM＝2AM+MN能取得最小值．總結(jié)提升：本題考查了四邊形的綜合題，考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?歷下區(qū)期末）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．①請(qǐng)按要求畫圖：將ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′；②連接BB′，此時(shí)∠ABB′＝45°；【問題解決】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)遇到了如下問題：（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長(zhǎng)．經(jīng)過同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流，對(duì)上述問題形成了如下想法：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABP′，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系．…請(qǐng)參考他們的想法，完成該問題的解答過程；【學(xué)以致用】（3）如圖3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝5，PC＝22，∠BPC＝135°，求PB；【思維拓展】（4）注意：從以下①②中，你任意選擇一道題解答即可．①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若BC＝4，則AP+BP+CP的最小值＝22+26②如圖4，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA＝3，PB=3，PC=15，求∠思路引領(lǐng)：（1）①由題意畫出圖形；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB＝AB′，∠B′AB＝90°，則可得出結(jié)論；（2）將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP'B，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AP'＝AP＝3，∠P'AP＝60°，P'B＝PC＝4，得出△APP'是等邊三角形，由勾股定理可求出答案；（3）將△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠PCP'＝90°，CP′=CP=22，AP'＝BP，∠AP'C＝∠BPC＝135°，得出△CPP（4）①由旋轉(zhuǎn)得到結(jié)論P(yáng)A+PB+PC＝P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，（P1A+P1B+PC）最短，即線段A1C最短，根據(jù)勾股定理，即可．②將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP'A，連接PP'，證明△BPP'是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案．（1）解：①如圖1所示，△AB'C'即為所求；②連接BB′，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，如圖1所示：∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案為：45°；【問題解決】（2）如圖2，∵將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP'B，∴AP'＝AP＝3，∠P'AP＝60°，P'B＝PC＝4，∴△APP'是等邊三角形，∴PP'＝3，∠AP'P＝60°，∵∠AP'B＝∠APC＝150°，∴∠BP'P＝∠AP'B﹣∠AP'P＝90°，∴PB=P′【學(xué)以致用】（3）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，將△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，則∠PCP'＝90°，CP′=CP=22，AP'＝BP，∠AP'C＝∠BPC∴△CPP'是等腰直角三角形，∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，PP′=C∴∠AP'P＝∠AP'C﹣∠CP'P＝135°﹣45°＝90°，∴BP=AP′=P【思維拓展】（4）①如圖4，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC．以B為中心，將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A1P1B．則A1B＝AB＝BC＝4，PA＝P1A1，PB＝P1B＝P1P，∴PA+PB+PC＝P1A1+P1P+PC．∵當(dāng)A1、P1、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，（P1A+P1B+PC）最短，即線段A1C最短，∴A1C＝PA+PB+PC，∴A1C長(zhǎng)度即為所求．過A1作A1D⊥CB延長(zhǎng)線于D．∵∠A1BA＝60°（由旋轉(zhuǎn)可知），∴∠A1BD＝30°．∵A1B＝4，∴A1D＝2，BD＝23，∴CD＝4+23；在Rt△A1DC中，A1C=A1D2+D故答案為22②將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP'A，連接PP'，∴∠PBP'＝90°，AP′=CP=15，BP=BP′=∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BPP'＝45°，PP′=B又∵AP＝3，AP′=15∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．總結(jié)提升：本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作輔助線并能根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．3．（2023春?金水區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．（1）如圖1，連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點(diǎn)B，C，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A，E，連接CE．如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，則CE＝33．（2）如圖2，連接PA，PB，PC，當(dāng)AC＝BC＝8時(shí)，求PA+PB+PC的最小值．思路引領(lǐng)：（1）連接BD、CD，構(gòu)造矩形ACBD和Rt△CDE，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可求得CE的長(zhǎng)；（2）以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接BN．根據(jù)△PAM、△ABN都是等邊三角形，可得PA+PB+PC＝CP+PM+MN，最后根據(jù)當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，由CA＝CB，NA＝NB可得CN垂直平分AB，進(jìn)而求得PA+PB+PC的最小值．解：（1）如圖1，連接BD、CD，∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC＝AD，∵∠ACB＝90°，∴四邊形BCAD是矩形，∴CD＝AB＝6，∵BP＝3，∴DE＝BP＝3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，CE=CD2故答案為：33．（2）如圖2所示，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接BN．由旋轉(zhuǎn)可得，△AMN≌△ABP，∴MN＝BP，PA＝AM，∠PAM＝60°＝∠BAN，AB＝AN，∴△PAM、△ABN都是等邊三角形，∴PA＝PM，∴PA+PB+PC＝CP+PM+MN，當(dāng)AC＝BC＝8時(shí)，AB＝82，當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，由CA＝CB，NA＝NB可得CN垂直平分AB，∴AQ=12AB＝42=CQ，NQ=3∴此時(shí)CN＝CP+PM+MN＝PA+PB+PC＝42+46即PA+PB+PC的最小值為42+4總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．類型二費(fèi)馬點(diǎn)模型變式典例2（2023春?碑林區(qū)校級(jí)期中）[問題發(fā)現(xiàn)]如圖①，在△OAB中，OB＝3，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△OA′B′，連接BB'．則BB'＝33．[問題探究]如圖②，已知△ABC是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q．求PA+PB+PC的最小值．[實(shí)際應(yīng)用]如圖③，在長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，點(diǎn)P是長(zhǎng)方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△PAD＝2S△PBC，點(diǎn)Q為△ADP內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并求出此時(shí)PQ的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由．思路引領(lǐng)：（1）如圖1，過點(diǎn)O作OE⊥BB′于點(diǎn)E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理即可求得答案．（2）如圖2，連接PQ，AD，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠CAD＝∠CDA＝30°，BC⊥AD，設(shè)垂足為F，利用勾股定理可求得AD＝12，利用SAS證明△BCP≌△DCQ，由PA+PB+PC＝PA+PQ+QD，可知當(dāng)且僅當(dāng)A、P、Q、D四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC的值最小，即可求得答案．（3）如圖3，過點(diǎn)P作EF∥AD交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，將△ADQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△AD′Q′，連接DD′，QQ′，D′P，設(shè)D′P交AD于點(diǎn)G，由S△PAD＝2S△PBC，可得AE＝2BE，進(jìn)而求得AE＝400，當(dāng)D′P⊥EF時(shí)，D′P取最小值，運(yùn)用勾股定理即可求得答案．解：（1）如圖1，過點(diǎn)O作OE⊥BB′于點(diǎn)E，∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△OA′B′，∴OB′＝OB＝3，∠BOB′＝120°，∴∠OBB′＝∠OB′B＝30°，∵OE⊥BB′，∴∠OEB＝90°，BE＝B′E，∴OE=12OB在Rt△BOE中，BE=O∴BB′＝2BE＝2×332故答案為：33.（2）如圖2，連接PQ，AD，∵△ABC、△BCD都是等邊三角形，∴∠ACB＝∠BCD＝60°，AC＝BC＝DC＝43，∵將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，∴∠PCQ＝60°，CP＝CQ，∵∠ACP+∠BCP＝60°，∠BCP+∠BCQ＝60°，∠BCQ+∠DCQ＝60°，∴∠ACP＝∠DCQ＝∠BCP＝∠BCQ＝30°，∴∠ACD＝120°，BC⊥AD，設(shè)垂足為F，∴∠CAD＝∠CDA＝30°，∴CF=12AC＝2∴AF=A∴AD＝2AF＝2×6＝12，∵△PCQ是等邊三角形，∴PQ＝PC，在△BCP和△DCQ中，CB=CD∠BCP=∠DCQ∴△BCP≌△DCQ（SAS），∴PB＝QD，∴PA+PB+PC＝PA+PQ+QD，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、Q、D四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC的值最小，此時(shí)，PA+PB+PC的最小值為12.（3）存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值．如圖3，過點(diǎn)P作EF∥AD交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，將△ADQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△AD′Q′，連接DD′，QQ′，D′P，設(shè)D′P交AD于點(diǎn)G，由（2）知，當(dāng)P、Q、Q′、D′在同一條直線上時(shí)，AQ+DQ+PQ有最小值，最小值為D′P，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝600，AD＝800，∴BC＝AD＝800，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∵EF∥AD，∴∠AEF＝∠EFD＝90°，∴四邊形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝800，∵S△PAD＝2S△PBC，∴12AD?AE＝2×12BC∴AE＝2BE，∵AE+BE＝AB＝600，∴AE＝400，∵點(diǎn)P在EF上，∴當(dāng)D′P⊥EF時(shí)，D′P取最小值，∵AD∥EF，∴D′P⊥AD，∵△ADD′是等邊三角形，∴AD′＝AD＝800，AG=12AD＝400，∠∴D′G=AD′2∵∠EAG＝∠AEP＝∠EPG＝90°，∴四邊形AEPG是矩形，∴GP＝AE＝400，∴D′P＝D′G+GP＝4003+∴AQ+DQ+PQ的最小值為4003+∵△AQQ′是等邊三角形，AD⊥QQ′，∴∠GAQ＝30°，AQ＝2GQ，在Rt△AGQ中，AG2+GQ2＝AQ2，∴4002+GQ2＝（2GQ）2，解得：GQ=400∴PQ＝GP﹣GQ＝400?400總結(jié)提升：本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短及點(diǎn)到直線的距離垂線段最短的應(yīng)用，矩形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，確定線段和取最小值的位置．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝53，則△ABC的外接圓的半徑值為5．【問題解決】如圖2，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【問題解決】如圖3，正方形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為33cm的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門，點(diǎn)E在邊BC上，CE=3cm，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點(diǎn)A、D為另兩個(gè)固定崗哨．現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個(gè)補(bǔ)水供給點(diǎn)Q，使得Q到A、D、P三個(gè)崗哨的距離和最小，試求QA+QD+QP的最小值．（保留根號(hào)或結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)3≈1.7，10.5思路引領(lǐng)：（1）作出三角形的外接圓O，證明△OBA是等邊三角形，利用三線合一性質(zhì)計(jì)算即可；（2）點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上，根據(jù)圓心，P，A三點(diǎn)共線時(shí)AP最小，計(jì)算即可；（3）如圖3，設(shè)∠BPE所在圓的圓心為點(diǎn)O，根據(jù)（1）可得∠BPE所在圓的半徑，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△DQA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DFN，當(dāng)N，F(xiàn)，Q，P，O共線時(shí)，QA+QD+QP最小，構(gòu)造直角三角形求解即可．解：（1）如圖1，作△ABC的外接圓O，作直徑AD，連接OB，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，∵OA＝OB，∴△OBA是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)E，BE=12BC在直角三角形ABE中，∵sin∠BAO=BE∴sin60°=5∴AB＝5，∴OA＝5，故答案為：5；（2）如圖2，∵∠BPC＝90°，∴點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)O，則OP=12∴O，P，A三點(diǎn)線時(shí)AP最小，在直角三角形ABO中，AO=AB2∵PO＝2，∴AP的最小值為：AO﹣PO＝25?（3）如圖3，設(shè)∠BPE所在圓的圓心為點(diǎn)O，根據(jù)（1）可得∠BPE所在圓的半徑為23232=2，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△DQA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DFN，當(dāng)N，F(xiàn)，Q，P，O共線時(shí)，QA+QD+QP最小，過點(diǎn)N作NG⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AN，則△AND是等邊三角形，過點(diǎn)O作OM⊥GN于M交BC∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC∥GN，∴OH⊥BC，∵BE＝23，∴BH=3∴OH=O∵AD＝DN，∠ADN＝60°，∴△AND是等邊三形，且AN＝33，∠NAD＝60°，∴∠GAN＝30°，∴GN＝ANsin30°=332，AG＝AN∴OM＝OH+AB+AG=92+1+33=112+33，∴ON=O∴QA+QD+QP最小值為：11﹣2＝9（cm）．總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)、圓中半徑相等，點(diǎn)與圓位置關(guān)系中的最值問題，費(fèi)馬點(diǎn)最值問題，旋轉(zhuǎn)的思想，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造輔助圓，旋轉(zhuǎn)60°處理費(fèi)馬點(diǎn)問題模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)一．選擇題1．(2023秋?義烏市月考）已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF＝（）A．23 B．1+3 C．6 D．3思路引領(lǐng)：根據(jù)題意首先畫出圖形，過點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，在△BDE內(nèi)部過E、F分別作∠MEP＝∠MFP＝30°，則∠EPF＝∠FPD＝∠EPD＝120°，點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn)，求出PE，PF，DP的長(zhǎng)即可解決問題；解：如圖：過點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，在△BDE內(nèi)部過E、F分別作∠MEP＝∠MFP＝30°，則∠EPF＝∠FPD＝∠EPD＝120°，點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn)，在等腰Rt△DEF中，DE＝DF=2，DM⊥EF∴EF=2DE∴EM＝DM＝1，故cos30°=EM解得：PE=233，則故DP＝1?33，同法可得則PD+PE+PF＝2×233故選：B．總結(jié)提升：此題主要考查了解直角三角，正確畫出圖形進(jìn)而求出PE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．2．(2023春?山亭區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠CAB＝65°，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．40° B．30° C．50° D．65°思路引領(lǐng)：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AC′，然后利用等腰三角形兩底角相等求∠CAC′，再根據(jù)∠CAC′、∠BAB′都是旋轉(zhuǎn)角解答．解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，∴AC＝AC′，∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．故選：C．總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．二．填空題3．（2023秋?開福區(qū)校級(jí)月考）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最?。藗兎Q這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為7+23．思路引領(lǐng)：根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．解：如圖：∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB∴PCPB即PB2＝12∴PB＝23．∴PA+PB+PC＝7+23故答案為：7+23．總結(jié)提升：本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定和性質(zhì)．4．（2023秋?梁溪區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為1+3，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2思路引領(lǐng)：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連NE，MB，過M作MP⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，則△ANE為等邊三角形，得AE＝NE，所以AE+EB+EC＝MN+NE+EC，當(dāng)AE+EB+EC取最小值時(shí)，折線MNEC成為線段，則MC=2，易得△ABM為等邊三角形，則∠MBC＝150°，則∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，設(shè)BC＝x，PM=12x解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連NE，MB，過M作MP⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，如圖，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，∴△ANE為等邊三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，當(dāng)AE+EB+EC取最小值時(shí)，折線MNEC成為線段，則MC＝1+3∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM為等邊三角形，∴∠MBC＝150°，則∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，設(shè)BC＝x，PM=12∴（1+3）2＝（12x）2+（32x+所以x=2∴BC=2即正方形的邊長(zhǎng)為2，故答案為：2．總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形和等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理．5．（2023?丹東）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若AB＝AC=7，BC＝23，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC＝5；若AB＝23，BC＝2，AC＝4，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC＝27思路引領(lǐng)：①作出圖形，過B，C分別作∠DBP＝∠DCP＝30°，勾股定理解直角三角形即可；②作出圖形，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)則B，P，P'，C'四點(diǎn)共線，即PA+PB+PC＝BC'，再用勾股定理求得即可．解：如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D，過B，C分別作∠DBP＝∠DCP＝30°，則PB＝PC，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，∵AB＝AC=7，BC＝23∴BD=DC=1∴tan30°=PD∴PD＝1，∴PB=PD∴AD=A∴PA+PB+PC＝5；②如圖：∵AB＝23，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝16，AC2＝16，∴AB2+BC2＝AC2，∠ABC＝90°，∵sin∠BAC=BC∴∠BAC＝30°，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，由旋轉(zhuǎn)可得：△APC≌△AP'C'，∴AP'＝AP，PC＝P'C'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠PAP'＝60°，∴△APP′是等邊三角形，∴∠BAC'＝90°，∵P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，即B，P，P'，C'四點(diǎn)共線時(shí)候，PA+PB+PC＝BC'，∴PA+PB+PC＝BP+PP'+P'C'＝BC'=A故答案為：5，27總結(jié)提升：本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)△PAB，△PBC也可，但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．6．(2023秋?洪山區(qū)校級(jí)期中）如圖，以等邊△ABC的一邊BC為底邊作等腰△BCD，已知AB＝3，CD=BD=3，且∠BDC＝120°，在△BCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，則PB+PC+PD的最小值為23思路引領(lǐng)：將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′BA，連接PP′、AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠PBP′＝60°，PB＝P′B，PC＝P′A，以此得到PB＝PP′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得PB+PC+PD＝PP′+P′A+PD≥AD，根據(jù)等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°，再根據(jù)勾股定理即可求解．解：如圖，將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′BA，連接PP′、AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠PBP′＝60°，PB＝P′B，PC＝P′A，∴△PBP′為等邊三角形，∴PB＝PP′，∴PB+PC+PD＝PP′+P′A+PD，∵PP′+P′A+PD≥AD，∴當(dāng)A、P′、P、D四點(diǎn)共線時(shí)，PB+PC+PD有最小值，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BCD為等腰三角形，∠BDC＝120°，∴∠CBD＝30°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°，在Rt△ABD中，AB＝3，BD=3，∠ABD由勾股定理得AD=A∴PB+PC+PD的最小值為23故答案為：23總結(jié)提升：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理，正確作出輔助線，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到PB+PC+PD≥AD是解題關(guān)鍵．7．(2023秋?大冶市期末）如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，則當(dāng)線段AD的長(zhǎng)度最小時(shí)，①∠BDC＝60°；②AD的最小值是5．思路引領(lǐng)：以BD為邊向外作等邊三角形BDE，連接CE，判定△ABD≌△CBE，即可得出CE＝AD，再根據(jù)C，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，CE有最小值，即可得到AD的最小值為5，此時(shí)∠BDC＝60°．解：如圖所示，以BD為邊向外作等邊三角形BDE，連接CE，∵△BDE，△ABC均為等邊三角形，∴BE＝BD，AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，AB=CB∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△CBE（SAS），∴CE＝AD，∵BE＝BD＝DE＝8，CD＝3，∴當(dāng)C，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，CE有最小值，∴CE＝DE﹣CD＝8﹣3＝5，∴AD的最小值為5，此時(shí)∠BDC＝60°．故答案為：①60°；②5．總結(jié)提升：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是以BD為邊向外作等邊三角形BDE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．三．解答題8．（2009?湖州）自選題：若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，則PB的值為23；（2）如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′＝PA+PB+PC．思路引領(lǐng)：（1）由題意可得△ABP∽△BCP，所以PB2＝PA?PC，即PB＝23；（2）在BB'上取點(diǎn)P，使∠BPC＝120°，連接AP，再在PB'上截取PE＝PC，連接CE．由此可以證明△PCE為正三角形，再利用正三角形的性質(zhì)得到PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°，而△ACB'為正三角形，由此也可以得到AC＝B'C，∠ACB'＝60°，現(xiàn)在根據(jù)已知的條件可以證明△ACP≌△B'CE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論．解：（1）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP，∴PAPB∴PB2＝PA?PC＝12，∴PB＝23；（2）證明：在BB'上取點(diǎn)P，使∠BPC＝120°．連接AP，再在PB'上截取PE＝PC，連接CE．∠BPC＝120°，∴∠EPC＝60°，∴△PCE為正三角形，∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°．∵△ACB'為正三角形，∴AC＝B′C，∠ACB'＝60°，∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，∴∠PCA＝∠ECB′，∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC＝∠B′EC＝120°，PA＝EB′，∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．∴BB'過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB'＝EB'+PB+PE＝PA+PB+PC．總結(jié)提升：此題考查了等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識(shí)；此類已知三角形邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求角的度數(shù)．9．問題探究：（1）如圖1，已知，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，則對(duì)角線AC、BD的位置關(guān)系是AC⊥BD．（2）如圖2，已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為2，求AC的長(zhǎng)．問題解決：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（6，0），C（0，43），延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使CD=12AC，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)．若點(diǎn)P在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度為定值v，在y軸上運(yùn)動(dòng)速度為2v，試確定點(diǎn)G的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短，并求此時(shí)點(diǎn)思路引領(lǐng)：（1）結(jié)論：AC⊥BD．證明BD垂直平分線段AC可得結(jié)論；（2）如圖2中，將△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BKT，連接ET，AK，過點(diǎn)K作KH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．證明當(dāng)A，E，T，K共線時(shí)，AE+EC+EB的值最小，最小值為AK＝2．設(shè)AC＝BC＝m，則HK=12m，CH=32（3）由題意點(diǎn)P在AG上的運(yùn)動(dòng)速度為v，點(diǎn)P在y軸上的運(yùn)動(dòng)速度為2v則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A的時(shí)間為t=EG2v+AGv=1解：（1）結(jié)論：AC⊥BD．理由：∵BA＝BC，DA＝DC，∴點(diǎn)B，點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上，∴BD垂直平分線段AC，∴AC⊥BD；（2）如圖2中，將△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BKT，連接ET，AK，過點(diǎn)K作KH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．∵EB＝BT，∠EBT＝60°，∴△EBT是等邊三角形，∴BE＝ET，∴AE+EC+EB＝AE+ET+TK≥AK，∴當(dāng)A，E，T，K共線時(shí)，AE+EC+EB的值最小，最小值為AK＝2．設(shè)AC＝BC＝m，則HK=12m，CH=∴AH＝m+32∵AH2+KH2＝AK2，∴（m+32m）2+（12m）2∴m=6∴AC=6（3）由題意點(diǎn)P在AG上的運(yùn)動(dòng)速度為v，點(diǎn)P在y軸上的運(yùn)動(dòng)速度為2v.則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A的時(shí)間為t=EG2v+AG∵DE∥OA，∴ECOC∵C（0，43），∴OC＝43，∴EC＝23，過點(diǎn)G作GH⊥BE于點(diǎn)H，可證得△EGH∽△EBO，則EGGH∴EG2=∴t=1v（EG2+GA）=1要使t最小，則GH+GA最小，即當(dāng)點(diǎn)G、A、H三點(diǎn)一線時(shí)，t有最小值，確定G點(diǎn)位置的方法：過A點(diǎn)作AH⊥BE于點(diǎn)H，則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn)由OB＝6，OE＝63，可得∠OBE＝60°，∴∠BAH＝30°，在Rt△OAG中，OG＝AO?tan∠BAH＝23，∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，23）．總結(jié)提升：本題綜合考查了圖形的性質(zhì)和坐標(biāo)的確定，是綜合性較強(qiáng)，難度較大的綜合題，其中本題第三問是難點(diǎn)，學(xué)生主要不會(huì)確定點(diǎn)G的位置．10．(2023?利辛縣一模）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．（2）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；（3）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖（2）①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．思路引領(lǐng)：（1）依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知：MB平分∠ABC，則∠ABP＝30°，同理∠BAP＝30°，則∠APB＝120°，同理可求得